Как найти степень степенной функции

Степенна́я фу́нкция — функция y=x^{a}, где a (показатель степени) — некоторое вещественное число[1][2]. К степенным часто относят и функцию вида y=kx^{a}, где k — некоторый (ненулевой) коэффициент[3]. Существует также комплексное обобщение степенной функции[⇨].

Степенная функция является частным случаем многочлена. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Вещественная функция[править | править код]

Область определения[править | править код]

Для целых положительных показателей a степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой, тогда как для отрицательных a, функция не определена в нуле (нуль является её особой точкой)[4].

Для рациональных {displaystyle a={frac {p}{q}} (q>0)} область определения зависит от чётности q и от знака p. так как {displaystyle x^{a}={sqrt[{q}]{x^{p}}}.}:

Для вещественного показателя a степенная функция x^{a}, вообще говоря, определена только при {displaystyle x>0.} Если a>0, то функция определена и в нуле[4].

Целочисленный показатель степени[править | править код]

Графики степенной функции y=x^{n} при целочисленном показателе n:

При нечётном n графики центрально-симметричны относительно начала координат, в котором имеет точку перегиба. При чётном n степенная функция чётна: {displaystyle (-x)^{n}=x^{n},} её график симметричен относительно оси ординат[5].

Графики степенной функции при натуральном показателе n>1 называются параболами порядка n. При чётном n функция всюду неотрицательна (см. графики). При n=1 получается функция y=kx, называемая линейной функцией или прямой пропорциональной зависимостью[3][5].

Графики функций вида {displaystyle y=x^{-n}={frac {1}{x^{n}}}}, где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n. При нечётном n оси координат являются асимптотами гипербол. При чётном n асимптотами являются ось абсцисс и положительное направление оси ординат (см. графики)[6]. При показателе -1 получается функция y={frac  {k}{x}}, называемая обратной пропорциональной зависимостью[3][5].

При a=0 функция вырождается в константу: {displaystyle y=1.}

Рациональный показатель степени[править | править код]

  • Графики степенных функций с рациональным показателем

    Графики степенных функций с рациональным показателем

  • Полукубические параболы '"`UNIQ--postMath-00000039-QINU`"'

Возведение в рациональную степень p/q определяется формулой:

{displaystyle x^{p/q}={sqrt[{q}]{x^{p}}}.}

Если p=1, то функция представляет собой арифметический корень степени q:

{displaystyle y=x^{1/q}={sqrt[{q}]{x}}.}

Пример: из третьего закона Кеплера непосредственно вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: T=kA^{{3/2}} (полукубическая парабола).

Свойства[править | править код]

Монотонность[править | править код]

В интервале (0,infty ) функция монотонно возрастает при a>0 и монотонно убывает при a<0. Значения функции в этом интервале положительны[3].

Аналитические свойства[править | править код]

Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена[4].

Производная функции: {displaystyle left(x^{a}right)^{prime }=ax^{a-1}}.

Ноль, вообще говоря, является особой точкой. Так, если a<n, то n-я производная в нуле не определена. Например, функция {displaystyle y={sqrt {x}}=x^{1/2}} определена в нуле и в его правой окрестности, но её производная {displaystyle y={frac {1}{2{sqrt {x}}}}} в нуле не определена.

Неопределённый интеграл[4]:

Таблица значений малых степеней[править | править код]

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Комплексная функция[править | править код]

Степенная функция комплексного переменного z в общем виде определяется формулой[7]:

y=z^{c}=e^{{ccdot operatorname {Ln}(z)}}

Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение i^{i} равно {displaystyle e^{-(4k+1){frac {pi }{2}}},} где k — произвольное целое, а его главное значение есть {displaystyle e^{iln(i)}=e^{-{frac {pi }{2}}}.}

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

  1. При натуральном показателе степени функция y=z^{n} однозначна и n-листна[8].
  2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь {frac {p}{q}}, то у функции будет q различных значений[7].

См. также[править | править код]

  • Логарифм
  • Целая рациональная функция
  • Показательная функция
  • Степенной закон в статистике

Примечания[править | править код]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций..
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  3. 1 2 3 4 Математическая энциклопедия, 1985.
  4. 1 2 3 4 БРЭ.
  5. 1 2 3 Математический энциклопедический словарь, 1988.
  6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — С. 171—172. — 544 с.
  7. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527..
  8. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.

Литература[править | править код]

  • Битюцков В. И. Степенная функция // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 208—209. — 1248 с.
  • Степенная функция // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 564—565. — 847 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

Ссылки[править | править код]

  • Степенная функция // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

Содержание:

Корень n-й степени и его свойства

Определение:

Квадратным корнем из числа a называется такое число b, квадрат которого равен a. Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Арифметический корень — неотрицательное значение корня. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Корнем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения называется такое число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степень которого равна Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Область допустимых значений (ОДЗ) квадратного корня:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует только при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует только при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Свойства корня n-й степени:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения нечетное число

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения четное число

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для произвольных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

4) При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

5) При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следствия:

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениявынесение множителя из под знака корня

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениявнесение множителя под знак корня

6) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

7) При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияосновное свойство корня

Значение корня из степени неотрицательного числа не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить (или разделить) на одно и то же натуральное число.

8) При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

4. Запись решений уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нечетное Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет единственный корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — четное Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеет корней.

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения все корни уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно записать так: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Примеры:

Объяснение и обоснование:

Определение корня n-й степени

Понятие корня квадратного из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения вам известно: это такое число, квадрат которого равен Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Аналогично определяется и корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — произвольное натуральное число, большее 1.

Корнем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения называется такое число, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степень которого равна Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Например, корень третьей степени из числа 27 равен 3, поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корень третьей степени из числа (-27) равен (-3), поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Числа 2 и (-2) являются корнями четвертой степени из 16, поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениякорни Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени называют также соответственно квадратным и кубическим корнями.

Как и для квадратного корня, для корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени вводится понятие арифметического корня.

Арифметическим корнем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения называется неотрицательное число, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степень которого равна Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для арифметического значения корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует специальное обозначение: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения где число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения называют показателем корня, а само число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — подкоренным выражением. Знак Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения называют также радикалом.

Например, то, что корень третьей степени из числа 27 равен 3, записывается так: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то, что корень четвертой степени из 16 равен 2, записывается так: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Но для записи того, что корень четвертой степени из 16 равен (-2), обозначения нет.

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует только при нечетных значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (поскольку не существует такого действительного числа, четная степень которого будет отрицательным числом). В этом случае корень нечетной степени Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения также обозначается Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Например, то, что корень третьей степени из числа (-27) равен (-3), записывается так: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Поскольку (-3) — отрицательное число, то Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не является арифметическим значением корня. Но корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметическое значение корня с помощью формулы Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы доказать приведенную формулу, заметим, что по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени это равенство будет верным, если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Действительно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а это и означает, что

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Например, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет тот же знак, что и число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку при возведении в нечетную степень знак числа не меняется.

По определению корня сСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени можно также записать, что в том случае, когда существует значение л/а, выполняется равенство

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и, в частности при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Область допустимых значений выражений с корнями n-й степени. Корни уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Заметим, что значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корня нечетной степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обоснуем это, например, для корня третьей степени. Обозначим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения будет существовать, если уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения будет иметь решение.

Изобразив графики функций Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 106), увидим, что при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения прямая Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения пересекает график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения в одной точке. Таким образом, при любом значении Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует единственное значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (поскольку функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает и принимает все значения от Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Аналогичное обоснование можно привести и для других корней нечетной степени (см. графики и свойства функций вида Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения).

Приведенные рассуждения позволяют записать решение уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для нечетных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияпри любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет единственный корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Например, уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет единственный корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — единственный корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (учитывая, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корень уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно записать так: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корня четной степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — существует только при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, в этом случае, когда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для квадратного корня это также можно обосновать, используя известный график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения тогда по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения будет существовать, если уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения будет иметь решение. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Изобразив графики функций Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 107), видим, что прямая Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения пересекает график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения только при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (причем, при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — в двух точках: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — только в одной точке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает все значения из промежутка Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим решения уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для четных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеет корней, поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным (на рисунке 107 прямая Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не пересекает график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Так же и уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеет корней (поскольку четная степень любого числа не может быть отрицательной).

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет единственный корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (поскольку четная степень любого отличного от нуля числа — число положительное, то есть не равное нулю, а Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения —корень уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поэтому Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — также корень уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Других корней это уравнение не имеет, поскольку свойства функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения аналогичны свойствам функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция возрастает, таким образом, значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения она может принимать только при одном значении аргумента Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Аналогично при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения убывает, поэтому значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения она может принимать только при одном значении аргумента Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет только два корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Например, уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеет корней, а уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет корни Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Свойства корня n-й степени

Свойства корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени можно обосновать, опираясь на определение корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени.

1) Формула Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения была обоснована на с. 264.

Обоснуем другие формулы, приведенные в таблице 42.

Напомним, что по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени для доказательства равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения достаточно проверить равенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения рассмотрим отдельно при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (нечетное) и при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (четное).

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениянечетное, то учитываем, что выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и то, что знак Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения совпадает со знаком Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени получаем

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениячетное, то учитываем, что выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения обозначает арифметическое значение корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени (таким образом, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) Формулу

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

обоснуем, рассматривая ее справа налево. Поскольку

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то по определению Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

4) Справедливость формулы

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения следует из равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

5) Для обоснования формулы

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения используем равенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

6) Для обоснования формулы

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

используем равенство

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

7) Основное свойство корня

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

следует из равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Например, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделили на натуральное число 3).

С помощью формулы Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить важные следствия: формулы вынесения множителя из-под знака корня или внесения множителя под знак корня.

