Как найти степень корреляции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Download Article

Calculate correlation by hand, online, or with a graphing calculator

Download Article

By Hand

Online Calculators

Graphing Calculators

Reviewing the Fundamentals

The correlation coefficient, denoted as r or ρ, is the measure of linear correlation (the relationship, in terms of both strength and direction) between two variables. It ranges from -1 to +1, with plus and minus signs used to represent positive and negative correlation. If the correlation coefficient is exactly -1, then the relationship between the two variables is a perfect negative fit; if the correlation coefficient is exactly +1, then the relationship is a perfect positive fit. Otherwise, two variables may have a positive correlation, a negative correlation, or no correlation at all. You can calculate correlation by hand, by using some free correlation calculators available online, or by using the statistical functions of a good graphing calculator.

1
Assemble your data. To begin calculating a correlation efficient, first examine your data pairs. It is helpful to put them in a table, either vertically or horizontally. Label each row or column x and y.^[1]
- For example, suppose you have four data pairs for x and y. Your table may look like this:
  - x || y
  - 1 || 1
  - 2 || 3
  - 4 || 5
  - 5 || 7
2

Calculate the mean of x. In order to calculate the mean, you must add all the values of x, then divide by the number of values.^[2]

Advertisement
3

Find the mean of y. To find the mean of y, follow the same steps, adding all the values of y together, then dividing by the number of values.^[3]
4

Determine the standard deviation of x. Once you have your means, you can calculate standard deviation. To do so, use the formula:^[4]
5

Calculate the standard deviation of y. Using the same basic steps, find the standard deviation of y. You will use the same formula, using the y data points.^[5]
6
Review the basic formula for finding a correlation coefficient. The formula for calculating a correlation coefficient uses means, standard deviations, and the number of pairs in your data set (represented by n). The correlation coefficient itself is represented by the lower-case letter r or the lower-case Greek letter rho, ρ. For this article, you will use the formula known as the Pearson correlation coefficient, shown below:^[6]
- $rho =left({frac {1}{n-1}}right)Sigma left({frac {x-mu _{x}}{sigma _{x}}}right)*left({frac {y-mu _{y}}{sigma _{y}}}right)$
- You may notice slight variations in the formula, here or in other texts. For example, some will use the Greek notation with rho and sigma, while others will use r and s. Some texts may show slightly different formulas; but they will be mathematically equivalent to this one.
7

Find the correlation coefficient. You now have the means and standard deviations for your variables, so you can proceed to use the correlation coefficient formula. Remember that n represents the number of values you have. You have already worked out the other relevant information in the steps above.^[7]
8
Interpret your result. For this data set, the correlation coefficient is 0.988. This number tells you two things about the data. Look at the sign of the number and the size of the number.^[8]
- Because the correlation coefficient is positive, you can say there is a positive correlation between the x-data and the y-data. This means that as the x values increase, you expect the y values to increase also.
- Because the correlation coefficient is very close to +1, the x-data and y-data are very closely connected. If you were to graph these points, you would see that they form a very good approximation of a straight line.

1

Search the Internet for correlation calculators. Measuring correlation is a fairly standard calculation for statisticians. The calculation can become very tedious if done by hand for large data sets. As a result, many sources have made correlation calculators available online. Use any search engine and enter the search term “correlation calculator.”
2
Enter your data. Carefully review the instructions on the website so you will enter your data properly. It is important that your data pairs are kept in order, or you will generate an incorrect correlation result. Different websites use different formats to enter data.
- For example, at the website http://ncalculators.com/statistics/correlation-coefficient-calculator.htm, you will find one horizontal box for entering x-values and a second horizontal box for entering y-values. You enter your terms, separated only by commas. Thus, the x-data set that was calculated earlier in this article should be entered as 1,2,4,5. The y-data set should be 1,3,5,7.
- At another site, http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coefficient/, you can enter data either horizontally or vertically, as long as you keep the data points in order.
3

Calculate your results. These calculation sites are popular because, after you enter your data, you generally need only to click on the button that says “Calculate,” and the result will appear automatically.

1
Enter your data. Using a handheld graphing calculator, enter your calculator’s statistics function and then select the “Edit” command.^[9]
- Each calculator will have slightly different key commands. This article will give the specific instructions for the Texas Instruments TI-86.
- Enter the Stat function by pressing [2nd]-Stat (above the + key), then hit F2-Edit.
2
Clear any old stored data. Most calculators will keep statistical data until cleared. To make sure that you do not confuse old data with new data, you should first clear any previously stored information.^[10]
- Use the arrow keys to move the cursor to highlight the heading “xStat.” Then press Clear and Enter. This should clear all values in the xStat column.
- Use the arrow keys to highlight the yStat heading. Press Clear and Enter to empty the data from that column as well.
3
Enter your data values. Using the arrow keys, move the cursor to the first space under the xStat heading. Type in your first data value and then hit Enter. You should see the space at the bottom of the screen display “xStat(1)=__,” with your value filling the blank space. When you hit Enter, the data will fill the table, the cursor will move to the next line, and the line at the bottom of the screen should now read “xStat(2)=__.”^[11]
- Continue entering all the x-data values.
- When you complete the x-data, use the arrow keys to move to the yStat column and enter the y-data values.
- After all the data has been entered, hit Exit to clear the screen and leave the Stat menu.
4
Calculate the linear regression statistics. The correlation coefficient is a measure of how well the data approximates a straight line. A statistical graphing calculator can very quickly calculate the best-fit line and the correlation coefficient.^[12]
- Enter the Stat function and then hit the Calc button. On the TI-86, this is [2nd][Stat][F1].
- Choose the Linear Regression calculations. On the TI-86, this is [F3], which is labeled “LinR.” The graphic screen should then display the line “LinR _,” with a blinking cursor.
- You now need to enter the names of the two variables that you want to calculate. These are xStat and yStat.
  - On the TI-86, select the Names list by hitting [2nd][List][F3].
  - The bottom line of your screen should now show the available variables. Choose [xStat] (this is probably button F1 or F2), then enter a comma, then [yStat].
  - Hit Enter to calculate the data.
5

1
Understand the concept of correlation. Correlation refers to the statistical relationship between two quantities. The correlation coefficient is a single number that you can calculate for any two sets of data points. The number will always be something between -1 and +1, and it indicates how closely connected the two data sets tend to be.^[14]
- For example, if you were to measure the heights and ages of children up to the age of about 12, you would expect to find a strong positive correlation. As children get older, they tend to get taller.
- An example of negative correlation would be data comparing a person’s time spent practicing golf shots and that person’s golf score. As the practice increases, the score should decrease.
- Finally, you would expect very little correlation, either positive or negative, between a person’s shoe size, for example, and SAT scores.
2
Know how to find a mean. The arithmetic mean, or “average,” of a set of data is calculated by adding all of the values of the data together, then dividing by the number of values in the set. When you find the correlation coefficient for your data, you will need to calculate the mean of each set of data.^[15]
- The mean of a variable is denoted by the variable with a horizontal line above it. This is often referred to as “x-bar” or “y-bar” for the x and y data sets. Alternatively, the mean may be signified by the lower-case Greek letter mu, μ. To indicate the mean of x-data points, for example, you could write μ_x or μ(x).
- As an example, if you have a set of x-data points (1,2,5,6,9,10), then the mean of this data is calculated as follows:
  - $mu _{x}=(1+2+5+6+9+10)/6$
  - $mu _{x}=33/6$
  - $mu _{x}=5.5$
3
Note the importance of standard deviation. In statistics, standard deviation measures variation, showing how numbers are spread out in relationship to the mean. A group of numbers with a low standard deviation are fairly tightly collected. A group of numbers with a high standard deviation are widely scattered.^[16]
- Symbolically, standard deviation is expressed with either the lower-case letter s or the lower-case Greek letter sigma, σ. Thus, the standard deviation of the x-data is written as either s_x or σ_x.
4
Recognize summation notation. The summation operator is one of the most common operators in mathematics, indicating a sum of values. It is represented by the upper-case Greek letter, sigma, or ∑.^[17]
- As an example, if you have a set of x-data points (1,2,5,6,9,10), then ∑x means:
  - 1+2+5+6+9+10 = 33.

Add New Question

Question

You are given the following information about two variables x and y: Mean(x)= 315 and Mean(y)=1,103. Variance(x)=59 and Variance(y)=156. Covariance(x,y)= -54. Calculate the coefficient of correlation between X and Y. Calculate your answer to two decimal places.

This question raises a higher level of statistics than is addressed in this article. It is possible to calculate the correlation coefficient from the means, variance and covariance, without actually having the original data points to begin with. The relationship is Correlation Coefficient = Covariance / ((Std. Dev. (x) * (Std. Dev. (y)). The standard deviation is the square root of the variance. So, with your data, this simplifies to Corr.Coeff.=-54/sqrt(59)sqrt(156) = -0.56.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Thanks for submitting a tip for review!

Video

Tips

In general, a correlation coefficient higher than 0.8 (either positive or negative) represents a strong correlation; a correlation coefficient lower than 0.5 (again, either positive or negative) represents a weak one.
The correlation coefficient is sometimes called the “Pearson product-moment correlation coefficient” in honor of its developer, Karl Pearson.

Warnings

Correlation shows that the two sets of data are connected in some way. However, be careful not to interpret this as causation. For example, if you compare people’s shoe sizes and their height, you will probably find a strong positive correlation. Taller people generally have larger feet. However, this does not mean that growing tall causes your feet to grow, or that large feet cause you to grow tall. They just happen together.

References

About This Article

Article SummaryX

To find the correlation coefficient by hand, first put your data pairs into a table with one row labeled “X” and the other “Y.” Then calculate the mean of X by adding all the X values and dividing by the number of values. Calculate the mean for Y in the same way. Next, use the formula for standard deviation to calculate it for both X and Y. Finally, use the means and standard deviations and the number of pairs in your data set as inputs to the correlation coefficient formula, and solve the resulting equation. To learn how to find the correlation coefficient with an online calculator or your own graphing calculator, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 203,967 times.

Did this article help you?

Источник

Корреляция — степень связи между 2-мя или несколькими независимыми явлениями.

Корреляция бывает положительной и отрицательной.

Положительная корреляция (прямая) возникает при одновременном изменении 2-х переменных величин в одинаковых направлениях (в положительном или отрицательном). Например, взаимосвязь между количеством пользователей, приходящих на сайт из поисковой выдачи и нагрузкой на сервер: чем больше пользователей, тем больше нагрузка.

Корреляция отрицательна (обратная), если изменение одной величины приводит противоположному изменению другой. Например, с увеличением налоговой нагрузки на компании уменьшается их прибыль. Чем больше налогов, тем меньше денег на развитие.

Типичные виды корреляции

Эффективность корреляции как статистического инструмента заключается в возможности выражения связи между двумя переменными при помощи коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции (КК) находится в диапазоне чисел от -1 до 1.

При значении КК равным 1, следует понимать, что при каждом изменении 1-й переменной происходит эквивалентное изменение 2-й переменной в том же направлении.

Положительная корреляция концентраций этанола в синовии и крови

Если значение КК равно -1, то при каждом изменении происходит эквивалентное изменение второй переменной в противоположном направлении.

Отрицательная корреляция между показателями результатов в беге на 100 м с барьерами и прыжками в длину

Чем ближе корреляция к -1 или 1, тем сильнее связь между переменными. При нулевом значении (или близким к 0) значимая связь между 2-мя переменными отсутствует или очень минимальна.

