Как найти степень многочлена пример - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Определение 1

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5, 0, −1, x, 5·a·b3, x2·0,6·x·(−2)·y12, -213·x·y2·323·x·x3·y·z и так далее. Из определения имеем, что 1+x, a2+b2и выражение x2-2·x·y+25·x2+y2+5,2·y·x являются многочленами.

Рассмотрим еще определения.

Определение 2

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3·x4−2·x·y+3−y3, состоящий из 4 членов: 3·x4, −2·x·y, 3 и −y3. Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Определение 3

Многочлены, которые имеют в своем составе 2, 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен.

Отсюда следует, что выражение вида x+y – является двучленом, а выражение 2·x3·q−q·x·x+7·b – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида a·x+b, где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x+1, x·7,2−4 с примерами квадратных трехчленов x2+3·x−5 и 25·x2-3x+11.

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1+5·x−3+y+2·x имеет подобные слагаемые 1 и -3, 5х и 2х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

Определение 4

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и -3, 5х и 2х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3·x2−x·y+1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5+3·x2−x2+2·x·z и 5+3·x2−x2+2·x·z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3·x2 и −x2, а второй содержит одночлен вида x·y3·x·z2, отличающийся от стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Определение 6

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x2·z+5, а многочлен 7·a+4·a·b+b3 свободного члена не имеет.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Определение 7

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5·x3−4 равняется 3, потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0, а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4·x2·y3−5·x4·y+6·x равняется наибольшему из чисел, то есть 2+3=5, 4+1=5 и 1, значит 5.

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Определение 8

Степень многочлена произвольного числа – это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Пример 1

Найти степень многочлена 3·a12−2·a·b·c·a·c·b+y2·z2−2·a12−a12.

Решение

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3·a12−2·a·b·c·a·c·b+y2·z2−2·a12−a12= =(3·a12−2·a12−a12)−2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y2·z2= =−2·a2·b2·c2+y2·z2

При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них −2·a2·b2·c2 и y2·z2. Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2+2+2=6 и 2+2=4. Видно, что наибольшая из них равняется 6. Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена −2·a2·b2·c2+y2·z2, следовательно и исходного значения.

Ответ: 6.

Коэффициенты членов многочлена

Определение 9

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2·x−0,5·x·y+3·x+7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2·x, −0,5·x·y, 3·x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2, −0,5, 3 и 7. Значит, 2, −0,5, 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2·x−0,5·x·y+3·x+7. При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

Источник

Часто путают понятия одночлена и многочлена.

Давайте разберемся, что называют одночленом, а что многочленом.
Прежде всего, вспомним, что называли одночленом в уроке «Одночлены».

Обратите внимание, что «внутри» одночлена (между буквами и числовым коэффициентом) есть только знак умножения.
Например, в одночлене:
3ab = 3 · a · b

Запомните!

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

Примеры многочленов:
a + 2b² − c;
3t⁵ − 4b;
4 − 6xy

Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов.

Рассмотрим многочлен подробнее.

Возникает вопрос, почему многочленом называют алгебраическую сумму
одночленов, если в многочлене присутствует
знак минуса.

Это объясняется тем, что на самом деле знак «−» относится к числовому коэффициенту одночлена,
который стоит справа от знака.

Любой многочлен можно записать
по правилу знаков
как сумму одночленов.

В многочлене знак, который стоит слева от одночлена относится к числовому коэффициенту самого одночлена.

Как найти степень многочлена

Запомните!

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

То есть, чтобы найти степень многочлена, нужно сначала найти
степень каждого одночлена, который входит в
состав многочлена.

Степени многочленов

Многочлен

Степень
многочлена

a²
− 3a²b
+ x =

a²_{(степень одночлена 2)}
− 3a²b_{(степень одночлена 3)}
+ x_{(степень одночлена 1)}

x²y²
+ 4x² =

x²y²_{(степень одночлена 4)}
+ 4x²_{(степень одночлена 2)}

8x²
− 3a
+ 4 =

8x²_{(степень одночлена 2)}
− 3a_{(степень одночлена 1)}
+ 4_{(степень одночлена 0)}

Любой одночлен является многочленом.
В самом деле, любой одночлен, по сути, является многочленом, который состоит всего из одного одночлена.