Действительно, при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Рассматривая полученную формулу слева направо, имеем формулу вынесения неотрицательного множителя из-под знака корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а справа налево — формулу внесения неотрицательного множителя под знак корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Например, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

8) Отметим еще одно свойство корней Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени:

для любых неотрицательных чисел Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Докажем это методом от противного. Допустим, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда при возведении обеих частей последнего неравенства с неотрицательными членами в Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степень (с сохранением знака неравенства) получаем верное неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Это противоречит условию Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, наше предположение неверно, и Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Например, учитывая, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обобщение свойств корня n-й степени

Основная часть формул, которые выражают свойства корней Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени, обоснована для неотрицательных значений подкоренных выражений. Но иногда приходится выполнять преобразования выражений с корнями Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени и в том случае, когда таких ограничений нет: например, извлекать корень квадратный (или в общем случае корень четной степени) из произведения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения отрицательных чисел Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениясуществует, но формулой

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

воспользоваться нельзя: она обоснована только для неотрицательных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Но в случае Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и теперь Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, для извлечения корня из произведения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно применить формулу (1).

Тогда при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можем записать: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что полученная формула справедлива и при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияпоскольку в этом случае Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично можно обобщить свойство 6: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следует отметить, что в тех случаях, когда обоснование основных формул можно повторить и для отрицательных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения такими формулами можно пользоваться для любых Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (из ОДЗ левой части формулы).

Например, для корней нечетной степени для любых значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, выражения, стоящие в левой и правой частях этой формулы, существуют при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени выполняется и равенство (2).

Например, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Но некоторые формулы не удается использовать для любых значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Например, если мы по основному свойству корня запишем, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделили на натуральное число 2), то полученное равенство не является тождеством, поскольку при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (левая и правая часть этого равенства определены при всех значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — неверное равенство.

Таким образом, при делении показателя корня и показателя степени подкоренного выражения на четное натуральное число необходимо обобщить основное свойство корня. Для этого достаточно заметить, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и теперь основание степени подкоренного выражения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а значит можно применить основную формулу (свойство 7): Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

В общем случае, если при использовании основного свойства корня приходится делить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на четное натуральное число, то в результате основание степени подкоренного выражения приходится брать по модулю, то есть

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично можно обосновать и другие примеры использования основных свойств корней при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (из ОДЗ левой части формулы), которые приведены в таблице 43.

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Под термином «переход», который использован в таблице 43, следует понимать переход в соответствующей формуле от корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени к корню Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени.

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения оба четные, то такой переход коротко охарактеризован как «переход четная —» четная» (вида Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения оба нечетные, то в таблице записано, что выполнен «переход нечетная —» нечетная» (вида Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нечетное число, а Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — четное число, то в таблице указано, что выполнен «переход нечетная—» четная» (вида Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, если по условию задания на преобразование выражений с корнями Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени (иррациональных выражений) известно, что все буквы (которые входят в запись данного выражения) неотрицательные, то для преобразования этого выражения можно пользоваться основными формулами, а если такого условия нет, то приходится анализировать ОДЗ данного выражения и только после этого принимать решение, какими формулами пользоваться — основными или обобщенными.

Пример №1

Найдите значение выражения:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

  1. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения
  2. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения
  3. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Используем определение корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени. Запись Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения означает, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №2

Найдите значение выражения:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Используем свойства корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени и учтем, что каждую формулу, которая выражает эти свойства, можно применять как слева направо, так и справа налево. Например, для решения задания 1 воспользуемся формулой Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а для решения задания 2 применим эту же формулу справа налево, то есть: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №3

Сравните числа:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения= Так как Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениято Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Для сравнения данных чисел в каждом задании достаточно привести все корни к одному показателю корня и учесть, что для любых неотрицательных чисел Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

В задании 1 учтем, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения таким образом, после умножения числителя и знаменателя данной дроби на Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения знаменатель можно будет записать без знака радикала. В задании 2 достаточно числитель и знаменатель данной дроби умножить на разность Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (чтобы получить в знаменателе формулу разности квадратов).

Но выполнение аналогичного преобразования в задании 3 связано с определенными проблемами. ОДЗ выражения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (следовательно, все тождественные преобразования необходимо выполнять для всех значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Умножим числитель и знаменатель данной дроби на выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

По основному свойству дроби это можно сделать при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Но значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежит ОДЗ исходного выражения, поэтому выбранный нами способ решения приведет к сужению его ОДЗ.

Действительно, если записать, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то это равенство не является тождеством, поскольку не выполняется для Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения из ОДЗ исходного выражения.

В этом случае, чтобы не допустить ошибок, можно пользоваться таким ориентиром: если для тождественных преобразований (или для решения уравнений и неравенств) приходится применять преобразования (или формулы), приводящие к сужению ОДЗ исходного выражения, то значения, на которые сужается ОДЗ данного выражения, следует рассмотреть отдельно.

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) Обозначим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияТогда при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

(то есть ответ не может быть записан однозначно).

Пример №5

Упростите выражение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1 способ

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2 способ

Обозначим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения где Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом,

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

В задании 1 ОДЗ данного выражения: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияДля неотрицательных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения мы имеем право пользоваться всеми основными формулами преобразования корней(как слева направо, так и справа налево).

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно записать: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда числитель данной дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов.

Для того чтобы выделить в числителе разность квадратов, можно также выполнить замену Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

В задании 2 по условию Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поэтому мы имеем право воспользоваться основными формулами преобразования корней. ТогдаСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

В задании 3 ОДЗ данного выражения: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Но Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения приСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения мы можем пользоваться всеми основными формулами преобразования корней (как в задании 2), а при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения придется применить обобщенную формулу Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и учесть, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда можно записать: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Аналогично при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно записать Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Также следует иметь в виду, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Записывая ответ, необходимо учесть, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не принадлежит ОДЗ данного выражения.

Пример №6

Упростите выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

В условии не сказано о том, что значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения неотрицательные, поэтому придется сначала определить ОДЗ данного выражения.

Выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует при любых значениях а и является неотрицательным. Выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения также существует и неотрицательно при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения под знаком квадратного корня будет находиться неотрицательное выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения То есть заданное выражение существует при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и его преобразование необходимо выполнить на всей ОДЗ.

Преобразование данного выражения возможно несколькими способами, например:

  1. сначала рассмотреть корень квадратный из произведения, а потом воспользоваться формулой корня из корня и основным свойством корня;
  2. сначала внести выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения под знак кубического корня, а затем также применить формулу корня из корня и основное свойство корня. Выполняя преобразования каждым из этих способов, учитываем, что при любых Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (а значит, для этих выражений можно пользоваться основными формулами). Далее при использовании основного свойства корня приходится делить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на четное натуральное число 2, поэтому в результате основание степени подкоренного выражения берем по модулю (поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Иррациональные уравнения

Понятие иррационального уравнения:

Уравнения, в которых переменная находится под знаком корня, называются иррациональными. При решении заданное иррациональное уравнение чаще всего сводят к рациональному уравнению с помощью некоторых преобразований.

Решение иррациональных уравнений:

1. С помощью возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получаем уравнение, равносильное заданному (на его ОДЗ).

Пример №7

Решите уравнение: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 9

Пример №8

Решите уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Проверка. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения неверное равенство, следовательно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — посторонний корень. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения верное равенство, следовательно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — корень заданного уравнения.

Ответ: 3.

2. С помощью замены переменных

Если в уравнение переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример №9

Решите уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Получаем уравнение: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Выполняем обратную замену: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения откуда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 1; –8.

Объяснение и обоснование:

Иррациональными уравнениями называют такие уравнения, в которых переменная находится под знаком корня. Например, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияиррациональные уравнения.

Чаще всего решение иррациональных уравнений основывается на приведении данного уравнения с помощью некоторых преобразований к рациональному уравнению. Как правило, это достигается с помощью возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень (часто несколько раз).

Следует учитывать, что возведении обеих частей уравнения в нечетную степень всегда получаем у равнение, равносильное заданному (на его ОДЗ).

Например, уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения равносильно уравнению Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениято есть уравнению Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для обоснования равносильности уравнений (1) и (2) достаточно обратить внимание на то, что равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения могут быть верными только одновременно, поскольку функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения является возрастающей (на рисунке 108 приведен ее график) и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, все корни уравнения (1) (которые обращают это уравнение в верное равенство) будут корнями и уравнения (2), и наоборот, все корни уравнения (2) будут корнями уравнения (1). А это и означает, что уравнения (1) и (2) являются равносильными. Аналогично можно обосновать равносильность соответствующих уравнений и в случае возведения обеих частей уравнения в одну и ту же произвольную нечетную степень.

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если для решения иррационального уравнения обе части возвести в четную степень, то получаем уравнение-следствие — когда все корни первого уравнения будут корнями второго, но второе уравнение может иметь корни, которые не удовлетворяют данному уравнению. Такие корни называют по- сторонними для данного уравнения. Чтобы выяснить, являются ли полученные числа корнями данного уравнения, выполняют проверку полученных решений.

Например, для решения уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения возведем обе его части в квадрат и получим уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Выполняем проверку. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения уравнение (3) обращается в верное равенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Значит, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения является корнем уравнения (3).

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем неверное равенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — посторонний корень уравнения (3). То есть в ответ надо записать только Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Появление постороннего корня связано с тем, что равенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить при возведении в квадрат обеих частей равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения или равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, выполнение равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения еще не гарантирует выполнение равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения То есть корни уравнения (4) не обязательно являются корнями уравнения (3) (но, конечно, каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), поскольку при выполнении равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения обязательно выполняется и равенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №10

Решите уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Проверка: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения– корень

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения – посторонний корень.

Ответ: 1

Комментарий:

Изолируем один корень и возведем обе части уравнения в квадрат — так мы избавимся от одного из корней.

Затем снова изолируем корень и снова возведем обе части уравнения в квадрат — получим квадратное уравнение.

Поскольку при возведении в квадрат можно получить посторонние корни, то в конце выполним проверку полученных решений.