Интерпретация значений коэффициента корреляции

Значение	Интерпретация
до 0,2	Очень слабая
до 0,5	Слабая
до 0,7	Средняя
до 0,9	Высокая
свыше 0,9	Очень высокая корреляция

Данный метод обработки статистической информации популярен в экономических, технических, социальных и других науках в виду простоты подсчета КК, простотой интерпретации результатов и отсутствия необходимости владения математикой на высоком уровне.

Корреляционная зависимость отражает только взаимосвязь между переменными и не говорит о причинно-следственных связях: положительная или отрицательная корреляция между 2-мя переменными не обязательно означает, что изменение одной переменной вызывает изменение другой.

Например, есть положительная корреляция между увеличением зарплаты менеджеров по продажам и качеством работы с клиентами (повышения качества обслуживания, работа с возражениями, знание положительных качеств продукта в сравнении с конкурентами) при соответствующей мотивации персонала. Увеличившийся объем продаж, а следовательно и зарплата менеджеров, вовсе не означает что менеджеры улучшили качество работы с клиентами. Вполне вероятно, что случайно поступили крупные заказы и были отгружены или отдел маркетинга увеличил рекламный бюджет или произошло еще что-то.

Возможно существует некая третья переменная, влияющая на причину наличия или отсутствия корреляции.

Коэффициент корреляции не рассчитывается:

когда соотношение между двумя переменными не линейное, например, квадратичное;
в данных имеется больше 1-го наблюдения по каждому случаю;
имеются аномальные наблюдения (выбросы, «отщепенцы»);
данные содержат ярко выраженные подгруппы наблюдений.

Источник

Для каждого трейдера важно понимать, что мы работаем с торговыми инструментами, состоящими из пары валют. В отличие от фондового рынка, где, как правило, каждый торговый инструмент это всего лишь одна индивидуальная единица, на Форекс используется измерение стоимости одной валюты в единицах другой. При этом мы не редко можем наблюдать, визуальную схожесть в движении нескольких валютных пар. Это может быть связано с тем, что обе пары могут содержать одну и ту же валюту в обоих случаях. Например, можно говорить о корреляции валютных пар EUR/USD и USD – CHF с отрицательным значением К.

Одним из способов использования корреляции пар в торговле является устранение расхождения инструментов. Например, трейдер выбрал для своей работы две валютные пары, которые коррелируют с К = 0.8. В этом случае, при наблюдении за движением подопытных, человек заметит, что К время от времени меняется, то несколько увеличиваясь, то несколько уменьшаясь. Тем не менее, средние значения коэффициента все равно находятся в диапазоне 0.7<К<0.8.

Как только на рынке наступит ситуация, что К<0.4, например, то это будет означать наличие лишь частичного соответствия в движении обоих инструментов. То есть, при росте одной пары рост другой окажется весьма ограничен. Но, помня о том, что в целом эти инструменты коррелируют с К=0.7 или 0.8, мы можем использовать данный разрыв себе на пользу, открыв позиции в сторону сближения пар.

Нахождение подобных ситуаций и дальнейшее их использование затрудняется непостоянностью значения К. Мы можем не верно толковать новые значения коэффициента, принимая из за ожидаемый нами разрыв, но позже может оказаться, что это новое значение данного коэффициента, которое теперь станет постоянным на определенное время. Существуют специальные корреляционные индикаторы, помогающие трейдерам наблюдать за схождением и расхождением инструментов, а другими словами, за изменениями текущих значений К.

Сложно переоценить значимость коэффициента корреляции в рыночной торговле. Его использование позволяет смотреть на трейдинг более глобально, учитывая движения пар, относительно друг друга. Еще одной областью применения коэффициента стало хеджирование. Желая снизить риски в своей торговле, спекулянты могут проводить хеджирование не только на разных рынках, но и с помощью коррелирующих инструментов. Таким образом, происходит частичное хеджирование.

Для начала разберемся в самой сути такого понятия, как арбитраж. Это несколько логически связанных сделок, направленных на извлечение прибыли из разницы в ценах на одинаковые или связанные активы в одно и то же время на разных рынках (пространственный арбитраж), либо на одном и том же рынке в разные моменты времени (временно́й арбитраж, обычная биржевая спекуляция). Выделяют эквивалентный арбитраж – операции с комбинацией составных или производных активов (опционов, биржевых индексов) и обычных контрактов, когда между теоретически эквивалентными комбинациями на практике возникает разница цен.

Упрощенно арбитраж выглядит следующим образом: торгуются пары или группы инструментов, суммарная стоимость которых должна быть равна определенной величине, исходя из природы инструментов. Например: акции одной и той же компании на различных торговых площадках, группа инструментов входящих в индекс и фьючерс на индекс. При отклонении стоимости корзины от расчетной величины, совершается сделка. Трейдеры-арбитражеры сглаживают дисбаланс цен на родственных» инструментах.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

В первоначальном виде арбитраж возник на заре развития вторичных (региональных) бирж, когда один итот же актив торговался на разных площадках по разным ценам и с 44 каждым годом разрыв этой цены стремительно сокращался, а вместе с ним скорость арбитражных стратегий и их объем.

Сегодня существует в качестве межбиржевого варианта, когда актив торгуется на биржах разных стран, например на токийской и нью-йоркской, лондонской и франкфуртской. А также на NYSE и NASDAQ в качестве арбитража разных активов, например двух-трех акций из одного сектора.

В основе арбитража лежит такое понятие, как корреляция. корреляция, если простыми словами – это взаимосвязь двух или более событий, т.е. когда происходит одно, то вероятно (статистически подтверждено) и другое. Когда-то корреляции на рынке были невыраженными в моменте, они были растянуты во времени. Вот к примеру, как рассуждают экономисты/аналитики: «Если индекс доллара упадет, цена на нефть должна расти…» или «Если индекс SNP упадет, цена на золото должна вырасти или наоборот…», ну это как бы простые причинно-следственные связи. Однако совершенно очевидно, что если все так просто, то все бы с легкостью зарабатывали, чего, как мы все прекрасно знаем, не происходит. Пример самой жесткой корреляции – это пары типа Евро/Доллар. Они намертво связаны между собой. Малейшее изменение цены одного приводит к мгновенному изменению цены другого. Тут, понятно, корреляция обратная и речь идет о торгуемых инструментах, например, на СМЕ. И данная корреляция действительна в обе стороны. Есть же, например, бумаги, которые сами «ничего не решают», но есть у них «старший», который и скажет, куда им «идти». А есть ситуации, в которых таких «старших» два и более, вот тут совсем все интересно становится.

Когда речь заходит о корреляциях, в том смысле, в каком я их понимаю, неизбежно возникает вопрос: «а кто главный (ведущий)?». Для этого введем понятие «Поводырь» – это будет любой торгуемый инструмент, изменение цены которого приведет к какой-либо реакции того, за которым мы наблюдаем (торгуем).

Основные поводыри для Американского фондового рынка следующие (в порядке убывания силы глобального влияния):

1. Фьючерсный контракт на индекс SNP 500 – главный поводырь, самый влиятельный, нет ни одного ликвидного инструмента, на который бы не оказало влияние изменение цены фьючерсного контракта хотя бы на тик, реакция есть всегда. Вопрос о первичности (кто за кем «ходит»), индекс или фьючерс, всегда рождает много споров, но нас, спекулянтов, скальперов, волнует только одно – кто из них быстрее. Я могу ответственно заявить, что фьючерсный контракт – быстрее, изменчивее (в разы) и главнее в данном контексте.

2. Фьючерс на нефть марки Light Sweet – углеводороды, что тут еще сказать. Сильное влияние оказывает на некоторые сектора, на отдельные индустрии, связанные с нефтедобычей и нефтепереработкой, а также на те отрасли, где существенная статья издержек – топливо и ГСМ, например авиакомпании. Сам актив несколько зависим от Индекса доллара.

3. Фьючерсный контракт на золото (и другие драг. металлы) – Au рулит по-прежнему, ибо мировое «золотое плечо» уже вылезло за все допустимые рамки, не дам источник, но цитату приведу: «В мире обещания продать золото, больше в 100 раз, чем самого золота», как-то так. Т.е. это и мерило ценности некоторых валют, и надежный (однако!) для многих актив, и инструмент хеджирования рисков и еще много чего полезного делает. Также как и нефть, оказывает серьезное влияние на компании, занимающиеся золотодобычей, переработкой, реализацией и прочим. Сам по себе поводырь зависим (в моменте) от Индекса доллара.

4. Индекс доллара – с появлением евро все сильнее стал подвержен колебаниям, связанным с проблемами в Еврозоне, также изменчив за счет спекулятивных действий в торгуемой валютной паре евро/доллар. Сам зависим от макроэкономической статистики, стоимости облигаций (и наоборот тоже, тут уже сложный аналитический расклад, который данной статьи никак не касается, тем более, я не аналитик и тем более, не экономист, а спекулянт. Оказывает влияние на многие товарные фьючерсы, расчет по которым ведется в долларах Соединенных Штатов.

Поводырем вторичным (а иногда и первичным) может также являться акция, которая в данный момент самая сильная/слабая в секторе/индустрии, которая сама по себе является более весомой в индексе из всего сектора. Например, если $C (Citigroup) измениться резко в цене на полпроцента, это мгновенно скажется на остальных акциях, связанных с банковской деятельностью и с финансами, не так сильно отразиться на $JPM и $BAC, но точно «дернет» $BBT и $PNC, к примеру, а уж $FAZ и $FAS отреагируют как следует, по взрослому, с резким изменением котировок и объемом. А вот обратное не будет иметь такого влияния. Если $PNC или какой-нибудь банк Испании или Ирландии не обрушиться на пару процентов, то никто из «толстых» не заметит, однако по цепочке может привести к некоей корректировке на графике. Скажем так, $PNC также входит в состав портфеля, торгуемого в виде ETF $FAZ ($FAS), так вот сильное его ($PNC) изменение приведет к неминуемому (но небольшому) изменению цены индекса, что, закономерно, приведет к корректировке даже $C и $BAC, первого на несколько центов, а второго, возможно, ни на сколько, разве стакан уплотниться в «сильную» сторону. Это один из вариантов, комбинаций может быть очень много. На графике видно, как акции вторичные стоят в рэйндже, пока сильнейшие представители сектора «смотрят» в разные стороны, и как послушно они «идут» за всеми, если направление сильных совпадает:

На графике изображены: SPY – SPDR S&P 500 (белая линия), C – Citigroup, Inc., JPM – JP Morganand Co., BAC – Bank of America Corp Corporation, GS – The Goldman Sachs Group, Inc., BBT – BB&T Corporation, PNC – PNC Financial Services Group Inc.

Теперь давайте рассмотрим какой-нибудь самый необычный пример. Вот Авиакомпании. Например $UAL или $DAL или $LCC, не входят в состав индекса SNP 500 и тем более DJIA, однако довольно объемны, имеют высокую капитализацию, в целом привязаны к рынку, как таковому, но главное – зависят от цен на топливо. И не нужно рассказывать, что у них все поставки фьючерсные, с фиксированной ценой на пару лет вперед и прочее, это все так, но откройте их график минутный и понаблюдайте, что происходит, когда нефть очень резко изменяется в цене. А теперь добавьте сюда индекс доллара, который влияет на них самих, т.к. Цены их услуг – они в долларахи сама нефть зависит от него (доллара), ну и SNP 500, который частенько идет в противоход нефти… Вот их (акции авиакомпаний) разрывает в разные стороны. А еще помню день был, когда у $LCC отчет случился и нефть с рынком в разные стороны… Вот остальных трепало! График выглядел интересно. Вот пример за эту неделю, $LCC валится на растущей черного золота и растущем фьючерсе, и отрастает на падающей черного золота (тикер $USO):

На графике изображены: SPY – SPDR S&P 500 (белая линия), USO – United States Oil, UAL – United Continental Holdings, Inc., LCC – US Airways Group, Inc., DAL – Delta Air Lines Inc.