Примеры таких многочленов: 2a²b;
−3d³; a.

Число «0» называют нулевым многочленом.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Download Article

Polynomial means “many terms,” and it can refer to a variety of expressions that can include constants, variables, and exponents. For example, x – 2 is a polynomial; so is 25. To find the degree of a polynomial, all you have to do is find the largest exponent in the polynomial.^[1] If you want to find the degree of a polynomial in a variety of situations, just follow these steps.

1

Combine like terms. Combine all of the like terms in the expression so you can simplify it, if they are not combined already. Let’s say you’re working with the following expression: 3x² – 3x⁴ – 5 + 2x + 2x² – x. Just combine all of the x², x, and constant terms of the expression to get 5x² – 3x⁴ – 5 + x.^[2]
2
Drop all of the constants and coefficients. The constant terms are all of the terms that are not attached to a variable, such as 3 or 5. The coefficients are the terms that are attached to the variable. When you’re looking for the degree of a polynomial, you can either just actively ignore these terms or cross them off. For instance, the coefficient of the term 5x² would be 5. The degree is independent of the coefficients, so you don’t need them.
- Working with the equation 5x² – 3x⁴ – 5 + x, you would drop the constants and coefficients to get x² – x⁴ + x.
Advertisement
3

Put the terms in decreasing order of their exponents. This is also called putting the polynomial in standard form.^[3]. The term with the highest exponent should be first, and the term with the lowest exponent should be last. This will help you see which term has the exponent with the largest value. In the previous example, you would be left with
-x⁴ + x² + x.
4

Find the power of the largest term. The power is simply number in the exponent. In the example, -x⁴ + x² + x, the power of the first term is 4. Since you’ve arranged the polynomial to put the largest exponent first, that will be where you will find the largest term.
5

Identify this number as the degree of the polynomial. You can just write that the degree of the polynomial = 4, or you can write the answer in a more appropriate form: deg (3x² – 3x⁴ – 5 + 2x + 2x² – x) = 4. You’re all done.^[4]
6

Know that the degree of a constant is zero. If your polynomial is only a constant, such as 15 or 55, then the degree of that polynomial is really zero. You can think of the constant term as being attached to a variable to the degree of 0, which is really 1. For example, if you have the constant 15, you can think of it as 15x⁰, which is really 15 x 1, or 15. This proves that the degree of a constant is 0.

1
Write the expression. Finding the degree of a polynomial with multiple variables is only a little bit trickier than finding the degree of a polynomial with one variable. Let’s say you’re working with the following expression:
- x⁵y³z + 2xy³ + 4x²yz²
2
Add the degree of variables in each term. Just add up the degrees of the variables in each of the terms; it does not matter that they are different variables. Remember that the degree of a variable without a written degree, such as x or y, is just one. Here’s how you do it for all three terms:^[5]
- deg(x⁵y³z) = 5 + 3 + 1 = 9
- deg(2xy³) = 1 + 3 = 4
- deg(4x²yz²) = 2 + 1 + 2 = 5
3

Identify the largest degree of these terms. The largest degree of these three terms is 9, the value of the added degree values of the first term.^[6]
4

Identify this number as the degree of the polynomial. 9 is the degree of the entire polynomial. You can write the final answer like this: deg (x⁵y³z + 2xy³ + 4x²yz²) = 9.

1

Write down the expression. Let’s say you’re working with the following expression: (x² + 1)/(6x -2).^[7]
2

Eliminate all coefficients and constants. You won’t need the coefficients or constant terms to find the degree of a polynomial with fractions. So, eliminate the 1 from the numerator and the 6 and -2 from the denominator. You’re left with x²/x.
3

Subtract the degree of the variable in the denominator from the degree of the variable in the numerator. The degree of the variable in the numerator is 2 and the degree of the variable in the denominator is 1. So, subtract 1 from 2. 2-1 = 1.
4

Write the result as your answer. The degree of this rational expression is 1. You can write it like this: deg [(x² + 1)/(6x -2)] = 1.

Add New Question

Question

What is the degree of a polynomial?

