Как найти степень целого числа ответ

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя – как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.

Возвести число в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова “вычисление значение степени” и “возведение в степень” означают одно и то же. Так, если в задаче стоит “Возведите число 0,5 в пятую степень”, это следует понимать как “вычислите значение степени (0,5)5.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Возьмем пример посложнее.

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

a1=a

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно  73.

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.

Отдельный случай – возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

Проиллюстрируем на примере.  

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями – довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную – значения не имеет: 0-43.

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Возведение степени в степень 

Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.

Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ. 

Здесь а – это любое число, а n и m – натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.

Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.

План урока:

Определение степени с целым числом

Свойства степени с целым показателем

Преобразование выражений с целыми степенями

Стандартный вид числа

Действия с числами в стандартном виде

Определение степени с целым показателем

В 7 классе мы уже изучили степень с натуральным показателем. Напомним, что запись aⁿ означает произведение, состоящее из n множителей, каждый из которых равен a:

Число а именуется основанием степени, а n – это показатель степени. Отдельно напомним, что число в первой степени равно самому себе:

а¹ = а

Любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, дает единицу:

а⁰ = 1

Сам же ноль в нулевую степень возводить нельзя (так же, как и нельзя делить на ноль).

Математики стремятся по возможности расширить используемые ими понятия. Можно ли сделать показатель степени отрицательным числом? Для этого надо дать новое определение степени. При этом важно, чтобы все уже известные нам правила действий со степенями (их умножение и деление) оставались справедливыми.

При делении степеней их показатели вычитаются, например:

8¹⁵:8¹³ = 8^{15 – 13} = 8² = 64

Теперь попробуем произвести деление в том случае, когда показатель делимого меньше показателя делителя:

8¹⁵:8¹⁷ = 8^{15 – 17} = 8^{– 2}

Получили отрицательную степень, смысл которой нам пока не понятен. Выполним это же деление с помощью дробей, при этом учтем, что 8¹⁷ = 8¹⁵•8²:

Итак, мы получили, что

То есть 8^{– 2} – это число, обратное 8². Подобные рассуждения помогают сформулировать определение степени с отрицательным показателем:

Напомним, что обратными называются числа, которые при умножении друг на друга дают единицу. Примерами обратных чисел являются:

• 5 и 1/5
• 2 и 1/2
• (– 15) и – 1/15

Вообще для каждой дроби обратной является «перевернутая дробь», поэтому следующие пары чисел являются обратными:

Теперь покажем, как вычислять отрицательную степень числа, пользуясь определением:

Вообще находить отрицательную степень дроби удобней с помощью формулы

Докажем ее справедливость:

Покажем применение этой формулы:

Заметим, что возвести ноль в отрицательную степень не получится. Действительно, если мы попробуем, например, вычислить 0^{– 2}, то получим деление на ноль:

Вообще, при возведении нуля в любую отрицательную степень получается деление на ноль, а потому выражение 0ⁿ, где n–отрицательное число, не имеет смысла.

Отрицательные степени очень удобны при работе с некоторыми выражениями. В частности, любую дробь с их помощью можно записать в виде произведения:

Пример: Запишите в виде произведения дробь

Решение.

Ответ: а²b^{– 4}

Отдельно заметим, формулу, определяющую отрицательную степень

можно и «перевернуть». В ней число 1 выступает в роли делимого, выражение аⁿ – это делитель, а a^{– n} – это частное. Известно, что делитель можно получить, поделив делимое на частное, то есть верна запись

Это значит, что справедливо не только равенство

но и

Свойства степени с целым показателем

Правила действий со степенями, имеющими целый показатель, не отличаются от тех, которые мы изучали ранее. Напомним их.

Убедимся в этом на нескольких примерах:

Однако эти примеры ещё не являются полноценными доказательствами этого свойства степеней. Приведем общее доказательство для того случая, когда число в натуральной степени умножается на число в отрицательной степени:

Также докажем справедливость этого правила и в том случае, когда перемножаются два числа в отрицательной степени:

Проиллюстрируем это:

Для строгого доказательства заменим операцию деления на умножение. Так как

Здесь мы сначала заменяем степень aⁿ на дробь 1/а^{– n} (по определению отрицательной степени), а потом пользуемся тем, что деление на дробь равносильно умножению на «перевернутую дробь».