Также, для дальнейшего понимания написанного мною, потребуется ввести еще один термин – «Драйвер», под которым понимается некое событие, которое сильно влияет на поведение торгуемого актива, либо, что немаловажно, поводыря, за которым мы также наблюдаем, это может быть новость в компании, отчет, понижение/повышение рейтинга или новость, касающаяся сектора в целом, макроэкономическая статистика, изменение ставки вложения инвистиций и другие. Т.е. драйверы глобальные влияют на фьючерсные контракты (поводыри, описанные выше), а те, в свою очередь, на торгуемые инструменты и т.д.

Теперь вопрос: почему акции так одинаково ходят и кто за всем этим стоит? Да все, особенно скальперы, роботы-скальперы, люди-скальперы. Роботы-арбитражеры в первую очередь, а также алгоритмы, котирующие акцию (читай маркетмейеры). Ведь иначе невозможно было бы такую массу акций заставить двигаться более менее одинаково, речь, понятно, внутри дня. Потому что, если мы взглянем на большие таймфреймы, то выясниться, что многие сектора живут своей отдельной жизнью. Вот например, график месячный, с 2000 года:

На нем изображены: XLK – Technology Select Sector SPDR, XLF – Financial Select Sector SPDR, XLP – customer Staples Select Sector SPDR, XLE – energy Select Sector SPDR, XLV – Health Care Select Sector SPDR, XLI – Industrial Select Sector SPDR, XLB – Materials Select Sector SPDR, XLU – Utilities Select Sector SPDR, XLY – customer Discret Select Sector SPDR, SPY – SPDR S&P 500 (белая линия).

Ютилитис какие слабенькие. Интересно, они рванут вверх, за ростом фьючерсного контракта или на малейшем его откате шлёпнутся еще ниже? Разброс относительно $SPY приличный. А вот, что на меньших масштабах времени, дневка, за 2012 год:

Действующие лица те же. В общем есть некое понимание, что графики похожи, но одни сильнее рынка в целом, а другие слабее, в абсолютном выражении, при расчете на начало года. Это все глобально, на год, а вот на месяц:

Действующие лица те же. Меня же в торговле интересует арбитраж внутридневной, график – от пятиминутного до минутного:

Или, например, технологический сектор в пятницу (14.09.2012), смотрите, как на откатах фьючерсного контракта вниз они «валяться» и «стоят» на его росте, между прочим – это и есть входы в шорт:

На графике изображены: SPY – SPDR S&P 500 (белая линия), T – AT&T, Inc., VZ – Verizon Communications Inc., XLK – Technology Select Sector SPDR.

Это, что касательно фьючерсного контракта SNP 500 (на графиках, для моего удобства показан не сам фьючерс, а ETF на индекс SNP 500, учитывая, что график – линия, различий нет совсем). А вот пример акций нефтяной индустрии, в сравнении с черным золотом:

На графике изображены: USO – United States Oil, XOM – Exxon Mobil Corporation, SLB – Schlumberger Limited, CVX – Chevron. Или, например, «золотые» акции, в сравнении, понятно, с золотом:

На графике изображены: GLD – SPDR gold Shares, NEM – Newmont mining industry Corp., KGC – Kinross gold Corporation, ABX – Barrick gold Corporation.

Однако, график – одно, а стакан с лентой (LEVEL II + Time & sales) – совсем другое дело (кстати, именно это и позволяет торговать $SPY, опираясь на фьючерс). Показать в картинках, что происходит и какая реакция – сложно, потому распишу немного словами. Что можем видеть на ведомых, если на ведущих есть большое движение? В первую очередь – изменение котировки без сделок, оно и понятно, акции скоррелированы, а торговать-то некому, ибо акции не первого эшелона, но машинки-котировщики будут исправно двигать биды с оферами, в след за «старшим» братом, держа при этом некий спред, обычно больше 3-4 ц. Если же движение общее, не только на сильных акциях, а на всем рынке в целом, то может произойти сильное движение, с объемом, и с еще большим расширением спреда в противоположную от него (движения) сторону. Например, нефть ($USO) улетела вверх на полпроцента за секунду, в $SLB будет расширен спред в сторону оферов (ASK), чтобы продать повыше, а потом закрыться пониже, поднимая биды (BID). Это один из десятков сценариев, понятно, что всегда есть вариации, но уловить общее можно, если тщательно понаблюдать и проанализировать поведение акций и их поводырей.

Стиль торговли таким образом называется «арбитраж», торгуется, как правило, минимум два инструмента, причем часто в разные стороны, но можно торговать один, рассматривая другие инструменты, как поводырей. Стиль сегодня очень роботизирован, но и для «мануальных скальперов» еще есть место.

Сложим все варианты арбитража в одну табличку и определим четыре варианта действий (простым языком, не пинайте, но так понятно всем будет): что отросло и главное – продавать, а что недоросло – покупать; что упало и главное – покупать, а что недоупало – продавать; что отросло и главное – не трогать, а что недоросло – продавать; что упало и главное – не трогать, а что недоупало – покупать.

Имея ввиду торговлю одного инструмента, чаще поступают так, торгуя по тренду сектора (индустрии): что не главное и отросло сильно – продавать, в случае, когда главное – «стоит и смотрит» вниз (было на вебинаре, кто помнит, $TCK); что не главное и упало сильно – покупать, в случае, когда главное – «стоит и смотрит» вверх.

Еще более кратко сам процесс можно описать так: определяем глобально (по секторам), кто сильный, кто слабый – по дневке; смотрим внутри сектора (на дневках) между акциями тоже самое; смотрим внутри дня на акции (по тренду сектора), опираясь на фьючерсный контракт (+ другие поводыри).

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Теперь, как определить «главного» в секторе/индустрии. Те, кто первый в столбце, те и рулят, как правило. НО!!! В случае, если нет глобальных новостей по сектору или если нет отчетов у разных акций из этого сектора. Т.е. их главенство имеет место быть в самый скучный понедельник, а не в день статистики, запасов газа, безработицы да еще с отчетом старших акций.

Вычисление коэффициента корреляции портфеля

Итак, перейдем к вычислению средней доходности, дисперсии и стандартного отклонения для портфеля акций, состоящего на 60% из акций А и на 40% из акций В. Мы предполагаем, что доходность по каждой из акций А и В – это случайные величины Rа и Rв. Среднее значение доходности акции А равно 10%, со стандартным отклонением 8,66%. Среднее значение доходности акции В равно 15%, со стандартным отклонением 12%.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Теперь нас интересует, каково будет среднее значение доходности портфеля и стандартное отклонение для портфеля. Вопрос средней доходности портфеля решается просто. А вот стандартное отклонение – показатель уровня изменчивости доходности портфеля, не отражает средней изменчивости доходности его компонентов (акций). Причина в том, что диверсификация снижает изменчивость, так как цены различных акций изменяются неодинаково. Во многих случаях снижение стоимости одной акции компенсируется ростом цены на другую.

Ожидаемая доходность нашего портфеля равна средневзвешенной ожидаемых значений доходностей отдельных акций:

Для того, чтобы найти дисперсию и стандартное отклонение доходности портфеля, мы должны знать значения ковариации акций А и В. Ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух акций. Общая формула вычисления ковариации:

Из формулы видно, что ковариация любой акции с ней самой равна ее дисперсии. В задачах, значение ковариации двух активов будет дано. Или, вместо нее будет дано значение коэффициента корреляции – безразмерной величины, которая стандартизует ковариацию для облегчения сравнения, и принимает значения от -1 до 1. Пусть нам дано, что коэффициент корреляции акций А и В равен 0,7. Формула коэффициента корреляции:

В большинстве случаев, изменение акций происходит в одном направлении. В этом случае коэффициент корреляции и, соответственно, ковариация, положительны. Если акции изменяются соверженно не связанно, тогда коэффициент корреляции и ковариация равны нулю. Если акции изменяются в противоположных направляения – коэффициент корреляции и ковариация отрицательны. Для нахождения дисперсии портфеля, нам надо заполнить матрицу:

Эта матрица очень похожа на матрицу ковариаций. Заполнив матрицу, надо просто сложить полученные в ней величины и найдем дисперсию портфеля:

Вычислим дисперсию портфеля:

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то есть:

Легко подсчитать, что только в том случае, если коэффициент корреляции двух акций равен +1, то стандартное отклонение портфеля равно средневзвешенному стандартных отклонений доходности отдельных акций:

Если же коэффициент корреляции равен -1, то стандартное отклонение портфеля равно:

и можно было бы добиться, изменяя пропорции X1 и X2 акций в портфеле, чтобы стандартное отклонение портфеля было равно нулю. К сожалению, в реальности, отрицательная корреляция акций практически не встречается.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Применение линейного коэффициента корреляции в трейдинге

Коллеги, добрый день! В настоящей статье я хочу предложить вашему вниманию небольшое исследование, посвященное одному из статистических показателей – линейному коэффициенту корреляции. А также поделюсь некоторыми соображениями по его применению в трейдинге на примере акций Лукойла.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Для начала позвольте небольшой экскурс в историю возникновения показателя корреляции (да возблагодарим Википедию!): Корреляция (корреляционная зависимость) – статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение либо коэффициент корреляции. В случае, если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической.

Впервые в научный оборот термин «корреляция» ввёл французский палеонтолог Жорж Кювье в XVIII веке. Он разработал «закон корреляции» частей и органов живых существ, с помощью которого можно восстановить облик ископаемого животного, имея в распоряжении лишь часть его останков. В статистике слово «корреляция» первым стал использовать английский биолог и статистик Фрэнсис Гальтон в конце XIX века.

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором – также и ее направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция – корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. Положительная корреляция в таких условиях – это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной. Возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи – например, для независимых случайных величин.

Линейный коэффициент корреляции (далее ЛКК) (коэффициент корреляции Пирсона), который разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон в 90-х годах XIX века. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах [-1…+1]. Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: контроль качества промышленной продукции, металловедение, агрохимия, гидробиология, биометрия и прочие. В различных прикладных отраслях приняты разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи.

Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных.

Итак, коллеги, ЛКК определяет: во-первых, наличие связи между двумя потоками данных, во-вторых, силу этой связи (сила связи определяется приближением абсолютного значения ЛКК к единице), в-третьих, направление этой связи (прямая – ЛКК больше единицы или обратная – ЛКК меньше единицы). Важным и необходимым условием для расчета ЛКК является наличие двух одинаковых по количеству данных потоков данных. Так же в общем случае считается, что значения ЛКК можно считать достоверным, если в расчете участвует поток из более, чем 30 пар данных.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

В Excel расчет значения ЛКК реализован через функцию «КОРРЕЛ()». Пример наличия корреляции: Положительная корреляция: температура окружающего воздуха и продажи летней одежды. Чем теплее на улице, тем больше покупаем летних вещей. Рост температуры – рост продаж. Отрицательная корреляция: та же самая температура окружающего воздуха, но продажи уже зимней одежды. Чем холоднее на улице, тем больше покупаем зимних теплых вещей. Снижение температуры – рост продаж.