Пример №11

Решите уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — удовлетворяет условию Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — не удовлетворяет условию Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обратная замена дает:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Если в данное уравнение переменная входит в одном и том же виде Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то удобно это выражение с переменной обозначить одной буквой — новой переменной Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если зафиксировать ограничение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (арифметическое значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и в знаменателе не может стоять 0), то в результате замены и приведения полученного уравнения к квадратному будут выполняться равносильные преобразования данного уравнения.

Можно было не фиксировать ограничение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения но тогда в результате преобразований получаем уравнения-следствия, и найденные решения придется проверять.

Пример №12

Решите уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Получаем систему Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из первого уравнения находим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения подставляем во второе уравнение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Имеем систему

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Из первого уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения что удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Некоторые иррациональные уравнения, которые содержат несколько корней Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени, можно привести к системе рациональных уравнений, заменив каждый корень новой переменной.

После замены Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения из данного уравнения получаем только одно уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Для получения второго уравнения запишем, что по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Вычтем из первого равенства второе (чтобы избавиться от переменной Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и получим еще одну связь между Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Полученную систему уравнений решаем методом подстановки.

Выполняя обратную замену, необходимо выяснить, существует ли значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющее обоим соотношениям замены.

При решении систем уравнений, содержащих иррациональные уравнения, чаще всего используются традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных. При этом следует учитывать, что замена переменных (вместе с обратной заменой ) всегда является равносильным преобразованием (если при выбранной замене не происходит сужения ОДЗ данного уравнения или системы). Но если для дальнейшего решения уравнений, полученных в результате замены, мы будем пользоваться уравнениями-следствиями, то можно получить посторонние решения, и тогда полученные решения придется проверять.

Пример №13

Решите систему уравнений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Замена Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения дает

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из первого уравнения этой системы

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда из второго уравнения получаем

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обратная замена дает:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значит, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения следовательно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Если обозначить Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениято Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда заданная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить. После обратной замены получаем систему простейших иррациональных уравнений.

Так как замена и обратная замена приводят к равносильным системам, то решения заданной системы совпадают с решениями системы Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обобщение понятия степени

Степень с натуральным и целым показателем:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степень с дробным показателем:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Свойства степеней:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Вам известны понятия степеней с натуральным и целым показателями. Напомним их определения и свойства. Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число, большее, чем 1, то для любого действительного числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения равно произведению Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения сомножителей, каждый из которых равен Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения считают, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения где Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число. Например, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Вам известны также основные свойства степеней:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Напомним еще одно полезное свойство

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обобщим понятия степени для выражений вида Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и т. п., то есть для степеней с рациональными показателями. Соответствующее определение желательно дать так, чтобы степени с рациональными показателями имели те же свойства, что и степени с целыми показателями.

Например, если мы хотим, чтобы выполнялось свойство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то должно выполняться равенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Но по определению корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени последнее равенство означает, что число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения является корнем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени из числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Это приводит нас к такому определению.

Степенью числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения с рациональным показателем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — целое число, а Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения называется число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Также по определению принимаем, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Например, по определению степени с рациональным показателем:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Значение степени с рациональным показателем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (где Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не определяется при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Это объясняется тем, что рациональное число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно представить разными способами в виде дроби: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — любое натуральное число.

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения используя основное свойство корня и определение степени с рациональным показателем, имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не зависит от формы записи Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения это свойство не удается сохранить. Например, если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то должно выполняться равенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Но при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения То есть при отрицательных значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и вследствие этого определение степени Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

(где Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — целое, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — натуральное, не равное 1) для отрицательных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения обычно не вводится.

Покажем теперь, что для введенного определения степени с рациональным показателем сохраняются все свойства степеней с целыми показателями (различие состоит в том, что приведенные далее свойства являются правильными только для положительных оснований).

Для любых рациональных чисел Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и любых положительных чисел Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения выполняются равенства:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для доказательства этих свойств достаточно воспользоваться определением степени с рациональным показателем и свойствами корня Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения степени.

Пусть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения где Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — натуральные числа (большие 1),а Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — целые.

Тогда при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Понятие степени с иррациональным показателем

Опишем в общих чертах, как можно определить число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для иррациональных Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения когда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Например, объясним, как можно понимать значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Иррациональное число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим десятичные приближения числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения с недостатком и с избытком:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Будем считать, что когда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения – рациональные числа), то значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения находится между соответствующими значениями Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а именно: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Найдем с помощью калькулятора приближенные значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения выбирая как Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения приближенные значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения с недостатком и с избытком соответственно. Получаем соотношения:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Как видим, значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения приближаются к одному и тому же числу Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Это число и считается степенью Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом,

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения вычисленное на калькуляторе, следующее: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Можно доказать, что всегда, когда мы выбираем рациональные числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения которые с недостатком приближаются к иррациональному числу Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и рациональные числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения с избытком приближающиеся к этому же иррациональному числу Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для любого Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения существует, и притом только одно, число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения которое больше, чем все Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и меньше, чем все Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Это число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения по определению и есть значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично определяется и степень с иррациональным показателем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения только в случае, когда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения считают, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Кроме того, как и для рациональных показателей, по определению считают, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для любого Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для всех Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №14

Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

1) По определению степени с рациональным показателем для Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для задания 3 учтем, что выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения определено также и при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения В задании 4 при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения мы не имеем права пользоваться формулой (1). Но если учесть, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то для основания Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения формулой (1) уже можно воспользоваться, поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №15

Вычислите: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не существует, поскольку степень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения определена только при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Используем определение степени с рациональным показателем:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При выполнении задания 3 учитываем что выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не определено при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №16

Упростите выражение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Поскольку данные примеры содержат выражения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда в задании 1 неотрицательные числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно представать как квадраты Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и применить формулу разности квадратов: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а в задании 2 представить неотрицательное число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения как куб: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и применить формулу разложения суммы кубов:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №17

Решите уравнение: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая ОДЗ, получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 1.

Комментарий:

Область допустимых значений уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения все действительные числа, а уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — только Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При возведении обеих частей уравнения в куб получим уравнение, равносильное данному на его ОДЗ. Таким образом, первому уравнению удовлетворяют все найденные корни, а второму — только неотрицательные. (В задании 1 также учтено, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а в задании 2 — что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция, ее свойства и график

Определение: Функция вида Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — любое действительное число, называется степенной функцией.

1. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — четное натуральное число

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нечетное натуральное число

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нечетное отрицательное число

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

4. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — четное отрицательное число

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

5. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

6. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Степенными функциями называют функции вида Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — любое действительное число.

С некоторыми из таких функций вы уже ознакомились в курсе алгебры 7-9 классов. Это, например, функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения При произвольном натуральном Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения графики и свойства функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения аналогичны известным вам графикам и свойствам указанных функций.

Описывая свойства степенных функций, выделим те характеристики функций, которые мы использовали в разделе 1: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) точки пересечения с осями координат; 5) промежутки знакопостоянства; 6) промежутки возрастания и убывания; 7) наибольшее и наименьшее значения функции.

Функция вида y=xa (a— четное натуральное число)

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — четное натуральное число, то функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет свойства и график, полностью аналогичные свойствам и графику функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, область определения функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция четная: если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения симметричен относительно оси Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения всегда проходит через начало координат.

На промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция возрастает. Действительно, для неотрицательных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку, как известно из курса алгебры 9 класса, при возведении обеих частей верного неравенства с неотрицательными членами в четную степень (с сохранением знака неравенства) получаем верное неравенство.

На промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция убывает.

О Действительно, для неположительных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (и теперь Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

таким образом, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения области значений функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения составим уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Оно имеет решения для всех Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и только при таких значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Все эти числа и составят область значений функции. Следовательно, область значений данной функции: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, для всех действительных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Наименьшее значение функции равно нулю Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Наибольшего значения функция не имеет.

Отметим также, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая свойства функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем ее график (рис. 109).

Функция y=xa (a — нечетное натуральное число)

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нечетное натуральное число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то свойства функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения аналогичны свойствам функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, область определения функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция нечетная: если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, график функции симметричен относительно начала координат.

Поскольку при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения всегда проходит через начало координат.

На всей области определения функция возрастает.

Действительно, при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку при возведении обеих частей верного неравенства в нечетную степень (с сохранением знака неравенства) получаем верное неравенство.

Для нахождения области значений функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения составим уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Оно имеет решения для всех Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, область значений данной функции: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

Промежутки знакопостоянства: при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим также, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Как известно из курса алгебры и геометрии, графиком функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения является прямая, проходящая через начало координат (рис. 110), а при других нечетных натуральных функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет график, аналогичный графику функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 111).

Функция y=xa (a — нечетное отрицательное число)

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нечетное отрицательное число, то функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет свойства и график, полностью аналогичные свойствам и графику функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, область определения функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения кроме Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция нечетная: при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, график функции симметричен относительно начала координат.

Учитывая, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем, что график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не пересекает оси координат. На промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция убывает.

Действительно, для положительных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения следовательно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

На промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция также убывает. Это следует из того, что ее график симметричен относительно начала координат.

Приведем еще и аналитическое обоснование: если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (и теперь Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда по обоснованному выше Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения таким образом, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения области значений функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения составим уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Оно имеет решения для всех Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и только при таких значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений заданной функции: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. Промежутки знакопостоянства: при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим также, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая свойства функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем ее график (рис. 112).

Функция y=xa (a — четное отрицательное число)

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — четное отрицательное число, то функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет свойства и график, полностью аналогичные свойствам и графику функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, область определения функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения кроме Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция четная: при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, график функции симметричен относительно оси Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем, что график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не пересекает оси координат.

На промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция убывает.

Действительно, для положительных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения следовательно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

На промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция возрастает.

Это следует из того, что ее график симметричен относительно оси Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Приведем также и аналитическое обоснование: если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда по обоснованному выше Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения следовательно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения области значений функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения составим уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Оно имеет решения для всех Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и только при таких значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений заданной функции: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. Отметим также, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая свойства функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем ее график (рис. 113).

