Как найти степень произведения многочлена на одночлен

Частный случай умножения многочлена на многочлен – умножение многочлена на одночлен. В этой статье сформулируем правило совершения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Разберемся с тем, что является основой умножения многочлена на одночлен. Данное действие опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения. Буквенно это свойство записывается так: (a+b)·c=a·c+b·c (a, b и c – некоторые числа). В этой записи выражение (a+b)·c является как раз произведением многочлена (a+b) на одночлен c. Правая же часть равенства a·c+b·c – это сумма произведений одночленов  a и b на одночлен c.

Приведенные рассуждения позволяют нам сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Дополнительно поясним приведенный алгоритм.

Чтобы составить произведение многочлена на одночлен, исходный многочлен заключают в скобки; далее между ним и заданным одночленом ставится знак умножения. В случае, когда запись одночлена начинается со знака минус, его также необходимо заключить в скобки. К примеру, произведение многочлена −4·x2+x−2 и одночлена 7·y запишем как (−4·x2+x−2)·7·y, а произведение многочлена a5·b−6·a·b и одночлена −3·a2 составим в виде: (a5·b−6·a·b)·(−3·a2).

Следующий шаг алгоритма – перемножение каждого члена многочлена на заданный одночлен. Составляющими многочлена служат одночлены, т.е. по сути нам необходимо выполнить умножение одночлена на одночлен. Допустим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение (2·x2+x+3)·5·x, тогда вторым шагом перемножаем каждый член многочлена 2·x2+x+3 с одночленом 5·x, получая таким образом: 2·x2·5·x=10·x3, x·5·x=5·x2 и 3·5·x=15·x. Результатом станут одночлены 10·x3, 5·x2 и 15·x.

Последнее действие согласно правилу – сложение полученных произведений. Из предложенного примера, проделав данный шаг алгоритма, получим: 10·x3+5·x2+15·x.

Стандартно все шаги записывают как цепочку равенств. Например, нахождение произведения многочлена 2·x2+x+3 и одночлена 5·x запишем так: (2·x2+x+3)·5·x=2·x2·5·x+x·5·x+3·5·x=10·x3+5·x2+15·x. Исключив промежуточное вычисление второго шага, краткое решение возможно оформить следующим образом: (2·x2+x+3)·5·x=10·x3+5·x2+15·x.

Рассмотренные примеры дают возможность заметить важный нюанс: в результате перемножения многочлена и одночлена получается многочлен. Данное утверждение верно для любых перемножаемых многочлена и одночлена.

По аналогии осуществляется умножение одночлена на многочлен: заданный одночлен перемножают с каждым членом многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на одночлен

Уточним, что, когда исходные многочлен и/или одночлен заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду.

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Умножение многочлена на одночлен

Поддержать сайт

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

При умножении одночлена на многочлен используется распределительное свойство умножения:

a(b + c) = ab + ac,

правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

a^x · a^y = a^{x + y}

и правило знаков при умножении.

Произведением одночлена и многочлена будет многочлен.

Логичным началом прохождения новой темы “Многочлены” является вводный урок, освещающий тему умножения многочлена на одночлен. Для начала стоит дать основные определения, которые будут использоваться в этом уроке.

Одночлен – это простое математическое выражение, представляющее собой произведение константы на переменную или несколько переменных, взятых в целой неотрицательной степени без использования знаков + или -.

Многочлен – это сумма одночленов.

Основной задачей этого урока является выведение общего правила умножения одночлена на многочлен, а также развитие навыков для применения этого правила на практике. Обратите внимание, что знания, полученные из этой статьи, пригодятся каждому ученику в течение всего курса изучения алгебры.

Для изучения этой темы вспомним теоретические знания, которые ученики должны получить из предыдущих уроков. Один из необходимых фрагментов теории – свойства степеней.

Задания для тренировки уже имеющихся навыков и проверки знаний

1. Необходимо определить сумму предоставленных одночленов, разность одночленов, произведение одночленов, частное одночленов и квадрат каждого из них.