Примеры применения ЛКК в трейдинге. Области применения ЛКК в трейдинге достаточно широки. Например, долго считалось, что при падении фондовых рынков в целом растет спрос на золото. То есть между динамикой фондовых рынков и динамикой цен на золото существует обратная корреляционная зависимость. Другой пример. Рост котировок нефти и рост рынков, вес «нефтянки» в которых высок и является значимым. К таким рынкам относится и фондовый рынок России. Но в последние несколько лет, а именно в основном начиная с 2007 года, такие зависимости явно изменились. И либо сильно ослабли, либо исчезли совсем.

У приведенных выше примеров есть одна общая особенность: они построены строго на двух потоках данных, как того и требует формула расчета ЛКК. Тем не менее, в одной из книг, посвященных теории управления капиталом (а именно, Р.Винс «Математика управления капиталом») я нашел интересный подход к построению ЛКК на массиве, состоящем только из одного потока данных. Это может быть, например, непрерывный поток исходов в системных сделках или поток цен какой-то одной акции. О таком методе построения ЛКК ниже.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Торговая стратегия, построенная на коэффициенте корреляции

Итак, давайте исследуем, например, поток цен на акции Лукойла (LKOH). Составим поток из недельных свечей. Мне удалось найти архив, начиная с 01.01.2001 и по сей день, то есть поток из почти 600 недельных свечей за десять с половиной лет. Исследовать будем не свечи в целом, а, например, максимальные цены в каждой свечей. Таким образом, перед нами непрерывный поток из 600 данных – максимальные цены в каждой торговой неделе, начиная с 01 января 2001 года. Кроме этих данных, пока никакие другие данные нам не нужны.

На рисунке показана динамика максимальных недельных цен в акциях LKOH. Расчет ЛКК должен дать ответы на вопросы: Есть ли зависимость между максимальными ценами двух любых соседних недель. Если зависимость есть, то какова ее направленность? Коллеги, если упростить, то вопрос можно сформулировать так: Если на истекшей неделе Лукойл обновил свой недельный максимум по сравнению с предыдущей неделей, то можем ли мы ожидать продолжения роста и на будущей неделе? Для расчета ЛКК поток данных требует некоторой трансформации. Составим таблицу:

В таблице на рисунке в последнем столбце, построенном на основе данных столбца «High цена», логика расчета следующая: если максимум текущей недели выше, чем максимум предыдущей недели, то в ячейке стоит значение 1. В противном случае значение равно 0. Таким образом, поток цен преобразован в поток единиц и нулей. Далее произведем расчет ЛКК на основе данных столбца «Обновление High цены». Поскольку для расчета ЛКК необходимо два потока данных, то сделаем следующее:

Как видно из рисунка, поток 2 «сдвинут» относительно потока 1 на один период. Таким образом, из одного потока данных получено два. И теперь смысл расчета ЛКК заключается в выяснении связи между двумя соседними значениями выборки. В нашем случае – максимальными ценами соседних недель (текущей и предыдущей). Теперь собственно по расчету ЛКК. Расчет произведем двумя способами: Охватим весь период выборки (600 недель).

Начиная с 30й недели выборки (август 2001 года) для каждой недели рассчитаем значение ЛКК по последним 30 неделям. То есть для каждой недели рассчитаем т.н. «скользящее» значение ЛКК с периодом n=30 (по аналогии со скользящей средней), поскольку при n>30 в общем случае значение ЛКК считается значимым. Результаты расчетов отражены на рисунке:

Выводы по рисунка: На протяжении всего периода выборки у акций Лукойла наблюдается неярко выраженная положительная корреляция между максимальными ценами соседних недель (красная линия графика с ЛКК = +0,1). То есть факт обновления максимальной цены на текущей неделе по сравнению с предыдущей позволяет сделать предположение о том, что на следующей неделе в сравнении с текущей вероятность обновления максимума выше вероятности НЕобновления максимума.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

ЛКК, построенное по последним 30 неделям (синяя линия на графике), изменяется в диапазоне от -0,35 (сильная отрицательная корреляция) до +0,6 (очень сильная положительная корреляция). Самый продолжительный период, в течение которого корреляция между недельными максимумами была положительная – это период с мая 2004 года до августа 2007 года. В этот период обновление максимумов на прошлой неделе в большинстве случаев приводило к обновлению максимумов в течение текущей недели. Именно в этот период акции Лукойла агрессивно росли.

Самый продолжительный период, в течение которого корреляция между недельными максимумами была отрицательная – это период с августа 2007 года по июль 2011 года. В этот период недельной обновление максимумов на прошлой неделе в большинстве случаев не приводило к обновлению максимумов в течение текущей недели. И наоборот, НЕобновление недельных максимумов в течение текущей недели в большинстве случае приводило к росту на следующей неделе. В этот период акции Лукойла «запилило» от максимумов весной 2008 года до низов в июле 2009 года.

В точках, где синяя линия находится выше красной, корреляция между недельными максимумами выше средней за период и имеет прямую направленность. В таких точках при обновлении недельных максимумов на текущей неделе наиболее вероятно обновление максимумов в течение следующей недели. В точках, где синяя линия находится ниже красной, корреляция между недельными максимумами ниже средней за период и имеет в основном обратную направленность. В таких точках, в отличие от ситуации п.5, наиболее вероятно обновление максимумов в течение следующей недели при НЕобновлении недельных максимумов текущей недели.

Коллеги, на основании последних двух выводов у меня сформировалась идея тестирования стратегии, построенной на принципах такого парного корреляционного эффекта.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Торговля ациями по коэффициенту корреляции

Стратегия, построенная на принципах автокорреляции. Общее описание стратегии. Принципы стратегии: тестируемый инструмент – акции Лукойла (LKOH) на недельном ТФ за период с 01.01.2001 по 31.07.2012; типы совершаемых сделок – исключительно Long; время удержания позиции – вход на Open недельной свечи, выход на Close этой же свечи. Таким образом, удержание позиции строго в течение торговой недели без ухода в бумагах на выходные; внешние факторы – цены на нефть, мировые новости, динамика западных рынков и проч. – не учитываются; внутренние факторы – внутрикорпоративные новости, дивидендные отсечки и проч. – не учитываются.

Принципы формирования сигналов: Методом тестирования определяется некое критическое скользящее значение линейного коэффициента корреляции (далее – ЛККкр) по 30 периодам. Покупка Вариант 1. Если текущее значение ЛКК ВЫШЕ критического значения и на текущей неделе ПРОИЗОШЛО обновление максимума по сравнению с прошлой неделей, то на Open следующей недели происходит покупка. Срок удержания позиции – не позднее Close недели открытия позиции.

Покупка Вариант 2. Если текущее значение ЛКК НИЖЕ критического значения и на текущей неделе НЕ ПРОИЗОШЛО обновление максимума по сравнению с прошлой неделей, то на Open следующей недели происходит покупка. Срок удержания позиции – не позднее Close недели открытия позиции. Во всех остальных случаях – вне позиции (cash). Таким образом, для принятия решения о входе/невходе в позицию необходима информация о максимальных ценах последних 30ти недель. И ничего более сверх этого.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Само решение принимается в промежутке между закрытием торговой недели и открытием следующей торговой недели. В случае формирования торгового сигнала трейдеру необходимо находиться в рынке утром первого дня торговой недели для открытия позиции и вечером последнего дня торговой недели для выхода из бумаг. Для тестирования такой стратегии вполне хватило возможностей Excel. У недельного Лукойла критическим значением ЛКК оказалось значение 0,15. Приведу пару примеров для иллюстрации:

Пример 1.

Сигнал от 25.06.12. В данном случае выполнены оба условия покупки: ЛККкр=0,1855 (>0,15) и обновлен максимум предыдущей недели (1805 руб. > 1765 руб.). На основании этого на Open свечи 02.07.12 совершена покупка по 1804 руб. Позиция закрыта на Close свечи 02.07.12, то есть 06.07.12, по цене 1825 руб. Рентабельность сделки составила +1,2% при периоде удержания позиции 5 сессий.

Сигнал от 02.07.12. В данном случае так же выполнены оба условия покупки: ЛККкр=0,2472 (>0,15) и обновлен максимум предыдущей недели (1857 руб. > 1805 руб.). На основании этого на Open свечи 09.07.12 совершена покупка по 1826 руб. Позиция закрыта на Close свечи 09.07.12, то есть 13.07.12, по цене 1818 руб. Рентабельность сделки составила -0,4% при периоде удержания позиции 5 сессий.

Пример 2.

Сигнал от 07.05.12. В данном случае выполнены оба условия покупки: ЛККкр=0,1098 (<0,15) и НЕ обновлен максимум предыдущей недели (1700 руб. < 1802 руб.). На основании этого на Open свечи 14.05.12 совершена покупка по 1684 руб. Позиция закрыта на Close свечи 14.05.12, то есть 18.05.12, по цене 1594 руб. Рентабельность сделки составила -5,4% при периоде удержания позиции 5 сессий.

Сигнал от 14.05.12. В данном случае выполнены оба условия покупки: ЛККкр=0,1258 (<0,15) и НЕ обновлен максимум предыдущей недели (1684 руб. < 1700 руб.). На основании этого на Open свечи 21.05.12 совершена покупка по 1602 руб. Позиция закрыта на Close свечи 21.05.12, то есть 25.05.12, по цене 1639 руб. Рентабельность сделки составила +2,3% при периоде удержания позиции 5 сессий.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Сигнал от 21.05.12. В данном случае выполнены оба условия покупки: ЛККкр=0,1336 (<0,15) и НЕ обновлен максимум предыдущей недели (1602 руб. < 1684 руб.). На основании этого на Open свечи 28.05.12 совершена покупка по 1647 руб. Позиция закрыта на Close свечи 28.05.12, то есть 01.06.12, по цене 1742 руб. Рентабельность сделки составила +5,8% при периоде удержания позиции 5 сессий.

Back-testing стратегии. В данном разделе приведу результаты тестирования стратегии в сравнении со стратегией «Buy&Hold» (B&H).

На рисунке показана динамика дохода тестируемой стратегии в сравнении с принципом B&H. За точку отчета (0%) принята цена акций Лукойла в начале января 2001 года (270 руб.). Как видно, принцип B&H опережал стратегию в течение 2001-2008 гг. Падение ранка в 2008 году сравняло результаты обоих стратегий до уровня примерно +200% к старту. Затем, начиная с 2009 года, обе стратегии показали примерно одинаковые результаты и на сегодня корреляционная стратегия незначительно опережает по доходности принцип B&H.

Как видно из профилей графиков, волатильность (риск) принципа B&H гораздо выше волатильности тестируемой стратегии. Размер среднегодовой доходности тестируемой стратегии составляет 20% годовых на всем периоде тестирования.

Риск-менеджмент, основанный на коэффициенте корреляции

Покупка по Варианту 1 (ЛККкр >0,15 + новый максимум)

Из 600 недель тестового периода сигналы по Варианту 1 возникли в 109 случаях (19% потока или каждая пятая неделя). Из 109 сигналов 74 отработали в плюс (68%, или два из трех сигналов). Средний результат положительного исхода равен по модулю среднему результату отрицательного исхода (38 руб./акция) Общий положительный результат потока сигналов сформирован за счет превышения в 2 раза количества положительных исходов над отрицательными исходами.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

С учетом частоты распределения положительных и отрицательных исходов расчет математического ожидания выглядит следующим образом: Размер ожидаемого успеха +26 руб./акция, Размер ожидаемого убытка -13 руб./акция, Общий ожидаемый результат +13 руб./акция, Размер среднеквадратичного отклонения исходов сигналов составляет 24 руб./акция. Диапазон колебаний исходов сигналов находится в пределах [-11 руб.;+38 руб.], Максимальная серия подряд убыточных сигналов составила 2 сигнала с максимальным риском не более 178 руб./акция. В нынешних ценах это около 9% торгового депозита.