Продемонстрируем применение этого правила:

Следующие правила позволяют работать со степенями, у которых различаются основания, но совпадают показатели:

Покажем, как это работает:

Для общего случая доказательство будет выглядеть так:

Это правило можно проиллюстрировать так:

Приведем доказательство этого свойства для отрицательных степеней с целым показателем:

Как видим, свойства степеней с целыми показателями (в частности, с отрицательными), не отличаются от уже изученных нами свойств степеней с натуральными показателями. Единственное исключение – добавляется дополнительное ограничение, согласно которому основанием степени с отрицательным целым показателем не может быть ноль. То есть запись 0^{– 3} не имеет смысла, хотя выражение 0³ имеет смысл:

0³ = 0•0•0 = 0

Рассмотрим несколько заданий, в которых необходимо использовать правила работы со степенями

Пример. Представьте в виде степени выражение

у^{– 8}•у¹⁰

Решение. При перемножении степеней их показатели следует сложить:

у^{– 8}•у¹⁰ = у^{– 8 + 10} = у²

Ответ: у²

Пример. Вычислите значение выражения

(10^{– 1})^{– 6} : (0,1)^{– 3}

Решение.

(10^{– 1})^{– 6} : (0,1)^{– 3} = 10^{(– 1)•(– 6)}: (10^{– 1})^{– 3} = 10⁶: 10³ = 10^{6 – 3} = 10³ = 1000

Ответ: 1000

Пример. Представьте число 3^{– 36} в виде степени с основанием 9.

Решение.

3^{– 36} = 3^{2•(– 18)} = 9^{– 18}

Ответ: 9^{– 18}

Пример. Представьте произведение 64v^{– 3} как степень.

Решение.

64v^{– 3} = 4³v^{– 3} = (1/4)^{– 3}v^{– 3} = (v/4)^{– 3}

Ответ: (v/4)^{– 3}

Преобразование выражений с целыми степенями

Ранее мы рассматривали понятие рационального выражения. Так называлось выражение, в котором используются 4 основные арифметические операции (в том числе деление), а также возведение в степень. Однако использование отрицательной степени помогает избавиться от операции деления как ненужной. Например, возможны такие преобразования:

Во всех случаях мы заменили деление на возведение в отрицательную степень.

Рассмотрим несколько примеров по преобразованию выражений со степенями.

Пример. Упростите выражение

Решение. Возведение в степень (– 1) означает, по сути, переворачивание дроби:

Ответ: ab

Пример. Упростите дробь

Решение. Вынесем в числителе множитель а^{– 3} за скобки

Пример. Представьте в виде дроби выражение

Решение.

В данном случае мы воспользовались формулой суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Пример. Упростите выражение

(h² + ht + t²)(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1}

Решение.

Вынесем из первой скобки множитель h²t². При вынесении множителя каждое слагаемое делится на этот самый множитель:

C учетом этого получаем:

(h² + ht + t²) = h²t²(t^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + h^{– 2}) = h²t²(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})

Зная это, можно записать

(h² + ht + t²)(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1} = h²t²(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1}

В двух скобках стоят одинаковые выражения, но одно из них в степени (– 1). Такие выражения можно сократить, ведь они являются обратными числами:

а•a^{– 1} = 1

Поэтому

h²t²(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1} = h²t²

Ответ: h²t²

Пример. Докажите тождество

Решение. Преобразуем левую часть:

Стандартный вид числа

В физике и других естественных науках изучаются объекты, чьи характеристики (масса, длина, скорость и т.д.) могут измеряться очень большими или очень малыми величинами. Например, масса атома железа равна 0,0000000000000000000000000927 килограмм, а масса Солнца оценивается в 1988500000000000000000000000000 килограмм. Работать с такими числами достаточно неудобно. Сложно даже сравнивать их между собой, ведь для этого надо подсчитывать количество нулей в каждом числе. Поэтому в науке часто используется особая форма чисел, которую называют стандартным видом числа. Он основан на том, что любое число можно записать как произведение числа a, находящегося в пределах от 1 до 10, и какой-нибудь целой (в том числе отрицательной) степени десятки.