In the case of a polynomial with only one variable (such as 2x³ + 5x² – 4x +3, where x is the only variable),the degree is the same as the highest exponent appearing in the polynomial (in this case 3). In the case of a polynomial with more than one variable, the degree is found by looking at each monomial within the polynomial, adding together all the exponents within a monomial, and choosing the largest sum of exponents. That sum is the degree of the polynomial. For example, in the expression 2x²y³ + 4xy² – 3xy, the first monomial has an exponent total of 5 (2+3), which is the largest exponent total in the polynomial, so that’s the degree of the polynomial.
Question

What is degree of 1/x^4 + x^2?

1 / (x^4) is equivalent to x^(-4). So the highest (most positive) exponent in the polynomial is 2, meaning that 2 is the degree of the polynomial.
Question

What about a polynomial with multiple variables that has one or more negative exponents in it?

Combine the exponents found within a given monomial as you would if all the exponents were positive, but you would subtract the negative exponents.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

This just shows the steps you would go through in your mind. You don’t have to do this on paper, though it might help the first time. If you do it on paper, however, you won’t make a mistake.
By convention, the degree of the zero polynomial is generally considered to be negative infinity.
For the third step, linear terms like x can be written as x¹ and non-zero constant terms like 7 can be written as 7x⁰

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To find the degree of a polynomial with one variable, combine the like terms in the expression so you can simplify it. Next, drop all of the constants and coefficients from the expression. Then, put the terms in decreasing order of their exponents and find the power of the largest term. The power of the largest term is the degree of the polynomial. To find the degree of a polynomial with multiple variables, write out the expression, then add the degree of variables in each term. The power of the largest term is your answer! If you want to learn how to find the degree of a polynomial in a rational expression, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 873,134 times.

Did this article help you?

Источник

Что такое многочлены? Познакомимся с этим понятием из курса математики 7 класс. Мы с вами дадим определение многочленам, рассмотрим какие выражения можно назвать многочленами, а какие нельзя. Разберем что такое многочлен стандартного вида и степень многочлена и решим несколько примеров на определение степени многочлена и приведение подобных слагаемых.

Определение многочлена

Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов. То есть многочлен – это алгебраическое выражение, которое записывается в виде суммы одночленов.

Пример многочлена: .

Неправильно

Как отличить многочлен от не многочлена – обратите внимание на варианты неправильного называния не многочлена многочленом:

Неправильно называть многочленом дробь, например, дробь $frac{y}{3x-4y}$ не является многочленом. Так как многочлен – это сумма одночленов.
Неправильно называть многочленом произведение, например: – не является многочленом, но из этого выражения путем преобразований можно получить многочлен.

Виды многочленов

Среди многочленов выделяют следующие виды многочлены:

Многочлен состоящий из одного одночлена называется одночленом.
Многочлен, состоящий из двух одночленов, называется двучленом или биномом.
Многочлен, состоящий из трех одночленов, называется трехчленом.

Это стандартные называния таких многочленов, многочлен, состоящий из любого произвольного числа одночленов, большего трех, называется просто многочленом.

Стандартный вид многочлена

Если все входящие в многочлен одночлены имеют стандартный вид и в многочлене приведены подобные слагаемые, то такой многочлен называется многочленом стандартного вида.

Приведем пример: выражение является многочленом стандартного вида.

Степень многочлена

Чтобы определить степень многочлена нужно найти одночлен с наибольшей степенью, входящий в его состав. Например, в многочлене наибольшая степень у одночлена , у которого степень 5. Таким образом, и многочлен будет пятой степени.

Сложение подобных слагаемых

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одним членом, если сложить их числовые коэффициенты и оставить буквенную часть. Такое сложение или, иначе, тождественное преобразование, называют приведением подобных слагаемых.

Приведем пример: в многочлене можно сложить подобные слагаемые и , тогда мы получим: и .

Многочлен можно записать в виде

Примеры решения задач

Задание 1

Определите степень многочлена .

Решение: наибольшая степень у одночлена , значит, степень многочлена – 3.

Задание 2

Приведите подобные слагаемые многочлена: $underline{a^4} + underline{underline{-3a^2}}+ underline{underline{5a^2}}+ underline{-a^4}$ .

Решение: сложим слагаемые одинаковой степени, это и , а также сложим и . Подчеркнем подобные слагаемые одинаковыми чертами. Получаем, $underline{a^4} + underline{underline{-3a^2}}+ underline{underline{5a^2}}+ underline{-a^4}=2a^2$ .