Покупка по Варианту 2 (ЛККкр <0,15 + нет нового максимума)

Фактически покупки по варианту 2 – это покупки против падения рынка. Поэтому показатели риска и волатильности выше, нежели по варианту 1. Из 600 недель тестового периода сигналы по Варианту 2 возникли в 190 случаях (33% потокаили каждая третья неделя). Из 190 сигналов 91 отработали в плюс (48% или половина сигналов). Средний результат положительного исхода равен +66 руб./акция, а отрицательного исхода -50 руб./акция. Общий положительный результат потока сигналов сформирован за счет превышения размера средней прибыли над средним убытком.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

С учетом частоты распределения положительных и отрицательных исходов расчет математического ожидания выглядит следующим образом: Размер ожидаемого успеха +32 руб./акция, Размер ожидаемого убытка -26 руб./акция, Общий ожидаемый результат +6 руб./акция, Размер среднеквадратичного отклонения исходов сигналов составляет 49 руб./акция. Диапазон колебаний исходов сигналов находится в пределах [-44 руб.;+55 руб.], Максимальная серия подряд убыточных сигналов составила 6 сигналов с максимальным риском 187 руб./акция. В нынешних ценах это около 10% торгового депозита. Стратегия в целом:

Из 600 недель тестового периода сигналы по стратегии в целом возникли в 299 случаях (53% потока или каждая вторая неделя). Из 299 сигналов 165 отработали в плюс (55% или более половины сигналов). Средний результат положительного исхода равен +53 руб./акция, а отрицательного исхода -47 руб./акция. Общий положительный результат потока сигналов сформирован как за счет превышения количества положительных исходов над отрицательными исходами, так и за счет превышения размера средней прибыли над средним убытком.

С учетом частоты распределения положительных и отрицательных исходов расчет математического ожидания выглядит следующим образом: Размер ожидаемого успеха +29 руб./акция, Размер ожидаемого убытка -21 руб./акция, Общий ожидаемый результат +8 руб./акция, Размер среднеквадратичного отклонения исходов сигналов составляет 55 руб./акция. Диапазон колебаний исходов сигналов находится в пределах [-47 руб.;+63 руб.], Максимальная серия подряд убыточных сигналов составила 6 сигналов с максимальным риском 187 руб./акция. В нынешних ценах это около 10% торгового депозита при доходности 20% годовых.

В целом стратегия показала неплохой тренд-следящий результат, а так же оказалась достаточно устойчива в условиях падения 2008 года. Особенно, если учесть усилия трейдера по следованию сигналам. Коллеги, за сим пока все по описанию линейной корреляции и ее применении в трейдинге.

Коэффициент корреляции валютных пар

Рассмотрим такое явление, как межвалютная корреляция на Форексе. Данная методика может существенно повысить понимание рыночных процессов, а также улучшить качество ваших краткосрочных и среднесрочных прогнозов. Существует две разновидности межвалютной корреляции, которые могут помочь в работе трейдера. Рассмотрим подробнее.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Корреляция – это статистический термин, означающий наличие взаимосвязанных тенденций изменений между двумя рядами данных. В нашем случае Валютная корреляция – это взаимосвязь между историческими данными курсов одной валютной пары. Или изменения курса одной пары могут быть взаимосвязанными с изменениями другой пары. Данная взаимосвязь чаще всего имеет фундаментальное экономическое обоснование и уходит корнями в особенности всемирного хозяйства. Проще говоря, есть две валютных пары: A/B и C/D. Если между ними есть корреляция, при росте курса A/B может стабильно наблюдаться или рост кусра C/D (тогда это прямая корреляция) или его падение (тогда корреляция буде обратной).

Выше мы говорили о двух разновидностях. Это скользящая и прямая корреляция. Прямая корреляция валютных пар – явление, полезное для повышения точности прогнозов. Даже торгуя на одном инструменте, вы можете повысить точность прогнозирования, применяя анализ нескольких валютных пар. Вернемся к нашим A/B и C/D, допустим, вы торгуете инструментом A/B. Известно, что эти валютные пары в прямой корреляции, то есть вверх и вниз идут синхронно. Ваш технический анализ показал, что пара A/B должна падать. Соответственно, если теханализ пары C/D говорит об обратном, есть повод усомниться в достоверности сигнала. Если же всё совпало, – вы можете с большей уверенностью открывать позицию. Получается, зная взаимосвязи, можно уменьшить количество случайных сигналов. Однако нужно помнить, что корреляционный анализ работает на относительно больших масштабах (в лучшем случае на часовых или получасовых графиках). Если ваша торговая стратегия базируется на «минутках», эти данные могут только помешать.

Следующий вид корреляции – скользящая. Суть в том, что взаимосвязь проявляется на сдвинутом по временной шкале наборе данных. То есть изменение курса пары A/B сейчас является предвестником изменения пары C/D в будущем. Если собрать информацию, достаточно детальную для формирования торговой стратегии, наличие таких корреляций может очень существенно повысить точность. Фактически, у вас появляется инструмент базового прогнозирования курса.

Как анализировать корреляцию?

Чтобы отыскать корреляционную связь, можно пользоваться существующими утилитами из Интернета (которые не сложно найти в Гугле по запросу «корреляция валют форекс») или делать всё руками, в старом добром экселе. Там есть такая замечательная функция КОРРЕЛ, которая показывает корреляцию двух выбранных множеств данных. Берем курсы нескольких инструментов, копируем исторические данные в Эксель и ищем корреляцию. Чтобы искать прямую корреляцию, необходимо выделять два совпадающих по временному промежутку набора данных. Чтобы искать скользящую взаимосвязь, сдвигаем множество вправо или влево на несколько периодов. Корреляция более 0.5 свидетельствует о прямой взаимосвязи, менее 0.5 – об обратной взаимосвязи, в пределах от -0.5 до 0.5 – об отсутствии взаимосвязи. Эти границы более чем условны, следует проверять их на практике…

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Для того чтобы легче было понять взаимосвязи и соотношение с числом коэффициента корреляции я подготовил рисунки, которые наглядно показывают коэффициент и визуальное сходство двух рядов. В качестве примера взяты рад косинуса и зашумлённый ряд косинусоиды, от амплитуды зашумления зависит коэффициент корреляции:

А здесь пример обратной корреляции валют. Как видим когда одна расчёт другая падает! Как EUR/USD и USD – CHF:

Текущая корреляция наиболее популярных валютных пар. Нужно понимать, что корреляция между валютами не является постоянной, рынок постоянно меняется. Приведенные здесь данные являются примерными, точную информацию нужно рассчитывать самостоятельно. Рассмотрим, как коррелирует с другими инструментами наиболее популярный среди трейдеров инструмент EUR/USD: прямая корреляция с: AUD – USD, BP/USD, NZD – USD; обратная корреляция с: USD-JPY, USD / CHF, USD – CAD.

Еще один любимый нашими трейдерами инструмент – «йенадоллар», USD/JPY. Взгялем на него: прямая: Доллар / Франк, USD / CAD; обратная: EUR/USD, AUS/USD,GBP/USD,NZD/USD. Что касается скользящей корреляции, ловить ее довольно сложно. К примеру, часто цена на золото опережает или немного отстает от GBP – USD. Но такую взаимосвязь нужно рассчитывать чуть ли не для каждого отдельного торгового дня.

Изменение коэффициента корреляции ценовых графиков

В качестве примера корреляции двух пар с положительным К, можно вспомнить о EUR/USD и EUR / JPY. В обоих случаях мы покупаем EUR и продаем вторую валюту. Некоторые пары движутся относительно друг друга, но со временем К может меняться. Например, чтобы определить для своей работы две коррелирующие между собой валютные пары, достаточно найти такую из всего ассортимента, предоставляемого ДЦ, которая бы имела очень низкую волатильность. В 2012 году в качестве такого инструмента вполне могла бы выступать EUR/CHF. Не каждый день ширина ее движения на рынке превышала бы 30 пунктов, что можно считать малой величиной, относительно аналогичных показателей других пар.

Данную валютную пару можно без труда разложить на две пары, используя для этого ту валюту, которая “разбавит” выбранный нами инструмент. Для этого мы берем USD, который позволит представить нам EUR/CHF, как EUR/USD*USD/CHF. Действительно, если перемножить две новых долларовых пары, то в результате мы вновь получаем исследуемую нами EUR/CHF. Данное преобразование говорит о том, что обе пары будут коррелировать между собой, так как их произведение будет демонстрировать значения пары EUR/CHF, а они относительно малы, о чем говорили в самом начале примера.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Для уверенной торговли необходимо иметь четкое представление не только об особенностях отдельных инструментов торговли, но и об их взаимодействии друг с другом. Существуют целые торговые стратегии, построенные с использованием К. Могут применяться даже наложения одного ценового графика на другой, для выявления аналогий в движениях цены. Коэффициент может периодически рассчитываться заново, учитывая последние изменения в поведении ценовых графиков.

Коэффициент корреляции в анализе инвестиционного портфеля

Согласно Марковицу, любой инвестор должен основывать свой выбор исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении при выборе портфеля. Таким образом, осуществив оценку различных комбинаций портфелей, ондолжен выбрать “лучший”, исходя из соотношения ожидаемой доходности и стандартного отклонения этих портфелей. При этом соотношение доходность-риск портфеля остается обычным: чем выше доходность, тем выше риск.

Также, прежде чем приступить к формированию портфеля, необходимо дать определение термину “эффективный портфель”. Эффективный портфель – это портфель, который обеспечивает: максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска, или минимальный уровень риска для некоторой ожидаемой доходности.

В дальнейшем будем находить эффективные портфели в среде Excel в соответствии со вторым принципом – с минимальным уровнем риска для любой ожидаемой доходности. Для нахождения оптимального портфеля необходимо определить допустимое множество соотношений “риск-доход” для инвестора, которое достигается путем построения минимально-дисперсионной границы портфелей, т.е. границы, на которой лежат портфели с минимальным риском при заданной доходности.

граница src=”/pictures/investments/img1996892_Minimalno_dispersionnaya_granitsa.gif” style=”width: 600px; height: 373px;” title=”Минимально – дисперсионная граница” />

На рисунке выше жирной линией отображена “эффективная граница”, а большими точками отмечены возможные комбинации портфелей.

Эффективная граница – это граница, которая определяет эффективное множество портфелей. Портфели, лежащие слева от эффективной границы применить нельзя, т.к. они не принадлежат допустимому множеству. Портфели, находящиеся справа (внутренние портфели) и ниже эффективной границы являются неэффективными, т.к. существуют портфели, которые при данном уровне риска обеспечивают более высокую доходность, либо более низкий риск для данного уровня доходности.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Для построения минимально-дисперсионной границы и определения “эффективной границы” нам будут необходимы значения ожидаемых доходностей, рисков (стандартных отклонений) и ковариации активов. Имея эти данные можно приступить к нахождению “эффективных портфелей”.

Начнем с расчета ожидаемой доходности портфеля по формуле:

где Хi – доля i-ой бумаги в портфеле, E(ri) – ожидаемая доходность i-ой бумаги. А затем определим дисперсию портфеля, в формуле которой используется двойное суммирование:

И как следствие найдем стандартное отклонение портфеля, которое является квадратным корнем из дисперсии. Для наглядности приведем пример построения эффективной границы при помощи Microsoft Excel, а точнее при помощи встроенного в него компонента Поиск решения.