Приведем примеры представления чисел в стандартном виде

90 = 9•10 = 9•10¹

91 = 9,1•10 = 9,1•10¹

900 = 9•100 = 9•10²

912 = 9,12•100 = 9,12•10²

Покажем случаи, когда порядок равен нулю или меньше него

7 = 7•1 = 7•10⁰

7,63 = 7,63•1 = 7,63•10⁰

0,8 = 8•0,1 = 8•10^{– 1}

0,0875 = 8,75•100 = 8,75•10^{– 2}

Посмотрите, насколько короче выглядит запись физических величин с использованием стандартного вида:

• масса Солнца: 1988500000000000000000000000000 кг = 1,9885•10³⁰ кг;
• масса Земли: 5970000000000000000000000 кг = 5,97•10²⁴ кг;
• масса атома железа: 0,0000000000000000000000000927 = 9,27•10^-26 кг.

Пример. Укажите стандартный вид числа 76000000.

Решение. Первой ненулевой цифрой в записи является семерка, поэтому стандартный вид будет выглядеть так:

7,6•10ⁿ

где n– какое-то целое число, которое нам надо найти. Поставим в исходном числе запятую после семерки:

7,6000000

Видно, что мы отделили запятой 7 разрядов, то есть перенесли запятую на 7 разрядов вправо. Поэтому n равно 7:

76000000 = 7,6•10⁷

Действительно, умножение дробного числа на 10 приводит к смещению запятой на одну позицию влево, поэтому при умножении 7,6 на 10⁷ получим 76000000. Наши действия можно проиллюстрировать рисунком:

В случае с числами, меньшими единицы, также надо смотреть на количество разрядов между запятой и первой ненулевой цифрой. Пусть надо представить в стандартном виде десятичную дробь 0,000005605. Значащей частью числа будет 5,605. Для того чтобы получить ее, надо в исходной дроби перенести запятую на 6 разрядов вправо. Поэтому порядок будет равен (– 6):

Теперь попробуем выполнить обратное преобразование – по стандартному виду числа записать его в привычной нам десятичной форме. Пусть есть запись 2,56•10⁵. Для начала искусственно припишем несколько ноликов к значащей части:

2,56 = 2,5600000

Теоретически мы можем дописать любое количество нулей, величина дроби от этого не изменится. Порядок числа равен 5, а потому запятую надо перенести на 5 знаков вправо:

2,5600000•10⁵ = 256000,00

Теперь лишние нули после запятой и саму запятую можно и убрать:

256000,00 = 256000

Обратите внимание, что порядок числа был равен 5, а в итоге мы получили шестизначное число. Можно сформулировать правило: у числа, имеющего в стандартной виде порядок n, в десятичной представлении перед запятой будет стоять (n + 1)знак. Например:

1,23456789•10⁶ = 1234567,89

Здесь порядок числа равен 6, а потому перед запятой стоит 7 знаков.

Напомним, что если число целое и, соответственно, в его записи нет запятой, то ее можно искусственно добавить:

568 = 568,0

Теперь рассмотрим похожий пример с отрицательным порядком числа. Пусть надо записать в десятичном виде число 9,8765•10^{– 4}. Для этого сначала можно условно «подрисовать» нолики перед значащей частью:

0000009,8765

Порядок равен (– 4), а потому надо передвинуть запятую на 4 знака влево

0000009,8765 =000,00098765

Получается, что мы подрисовали слишком много ноликов. Уберем два из нихи получим число в обычной форме:

0,00098765

Вообще, если у числа отрицательный порядок (– n), то первая ненулевая цифра должна оказаться на n-ой позиции после запятой:

Действия с числами в стандартном виде

Стандартный вид чисел удобен тогда, когда есть необходимость сравнивать физические величины, а также перемножать их и делить. Рассмотрим правила сравнения умножения и деления чисел в стандартном виде.

Из двух чисел больше то, у которого больше порядок стандартного вида числа. Так, масса Солнца больше масса Земли, так как у нее порядок равен 30, а у нашей планеты – только 24. Если же порядки одинаковы, то больше то число, у которого больше значащая часть.

Пример. Радиус ядра Солнца оценивается в 1,73•10⁸ м, а радиус Юпитера составляет 6,99•10⁷ м. Какая из этих величин больше?

Решение. Порядок у радиуса ядра Солнца равен 8, а у Юпитера только 7, поэтому радиус ядра Солнца больше радиуса Юпитера.

Пример. Масса протона составляет 1,673•10^{– 27} кг, а масса нейтрона равна 1,675•10^{– 27} кг. Какая из этих двух частиц тяжелее?