Функция y=xa (a — нецелое положительное число)

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нецелое положительное число, то функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нецелое) имеет область определения: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку значение степени с положительным нецелым показателем определено только для неотрицательных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда область определения несимметрична относительно точки 0, функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Поскольку при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения всегда проходит через начало координат. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Можно обосновать, что на всей области определения функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения является возрастающей.

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения области значений функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения составим уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Оно имеет решения для всех Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и только при таких значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений данной функции: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим также, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При изображении графика функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нецелое) следует учитывать, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения график имеет вид, аналогичный графику Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 114)*, а при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — аналогичный правой ветви графика Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 115).

Функция y=xa (a — нецелое отрицательное число)

Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нецелое отрицательное число, то функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — нецелое) имеет область определения: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку значение степени с отрицательным нецелым показателем определено только для положительных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда область определения несимметрична относительно точки 0, и функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Учитывая, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем, что график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не пересекает оси координат.

На промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция убывает, то есть для положительных значений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Докажем это, например, для случая, когда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — отрицательное рациональное нецелое число Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения При положительных V п

значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения учитывая результаты исследования функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при целом отрицательном Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Далее, учитывая то, что функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при положительных значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения является возрастающей, имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Можно обосновать, что и в том случае, когда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — отрицательное иррациональное число, функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения также убывает на всей области определения (то есть при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения области значений функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения составим уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Оно имеет решения для всех Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и только при таких значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Все эти числа и составят область значений функции.

Таким образом, область значений заданной функции: то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Отметим также, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениязначение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая свойства функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем ее график (рис. 116).

Особый случай. Если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (напомним, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — не определено) и ее график — прямая Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения без точки (0; 1) (рис. 117).

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №18

Найдите область определения функции: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значит, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения следовательно, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Учтем, что выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения определено при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а выражение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения только при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №19

Постройте график функции:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Строим график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а затем параллельно переносим его вдоль оси Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Строим график функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а затем параллельно переносим его вдоль оси Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения на (-2).

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Графики данных функций можно получить из графиков функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияс помощью параллельного переноса:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Применение свойств функций к решению иррациональных уравнений

Напомним основные идеи, которые используются при решении уравнений с помощью свойств функций.

Конечная ОДЗ

Ориентир:

Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Пример:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

ОДЗ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, ОДЗ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Проверка. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Других корней нет, так как ОДЗ принадлежит только одно число.

Ответ: 3.

Оценка значений левой и правой частей уравнения

Ориентир:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если требуется решить уравнение вида Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и выяснилось, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то равенство между левой и правой частями уравнения возможно лишь в случае, если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения одновременно равны Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Запишем заданное уравнение так:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Итак, заданное уравнение равносильно системе

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из второго уравнения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения что удовлетворяет и первому уравнению.

Ответ: 2.

Использование монотонности функций

Схема решения уравнения:

  1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
  2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения).

Теоремы о корнях уравнения:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

1. Если в уравнении Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет единственный корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решениято есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает (на всей области определения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения как сумма двух возрастающих функций.

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Если в уравнении Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает на некотором промежутке, а функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет единственный корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает (при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения убывает.

Объяснение и обоснования:

Использование конечности ОДЗ для решения иррациональных уравнений

Основными способами решения иррациональных уравнений, которые используются в курсе алгебры и начал анализа, являются выполнение равносильных преобразований уравнений или получение уравнений-следствий, позволяющих привести данное уравнение к рациональному. Но иногда полученное рациональное уравнение оказывается сложным для решения.

Например, уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения приведенное в пункте 1 таблицы 47, можно привести к рациональному, изолируя Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и возводя обе части в четвертую степень, а затем изолируя выражение, содержащее Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и возводя обе части в квадрат. Но в результате мы получим полное уравнение шестнадцатой степени. В таких ситуациях попробуем применить известные нам методы решения уравнений, связанные с использованием свойств функций. В частности в рассматриваемом ОДЗ определяется условиями Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда получаем только одно значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежащее ОДЗ. Поскольку любой корень уравнения принадлежит его ОДЗ, достаточно проверить, являются ли числа, входящие в ОДЗ, корнями данного уравнения. Проверка показывает, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — корень. Других корней быть не может, поскольку ОДЗ уравнения состоит только из одного значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что в том случае, когда ОДЗ данного уравнения — пустое множество (не содержит ни одного числа), мы даже без проверки можем дать ответ, что уравнение не имеет корней. Например, если требуется решить уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то его ОДЗ задается системой Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть системой Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеющей решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Оценка значений левой и правой частей уравнения

Иногда в тех случаях, когда иррациональное уравнение приводится к громоздкому рациональному (или совсем не приводится к рациональному), целесобразно попробовать оценить значения функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения. Например, чтобы решить уравнениеСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решениядостаточно с помощью равносильных преобразований записать его в виде: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения В левой части последнего уравнения стоит функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения на всей области определения, а в правой — функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при всех значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда равенство между левой и правой частями уравнения возможно только в том случае, когда они одновременно равны нулю. Таким образом, уравнение (1) равносильно системеСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решим сначала первое уравнение этой системы.

Учтем, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСумма двух неотрицательных функций может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения равносильно системе Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеющей единственное решение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Это решение удовлетворяет и второму уравнению системы (2) (действительно: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, система (2) также имеет только одно решение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Значит, и уравнение (1) имеет единственный корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Использование монотонности функций:

Еще одним способом решения тех иррациональных уравнений, которые приводятся к громоздким рациональным, является использование возрастания или убывания соответствующих функций. Чаще всего это делается по такой схеме:

  1. подбираем один или несколько корней уравнения;
  2. доказываем, что других корней это уравнение не имеет.

Примеры использования этого приема для решения иррациональных уравнений — в таблице 47.

Примеры использования других способов решения иррациональных уравнений

Если при решении иррациональных уравнений мы используем уравнения-следствия, то в конце приходится выполнять проверку полученных корней. Но в тех случаях, когда эти решения — не рациональные числа, проверка с помощью подстановки полученных значений в исходное уравнение является достаточно сложной и требующей громоздких вычислений.

Для таких уравнений приходится применять равносильные преобразования на каждом шагу решения.

При этом необходимо помнить, что все равносильные преобразования уравнений или неравенств выполняются на ОДЗ данного уравнения или неравенства, поэтому, выполняя равносильные преобразования иррациональных уравнений, приходится учитывать ОДЗ данного уравнения. Достаточно часто в этих случаях используются также следующие рассуждения: для всех корней данного уравнения знаки левой и правой частей уравнения совпадают, поскольку при подстановке в данное уравнение числа, которое является его корнем, получаем верное числовое равенство. Используя последнее рассуждение, часто удается получить какое-нибудь дополнительное условие для корней данного уравнения и выполнить равносильные преобразования не на всей ОДЗ данного уравнения, а на некоторой его части.

Пример №20

Решите уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

ОДЗ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение этой системы:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для всех корней уравнения (1)

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При этом условии уравнение (1) равносильно уравнениям:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежит ОДЗ и удовлетворяет условию (2), таким образом, является корнем данного уравнения; Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежит ОДЗ, но не удовлетворяет условию (2), а значит, не является корнем данного уравнения.

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения.

Учитывая, что все равносильные преобразования выполняются на ОДЗ данного уравнения, зафиксируем его ОДЗ.

При переносе члена Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения из левой части уравнения в правую с противоположным знаком получаем уравнение, равносильное данному.

В уравнении Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения обе части неотрицательные, следовательно, при возведении обеих частей в квадрат получим уравнение, равносильное данному, которое, в свою очередь, равносильно уравнению (1).

Для всех корней уравнения (1) оно является верным числовым равенством. В этом равенстве правая часть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — неотрицательное число, тогда и левая часть является неотрицательным числом, то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для всех корней. Тогда при условии (2) обе части уравнения (1) неотрицательные, таким образом, при возведении обеих частей в квадрат получаем равносильное уравнение. Но после нахождения корней этого уравнения необходимо проверить не только то, входят ли они в ОДЗ, но и удовлетворяют ли они условию (2). Для такой проверки достаточно взять приближенные значения корней Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №21

Решите уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Замена Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения позволяет заметить, что каждое выражение, стоящее под знаком внешнего квадратного корня, является квадратом двучлена.

Применяя формулу Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем уравнение с модулями, для решения которого используем план:

  1. найти ОДЗ;
  2. найти нули всех подмодульных функций;
  3. отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;
  4. найти решения уравнения в каждом из промежутков.

Решение:

Пусть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияТогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Получаем уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения которое можно записать так: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Отсюда

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

1) ОДЗ уравнения (1): Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения но по смыслу задания это уравнение необходимо решить при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Нули подмодульных функций: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) Эти нули разбивают область Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения на три промежутка, в каждом из которых каждая подмодульная функция имеет постоянный знак (см. рисунок).

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Промежуток I. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения но промежутку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежит только Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Промежуток II. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем уравнение

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения равносильное уравнению Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеющему корней. Таким образом, на промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корней нет.

Промежуток III. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения из которого получаем уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеющее корней. Таким образом, на промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корней нет.

Объединяя полученные результаты, делаем вывод, что уравнение (1) имеет только один корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Выполняя обратную замену, получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения откуда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 1.