Зададим долю каждого актива в нашем первоначальном портфеле пропорционально их количеству. Следовательно, доля каждого актива в портфеле составит 1/3, т.е. 33%. Общая доля должна равняться 1, как для портфелей,в которых разрешены “короткие” позиции, так и для тех, в которых запрещены. Сам Марковиц запрещает открывать “короткие” позиции по активам, входящим в портфель, однако современная портфельная это разрешает. Если “короткие” позиции разрешены, то доля по активу будет отображена как -0.33 и средства, вырученные от его продажи, должны быть вложены в другой актив, таким образом, доля активов в портфеле в любом случае будет равняться 1.

Рассчитаем ожидаемую доходность, дисперсию и стандартное отклонение средневзвешенного портфеля:

Как видно из таблицы, для определения дисперсии портфеля нужно просто просуммировать данные в ячейках B19-D19, а квадратный корень из значения ячейки C21 даст нам стандартное отклонение портфеля в ячейке C22. Произведение долей бумаг на их ожидаемую доходность даст нам ожидаемую доходность нашего портфеля, которая отражена в ячейке C23. Окончательный результат средневзвешенного портфеля представлен ниже.

Средняя (ожидаемая) месячная доходность средневзвешенного портфеля 0,28% при риске 6,94%. Теперь можноприменить тот самый второй принцип, о котором было написано выше, т.е. обеспечить минимальный риск при заданном уровне доходности. Для этого воспользуемся функцией «Поиск Решений» из меню «Сервис». Если нет, значит надо открыть «Сервис» выбрать «Надстройки» и установить «Поиск решений». Запускаем «Поиск решений», в пункте «Установить указанную ячейку» указываем ячейку С22, которую будем минимизировать за счет изменения долей бумаг в портфеле, т.е. варьированием значений в ячейках A16-A18. Далее надо добавить два условия, а именно:

– сумма долей должна равняться 1, т.е. ячейка A19 = 1;

– задать доходность, которая нас интересует, к примеру, доходность 0.28% (ячейка С23), которая получилась при расчете средневзвешенного портфеля.

Так как мы запрещаем наличие “коротких” позиций по бумагам в меню «Параметры» надо установить галочку «Неотрицательные значения». Вот так должно выглядеть:

В результате мы получаем:

Итак, задав «Поиск решений» найти минимальное стандартное отклонение при заданной ожидаемой доходности в 0,33% мы получили оптимальный портфель, состоящий на 83% из РАО ЕЭС, на 17% из Лукойла и на 0% из Ростелекома. Несмотря на то, что уровень доходности тот же, что и при средневзвешенном портфеле, риск снизился.

Парный трейдинг и коэффициент корреляции

Понятие корреляция лежит в основе многих прибыльных торговых стратегий валютного рынка. В качестве примера можно привести парный трейдинг, основанный на корреляции валютных пар, позволяющий получить стабильную высокую прибыль на разных коррелирующих инструментах (об этом мы писали в предыдущих статьях) и торгового робота Octopus Arbitrage, его реализующего. В этой статье мы попытаемся просто и доступно объяснить суть корреляции и показать, как это можно применить на практике для парного трейдинга.

Почему было решено посвятить этой теме отдельную статью? Дело вот в чем. Несмотря на то, что корреляция нашла широкое практическое применение, доступное объяснение найти весьма трудно.

Как говорил Альберт Эйнштейн «если ты не можешь объяснить шестилетнему ребенку, чем ты занимаешься, значит, ты шарлатан». К сожалению, математики, пишущие учебные материалы этого принципа не придерживаются. Как только открываешь их талмуды, желая понять достаточно простые вещи, например, корреляция, так на тебя злобно смотрят четырехэтажные формулы, тройные интегралы и двухстраничные доказательства с применением огромного количества матерных слов незнакомых терминов. Самые стойкие засыпают через три минуты прочтения. Менее стойкие – через пять секунд созерцания этой «математической гармонии» создают облако пыли от захлопывающегося талмуда или нажимают крестик в правом верхнем углу экрана.

Корреляция – величина, характеризующая взаимную зависимость двух случайных величин, X и Y, безразлично, определяется ли она некоторой причинной связью или просто случайным совпадением… Итак, что такое корреляция? По сути, корреляция показывает, насколько сильно связаны между собой величины. Если взять две произвольные величины, они могут быть сильно связаны между собой, никак не связаны, или слабо связаны.

Рассмотрим пример. Насколько связаны между собой количество прибыли, которую заработал трейдер за торговую сессию от количества выпитых им чашек кофе за тот же период? Т.е. имеем две величины: количество кружек кофе и прибыль.

Простой и наглядный способ анализа корреляции – загнать эти данные в Microsoft Excel и построить график. Стандартными средствами Excel можно вывести линию тренда, а также коэффициент корреляции R2. Как определяется коэффициент корреляции, поговорим чуть позже, пока лишь скажем, что эта величина изменяется от 0 до 1. При этом 0 – показывает, что связи нет вообще, а 1 – самая сильная связь, какая может быть. Линия тренда при отсутствии связи будет направлена параллельно оси X, при максимально сильной связи – под углом 45 градусов.

Ну что ж, похоже количество выпитого кофе на получение прибыли трейдером не влияет никак. Коэфициент корреляции R2 всего лишь 0,0289, линия тренда почти горизонтальна. Почему так? Возможно, помимо выпитого кофе существует множество факторов, оказывающих куда более существенное влияния на получение прибыли: факторы рынка, работа ДЦ, особенности выбранной торговой стратегии, личные качества трейдера и т.д.

Теперь разберем другой пример. Рассмотрим связь между валютными парами EUR/USD и GBP / USD. Были взяты скользящие средние дневных цен с 2 по 5 декабря 2013 года. Было взято четыре точки для простоты дальнейшего объяснения расчетов. Как правило, для подобных расчетов, точек нужно брать больше.

Теперь, аналогично, предыдущему примеру на основании этих данных построим график в Excel.

Так, здесь видно, что зависимость гораздо сильнее, так как R2 близко к единице, а линия тренда расположена почти под 45о. Можно сказать, что величины здесь коррелируют. Теперь рассмотрим, как рассчитывается коэффициент R. Здесь, к сожалению, без формул не обойтись. Однако, на самом деле, все заумные формулы можно свести к уровню седьмого класса средней школы. Для начала определимся, что у нас есть две «случайные» величины. Обозначим EURUSD как X, а GBPUSD как Y.

Далее хочу отметить, что большинство понятий, математической статистики базируются на среднем значении выборки. Проще говоря, на среднем арифметическом, т.е. сумма всех элементов, поделенная на их число. Вычислим среднее для величин X и Y.

Далее, приведем формулу расчета R2. В ней нет ничего сложного, как может показаться на первый взгляд. Здесь просто используются вычисленные нами средние арифметические:

Подставив выделенное в формулу получаем:

Таким образом, мы получили, посчитав «вручную», то, что автоматически делает Excel. Коэффициент R2 называется еще «коэффициентом Пирсона». Корреляция по EURUSD и GBPUSD, на самом деле, достаточно сильная, на это конечно есть фундаментальные причины, рассмотрение которых находится за рамками этой статьи.

Как корреляцию можно использовать для получения прибыли? Ярким примером может послужить стратегия парного трейдинга. Стратегия подразумевает, что большую часть времени выбранные валютные пары двигаются в рынке синхронно, но расхождения в поведении курсов происходят достаточно часто и каждое значительное рассогласование можно использовать для извлечения прибыли. Когда валютные пары расходятся на определенное количество пунктов: открываются две сделки, на одной паре – продажа, на другой – покупка. Когда пары возвращаются «друг к другу», позиции закрываются и прибыль фиксируется на одной или обеих позициях.

При расхождении инструментов открываются встречные позиции, при возвращении корреляции в исходное положение, встречные ордера закрываются, прибыль фиксируется на одной или обеих позициях

Безусловно, в нашей статье, описаны только основные принципы корреляции и парного трейдинга, поняв которые можно четко уяснить суть. Однако, для того, чтобы получать прибыль на FOREX, одних этих знаний недостаточно. Необходимо использовать специальные индикаторы, понимать расхождение каждой из пар и многое другое. Сколько трейдеров уже набили себе шишек на этом пути!

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) – это

Кроме того, необходимо постоянно быть «в рынке», двадцать четыре часа в сутки, семь дней в неделю, чтобы «не проспать», когда разойдется или же наоборот сойдется корреляция. При этом для устойчивого получения прибыли необходимо использовать не две валютные пары, а больше. Трейдер просто физически не сможет этого сделать. Как же здесь быть?

К счастью, есть уникальный торговый советник Octopus Arbitrage. Правильно настроив его и установив на нескольких парах, от трейдера, как правило, больше ничего не требуется. Все остальное сделает робот. Уникальный алгоритм позволит получать достойную прибыль при минимальных просадках, трейдер просто наблюдает за ростом депозита. Как говорится: «Вкалывают роботы – счастлив человек».

Коэффициент корреляции в психологических исследованиях

Коэффициент корреляции является одним из самых востребованых методов математической статистики в психологических и педагогических исследованиях. Формально простой, этот метод позволяет получить массу информации и сделать такое же количество ошибок. В этой статье мы рассмотрим сущность коэффициента корреляции, его свойства и виды. Слово correlation (корреляция) состоит из приставки «co-», которая обозначает совместность происходящего (по аналогии с «координация») и корня «relation», переводится как «отношение» или «связь» (вспомним public relations – связи с общественностью). Дословно correlation переводится как взаимосвязь.

Коэффициент корреляции – это мера взаимосвязи измеренных явлений. Коэффициент корреляции (обозначается «r») рассчитывается по специальной формуле и изменяется от -1 до +1. Показатели близкие к +1 говорят о том, что при увеличении значения одной переменной увеличивается значение другой переменной. Показатели близкие к -1 свидетельствуют об обратной связи, т.е. При увеличении значений одной переменной, значения другой уменьшаются.

Пример. На большой выборке был проведён тест FPI. Проанализируем взаимосвязи шкал Общительность, Застенчивость, Депрессивность. Начнем с Застенчивости и Депрессивности. Для наглядности, задаём систему координат, на которой по X будет застенчивость, а по Y – депрессивность. Таким образом, каждый человек из выборки исследования может быть изображен точкой на этой системе координат. В результате расчетов, коэффициент корреляции между ними r=0,6992.

Как видим, точки (испытуемые) расположены не хаотично, а выстраиваются вокруг одной линии, причём, глядя на эту линию можно сказать, что чем выше у человека выражена застенчивость, тем больше депрессивность, т. е. эти явления взаимосвязаны. Построим аналогичный график для Застенчивости и Общительности.

Мы видим, что с увеличением застенчивости общительность уменьшается. Их коэффициент корреляции -0,43. Таким образом, коэффициент корреляции больший от 0 до 1 говорит о прямопропорциональной связи (чем больше… тем больше…), а коэффициент от -1 до 0 о обратнопропорциональной (чем больше… тем меньше…). Если бы точки были расположены хаотично, коэффициент корреляции приближался бы к 0.

Коэффициент корреляции отражает степень приближенности точек на графике к прямой. Приведём примеры графиков, отражающих различную степень взаимосвязи (корреляции) переменных исследования. Сильная положительная корреляция:

Слабая положительная корреляция:

Нулевая корреляция:

В подписи у каждого графика кроме значения r есть значение p. p – это вероятность ошибки, о которой будет рассказано отдельно.