Решение. У обоих величин одинаковый порядок, равный (– 27). Однако значащая часть у массы нейтрона больше:

1,675 > 1,673

Следовательно, нейтрон тяжелее.

Ответ: Нейтрон тяжелее.

Посмотрим, как перемножать числа, находящиеся в стандартном виде. Переставляя множители местами, можно получить:

(a•10ⁿ)•(b•10^m) = a•b•10ⁿ•10^m = (ab)•10^n+m

В итоге можно сформулировать правило:

Пример. Земля двигается по своей орбите со средней скоростью 3•10⁴ м/с. Какое расстояние она проходит в течение одного невисокосного календарного года (в каждом таком году 31536000 секунд)?

Решение. Переведем количество секунд в году в стандартный вид

31536000 = 3,1536 •10⁷

Расстояние (обозначим его как S) равно произведению средней скорости на время:

S = 3•10⁴ м/с • 3,1536•10⁷c = 3•3,1536•10^{4 + 7} = 9,4608•10¹¹м.

Ответ: 9,4608•10¹¹м.

Пример. Представьте в стандартном виде произведение чисел 9,5•10⁸ и 1,38•10^{– 2}.

Решение.

(9,5•10⁸)•(1,38•10^{– 2}) = (9,5•1,38)•10^{8 + (– 2)} = 13,11•10⁶

Получили число НЕ в стандартном виде, так как 13,11 > 10. Поэтому следует произвести замену 13,11 = 1,311•10:

13,11•10⁶ = 1,311•10•10⁶ = 1,311•10⁷

Ответ: 1,311•10⁷

Теперь попытаемся поделить два числа, находящихся в стандартном виде:

Видно, что справедливо следующее правило:

Пример. Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли?

Решение. Выше мы приводили данные, что масса Солнца оценивается в 1,9885•10³⁰ кг, а масса нашей планеты составляет 5,97•10²⁴ кг. Поделим массу звезды на массу планеты:

(1,9885•10³⁰):(5,97•10²⁴) = (1,9885:5,97)•10^{30 – 24}≈0,333•10⁶ = 333000

Получили, что Солнце примерно в 333 тысячи раз тяжелее Земли.

Ответ: В 333000 раз.

В статье мы введём понятие степени числа, на простых и понятных примерах объясним, что такое степень с целым показателем, натуральным, рациональным, действительным и иррациональным. Заодно покажем несколько поучительных примеров и задач, которые помогут читателю лучше понять и полнее уяснить тему.

Степень с натуральным показателем

Запомните, n обозначает количество множителей, то, сколько раз a нужно само на себя перемножить.

Отдельно рассмотрим пример, когда n равен 1. Любое число с ним можно записать в виде a¹. Некоторые почему-то считают, что этом случае следует выполнить умножение столько раз, сколько указано в показателе. На самом деле ничего умножать не нужно. Степень любого числа с n равным 1 будет самим этим числом.

Т. е. 56¹ = 56, (1/456)¹ равно 1/456, (-86)¹ равно -86.

Запись 0ⁿ тоже имеет право на существование. По сути она означает, что нуль нужно помножить на себя самого n раз. Умножение на нуль всегда даёт нуль. Получается, любая степень с основанием нуль, независимо от её показателя всегда будет равна нулю.

Значительно реже всех выше перечисленных случаев встречается запись типа a^n. Она соответствует записи aⁿ.

Запомните, основанием степени с натуральным n может быть практически любое число (хоть дробь, хоть корень и т. д.), а вот в показателе должно обязательно находиться натуральное число, т. е. не дробное и не отрицательное.

Основные свойства степени с натуральным показателем

Они следующие:

• Когда происходит умножение степеней с равным основанием, то оно остаётся прежним. Показатели при этом складываются.
  a^m*aⁿ = a^m+n

• Когда степени с одинаковыми основаниями делятся, то основание сохраняется прежним, а показатели вычитаются.
  a^m/aⁿ = a^m-n При этом m > n и a не равно нулю.

• Когда степень возводят в степень, то основание не меняют, а сами степени перемножаются.
  (a^m)ⁿ = a^m*n

• Если в степень возводится дробь, то в неё возводится как числитель дроби, так и её знаменатель.
  (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ При этом b не должно быть равно нулю.

О сравнении степеней

Если сравниваемые степени имеют равные основания, большие числа 1, то большим считается та из них, у которой показатель степени выше.

Степень с целым показателем

Рассмотрим степень с целым отрицательным n. Любое число вида a^-n можно представить в виде 1/aⁿ. При этом a не должно быть равно нулю. n может быть любым натуральным числом.

Сложнее дело обстоит с понятием нулевой степени. Чтобы её объяснить, ещё раз приведём правило по делению степеней с равными основаниями.

Как известно из курса элементарной математики, частное от деления любого числа на самого себя всегда равно единице. Из этого напрямую следует, что нулевая степень любого числа всегда равна 1.

Несколько неожиданным для многих является тот факт, что ноль в степени ноль тоже равен единице 0⁰ = 1. Положение осложняет тот факт, что на ноль делить нельзя. Так откуда же тогда взяли, что нулевая степень нуля есть 1.

На самом деле, хотя на ноль никакое число не делится, оно может делится на сколь угодно малое, т. е. близкое к нулю число. В высшей математике доказывается, что предел (a/a), когда a является бесконечно малой величиной, действительно стремится к 1.

Свойства степени с целым показателем практически ничем не отличаются от её свойств с натуральным. Нужно только помнить, что в показателе появляются отрицательные числа и их следует складывать и вычитать по строго определённым для этого правилам.

Степень с рациональным показателем

Если m и n делятся нацело, то получаем степень с целым показателем. Если при этом ещё и частное от деления больше нуля, то получим степень с натуральным.

Теперь о том, почему в дроби требуется замена сократимого показателя на несократимый. Если этого не делать, то может возникнуть, например, следующая ситуация:

(-1)^6/10 = (-1)^2/5, однако, если посчитать получится

(-1)^6/10 = ¹⁰√(-1)⁶ = ¹⁰√1 = 1.

(-1)^3/5 = ⁵√(-1)³ = ⁵√(-1) = -1

Примеры степеней с рациональным n: (3^1/2), 7^5/4, 7^4/2. Основание может быть и многозначным числом, в частности, 128^-2/7 тоже степень с рациональным.

Из примеров выше становится ясно, что извлечение чётных корней из отрицательных чисел категорически запрещено.

Не будет ошибкой замена любого из дробных показателей смешанным (например, 5^2,1 на 5^2(1/10), однако, чтобы не запутаться, при проведении вычислений, всегда, когда это возможно, лучше заменяйте подобные числа и корень числа дробной степенью. Это делает запись более наглядной и позволяет избежать многих ошибок.

Свойства степени с рациональным показателем аналогичны с натуральным или целым n, только дело приходится иметь с дробями. В первую очередь это касается деления и перемножения степеней с одинаковыми основаниями, а также их сравнения. Вспомните, как оно проводится для обыкновенных дробей.

Степень числа с иррациональным показателем

Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно разобраться в том, что является иррациональным числом. Любое рациональное число допускает его представление в виде бесконечной периодической десятичной дроби либо как обыкновенную дробь типа (m/n). Об иррациональных числах этого не скажешь. Десятичные дроби, с помощью которых выражаются иррациональные числа, бесконечны и апериодичны. Примерами иррациональных чисел являются √7, число [pi], √2 + √3.

Строится степень с рациональным n с помощью так называемого предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями. Они с недостатком либо с избытком приближаются к степени иррациональным n.

Покажем как это происходит. Пусть нам дано иррациональное число a.

a0 = 1,6 , a1 = 1,67, a2 = 1,671…

a0 = 1,67, a1 = 1,6717, a2 = 1,671753…

И т. д. Заметьте – сами приближения, это рациональные числа.

Последовательности приближений нам нужно поставить в соответствие последовательность степеней α^a0, α^a1, α^a2. Значения этих степеней можно подсчитать.

a = 1,67175331. Пусть для примера у нас будет α = 3

Тогда получается α^a0 = 3,167; α^a1 = 3,16717; α^a2= 3,1671753 и т. д.

Указанная последовательность сводится к числу, которое окажется значением степени с основанием α и иррациональным показателем a. После некоторой работы в итоге получаем 3^1,67175331 = 6,27.

Свойства у степени с иррациональным n в целом такие же, как рациональным. В частности, сложение показателей при перемножении, сравнение иррациональных степеней происходят аналогичным образом. Нужно только иметь в виду, что при бесконечности и апериодичности иррациональной дроби вы имеете дело с приближёнными с той или иной точностью значениями. Впрочем, в зависимости от поставленной задачи, нужной точности достичь можно в любом случае. Очень осторожны будьте с приближениями. У новичков здесь очень часто случаются ошибки. После некоторого опыта и практики действия совершаются автоматически. Старайтесь на первых порах порешать как можно больше примеров. Пусть они кажутся вам однотипным, но навык отточить и закрепить позволяют.

Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием и натуральным показателем обозначается как

где  — количество множителей (умножаемых чисел)^{[1][К 1]}.

Например,

В языках программирования, где написание невозможно, применяются альтернативные обозначения^[⇨].

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных^[⇨], рациональных^[⇨], вещественных^[⇨] и комплексных^[⇨] степеней^[1].

Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени и показателя находит неизвестное основание . Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени и основания находит неизвестный показатель . Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Употребление в устной речи[править | править код]

Запись обычно читается как «a в -й степени» или «a в степени n». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали^[2].

Число, являющееся результатом возведения натурального числа в -ую степень, называется точной -ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом.

Свойства[править | править код]

Основные свойства[править | править код]

Все приведенные ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел^[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени^[⇨].

• 
• 
• 
• 
• 
• .

Запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае, Например, , а . В математике принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но

Таблица натуральных степеней небольших чисел[править | править код]

Расширения[править | править код]

Целая степень[править | править код]

Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль^[4]::

Результат не определён при и .

Рациональная степень[править | править код]

Возведение в рациональную степень где  — целое число, а  — натуральное, положительного числа определяется следующим образом^[4]:

.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

Для отрицательных степень с дробным показателем не рассматривается.

Следствие: Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.

Вещественная степень[править | править код]

Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[5] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где – положительное):

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: и , то их степенью называют число , определённое степенью последовательностей и :

,

вещественное число , удовлетворяет следующему условию:

Таким образом степенью вещественного числа   является такое вещественное число  которое содержится между всеми степенями вида  с одной стороны и всеми степенями вида с другой стороны.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.

Для отрицательных   степень с вещественным показателем не рассматривается.

На практике для того, чтобы возвести число в степень , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами и . За приближенное значение степени берут степень указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают и .

Пример возведения в степень , с точностью до 3-го знака после запятой:

Полезные формулы:

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции , и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Комплексная степень[править | править код]

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен:

, (формула Муавра)^[6].

Для нахождения степени произвольного комплексного числа в алгебраической форме можно воспользоваться формулой бинома Ньютона (справедливой и для комплексных чисел):

.

Заменяя степени в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: , получим:

^[7]

Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента , где  — число Эйлера,  — произвольное комплексное число^[8].

Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:

Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для :

В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:

Общий случай , где  — комплексные числа, определяется через представление в показательной форме: согласно определяющей формуле^[8]:

Здесь  — комплексный логарифм,  — его главное значение.

При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно^[8]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество в степень Слева получится справа, очевидно, 1. В итоге: что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных ), поэтому правило здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при и при

Степень как функция[править | править код]

Разновидности[править | править код]

Поскольку в выражении используются два символа ( и ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.

Ноль в степени ноль[править | править код]

Выражение (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

можно записать короче:

Следует предостеречь, что соглашение чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

История[править | править код]

Обозначение[править | править код]

В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, изображалось как Отред записывал следующим образом: (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)^[9]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени^[10]; например, у него означало . Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали в виде и соответственно^[11].

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)^[11][12].

Запись возведения в степень в языках программирования[править | править код]

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^» («циркумфлекс», он же «карет»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень.
То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

• x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
• x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc^{[К 2]}, Haskell^{[К 3]}, Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;
• x ^^ y: Haskell^{[К 4]}, D;
• x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP^{[К 5]}, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell^{[К 6]}, Turing^[en], VHDL, ECMAScript^{[К 7][К 8]}, AutoHotkey^{[К 8]}, JavaScript;
• x⋆y: APL.

Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.

Вариации и обобщения[править | править код]

Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень).

Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно^[13] для любого :

Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней.

Гипероператор возведения в степень — тетрация.

Примечания[править | править код]

Комментарии

Литература[править | править код]

• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — 509 с.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.

Ссылки[править | править код]

• Возведение в степень: правила, примеры. Дата обращения: 2 февраля 2020.