Ответ: .

Задание 3

Приведите подобные члены многочлена:

Решение: выделим подобные слагаемые и сложим их: $underline{x^4}+underline{underline{a^2}}-underline{6x^4}+underline{underline{7a^2}}=(underline{x^4}-underline{6x^4})+(underline{underline{a^2}}+underline{underline{7a^2}})=-5x^4+8a^2$ .

Ответ: .

Задание 4

Приведите подобные члены многочлена:

Решение: подчеркнем подобные слагаемые и выполним сложение: $underline{3y^3}- underline{underline{ab}}+underline{8y^3}+underline{underline{9ab}}=11y^3+8ab$ .

Ответ: .

Задание 5

Приведите подобные члены многочлена:

Решение: .

Ответ:

Задание 6

Приведите подобные члены многочлена:

Решение: .

Ответ: .

Задание 7

Приведите подобные члены многочлена: .

Решение: .

Ответ: .

Задание 8

Приведите подобные члены многочлена: .

Решение: .

Ответ:

Источник

Степень многочлена

Что такое степень многочлена? Как определить степень одночлена?

Определение.

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Обычно, прежде чем искать степень многочлена, его приводят к многочлену стандартного вида, хотя, вообще говоря, это не обязательно.

Итак, чтобы найти степень многочлена:

1) Можно привести многочлен к стандартному виду.

2) Найти степень всех входящих в него одночленов — членов многочлена.

3) Выбрать наибольшую из этих степеней.

Примеры.

Найти степень многочлена:

$[1)7{x^2}y - 11xy + 4y - 9;]$

$[2)10{x^2}{y^3} + 32{x^4} - 12{x^2}{y^2};]$

$[3)14a{a^2} - 3{a^3}b + 8ab cdot 2{b^2} - 2{a^3}b;]$

Решение:

$[1)7{x^2}y - 11xy + 4y - 9;]$

Данный многочлен записан в стандартном виде. Степень первого члена многочлена — одночлена 7x²y — равна 2+1=3. Степень второго члена многочлена — -11xy — равна 1+1=2. Степень третьего члена многочлена — 4y — равна 1. -9 — одночлен нулевой степени.

Наибольшая из степеней одночленов — 3. Таким образом, это — многочлен третьей степени.

$[2)10{x^2}{y^3} + 32{x^4} - 12{x^2}{y^2};]$

Здесь 10x²y³ — одночлен 5-й степени, 32x⁴ — 4-й, -12x²y² — также одночлен 4-й степени. Наибольшая из степеней одночленов — 5. Следовательно, это — многочлен 5-й степени.

3) Сначала приведем данный многочлен к стандартному виду:

$[14a{a^2} - 3{a^3}b + 8ab cdot 2{b^2} - 2{a^3}b = ]$

$[ = 14{a^3}underline { - 3{a^3}b} + 16a{b^3}underline { - 2{a^3}b} = ]$

$[ = 14{a^3} - 5{a^3}b + 16a{b^3}.]$

14a³ — одночлен 3-й степени, -5a³b — 4-й, 16ab³ — также одночлен 4-й степени. Наибольшая из степеней входящих в многочлен одночленов — 4. Таким образом, данный многочлен имеет четвертую степень.

Хотя в алгебре принято упрощать многочлен, приводя его к стандартному виду, степень можно искать и для многочлена, не записанного в стандартном виде.

1,7x — одночлен 1-й степени, 2y — одночлен 1-й степени, -12 — одночлен 0-й степени. Значит, это — многочлен первой степени.

Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. 20 — одночлен 0-й степени. Следовательно, 20 является многочленом нулевой степени.

Источник

Многочлен и его члены – определения и примеры

Многочлен стандартного вида

Степень многочлена – как ее найти?

Коэффициенты членов многочлена

Как найти степень многочлена

Степени многочленов

Ваши комментарии

Video

References

About This Article

Did this article help you?

Определение многочлена

Неправильно

Виды многочленов

Стандартный вид многочлена

Степень многочлена

Сложение подобных слагаемых

Примеры решения задач

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Вам также может понравиться

Как найти фондоотдачу по выручке

Проблема как найти проблему в художественном тексте

Настройки аккаунты google как найти

Добавить комментарий Отменить ответ