Источники и ссылки

ru.wikipedia.org – свободная энциклопедия Википедия

ru.math.wikia.com – математическая энциклопедия

vocabulary.ru – национальная психологическая энциклопедия

basegroup.ru – технологии анализа данных

investpark.ru – портал инвестора ИнвестПарк

megafx.ru – сайт для начинающих на рынке Форекс

psyfactor.org – центр практической психологии

learnspss.ru – сайт профессиональной обработки даных

exceltip.ru – блог о программе Microsoft Excel

economyreview.ru – информационные системы и технологии в экономике

aup.ru – аминистративно-управленческий портал

math-pr.com – решение задач и примеров по высшей математике

neerc.ifmo.ru – Викиконспекты

exponenta.ru – образовательный математический сайт

edu.jobsmarket.ru – курсы повышения квалификации в России и за рубежом

quans.ru – анализ и исследование рынка

Источник

Для графического представления корреляционной связи можно использовать прямоугольную систему координат с осями, которые соответствуют обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определённого символа. Такой график называется диаграммой рассеяния.

Корреля́ция (от лат. correlatio «соотношение»), или корреляцио́нная зави́симость — статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми), при этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин^[1].

Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение ^[2] либо коэффициент корреляции (или )^[1]. В случае если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической^[3].

Впервые в научный оборот термин корреляция ввёл французский палеонтолог Жорж Кювье в XVIII веке. Он разработал «закон корреляции» частей и органов живых существ, с помощью которого можно восстановить облик ископаемого животного, имея в распоряжении лишь часть его останков. В статистике слово «корреляция» первым стал использовать английский биолог и статистик Фрэнсис Гальтон в конце XIX века^[4].

Корреляция и взаимосвязь величин[править | править код]

Значительная корреляция между двумя случайными величинами всегда является свидетельством существования некоторой статистической связи в данной выборке, но эта связь не обязательно должна наблюдаться для другой выборки и иметь причинно-следственный характер. Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи. Например, рассматривая пожары в конкретном городе, можно выявить весьма высокую корреляцию между ущербом, который нанёс пожар, и количеством пожарных, участвовавших в ликвидации пожара, причём эта корреляция будет положительной. Из этого, однако, не следует вывод «увеличение количества пожарных приводит к увеличению причинённого ущерба», и тем более не будет успешной попытка минимизировать ущерб от пожаров путём ликвидации пожарных бригад^[5]. Корреляция двух величин может свидетельствовать о существовании общей причины, хотя сами явления напрямую не взаимодействуют. Например, обледенение становится причиной как роста травматизма из-за падений, так и увеличения аварийности среди автотранспорта. В этом случае две величины (травматизм из-за падений пешеходов и аварийность автотранспорта) будут коррелировать, хотя они не связаны причинно-следственно друг с другом, а лишь имеют стороннюю общую причину — гололедицу.

В то же время, отсутствие корреляции между двумя величинами ещё не значит, что между ними нет никакой связи. Например, зависимость может иметь сложный нелинейный характер, который корреляция не выявляет.

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором — также и её направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. Положительная корреляция в таких условиях — это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной. Возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин.

Показатели корреляции[править | править код]

Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к которой относятся переменные. Так, для измерения переменных с интервальной и количественной шкалами необходимо использовать коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если по меньшей мере одна из двух переменных имеет порядковую шкалу, либо не является нормально распределённой, необходимо использовать ранговую корреляцию Спирмена или (тау) Кендалла. В случае, когда одна из двух переменных является дихотомической, используется точечная двухрядная корреляция, а если обе переменные являются дихотомическими — четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, когда связь между ними линейна (однонаправлена).

Параметрические показатели корреляции[править | править код]

Ковариация[править | править код]

Важной характеристикой совместного распределения двух случайных величин является ковариация (или корреляционный момент). Ковариация является совместным центральным моментом второго порядка^[6]. Ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин^[7]:

$mathrm {cov} _{XY}=mathbf {M} left[(X-mathbf {M} (X))(Y-mathbf {M} (Y))right]=mathbf {M} (XY)-mathbf {M} (X)mathbf {M} (Y)$ ,

где — математическое ожидание (в англоязычной литературе принято обозначение от expected value).

Свойства ковариации:

Доказательство

Введём в рассмотрение случайную величину $mathbf {Z} _{1}=mathbf {sigma } _{Y}mathbf {X} -mathbf {sigma } _{X}mathbf {Y}$ (где — среднеквадратическое отклонение) и найдём её дисперсию $mathbf {D} (Z_{1})=mathbf {M} [mathbf {Z} -m_{Z1}]^{2}$ . Выполнив выкладки получим:

$mathbf {D} (Z_{1})=2mathbf {sigma ^{2}} _{X}mathbf {sigma ^{2}} _{Y}-2mathbf {sigma } _{X}mathbf {sigma } _{Y}mathrm {cov} _{XY}.$

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

$2mathbf {sigma ^{2}} _{X}mathbf {sigma ^{2}} _{Y}-2mathbf {sigma } _{X}mathbf {sigma } _{Y}mathrm {cov} _{XY}geqslant 0$

Отсюда

$mathrm {cov} _{XY}leqslant mathrm {sigma } _{X}mathrm {sigma } _{Y}.$

Введя случайную величину $mathbf {Z} _{2}=mathbf {sigma } _{Y}mathbf {X} +mathbf {sigma } _{X}mathbf {Y}$ , аналогично

$mathrm {cov} _{XY}geqslant -mathrm {sigma } _{X}mathrm {sigma } _{Y}.$

Объединив полученные неравенства имеем

$-mathrm {sigma } _{X}mathrm {sigma } _{Y}leqslant mathrm {cov} _{XY}leqslant mathrm {sigma } _{X}mathrm {sigma } _{Y}.$

Или

$|mathrm {cov} _{XY}|leqslant mathrm {sigma } _{X}mathrm {sigma } _{Y}.$

Итак,

$|mathrm {cov} _{XY}|leqslant {sqrt {mathrm {D} _{X}mathrm {D} _{Y}}}.$

Ковариация имеет размерность, равную произведению размерности случайных величин, то есть величина ковариации зависит от единиц измерения независимых величин. Данная особенность ковариации затрудняет её использование в целях корреляционного анализа^[8].

Линейный коэффициент корреляции[править | править код]

Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона), который разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон в 90-х годах XIX века. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле^[10]^[8]:

$mathbf {r} _{XY}={frac {mathbf {cov} _{XY}}{mathbf {sigma } _{X}{sigma }_{Y}}}={frac {sum (X-{bar {X}})(Y-{bar {Y}})}{sqrt {sum (X-{bar {X}})^{2}sum (Y-{bar {Y}})^{2}}}}.$

где ${overline {X}}={frac {1}{n}}sum _{t=1}^{n}X_{t}$ , ${overline {Y}}={frac {1}{n}}sum _{t=1}^{n}Y_{t}$ — среднее значение выборок.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы^[11].

Доказательство

Разделив обе части двойного неравенства $-mathrm {sigma } _{X}mathrm {sigma } _{Y}leqslant mathrm {cov} _{XY}leqslant mathrm {sigma } _{X}mathrm {sigma } _{Y}$ на $mathbf {sigma } _{X}mathbf {sigma } _{Y}$ получим

$-1leqslant mathbf {r} _{XY}leqslant 1.$

Линейный коэффициент корреляции связан с коэффициентом регрессии в виде следующей зависимости: $mathbf {r} _{XY}=mathbf {a} _{i}{frac {{sigma }_{Xi}}{{sigma }_{Y}}},$ где $mathbf {a} _{i}$ — коэффициент регрессии, $mathbf {sigma } _{Xi}$ — среднеквадратическое отклонение соответствующего факторного признака^[12]. Отношение коэффициента регрессии к среднеквадратичному отклонению Y не зависит от единиц измерения Y. При линейной трансформации набора данных ${displaystyle x_{i}^{*}=a+bx_{i},;ain mathbb {R} ,bneq 0}$ и ${displaystyle y_{i}^{*}=c+dy_{i},;cin mathbb {R} ,dneq 0}$ линейный коэффициент корреляции будет равен ${displaystyle r_{X^{*}Y^{*}}={frac {bd}{left|bdright|}}r_{XY}}$ .

Непараметрические показатели корреляции[править | править код]

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла[править | править код]

Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать.
Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла:

${displaystyle tau ={frac {2S}{n(n-1)}}}$ ,

где
S=P-Q .

— суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y.

— суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y.
(равные ранги не учитываются!)

Если исследуемые данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то в расчетах используется скорректированный коэффициент корреляции Кендалла:

${displaystyle tau ={frac {S}{{sqrt {[{frac {n(n-1)}{2}}-U_{x}][{frac {n(n-1)}{2}}-U_{y}}}]}}}$

$U_{x}={frac {sum {t(t-1)}}{2}}$

$U_{y}={frac {sum {t(t-1)}}{2}}$

— число связанных рангов в ряду X и Y соответственно.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена[править | править код]

Степень зависимости двух случайных величин (признаков) и может характеризоваться на основе анализа получаемых результатов ${displaystyle (X_{1},Y_{1}),ldots ,(X_{n},Y_{n})}$ . Каждому показателю и присваивается ранг. Ранги значений расположены в естественном порядке . Ранг записывается как R_i и соответствует рангу той пары , для которой ранг равен . На основе полученных рангов $X_{i}$ и $Y_{i}$ рассчитываются их разности $d_{i}$ и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена:

${displaystyle rho =1-{frac {6sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}$

Значение коэффициента меняется от −1 (последовательности рангов полностью противоположны) до +1 (последовательности рангов полностью совпадают). Нулевое значение показывает, что признаки независимы.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера[править | править код]

Подсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения.

$i={frac {C-H}{C+H}}$

C — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают.

H — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают.

Множественный коэффициент корреляции[править | править код]

Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)[править | править код]

${displaystyle W={frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)}}}$

${displaystyle S=sum _{i=1}^{n}{(sum _{j=1}^{m}{R_{ij}})^{2}}-{frac {(sum _{i=1}^{n}{sum _{j=1}^{m}{R_{ij}}})^{2}}{n}}}$

— число групп, которые ранжируются.

— число переменных.

$R_{ij}$ — ранг -фактора у -единицы.

Значимость:

${displaystyle chi ^{2}=m(n-1)*W}$

${displaystyle {chi ^{2}}_{kp}=(alpha ;(n-1)(m-1))}$

${displaystyle chi ^{2}>{chi ^{2}}_{kp}}$ , то гипотеза об отсутствии связи отвергается.