2. Даны многочлены. Необходимо указать степень каждого из них. Степенью многочлена называется наивысшая степень одночлена, входящего в состав многочлена.

Решив тренировочные упражнения, можно приступить к получению новых знаний.

Правило постановки знаков

1. При умножении двух положительных (+) чисел знак произведения не меняется (+).

2. При умножении двух отрицательных (-) чисел знак произведения меняется на противоположный (+).

3. При умножении положительного (+) числа на отрицательное (-) число произведения отрицательно (-).

Одним словом, ничего сложного.

Умножение одночлена на многочлен

Используем распределительный закон умножения a * (b +c ) =a * b + a * c для решения поставленной задачи:

4x³ (3x² – 8x + 2) = 3x² * 4x³ – 8x * 4x³ + 2 * 4x³ = 12х⁵ – 32х⁴ + 8х^3.

Имея знания по умножению одночлена на одночлен и умножения одночлена на число, вычислим значение данного выражения и сверим получившееся выражение с представленным выше ответом. Важно не забывать и правильно использовать правило постановки знаков.

Умножение многочлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен по своему алгоритму не сильно отличается от умножения одночлена на многочлен. Просто необходимо последовательно перемножить каждый одночлен из одного из многочленов на все одночлены, из которых состоит другой многочлен.

Упражнение для самопроверки:

(5xy −3 x²) * (x² + 3y) = 5xy * x² + 5xy * 3y – 3x² * x² – 3x² * 3y = 5x³y + 15xy² – 3x⁴ – 9x²y.

Вычислите произведение многочленов самостоятельно и сверьте получившееся выражение с представленным выше ответом. Важно не забывать и правильно использовать правило постановки знаков.

Формулы сокращенного умножения

Усвоив правила умножения, можно и нужно немного расширить свои знания новыми формулами, связанными с данной темой. Важно понимать, что формулы сокращенного умножения по алгебре можно вывести и самостоятельно, пользуясь распределительным свойством умножения, но на практике встречаются они довольно часто, поэтому настоятельно рекомендуется выучить эти формулы.

Необходима проверка. Вы можете самостоятельно умножить многочлен на многочлен и проверить, что после взаимного уничтожения всех вспомогательных слагаемых остаются только указанные в формулах слагаемые.

Геометрический смысл

Для упрощения понимания процесса умножения одночлена на многочлен стоит рассмотреть геометрический смысл этой математической операции.

Здесь важно объяснить обучающимся на примере геометрических фигур распределительный закон умножения и тождественное равенство обеих его частей.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое одночлен?
2. Что такое многочлен?
3. Объясните геометрический смысл распределительного закона умножения.
4. Опишите алгоритм умножения одночлена на многочлен.
5. Какие формулы сокращенного умножения, данные выше, вы запомнили?

Упражнения по пройденной теме

1). -3х³ (х² + 3х – 4).

2). 15x² (xy – 4x²y² + 4).

3). -0,7m³n (10mn – 20m² – 3).

4). (2a⁴ – a³ + 0,1a) (-5a²).

5). 0,5с (3с²d – 15c³d).

6). 0,5p² (4q – 2pq + 6p²).

7). 20xy² (5x²y – 2,4y – 0,6).

8). 4a²b (2a – 3ab² + 8b²).

Тест: умножение многочлена на одночлен

Для проверки полученных знаний ниже предлагается специальный тест.

1. Узнайте произведение: -5х (-3х + 2х2 – 2). а) -10х3 – 15х2 + 10х. б) -10х3 + 15х2 – 10х. в) -10х3 – 15х2 + 10. г) -10х3 + 15х2 + 10х

2. Замените знак (*) на выражение для получения истинного равенства: -2х2 (*) = -8х4а2 + 4х2а – 6х4. а) 4а2х – 2а – 3х2. б) 3х2 – 2а + 4а2х2. в) 2а – 3х2 – 4а2х2. г) -4а2х2 + 3х2 + 2а

3. Найдите произведение: 3а (2в – а) – 4в (в + 2а). а) 3а2 – 4b2. б) -3а2 – 2ab – 4b2. в) 3а2 + 2ab + 4b2. г) -3а2 – 4b2

4. Найдите корень заданного уравнения: 8х2 + 3х = 0. а) х = 0. б) х = -(3/8). в) х = 0; х = (3/8). г) х = 0; х = -(3/8)

5. Определите делитель данного выражения: 54 + 55 + 56. а) 15. б) 31. в) 10. г) 55

Ключи к тесту: 1-г; 2-б; 3-б; 4-г; 5-б.