Пример №22

Решите уравнение

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не является корнем данного уравнения, то при делении обеих частей уравнения на Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем равносильное уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

После замены Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корни которого

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Выполнив обратную замену, получаем:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Если выполнить замену Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения то получим уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения все члены которого имеют одинаковую суммарную степень * — два. Напомним, что такое уравнение называется однородным и решается делением обеих частей на наивысшую степень одной из переменных. Разделим обе части, например, на Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (то есть на Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы при делении на выражение с переменной не потерять корни уравнения, необходимо те значения переменной, при которых это выражение равно нулю, рассмотреть отдельно. В данном уравнении надо подставить значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения в исходное уравнение (это можно выполнить устно, а в решение записать только полученный результат). Для реализации полученного плана решения не обязательно вводить переменные Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения достаточно заметить, что исходное уравнение однородное, разделить обе части на Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а уже затем ввести новую переменную Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение иррациональных неравенств

Метод интервалов (для неравенств вида Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения:

  1. Найти ОДЗ неравенства.
  2. Найти нули функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения
  3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
  4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример №23

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Заданное неравенство равносильно неравенству Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

ОДЗ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Нули Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решенияСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения корень, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — посторонний корень.

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

1) При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному (на ОДЗ данного неравенства).

Пример №24

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Данное неравенство равносильно неравенствам: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Если обе части неравенства неотрицательны, то при возведении обеих частей неравенства в четную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному (на ОДЗ заданного неравенства).

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

ОДЗ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Обе части данного неравенства неотрицательны, следовательно, данное неравенство равносильно (на его ОДЗ) неравенствам: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Учитывая ОДЗ, получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) Если на ОДЗ заданного неравенства какая-либо часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то прежде чем возводить обе части неравенства в четную степень, эти случаи необходимо рассмотреть отдельно. Например,

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Данное неравенствао равносильно совокупности систем:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решив неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (см. рисунок).

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем решение первой системы: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Решение второй системы: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Объединяя эти решения, получаем ответ.

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Объяснение и обоснование:

1. Решение иррациональных неравенств методом интервалов. Общая схема решения неравенств методом интервалов, а пример применения метода интервалов к решению иррациональных неравенств приведен в таблице 48.

2. Равносильные преобразования иррациональных неравенств. Когда для решения иррациональных неравенств используются равносильные преобразования, то чаще всего с помощью возведения обеих частей неравенства в одну и ту же степень данное неравенство приводится к рациональному неравенству. При этом необходимо иметь в виду следующие свойства:

1) Если обе части неравенства приходится возводить в нечетную степень, то воспользуемся тем, что числовые неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения или одновременно верны, или одновременно неверны. Тогда каждое решение неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство) будет также и решением неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и, наоборот, каждое решение неравенства (2) будет также и решением неравенства (1), то есть неравенства (1) и (2) — равносильны. Таким образом, при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному (на ОДЗ данного). Например,

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Аналогично, если числа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения неотрицательны Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то числовые неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения также или одновременно верны, или одновременно неверны. Повторяя предыдущие рассуждения, имеем: если обе части неравенства неотрицательные, то при возведении обеих частей неравенства в четную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному (на ОДЗ данного).

Например, рассматривая неравенство

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

на его ОДЗ, где Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения замечаем, что для всех решений неравенства (3) левая часть неотрицательна (арифметический корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и неравенство (3) может выполняться только при условии

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если выполняется условие (4), то обе части неравенства (3) неотрицательны и при возведении в четную степень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем неравенство, равносильное данному: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (при условии, что учитывается ОДЗ данного неравенства и условие (4)). Таким образом, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) Если с помощью равносильных преобразований требуется решить неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения на его ОДЗ, где Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то для правой части этого неравенства рассмотрим два случая: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что для всех решений неравенства (6) ограничение ОДЗ данного неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения выполняется автоматически; таким образом, при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения достаточно записать только неравенство (6).

Объединяя полученные результаты, делаем вывод:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Примеры решения задач:

Пример №25

Решите неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Приведем неравенство к виду Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и решим его методом интервалов. Для нахождения нулей функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения используем уравнения-следствия. Чтобы исключить посторонние корни, выполним проверку полученных корней.

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Обозначим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Нули функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияВозводим обе части последнего уравнения в квадрат:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — корень, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — посторонний корень.

3. Разбиваем ОД3 точкой 1,5 на два промежутка и находим знак Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения в каждом из промежутков (см. рисунок).

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №26

Решите неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

I способ (метод интервалов)

Комментарий:

Приведем данное неравенство к виду Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и решим его методом интервалов. При нахождении ОДЗ данного неравенства для решения неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения также используем метод интервалов (ОДЗ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения нулей функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения используем уравнения-следствия. Хотя функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеет нулей, но и в этом случае метод интервалов можно использовать. Только в этом случае интервалы знакопостоянства функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения совпадают с интервалами, из которых состоит ее область определения.

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

1.ОДЗ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Решим неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения методом интервалов (см. рисунок). Получаем: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Нули функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3. ОДЗ неравенства (1) разбивается на два промежутка, в которых функция Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет знаки, указанные на рисунке.

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

II способ (равносильные преобразования)

Комментарий:

Для решения используем равносильные преобразования (с. 311): Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Чтобы решить полученное промежуточное неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения учтем условия, при которых эта дробь будет неотрицательной.

В конце, объединяя полученные решения, записываем ответ.

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Учитывая, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при всех значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем, что последняя совокупность трех систем равносильна совокупности. Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Записывая приведенное решение, знаки равносильности Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно не ставить, достаточно вначале записать фразу: «Выполним равносильные преобразования данного неравенства».

Пример №27

Решите неравенство

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Замена Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения позволяет заметить, что каждое выражение, стоящее под знаком внешнего квадратного корня, является квадратом двучлена.

Применяя формулу Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем неравенство с модулями, для решения которого используем план:

  1. найти ОДЗ;
  2. найти нули всех подмодулъных функций;
  3. отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;
  4. найти решения неравенства в каждом из промежутков.

Решение:

Пусть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения где Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Получаем неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения которое можно записать так: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Получаем

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

1. ОДЗ неравенства (2): Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения но по смыслу задания это неравенство необходимо решить при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3. Эти нули разбивают область Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения на три промежутка, в каждом из которых каждая подмодульная функция имеет постоянный знак (см. рисунок).

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Промежуток I. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения из которого получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения но промежутку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежит только Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Промежуток II. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения равносильное неравенству Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения которое выполняется при любых значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, на промежутке Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения решениями неравенства будут все значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения из этого промежутка Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Промежуток III. При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения из которого получаем но промежутку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежит только значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Объединяя полученные результаты, делаем вывод, что решениями неравенства (2) будут все значения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения такие, что: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Выполняя обратную замену, имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения откуда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

Как и раньше, при решении задач с параметрами, в которых требуется решить уравнение или неравенство, можно пользоваться ориентиром: любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Но в том случае, когда какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

Также на этапе составления плана решения уравнений или неравенств с параметрами или при проведении рассуждений, связанных с самим решением, часто удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Отметим, что уравнения и неравенства с параметрами чаще всего решают с помощью их равносильных преобразований, хотя иногда используются и свойства функций, метод интервалов для решения неравенств и уравнения-следствия.

Пример №28

Решите уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Мы не можем однозначно дать ответ на вопрос, есть ли у данного уравнения корни, и поэтому уже на первом шаге должны разбить решение на два случая: 1) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — корней нет, 2) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — корни есть (см. схему).

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем простейшее иррациональное уравнение,обе части которого неотрицательные. Поэтому при возведении обеих его частей в квадрат получим уравнение, равносильное данному. ОДЗ данного уравнения можно не записывать, оно учитывается автоматически, потому что для всех корней полученного уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1)При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения уравнение не имеет корней.

2) При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 1) если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то корней нет; 2) если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №29

Решите уравнение

Решение:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для всех корней уравнения (1)

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияТогда уравнение (1) равносильно уравнениям: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для всех корней уравнения (4)

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда уравнение (4) равносильно уравнению Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Учтем ограничения (2) и (5): Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения По условию (5) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, условия (2) и (5) задают систему Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корней нет. Используем равносильные пробразования данного уравнения. Для этого необходимо учесть его ОДЗ:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При переносе члена данного уравнения из левой части в правую с противоположным знаком получим равносильное уравнение (1).

Для всех корней уравнения (1) оно является верным числовым равенством. Его левая часть неотрицательна, таким образом, и правая часть должна быть неотрицательной. Тогда далее можно решать уравнение (1) не на всей ОДЗ, а только на той ее части, которая задается условием (2). По этому условию обе части уравнения (1) неотрицательны, таким образом, при возведении обеих его частей в квадрат получим равносильное уравнение (3) (а после равносильных преобразований — уравнение (4)).

Для всех корней уравнения (3) его правая часть неотрицательна, таким образом, и левая часть будет неотрицательной: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения но тогда условие (7) ОДЗ данного уравнения учтено автоматически и его можно не записывать в решение.

Также для всех корней уравнения (4) его левая часть неотрицательна, таким образом, и правая часть должна быть неотрицательной. Поэтому далее можно решать уравнение (4) не на всей ОДЗ, а только на той ее части, которая задается условием (5). Тогда обе части уравнения (4) неотрицательны и после возведения обеих его частей в квадрат получим равносильное уравнение(6).

Для всех корней уравнения (6) его правая часть неотрицательна, таким образом, и левая часть будет неотрицательной: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения но тогда и условие (8) ОДЗ данного уравнения учтено автоматически, и поэтому ОДЗ можно не записывать в решение.

Пример №30

Решите уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Для всех корней данного уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда данное уравнение равносильно уравнениям:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для всех корней уравнения (3)

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда уравнение(3)равносильно уравнениям:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим уравнение (6) как квадратное относительно Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения или Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая условия (1) и (4), получим, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения таким образом, уравнение (7) не имеет корней.

Если для корней уравнения (8) выполняется условие Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то автоматически выполняется и условие Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из уравнения(8)получимСтепенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Это уравнение имеет корни, если

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения условие Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения выполняется, таким образом, Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — корень данного уравнения при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учтем условие Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Как и в задаче 2, ОДЗ данного уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения^ будет учтена автоматически при переходе к уравнениям (2) и (5) (для всех корней этих уравнений), таким образом, ее можно не записывать в решении.

Рассуждения при выполнении равносильных преобразований данного уравнения (в уравнения (2,3,5, 6) аналогичны соображениям, приведенным в комментарии к задаче 2.