В случае наличия связанных рангов:

${displaystyle W={frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)-msum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_{j}-t_{j})}}}}$

${displaystyle chi ^{2}={frac {12S}{mn(n+1)-{frac {sum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_{j}-t_{j})}}{n-1}}}}}$

Свойства коэффициента корреляции[править | править код]

Неравенство Коши — Буняковского:

если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию

, то норма случайной величины будет равна

, и следствием неравенства Коши — Буняковского будет:

$-1leqslant mathbb {R} _{X,Y}leqslant 1$

$mathbb {R} _{X,Y}=pm 1Leftrightarrow Y=kX+b,kneq 0$

где

. Более того в этом случае знаки $mathbb {R} _{X,Y}$

совпадают:

$operatorname {sgn} mathbb {R} _{X,Y}=operatorname {sgn} k$

Доказательство

Рассмотрим случайные величины X и Y c нулевыми средними, и дисперсиями, равными, соответственно, ${overline {X^{2}}}=sigma _{X}^{2}$ и ${overline {Y^{2}}}=sigma _{Y}^{2}$ . Подсчитаем дисперсию случайной величины :

$sigma _{xi }^{2}={overline {(aX+bY)^{2}}}=a^{2}{overline {X^{2}}}+b^{2}{overline {Y^{2}}}+2ab{overline {XY}}.$

Если предположить, что коэффициент корреляции

$mathbb {R} _{X,Y}={frac {overline {XY}}{sigma _{X}sigma _{Y}}}=pm 1,$

то предыдущее выражение перепишется в виде

$sigma _{xi }^{2}=a^{2}sigma _{X}^{2}+b^{2}sigma _{Y}^{2}pm 2absigma _{X}sigma _{Y}=(asigma _{X}pm bsigma _{Y})^{2}.$

Поскольку всегда можно выбрать числа a и b так, чтобы $asigma _{X}pm bsigma _{Y}=0$ (например, если $sigma _{Y}neq 0$ , то берём произвольное a и $b=mp {frac {sigma _{X}}{sigma _{Y}}},a$ ), то при этих a и b дисперсия $sigma _{xi }^{2}=0$ , и значит почти наверное. Но это и означает линейную зависимость между X и Y. Доказательство очевидным образом обобщается на случай величин X и Y с ненулевыми средними, только в вышеприведённых выкладках надо будет X заменить на , и Y — на .

Корреляционный анализ[править | править код]

Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом (также часто встречается термин «корреляционно-регрессионный анализ», который является более общим статистическим понятием), с его помощью определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям (используя коэффициент детерминации)^[1]^[2].

Ограничения корреляционного анализа[править | править код]

Множество корреляционных полей. Распределения значений (x,y) с соответствующими коэффициентами корреляций для каждого из них. Коэффициент корреляции отражает «зашумлённость» линейной зависимости (верхняя строка), но не описывает наклон линейной зависимости (средняя строка), и совсем не подходит для описания сложных, нелинейных зависимостей (нижняя строка). Для распределения, показанного в центре рисунка, коэффициент корреляции не определен, так как дисперсия y равна нулю.

Применение возможно при наличии достаточного количества наблюдений для изучения. На практике считается, что число наблюдений должно не менее чем в 5-6 раз превышать число факторов (также встречается рекомендация использовать пропорцию, не менее чем в 10 раз превышающую количество факторов). В случае если число наблюдений превышает количество факторов в десятки раз, в действие вступает закон больших чисел, который обеспечивает взаимопогашение случайных колебаний^[13].
Необходимо, чтобы совокупность значений всех факторных и результативного признаков подчинялась многомерному нормальному распределению. В случае если объём совокупности недостаточен для проведения формального тестирования на нормальность распределения, то закон распределения определяется визуально на основе корреляционного поля. Если в расположении точек на этом поле наблюдается линейная тенденция, то можно предположить, что совокупность исходных данных подчиняется нормальному закону распределения^[14].
Исходная совокупность значений должна быть качественно однородной^[13].
Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, что одна из переменных предшествует или является причиной изменений, или то, что переменные вообще причинно связаны между собой, а не наблюдается действие третьего фактора^[5].

Область применения[править | править код]

Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике, астрофизике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: контроль качества промышленной продукции, металловедение, агрохимия, гидробиология, биометрия и прочие. В различных прикладных отраслях приняты разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи.

См. также[править | править код]

Автокорреляционная функция
Взаимнокорреляционная функция
Ковариация
Коэффициент детерминации

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² ³ Шмойлова, 2002, с. 272.
↑ ¹ ² Елисеева, Юзбашев, 2002, с. 232.
↑ Елисеева, Юзбашев, 2002, с. 228.
↑ Елисеева, Юзбашев, 2002, с. 228—229.
↑ ¹ ² Елисеева, Юзбашев, 2002, с. 229.
↑ Суслов, Ибрагимов, Талышева, Цыплаков, 2005, с. 141.
↑ Гмурман, 2004, с. 176—177.
↑ ¹ ² ³ Гмурман, 2004, с. 177.
↑ Гмурман, 2004, с. 178—179.
↑ Шмойлова, 2002, с. 300.
↑ Гмурман, 2004, с. 179.
↑ Шмойлова, 2002, с. 301.
↑ ¹ ² Елисеева, Юзбашев, 2002, с. 230.
↑ Шмойлова, 2002, с. 275.

Литература[править | править код]

Гмурман В. Е.^ru_uk. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. — 10-е издание, стереотипное. — Москва: Высшая школа, 2004. — 479 с. — ISBN 5-06-004214-6.
Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. И. И. Елисеевой. — 4-е издание, переработанное и дополненное. — Москва: Финансы и Статистика, 2002. — 480 с. — ISBN 5-279-01956-9.
Корреляционный анализ / А. В. Прохоров // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Общая теория статистики: Учебник / Под ред. Р. А. Шмойловой. — 3-е издание, переработанное. — Москва: Финансы и Статистика, 2002. — 560 с. — ISBN 5-279-01951-8.
Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А. А. Эконометрия. — Новосибирск: СО РАН, 2005. — 744 с. — ISBN 5-7692-0755-8.

Ссылки[править | править код]

Калькулятор для расчета коэффициента корреляции по Пирсону
Границы значений коэффициента корреляции
Иллюстрация: зависимые случайные величины с нулевой корреляцией
Корреляция между временными рядами: что может быть проще? // habr.com

Источник

Корреляционная связь, ее признаки, виды. Коэффициент корреляции, определение, свойства, методы вычисления. Метод корреляции рядов Пирсона. Метод корреляции рангов Спирмена.

Многие
явления в медицине, так же как в природе
и обществе, взаимосвязаны между
собой. При проведении статистического
исследования часто возникает необходимость
проанализировать выявленные связи
между различными явлениями и дать
обобщающую характеристику. Различают
2 формы проявления связей между явлениями:
функциональную
и корреляционную.

Функциональная
связь означает
строгую зависимость одного признака
от другого, когда определенному значению
одной величины соответствует строго
определенное значение другой. Например,
радиусу круга соответствует определенная
площадь круга; скорость свободно
падающего тела определяется величиной
ускорения, силой тяжести и временем
падения. Функциональная связь характерна
для физико-химических процессов.

Корреляционная
связь
—
это такая связь, когда одной и
той
же величине одного признака
соответствует несколько значений
другого взаимосвязанного с ним
признака. Врачи и биологи хорошо знакомы
с этим видом связи: при одинаковой
температуре у различных людей наблюдаются
индивидуальные колебания частоты
пульса; при одинаковом росте отмечаются
различные колебания масс тела.

По
форме корреляционная связь:

Прямолинейная
связь
—
равномерные изменения одного признака
соответствуют равномерным изменениям
второго признака при незначительных
отклонениях.

Криволинейная
связь
—
равномерные изменения одного признака,
соответствуют неравномерным изменениям
второго признака, причем неравномерность
имеет определенную закономерность.
Общая тенденция в определенном
моменте изменяет свос направление, дает
изгиб.

Направление
связи:

Прямая
связь (положительная)
—
если с
увеличением
одного признака второй также увеличивается
или с уменьшением одного признака другой
тоже уменьшается. Обратная
связь (отрицательная)
—
когда с увеличением одного признака,
другой, корреляционно связанный с
ним признак, уменьшается.

Под
силой связи
следует
понимать степень корреляции (степень
сопряженности между признаками).

Измерение
силы связи и определение ее направления
осуществляется путем вычисления
коэффициента
корреляции.
Существуют следующие методы вычисления
коэффициента корреляции: рядов,
рангов, путем составления корреляционной
решетки.

Степень связи	Величина коэффициента корреляции
При прямой связи (+)	При обратной связи (-)
Связь отсутствует	0	0
Связь малая (слабая)	от 0 до + 0,29	от 0 до -0,29
Связь средняя (умеренная)	от 0,3 до + 0,69	от -0,3 до -0,69
Связь большая (сильная)	от 0,7 до+0,99	от -0,7 до -0,99
Связь полная	+1	-1

Коэффициент
корреляции рядов (r_xy)
(Пирсона):

r_xy
=
,
гдеd
= V-
M.

Для
оценки достоверности коэффициента
корреляции вычисляется средняя
ошибка коэффициента
корреляции:

m_r
=
– при числе наблюдений более 100;

m_r
=
– при числе наблюдений от 30 до 100;

m_r
=
– при числе наблюдений менее 30.

Для
оценки величины полученной ошибки
следует использовать критерий
достоверности (t).

t
=

Значение
критерия (t)
оценивается
по специальной таблице Стьюдента. Если
полученное значение t
больше
табличного для выбранного уровня
доверия и числа степеней свободы, то
коэффициент корреляции считается
достоверным.

Коэффициент
корреляции рангов ()
(Спирмена):

Коэффициент
корреляции рангов относится
к непарамегрическим критериям. Он
используется при необходимости получения
быстрого результата, при малом числе
наблюдений, а также в тех случаях, когда
изучаемые признаки не имеют точных
количественных значений или носят
описательный характер. Этот метод
основан на определении ранга (места)
каждого из значений ряда.

=
1 –
,
гдеd
—
разность между ранговыми номерами;
n
— число парных членов в коррелируемых
рядах

Вычисления
проводятся по следующему алгоритму:

1)
Определить ранги по значению каждой
величины ряда. (1,2,3,4…) Если первый ряд
(x)
ранжируется от меньшего значения к
большему, то второй ряд (у) следует
ранжировать в том же порядке.

2)
Определить разность рангов каждой пары
ряда (х) и ряда (у): (d_xy)=
(x)
– (у). Они в сумме с учетом знаков равны
нулю.

3)
Возвести в квадрат полученные разности
и суммировать их.

4)
Рассчитать коэффициент корреляции
рангов по формуле.

Прежде
чем судить о степени связи между
изучаемыми признаками, необходимо
оценить достоверность коэффициента
корреляции рангов.

t
=

Полученное
значение критерия t
оценивается по таблице t-критерия
Стьюдента для
числа степеней свободы n’
=
n-2.
Коэффициент корреляции незначим, если
рассчитанное значение меньше табличного.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Video

Tips

Warnings

References

About This Article

Did this article help you?

Вычисление коэффициента корреляции портфеля

Применение линейного коэффициента корреляции в трейдинге

Торговая стратегия, построенная на коэффициенте корреляции

Торговля ациями по коэффициенту корреляции

Риск-менеджмент, основанный на коэффициенте корреляции

Коэффициент корреляции валютных пар

Изменение коэффициента корреляции ценовых графиков

Коэффициент корреляции в анализе инвестиционного портфеля

Парный трейдинг и коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции в психологических исследованиях

Источники и ссылки

Корреляция и взаимосвязь величин[править | править код]

Показатели корреляции[править | править код]

Параметрические показатели корреляции[править | править код]

Ковариация[править | править код]

Линейный коэффициент корреляции[править | править код]

Непараметрические показатели корреляции[править | править код]

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла[править | править код]

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена[править | править код]

Коэффициент корреляции знаков Фехнера[править | править код]

Множественный коэффициент корреляции[править | править код]

Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)[править | править код]

Свойства коэффициента корреляции[править | править код]

Корреляционный анализ[править | править код]

Ограничения корреляционного анализа[править | править код]

Область применения[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Вам также может понравиться

Как найти прямой код отрицательного числа

Как найти циклическую частоту тока по графику

Как найти общий язык в армии

Добавить комментарий Отменить ответ