Заключение

На этом уроке обучающиеся получили теоретический материал с практическими примерами его применения по теме “Умножение одночлена на многочлен”. А также узнали дополнительный материал, который пригодится им в дальнейшем изучении предмета. А именно, формулы сокращенного умножения по алгебре.

В процессе выполнения упражнений развивалось аналитическое мышление у обучающихся.

Обучающимися должны были быть сделаны определенные выводы о применении этой темы на практике. Умножение одночлена на многочлен применяется:

• в процессе упрощения выражений;
• в процессе нахождения корня уравнения;
• с целью доказательства некоторых тождественных выражений;
• в процессе решения задач на составление уравнений.

Содержание:

Многочлены

Многочлен

Выражение

Определение: Многочленом называют сумму нескольких одночленов.

Одночлены, составляющие многочлен, называют членами этого многочлена.

Например, членами многочлена являются одночлены

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д. Так,

— двучлены;

— трехчлены.

Считают, что каждый одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Многочлен стандартного вида

Рассмотрим многочлен Два его члена являются подобными слагаемыми, поскольку отличаются только числовыми множителями. Члены -6 и 3 не содержат переменных. Они также являются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена.

Приведем в многочлене его подобные члены:

Многочлен уже не имеет подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Определение:

Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов, называют многочленом стандартного вида.

Среди многочленов

только первый является многочленом стандартного вида, а два другие — нет, поскольку во втором многочлене первый член не является одночленом стандартного вида, а третий многочлен имеет подобные члены.

Степень многочлена

Многочлен имеет стандартный вид, и его членами являются одночлены соответственно четвертой, третьей и первой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью данного многочлена. Итак, — многочлен четвертой степени.

Определение:

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую степень одночленов, образующих данный многочлен.

По этому определению — многочлены первой степени; — многочлен второй степени; — многочлен шестой степени.

Члены многочлена можно записывать в произвольном порядке. Для многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, члены, как правило, записывают в порядке убывания или возрастания показателей степеней. Например:

Каждый многочлен является целым выражением. Однако не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения – не многочлены, поскольку они не являются суммами одночленов.

Примеры выполнения заданий:

Пример №117

Записать в стандартному виде многочлен:

Сложение и вычитание многочленов

Сложение многочленов

Сложим многочлены

.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали сумму данных многочленов в виде многочлена. Итак, суммой многочленов является многочлен

Таким же образом находят сумму трех и более многочленов. Сумму любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Вычитание многочленов

Вычтем из многочлена многочлен

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали разность данных многочленов в виде многочлена. Итак, разностью многочленов является многочлен

Разность любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №118

Найти сумму многочленов:

Пример №119

Найти разность многочленов

Решение:

Пример №120

Решить уравнение

Решение:

Ответ.-1,5.

Пример №121

Доказать, что сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3.

Решение:

Пусть из трех последовательных нечетных чисел наименьшим является где — некоторое целое число. Тогда следующие нечетные числа — Сумма этих трех чисел

делится на 3, поскольку имеет делитель 3.