Анализируя уравнение (6) (которое достаточно трудно решить относительно переменной Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения пользуемся ориентиром, который условно можно назвать «Ищи квадратный трехчлен», а именно: пробуем рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной (или относительно какой-либо функции).

Рассмотрим уравнение (6) как квадратное относительно параметра Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Этот способ эффективно срабатывает только тогда, когда дискриминант полученного квадратного трехчлена является полным квадратом, как в данном случае.

Перед записью ответа удобно изобразить все полученные решения на схеме (как это описано на с. 219). Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из этой схемы видно, что при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения в ответ нужно записать только одну формулу Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения – две формулы Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корней нет.

Пример №31

Решите неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Данное неравенство равносильно системе Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем систему Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения решение которой Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

получаем систему Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решим отдельно неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда система (2) имеет решения: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения получаем систему

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Система (3) решений не имеет, поскольку при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения первое и второе неравенства не имеют общих решений.

Ответ: при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения решений нет.

Комментарий:

Используем равносильные преобразования. Для этого учтем ОДЗ данного неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и то, что правая часть неотрицательна, таким образом, для всех решений данного неравенства его левая часть должна быть положительной Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения При этом условии (на ОДЗ) обе части данного неравенства неотрицательны, таким образом, при возведении обеих частей неравенства в квадрат получим равносильное неравенство.

Получаем систему (1).

Для решения неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения необходимо рассмотреть три случая: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (делить на Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения нельзя); Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (знак неравенства сохраняется при делении обеих его частей на Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения); Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (знак неравенства изменяется).

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поэтому два первых неравенства системы (2) имеют общее решение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а для решения неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно применить графическую иллюстрацию:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения поэтому два первых неравенства системы (3) не имеют общих решений, таким образом, и вся система (3) не имеет решений.

Пример №32

Решите неравенство Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Сначала воспользуемся равносильными преобразованиями (с. 311):

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если в полученные системы параметр а входит линейно, то в таких случаях иногда бывает удобно выразить параметр через переменную,рассмотреть параметр как функцию от этой переменной и применить графическую иллюстрацию решения неравенств (в системе координат Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Отметим, что для изображения решений совокупности неравенств удобно применить две системы координат, в которых оси Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения находятся на одной прямой (и на каждой выделять штриховкой соответствующие решения).

При разных значениях Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения прямая Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения или не пересекает заштрихованные области (при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения или пересекает их по отрезкам. Абсциссы точек пересечения являются решениями систем (1) и (2), а поэтому и решениями данного неравенства.

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности систем:

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения или Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Изобразим графические решения систем неравенств (1) и (2) в системе координат Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (на рисунках заштрихованы соответствующие области Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Видим, что: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения решений нет ( нет заштрихованных точек) Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то прямая Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения пересекает только заштрихованную область Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Причем полученный интервал ограничен слева и справа ветвями параболы Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Но в ответ нам необходимо записать Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения через Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Для этого из уравнения Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения находим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

  • Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Как видим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения уравнение правой ветви параболы, а Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения — левой. Тогда ответ в этом случае будет: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то прямая Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения пересекает заштрихованные области Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Для области Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения интервал для Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения ограничен: слева — прямой Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а справа — правой ветвью параболы, то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Для области Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения интервал для Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения ограничен слева прямой Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения а справа — прямой Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Объединение этих интервалов можно записать короче:

  • Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 1) при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения решений нет; 4

2) при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для решения некоторых исследовательских задач с параметрами можно применить свойства квадратного трехчлена и, в частности, условия расположения корней квадратного трехчлена относительно данных чисел (табл. 37, с. 225).

Пример №33

Найдите все значения параметра Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения при которых имеет корни уравнение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Замена Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Получаем уравнение

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Данное уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда уравнение (1) будет иметь хотя бы один неотрицательный корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Случай Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения исследуем отдельно.

При Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения из уравнения (1) имеем Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, при Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения уравнение (1) имеет корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решенияТогда и данное уравнение имеет корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет условию задачи.

Обозначим Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение (1) может иметь хотя бы один положительный корень в одном из двух случаев:

  • 1) один корень положительный и один корень отрицательный — для этого необходимо и достаточно выполнения условия Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения
  • 2) оба корня положительные — для этого необходимо и достаточно выполнения системы условий:Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Условие Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения дает Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Система (2) дает Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Если иррациональное уравнение содержит только один корень, то иногда можно привести такое уравнение к рациональному, обозначив этот корень новой переменной. Поскольку замена является равносильным преобразованием (вместе с обратной заменой), то получаем уравнение, равносильное данному, и поэтому вместо исследования данного уравнения можно исследовать полученное.

При этом следует учитывать, что после замены переменной иногда изменяется условие задачи, в частности, для уравнения (1) оно будет таким: найти все значения параметра Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения для которых это уравнение имеет хотя бы один неотрицательный корень (тогда после обратной замены мы обязательно найдем корни данного уравнения). Это возможно в одном из трех случаев: или один из корней уравнения (1) равен нулю (этот случай легко исследуется подстановкой Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения в уравнение (1)), или уравнение (1)имеет один положительный и один отрицательный корни, или имеет два положительных корня. Изобразив соответствующие эскизы графиков функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения (см. рисунок), записываем необходимые и достаточные условия такого расположения корней квадратного трехчлена (или используем табл. 37 на с. 225).

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для решения квадратного неравенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения можно применить графическую иллюстрацию.

Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

В конце необходимо объединить все полученные результаты. Конечно, для получения ответа можно было решить данное уравнение (аналогично задаче 2), а затем дать ответ на вопрос задачи, но такой путь потребует более громоздких вычислений.

Сведения из истории степени

Понятие степени возникло в древности. Сохранились глиняные плитки древних вавилонян (около 1700 г. до н. э.), которые содержат записи таблиц квадратов и кубов и их обратных значений. К умножению равных множителей приводит решение многих задач. Выражение квадрат числа возникло вследствие вычисления площади квадрата, а куб числа — вследствие нахождения объема куба. Но современные обозначения (типа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения введены в XVII в. Р. Декартом (1596—1650).

Дробные показатели степени и простейшие правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. Орема (ок. 1323 —1382). Известно, что Н. Шюке (ок. 1445 — ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.

С. Стевин предложил понимать под Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения корень Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения. Но систематически дробные и отрицательные показатели первым стал применять И.Ньютон (1643—1727).

Немецкий математик М. Штифель (1487—1567) ввел обозначение Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения если Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения и название показатель (это перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возвести в степень. (Отсюда происходит и слово потенцировать, которое будет применяться в следующем разделе для обозначения переходов от так называемых логарифмов Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения выражений Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

к соответствующим степеням, то есть от равенства Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения к равенству Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения В свою очередь, термин exponenten возник вследствие не совсем точного перевода с греческого слова, которым Диофант Александрийский (около III в.) обозначал квадрат неизвестной величины.

Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, которое имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «взять корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)». Знак корня в виде символа Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения появился впервые в 1525 г. Современный символ введен Декартом, который добавил горизонтальную черту. Ньютон уже обозначил показатели корней: Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

Термин логарифм происходит от сочетания греческих слов «логос» (в значении «отношение») и «аритмос» (число) и переводится как отношение чисел. Выбор изобретателем логарифмов Дж. Непером такого названия (1594 г.) поясняется тем, что логарифмы возникли вследствие сопоставления двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе — геометрической. Логарифмы по основанию ввел Спейдел (1619 г.), который составил первые таблицы для функции Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения Название натуральный (естественный) для этого логарифма предложил Н. Меркатор (1620— 1687), который выяснил, что Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения— это площадь под гиперболой Степенная функция - определение и вычисление с примерами решения

  • Степень с целым показателем
  • Корень n-й степени
  • Тождества с корнями, содержащие одну переменную
  • Действия с корнями нечетной степени
  • Производные показательной и логарифмической функций
  • Показательно-степенные уравнения и неравенства
  • Показательные уравнения и неравенства
  • Логарифмические уравнения и неравенства

Свойства степенных функций, построение графиков

Содержание:

  • Степенная функция — что это такое
  • Виды и их свойства, область определения
  • Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем
  • Как строить графики степенных функций
  • Задачи со степенной функцией

Степенная функция — что это такое

Степенная функция является функцией вида (x^{a}), где а – целое, дробное, положительное или отрицательное число.

К степенным функциям в теории относятся следующие виды:

  • линейная функция (y = kx + b);
  • квадратичная парабола (y = x^{2}) (в общем виде: (y = ax^{2} + bx + c));
  • кубическая парабола (y = x^{3});
  • гипербола (y = frac{1}{x}), которую можно представить в виде( y = x^{-1};)
  • функция (y =sqrt{x}), так как (sqrt{x} = x^{frac{1}{2}}.)

В качестве примера можно рассмотреть описание функции: (y=x^{frac{m}{n}}). В первую очередь следует проанализировать функции с показателем степени (frac{m}{n}>1). Например, задана некая функция:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(y=x^2*5.)

Исходя из обозначения, при x≥0, область определения рассматриваемой функции – это луч [0;+∞).

Далее следует записать таблицу значений:

Таблица

Источник: mathematics-tests.com

Затем можно сравнить несколько степенных функции следующим способом:

(y=x^2;)

(y=x^{2,5};)

(y=x^3.)

Число 2,5 находится между 2 и 3. В таком случае можно предположить, что и график рассматриваемой функции расположен между соответствующими графиками. Можно представить разные характеристики х, чтобы сравнить значения функций, которые зависят от x:

При (0<x<1), получается (x^6<x^5<x^4), но и выполняется (sqrt{x^6}<sqrt{x^5}<sqrt{x^4}) или (x^3<x^{2,5}<x^2.)

При (x>1), получается (x^4<x^5<x^6), но и выполняется (sqrt{x^4}<sqrt{x^5}<sqrt{x^6}) или (x^2<x^{2,5}<x^3.)

Все графики целесообразно построить на одном рисунке. В первом случае (0<x<1):

Все графики целесообразно построить на одном рисунке

Источник: mathematics-tests.com

В данном случае синий цвет соответствует функции (y=x^2); красный:( y=x^{2,5}); зеленый: (y=x^3). На следующем этапе нужно построить графики по порядку на всей области определения функции (y=x^{2,5}). Цвет графиков останется прежним, как и на предыдущем рисунке:

Цвет графиков останется прежним

Источник: mathematics-tests.com

График функции (y=x^{frac{m}{n}}), ((m>n)) является кривой, которая проходит через точки (0,0) и (1,1), и напоминает ветвь параболы. При увеличении показателя график функции в верхнем положении становится круче.

Линейная функция y = kx + b. Графиком данной функции является прямая линия. Для того, чтобы ее построить, требуется пара точек. При k > 0, линейная функция будет расти. При увеличении k график становится круче. Значение k представляет собой угловой коэффициент прямой и равно тангенсу угла наклона рассматриваемой прямой к положительному направлению оси X:

Значение k представляет собой угловой коэффициент прямой

Источник: ege-study.ru

При использовании k < 0, можно наблюдать убывание линейной функции. Заметим, что в данном случае угол α — тупой и tg α < 0.

убывание линейной функции

Источник: ege-study.ru

При k = 0, на графике будет изображена прямая y = b, которая параллельна оси X. В том случае, когда имеет место равенство угловых коэффициентов прямых, прямые будут параллельны друг другу.

равенство угловых коэффициентов прямых, прямые будут параллельны друг другу

Источник: ege-study.ru

Квадратичная функция (y = ax2 + bx + c) представляет собой параболу. Она обладает рядом особенностей:

  1. При a > 0, ветви параболы направлены вверх, при a < 0 — вниз.
  2. Формулы для вычисления координат, которые соответствуют вершине параболы: 

    Формулы

     

  3. Точки пересечения параболы с осью X вычисляют, как корни квадратного уравнения (ax^{2} + bx + c = 0).
  4. При отсутствии корней или дискриминанте, который меньше нуля, парабола и ось Х не пересекаются.
  5. Точку пересечения параболы с осью Y можно определить, подставив в ее уравнение (x = 0).

Функция (y = x^{3}) является кубической параболой. Можно представить ее на рисунке, а также функции( y = x^{4}) и (y = x^{5}.)

Функция

Источник: ege-study.ru

Можно отметить, что функции (y = x^{2}) и (y = x^{4}) обладают некоторыми сходствами. Графики являются симметричными по отношению к оси Y. В данном случае можно сказать, что рассматриваемые функции – четные.

Функция (y = f(x)) является четной, когда:

  • область определения функции симметрична относительно нуля;
  • каждое значение x из области определения соответствует справедливому равенству (f(−x) = f(x)).

Графики функций (y = x^{3}) и (y = x^{5}) симметричны по отношению к началу координат. Данные функции являются нечетными.

Функция (y = f(x)) – нечетная, при условии, что:

  • область определения функции симметрична относительно нуля;
  • любой x из области определения соответствует равенству (f(-x) = -f(x)).

Можно заметить, что функция (y = x^{a}) четная при четных значениях α и нечетная при нечетных α.

Функция (small y = frac{1}{x}) в виде гиперболы также представляет собой степенную функцию. Это объясняется тем, что (small frac{1}{x} = x^{-1}). Так как знаменатель не должен быть равен нулю, рассматриваемая функция не определена при (x = 0). Гипербола представляет собой нечетную функцию с графиком, который симметричен по отношению к началу координат.

Гипербола

Источник: ege-study.ru

Построение графика функции (small y = sqrt{x}) следует начинать с области определения. Выражение (small sqrt{x}) определено при (x ≥ 0). Поэтому областью определения функции являются все неотрицательные числа. Также (small y = sqrt{x}) принимает только неотрицательные значения, поскольку (small sqrt{x} ≥ 0.)

Построение графика функции

Источник: ege-study.ru

Целесообразно воспользоваться данными свойствами в процессе решения уравнений и неравенств. Уравнение вида (small sqrt{f(x)}=g(x)) имеет смысл только при (f(x) ≥ 0) и (g(x) ≥ 0). Это является областью допустимых значений.

На одном графике можно построить параболу( y = x^{2}) и функцию (small y = sqrt{x}). Следует рассмотреть правую ветвь параболы, при (x ≥ 0). Заметим, что эта часть параболы и график функции (small y = sqrt{x}) словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x.

То, что для одной из них является областью определения, для другой — представляет собой область значений. Данные функции носят название взаимно-обратных.

Данные функции носят название взаимно-обратных

Источник: ege-study.ru

Виды и их свойства, область определения

Степенные функции обладают рядом специфических свойств, которые могут отличаться в зависимости от их вида. Рассмотрим основные из них.

Свойства функции( y=x^{frac{m}{n}}, (m>n)):

  • D(y)=[0;+∞);
  • функцию нельзя отнести ни к четной, ни к нечетной;
  • возрастает на [0;+∞);
  • не имеет ограничений в верхней части, но ограничена в нижней;
  • отсутствует максимальное значение, минимальное значение равно нулю;
  • непрерывность;
  • E(f)=[0; +∞);
  • выпукла вниз.

В качестве примера можно рассмотреть случай, когда показатель степени является правильной дробью, у которой значение числителя меньше, чем знаменателя. График функции( y=x^{frac{m}{n}})((m>n)) напоминает график функции (y=sqrt[n]{x}):

график функции

Источник: mathematics-tests.com

Свойства функции( y=x^{frac{m}{n}})(0<frac{m}{n}<1:)

  • D(y)=[0;+∞);
  • нельзя отнести ни к четной, ни к нечетной;
  • возрастает на [0;+∞);
  • не имеет ограничений сверху, ограничена снизу;
  • максимальное значение отсутствует, наименьшее значение равно нулю;
  • непрерывность;
  • E(f)=[0; +∞);
  • выпукла вверх.

Далее следует ознакомиться с графиком функции (y=x^{-frac{m}{n}}). Можно заметить, что он похож на гиперболу. График обладает двумя асимптотами:

  • горизонтальной y=0;
  • вертикальной х=0.

График имеет следующий вид:

График имеет следующий вид

Источник: mathematics-tests.com

Свойства функции (y=x^{-frac{m}{n}}:)

  • D(y)=(0;+∞);
  • не является ни четной, ни нечетной;
  • убывает на (0;+∞);
  • не ограничена в верхней части, обладает ограничением в нижней;
  • максимальное значение отсутствует, минимальное – ноль;
  • непрерывность;
  • E(f)=(0; +∞);
  • выпукла вниз.

В том случае, когда x>0, а r – какое-либо рациональное число, производная степенной функции (y=x^r) определяется, согласно формуле:

(y’=r*x^{r-1})

К примеру: ((x^{1000})’=1000x^{999} )

((x^{-8})’=-8x^{-9})

(frac{2}{(x^3)’}=frac{2}{3}*x^{-frac{1}{3}})

((sqrt[6]{(2x+5)^5})’=((2x+5)^{frac{5}{6}})’=2*frac{5}{6}(2x+5)^{-frac{1}{6}}=frac{5}{3}(2x+5)^{-frac{1}{6}}.)

Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем

Степень действительного числа a, обладающего рациональным показателем n вычисляется, согласно уравнению:

(a^{r}=sqrt[n]{a^{m}})

Функция( f(x)=x^{r}(rin Q)) представляет собой степенную функцию с рациональным показателем.

Степенью числа a, которое является положительным, c иррациональным показателем (alpha) называется выражение вида (a^{alpha}) со значением, равным пределу последовательности (a^{alpha_{0}}), (a^{alpha_{1}}, a^{alpha_{2}}), …, где (alpha_{0}, alpha_{1}, alpha_{2}) являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа (alpha).

Функция (f(x)=x^{r}(rin J)) представляет собой степенную функцию с иррациональным показателем.

Как строить графики степенных функций

График функции является множеством точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты – соответствующими значениями функции y.

Согласно определению, построить график какой-либо функции можно путем поиска всех пар соответствующих значений аргумента и функции. Как правило, в результате получается бесконечное множество точек, что затрудняет процесс построения графика. В связи с этим требуется исследовать функцию:

  • обозначить область определения и область изменения функции;
  • найти области ее убывания или возрастания;
  • определить асимптоты, интервалы знакопостоянства;
  • выявить несколько точек, принадлежащих графику;
  • соединить найденные точки плавной кривой.

График

Источник: ds04.infourok.ru

Задачи со степенной функцией

Задача № 1

Необходимо определить максимальное и минимальное значения для функции (y=x^{frac{5}{2}}) на отрезке:

  • [1;16];
  • (2,10);
  • на луче [9;+∞).

Решение

Показатель степени рассматриваемой функции обладает положительным значением. В этом случае, учитывая свойства записанной функции, можно заключить, что она возрастает на всей области определения. Таким образом, функция достигает своего максимума и минимума на концах заданных отрезков (если она определена в этих точках).

(y_{наим.}=1^{frac{2}{5}}=1; y_{наиб.}=16^{frac{5}{2}}=(sqrt{16})^5=4^5=1024)

На промежутке (2,10) максимальное и минимальное значения функции отсутствуют, в связи с тем, что промежуток является открытым, и точки 0 и 4 к данному интервалу не относятся.

На луче [9;+∞) наибольшее значение отсутствует

(y_{наим.}=9^{frac{5}{2}}=sqrt{9^5}=(sqrt{9})^5=3^5=243.)

Задача № 2

Требуется определить максимальное и минимальное значение на отрезке [1;9] для функции:

(y=frac{16}{5}x^{frac{5}{2}}-frac{1}{4}x^4)

Решение

Вычислим производную рассматриваемой функции:

(y’=frac{16}{5}*frac{5}{2}x^{frac{3}{2}}-x^3=8x^{frac{3}{2}}-x^3=8sqrt{x^3}-x^3)

Так как производная существует на всей области определения исходной функции, можно заключить, что критические точки отсутствуют.

Далее определим стационарные точки:

(y’=8sqrt{x^3}-x^3=0)

(8*sqrt{x^3}=x^3)

(64x^3=x^6)

(x^6-64x^3=0)

(x^3(x^3-64)=0)

(x_1=0 и x_2=sqrt[3]{64}=4)

Заданному отрезку принадлежит только одно решение (x_2=4)

Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:

Задача 2

Источник: mathematics-tests.com

Ответ: (y_{наим.}=-862,65) при( x=9)( y_{наиб.}=38,4) при (x=4.)

Задача № 3

Решить уравнение: (x^{frac{4}{3}}=24-x)

Решение

График функции (y=x^{frac{4}{3}}) будет возрастать, а график функции (у=24-х) – убывать. Известно, что когда одна функция возрастает, а вторая убывает, то будет лишь одна точка, в которой эти функции пересекаются. Следовательно, уравнение обладает всего одним решением. Можно заметить, что:

(8^{frac{4}{3}}=sqrt[3]{8^4}=(sqrt[3]{8})^4=2^4=16)

24-8=16

Таким образом, при х=8 уравнение преобразуется в справедливое равенство: 16=16, что является ответом к задаче.

Ответ: х=8.

Задача № 4

Необходимо построить график функции с объяснениями: (y=(x-3)^frac{3}{4}+2)

Решение

График рассматриваемой функции можно получить из графика функции:

(y=x^{frac{3}{4}})

Требуется сместить этот график на 3 единицы в правую сторону и на 2 единицы вверх:

Задача 4

Источник: mathematics-tests.com

Задача № 5

Требуется записать уравнение для касательной к прямой (y=x^{-frac{4}{5}}) в точке х=1.

Решение

Обозначение уравнения касательной:

(y=f(a)+f'(a)(x-a).)

По условию задачи число a является натуральным числом 1, поэтому:

(f(a)=f(1)=1^{-frac{4}{5}}=1)

Определим производную:

(y’=-frac{4}{5}x^{-frac{9}{5}})

Таким образом:

(f'(a)=-frac{4}{5}*1^{-frac{9}{5}}=-frac{4}{5}.)

Запишем уравнение касательной:

(y=1-frac{4}{5}(x-1)=-frac{4}{5}x+1frac{4}{5})

Ответ: (y=-frac{4}{5}x+1frac{4}{5}.)

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №18. Степенная функция. Дробно-линейная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие степенной функции;

2) основные свойства функций и ;

3) понятия взаимно обратной и дробно- линейной функций;

4) особенности построения графика дробно-линейной функции.

Глоссарий по теме

Определение. Функция вида , где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Функция вида у=хn, где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

С некоторыми из таких функций вы уже познакомились в курсе алгебры 7-9 классов Это, например, функции у=х1=х, у=х2, у=х3. При произвольном натуральном n графики и свойства функции у=хn аналогичны известным графикам и свойствам указанных функций.

Если показатель степени n — натуральное число, то степенная функция задаётся формулой y=xn.

При n=1,  y=x1 или y=x — прямая (Рисунок 1).

Рисунок 1 – график функции y=x1

При n=2, y=x2 — парабола.

При n=3, y=x3 — кубическая парабола.

График степенной функции y=xn, где n — чётное число (4,6,8…), принимает вид параболы.

Рисунок 2 – график функции y=xn, где n — чётное число 

График степенной функции y=xn, где n — нечётное число (5,7,9…), принимает вид кубической параболы.

Рисунок 3 – график функции y=xn, где n — нечётное число 

Если показатель степени — целое отрицательное число, то степенная функция задаётся формулой y=x−n или y=1/xn.

График степенной функции y=x−n, в случае, когда n — чётное число (4,6,8…), принимает вид:

Рисунок 4 – график функции y=x−n, при  n — чётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x−4,y=x−8.

График степенной функции y=x−n, в случае, когда n — нечётное число (5,7,9…), принимает вид гиперболы:

Рисунок 5 – график функции y=x−n, при n — нечётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x−5,y=x−11.

Функции такого вида называются дробно-линейными.

Рассмотрим графики степенных функций y=xm/n с положительным дробным показателем m/n.

1. Степенная функция , где > неправильная дробь (числитель больше знаменателя).

График — ветвь параболы:

Рисунок 6 – , где

Свойства функции , где

1.D(f)=[0;+∞);

2.E(f)=[0;+∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, yнаим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

2. Степенная функция , где — правильная дробь (числитель меньше знаменателя).

Рисунок 7 – функция , где

Свойства функции , где

1.D(f)=[0;+∞);

2.E(f)=[0;+∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, yнаим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вверх;

8. непрерывна.

Рассмотрим степенные функции с отрицательным дробным показателем степени 

График — ветвь гиперболы.

Рисунок 8 – функция

График имеет горизонтальную асимптоту у=0 и вертикальную асимптоту х=0.

 Свойства функции .

1.D(f)=(0;+∞);

2.E(f)=(0;+∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. убывает при x∈(0;+∞);

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

Итак, на основании всего вышеперечисленного, можно сделать вывод в виде таблицы:

Таблица 1 – вывод

Рассмотрим еще одну функцию.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Теорема 1

Если функция  y=f(x), x∈X монотонна на множестве X, то она обратима.

Теорема 2

Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на множестве X, а Y – область значений функции, то обратная функция x=f−1(y),y∈Y возрастает (убывает) на множестве Y.

Теорема 3

Точки M(a;b) и P(b;a) симметричны относительно прямой y=x.

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Пользуясь формулой y=f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x=g(y) заменить x на y, а y на x.

Пример:

Дана функция y=x2, x∈[0;+∞). Найти обратную функцию.

Заданная функция возрастает на промежутке [0;+∞), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x2 находим:  или . Промежутку [0;+∞) принадлежат лишь значения функции . Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке [0;+∞).

Поменяв местами x и y, получим: , x∈[0;+∞). График этой функции получается из графика функции y=x2, x∈[0;+∞) с помощью симметрии относительно прямой y=x.

Рисунок 9 – график функции, обратной y=x2

Разборы и примеры решения заданий тренировочного модуля

№1.

Изобразите схематически график функции

Графиком данной функции является гипербола.

Возьмем точки:

Х

-3

-5

-2

-6

0

-8

у

-4

4

-2

2

-1

1

Верный ответ:

Рисунок 10 – график функции

№2. Выделите возрастающую функцию при х>0, если

  1. р=8
  2. р=-9
  3. р= -5
  4. р=-3
  5. р=4
  6. р=11

Применим данную таблицу к решению нашего задания

Таблица 1 – выводы

При p>0 функция возрастает.

Соответственно, верный ответ:

  1. р=8
  2. р=-9
  3. р= -5
  4. р=-3
  5. р=4
  6. р=11

Степенная функция.

Степенная
функция задается формулой вида .

Рассмотрим
вид графиков степенной функции и свойства
степенной функции в зависимости от
значения показателя степени.

Начнем
со степенной функции с целым показателем a.
В этом случае вид графиков степенных
функций и свойства функций зависят от
четности или нечетности показателя
степени, а также от его знака. Поэтому
сначала рассмотрим степенные функции  при
нечетных положительных значениях
показателя a,
далее – при четных положительных, далее
– при нечетных отрицательных показателях
степени, и, наконец, при четных
отрицательных a.

Свойства
степенных функций с дробными и
иррациональными показателями (как и
вид графиков таких степенных функций)
зависят от значения показателя a.
Их будем рассматривать, во-первых,
при a от
нуля до единицы, во-вторых, при a больших
единицы, в-третьих, при a от
минус единицы до нуля, в-четвертых,
при a меньших
минус единицы.

В
заключении этого пункта для полноты
картины опишем степенную функцию с
нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим
степенную функцию  при
нечетном положительном показателе
степени, то есть, при а=1,3,5,….

На
рисунке ниже приведены графики степенных
фнукций  –
черная линия,  –
синяя линия,  –
красная линия,  –
зеленая линия. При а=1 имеем линейную
функцию
 y=x.

Свойства
степенной функции с нечетным положительным
показателем.

  • Область
    определения: .

  • Область
    значений: .

  • Функция
    нечетная, так как .

  • Функция
    возрастает при .

  • Функция
    выпуклая при  и
    вогнутая при  (кроме
    линейной функции).

  • Точка (0;0) является
    точкой перегиба (кроме линейной функции).

  • Асимптот
    нет.

  • Функция
    проходит через точки (-1;-1)(0;0)(1;1).

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим
степенную функцию  с
четным положительным показателем
степени, то есть, при а=2,4,6,….

В
качестве примера приведем графики
степенных функций  –
черная линия,  –
синяя линия,  –
красная линия. При а=2 имеем
квадратичную функцию, графиком которой
является квадратичная
парабола
.

Свойства
степенной функции с четным положительным
показателем.

  • Область
    определения: .

  • Область
    значений: .

  • Функция
    четная, так как .

  • Функция
    возрастает при ,
    убывает при .

  • Функция
    вогнутая при .

  • Точек
    перегиба нет.

  • Асимптот
    нет.

  • Функция
    проходит через точки (-1;1)(0;0)(1;1).

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите
на графики степенной функции  при
нечетных отрицательных значениях
показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На
рисунке в качестве примеров показаны
графики степенных функций  –
черная линия,  –
синяя линия,  –
красная линия,  –
зеленая линия. При а=-1имеем обратную
пропорциональность
,
графиком которой является гипербола.

Свойства
степенной функции с нечетным отрицательным
показателем.

  • Область
    определения: .
    При x=0 имеем
    разрыв второго рода, так как  приа=-1,-3,-5,….
    Следовательно, прямая x=0 является
    вертикальной асимптотой.

  • Область
    значений: .

  • Функция
    нечетная, так как .

  • Функция
    убывает при .

  • Функция
    выпуклая при  и
    вогнутая при .

  • Точек
    перегиба нет.

  • Горизонтальной
    асимптотой является прямая y
    = 0
    ,
    так как
    при а=-1,-3,-5,….

  • Функция
    проходит через точки (-1;-1)(1;1).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Добавить комментарий