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен на многочлен Используя распределительное свойство умножения, получим:

Итак, произведением одночлена и многочлена является многочлен Чтобы найти произведение, мы умножили одночлен на каждый член многочлена и полученные результаты сложили.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

По этому правилу можно умножать и многочлен на одночлен. Например:

Произведение любого одночлена и любого многочлена всегда можно :ать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №122

Выполнить умножение:

Сокращенная запись:

Сокращенная запись:

Пример №123

Упростить выражение

Решение:

Пример №124

Решить уравнение

Решение:

Ответ. 0,5.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен на многочлен Сведем умножение этих многочленов к умножению многочлена на одночлен. Для этого обозначим многочлен через Тогда:

Возвращаясь к замене получаем:

Итак, произведением многочлена и многочлена является многочлен

Выражение мы получили бы сразу, если бы умножили , потом и полученные произведения сложили. Можно сказать и так: произведение можно получить, если умножить каждый член многочлена на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Приходим к такому правилу:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножим по этому правилу многочлен на многочлен

Выполняя умножение многочленов, промежуточные результаты можно не записывать:

В каждом из рассмотренных примеров произведение двух многочленов мы записывали в виде многочлена. Вообще, произведение любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры выполнения заданий:

Пример №125

Выполнить умножение:

б) Найдем произведение первых двух многочленов, а потом полученное произведение умножим на третий многочлен:

Пример №126

Решить уравнение

Решение:

Ответ.-1,8.

Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

1. В шестом классе мы изучали разложение чисел на множители. Например, число 60 можно записать в виде произведения двух чисел 12 и 5:

Говорят, что число 60 разложили на два множителя 12 и 5.

На множители можно разложить и многочлены. Например,

Записав многочлен в виде произведения говорят, что многочлен разложили на два множителя Каждый из этих множителей — многочлен (первый многочлен состоит только из одного члена).

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения нескольких многочленов.

Сравните

2. Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители. Выполним умножение одночлена на многочлен:

Перепишем эти равенства в обратном порядке:

Многочлен разложили на два множителя Чтобы разложить многочлен на множители, достаточно в его членах и выделить общий множитель а потом на основании распределительного свойства умножения записать полученное выражение в виде произведения многочленов

Такой способ разложения многочленов на множители называют способом вынесения общего множителя за скобки.

Примеры выполнения заданий:

Пример №127

Разложить на множителя многочлен 12х³у – 18х²у².

Решение:

Сначала найдем общий числовой множитель для коэффициентов 12 и -18. Если коэффициентами являются целые числа, то в качестве общего числового множителя берут, как правило, наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов. В нашем случае это число 6. Степени с основанием входят в оба члена многочлена. Поскольку первый член содержит а второй — , то общим множителем для степеней с основанием является (за скобки выносят переменную с меньшим показателем). В члены многочлена входят соответственно множители и , за скобки можно вынести . Таким образом, за скобки можно вынести одночлен

Пример №128

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №129

Разложить на множители:

Решение:

Данное выражение является суммой двух слагаемых, для которых общим множителем является выражение Вынесем этот множитель за скобки:

Пример №130

Разложить на множители:

Решение:

Слагаемые имеют множители и которые отличаются только знаками. В выражении вынесем за скобки -1, тогда второе слагаемое будет иметь вид и оба слагаемых будут иметь общий множитель .

Следовательно,

Пример №131

Найти значение выражения при

Решение:

Разложим сначала многочлен на множители:

При получим:

Пример №132

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Ответ. 0; -1,25.

Разложение многочленов на множители способом группировки

Изучение этого способа разложения многочленов на множители начнем с рассмотрения примера умножения многочленов. Выполним умножение двучлена на двучлен следующим образом:

Выполняя преобразования в обратном порядке, многочлен можно разложить на два множителя

Проанализируем последние преобразования. Имеем многочлен, члены которого можно группировать так, чтобы каждая группа имела общий множитель: для группы — общий множитель для группы — общий множитель В каждой группе выносим общий множитель за скобки. В образованной разности имеем общий множитель Выносим его за скобки и получаем

Рассмотренный способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. При применении этого способа нужно образовывать такие группы членов, чтобы они имели общий множитель. После вынесения в каждой группе общего множителя за скобки должен образоваться общин множитель для всех групп, который также нужно вынести за скобки.

Многочлен можно разложить на множители, группируя его члены иначе:

Сравните

Примеры выполнения заданий:

Пример №133

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №134

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Представим второй член в виде Тогда: