- Формулы для квадрата и куба бинома
- Формулы для четвёртой и пятой степени бинома
- Треугольник Паскаля
- Формула для n-ой степени бинома
- Примеры
Формула для квадрата и куба бинома
Сумма или разность двух выражений образует двучлен, который также называют биномом. Примеры биномов: x+y, $1+k^2,2mq^2-5z,100a-17b^2 c^3$ и т.д.
Формулы для квадрата и куба бинома мы уже получили в §21 и §23 данного справочника.
$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2, qquad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
$(a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3, qquad (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$
Формулы для четвёртой и пятой степени бинома
Выведем формулы для 4-й степени:
$(a+b)^4 = (a+b) (a+b)^3 = a(a+b)^3+b(a+b)^3 =$
$ = a(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 )+b(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 ) =$
$= a^4+3a^3 b+3a^2 b^2+ab^3+a^3 b+3a^2 b^2+3ab^3+b^4 =$
$= a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4$
Для разности в 4-й степени нужно только поменять знаки при нечётных степенях b.
Получаем:
$(a+b)^4 = a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4$
$(a-b)^4 = a^4-4a^3 b+6a^2 b^2-4ab^3+b^4$
Теперь выведем формулы для 5-й степени:
$(a+b)^5 = (a+b) (a+b)^4 = a(a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4 )+$
$+b(a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4 ) =$
$= a^5+4a^4 b+6a^3 b^2+4a^2 b^3+ab^4+a^4 b+4a^3 b^2+6a^2 b^3+4ab^4+b^5 =$
$= a^5+5a^4 b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5ab^4+b^5$
Для разности в 5-й степени нужно только поменять знаки при нечётных степенях b.
Получаем:
$(a+b)^5 = a^5+5a^4 b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5ab^4+b^5$
$(a-b)^5 = a^5-5a^4 b+10a^3 b^2-10a^2 b^3+5ab^4-b^5$
Треугольник Паскаля
Коэффициенты при членах разложения биномов постепенно становятся больше. Их рост можно представить с помощью треугольника Паскаля.
$$(a pm b)^1 = a pm b$$ $$(apmb)^2 = a^2pm2ab+b^2$$ $$(apmb)^3 = a^3pm3a^2 b+3ab^2±b^3$$ $$(apmb)^4 = a^4pm4a^3 b+6a^2 b^2pm4ab^3+b^4$$ …
В этом треугольнике коэффициенты этажом ниже – это сумма соседних коэффициентов этажом выше; на рисунке каждая сумма обозначена знаком «+» между стрелочками.
Формула для n-ой степени бинома
Теперь для n-й степени бинома можем записать:
$$ (a + b)^n = a^n+C_1^n a^{n-1} b + C_2^n a^{n-2} b^2 + ⋯ + b^n $$
где $C_i^n$ – биномиальные коэффициенты, которые для небольших степеней можно найти с помощью треугольника Паскаля.
Формула для разности немного сложней:
$$ (a – b)^n = a^n-C_1^n a^{n-1} b + C_2^n a^{n-2} b^2 – C_3^n a^{n-3} b^3 +⋯+(-1)^n b^n $$
Биномиальные коэффициенты играют большую роль в современной математике. В общем случае для них есть расчётная формула, которую мы выучим позже.
В общем случае для них есть расчётная формула, которую мы выучим позже (см. §36 справочника для 9 класса)
Биномиальные коэффициенты играют большую роль в современной математике. В общем случае для них есть расчётная формула, которую мы выучим позже.
Примеры
Пример 1. Представьте в виде многочлена:
а) $(1+k)^4$
Коэффициенты по треугольнику Паскаля: $1 quad 4 quad 6 quad 4 quad 1$
Получаем:
$$(1+k)^4 = 1+4k+6k^2+4k^3+k^4$$
б) $(1-k)^4$
Коэффициенты по модулю те же, знаки поменяются перед слагаемыми с нечётными степенями k:
$$(1-k)^4 = 1-4k+6k^2-4k^3+k^4$$
в) $(a+b)^7$
Коэффициенты по треугольнику Паскаля: $1 quad 7 quad 21 quad 35 quad 35 quad 21 quad 7 quad 1$
Получаем:
$$(a+b)^7 = a^7+7a^6 b+21a^5 b^2+35a^4 b^3+35a^3 b^4+21a^2 b^5+7ab^6+b^7$$
г) $(a-b)^7$
Коэффициенты по модулю те же, знаки поменяются перед слагаемыми с нечётными степенями b:
$$ (a-b)^7 = a^7-7a^6 b+21a^5 b^2-35a^4 b^3+35a^3 b^4-21a^2 b^5+7ab^6-b^7 $$
Пример 2. Упростите выражение:
а) $(x+y)^4-(x-y)^4 = (x^4+4x^3 y+6x^2 y^2+4xy^3+y^4 )-$
$-(x^4-4x^3 y+6x^2 y^2-4xy^3+y^4 ) = 8x^3 y+8xy^3$
б) $(x+y)^4+(x-y)^4 = (x^4+4x^3 y+6x^2 y^2+4xy^3+y^4 )+$
$+(x^4-4x^3 y+6x^2 y^2-4xy^3+y^4 ) = 2x^4+126x^2 y^2+2y^4 $
в) $(x+y)^5-(x-y)^5 = (x^5+5x^4 y+10x^3 y^2+10x^2 y^3+5xy^4+y^5 )-$
$-(x^5-5x^4 y+10x^3 y^2-10x^2 y^3+5xy^4-y^5 ) = 10x^4 y+20x^2 y^3+2y^5$
г) $(x+y)^5+(x-y)^5 = (x^5+5x^4 y+10x^3 y^2+10x^2 y^3+5xy^4+y^5 )+$
$+(x^5-5x^4 y+10x^3 y^2-10x^2 y^3+5xy^4-y^5 ) = 2x^5+20x^3 y^2+10xy^4$
|
Например : 2^3 x 4^5 = ? Не знаю удачный ли пример,но что тут надо делать?При умножении и делении надо степени вычитать и складывать,а тут что?
В общем случае с этим ничего не сделать, в вашем конкретном примере можно 4 представить как 2 во 2-й степени. Получится (2^2)^5. Далее, т.к. при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получаем 2^3 x 2^10 = 2^13 = 8192. Т.е. числа нужно приводить ко одинаковому основанию или показателю степени. Тут 2 правила: X^a * X^b = X^(a+b) X^a * Y^a = (XY)^a. модератор выбрал этот ответ лучшим
Galina7v7 7 лет назад У вас не сложение , или вычитание , а умножение. И это очень меняет дело* В данном примере нужно привести 4 к степени двойки : 4 =2^(2) , тогда 2^(3) * 4^(5) = 2^(3) * [2^(2)]^5 = 2^(3 * 2^(10) = 2 ^ (3+10) = 2 ^ (13) или 2 в 13 степени. Если бы был пример на сложение ,то есть : 2 ^ (3) + 4 ^ (5) = [2 ^( 3) + (2 )]^ 2 ^ 5 = 2 ^ (3) + 2 ^( 10)= 2 ^(3) *[1+2 ^( 7)]. И это совсем другой результат.А правила действий со степенями такие : a ^ (m) * a ^ (n) = a ^ (m+n)a ^(m) a ^ (n) = a ^ (m-n)a^ (m )+ a ^( n) = a ^(m) *[a ^(m-n)+1}Вот это правило очень важное,потому что когда степени стоят как слагаемые,то их нельзя иначе преобразовать,как только вынести общий множитель за скобки. ({a ^ (m)}^n= a ^ (m*n)
Ксарфакс 5 лет назад Если в выражении присутствует возведение в степень, то алгоритм действий различается для умножения/деления и для сложения/вычитания. Начнём с самого простого – умножение и деление степеней с одинаковым основанием. 1) Умножение – основание остаётся тем же, а показатели степени складываем. 2) Деление – основание оставляем, а из показателя степени делимого вычитаем показатель степени делителя.
В этой ситуации затруднений вообще быть не должно. При умножении и делении степеней с разными основаниями порядок алгоритм такой – приводим их к одному основанию (если это можно сделать), а затем выполняем действия по вышеприведённым правилам.
Если основания разные, но при этом показатель степени один и тот же, то нужно перемножить основания и возвести их в степень.
Другое дело, если требуется сложить или вычесть степени. Здесь ситуация разная. Если показатель степени у чисел один и тот же, то можно воспользоваться формулами сокращённого умножения для суммы и разности степеней. В некоторых случаях можно попробовать общий множитель выносится за скобки.
Ну и последний вариант (если первые два способа не применимы) – возводим каждое число в степень и складываем/вычитаем.
renard 6 лет назад В вашем примере 2^3•4^5 нужно найти произведение степеней с разными основаниями. Потребуется несколько действий совершить:
Со сложением чисел в одной степени, как и с вычитанием, занимаемся расчетами на калькуляторе или в столбик на бумажке. Хотя есть возможность использовать известные из школьной алгебры формулы сокращенного умножения для вычитания квадратов, для сложения или вычитания кубов. Так можно хоть от степеней избавиться или понизить их. a^2-b^2=(a-b)•(a+b) – так упрощаем разность квадратных чисел. a^3-a^3 = (a+b)•(a^2-ab+b^2)или a^3+b^3=(a-b)•(a^2+ab+b^2) и с неудобными третьими степенями можно распрощаться.
В общем случае ничего с таким умножением сделать нельзя. То есть если требуется умножить 2 в квадрате на 3 в кубе, то это не значит, что мы должны 2 умножить на 3 и возвести результат в 5 степень – ответ получится неверный. Приходится возводить 2 в квадрат, а 3 в куб и только потом перемножать числа. Но если требуется 2 в произвольной степени умножить на 4 в произвольной степени, то мы представляем 4 как 2 в квадрате и просто складываем степени. Если же мы складываем или вычитаем два числа возведенных в степени, то тут нет никакого правила – надо возводить и складывать (вычитать) результат: а^3 + b^4 не упростить да и не надо.
ZoRRoO 8 лет назад На вашем примере нужно привести к одной основе, то есть 4 – это 2^2. Поэтому запишем выражение следующим образом 2^3 x 4^5 = 2^3 x (2^2)^5. Теперь нам нужно избавиться от этих скобочек. Мы знаем, что по правилу степени просто перемножаются, поэтому, у нас получится следующее выражение: 2^3 x 2^10. А теперь у нас есть единая основа, значит мы можем просто сложить степени. Получится такое выражение: 2^13. Ответ будет 8192. Итак, на представленном вами примере мы использовали всего лишь 2 правила, а именно сложение степеней, когда есть одна основа, и умножение их, когда мы возводим одну степень в другую.
Конь В Пальто 10 лет назад Ничего кроме выполнения отдельных операций согласно их приоритету, вы тут не сделаете. Если вам нужно сложить два разных числа в разных степенях, то сначала каждое число вы возводите в свою степень и после этого выполняете сложение. Если у двух слагаемых в основании одно число в разных степенях, можно вынести общее кратное: Например, а^x+y + а^x = а^x * (а^y + 1) Если основания разные, но степень одна, то в некоторых простых частных случаях можно воспользоваться алгебраическими формулами вроде: а^2-b^2= (а-b) * (a+b). Но это очень редкие совпадения, расчитывать на которые не стоит.
Azamatik 5 лет назад Пример: 2^3 х 4^5. Для решения этого уравнения нужно привести их к одинаковому основанию: представить 4 как 2 в квадрате (2^2). Изначально у нас было 4^5 > (2^2)^5. Степени умножаем и получаем 2^10. Теперь можно решить это уравнение; 2^3 х2^10. Складываем степени и получаем 2^13. Подобные уравнения решаются именно так: Если основания одинаковые, то складываем степени. Если же показатели степени одинаковые, то нужно основания перемножить и полученный результат возвести в степень.
Odessitka 8 лет назад Если умножать степени с одинаковым основанием, то показатели степени складываются: Например: 2^2 х 2^4 = 2^6 = 64 Если делить степени с одинаковым основанием, то показатели степени вычитаются: Например: 2^4 / 2^2 = 2^2 = 4. Если же умножать или делить степени с разным основанием, то нужно сначала возвести основание в степень, а потом совершать умножение или деление. В вашем случае 2^3 x 4^5 = 8 х 1024 = 8192.
Лолочка611 8 лет назад При умножении степеней, которые имеют одинаковые основания – числа степеней складываются. При делении степеней, которые имеют одинаковые основания – числа степеней вычитаются. А вот если умножать, либо делить степени, которые имеют разные основания, нужно выполнить следующие действия:
Знаете ответ? |
Степенная сумма
Предмет
Высшая математика
Разместил
🤓 TyleZeni
👍 Проверено Автор24
сумма одинаковых степеней переменных x1k+ x2k + · · · + xnk, где k > 1 — фиксированное натуральное число
Научные статьи на тему «Степенная сумма»
Квадрат суммы нескольких слагаемых
Определение 1
Вспомним формулу квадрата суммы двух чисел:
Квадрат суммы двух выражений равен…
произведения $степень$
Если выражение является одночленом, степень которого больше первой так же необходимо…
воспользоваться и правилом возведения степени в степень: при возведении степени в степень основание…
:
1) возведением произведения в степень $при$
возведения в степень произведения $и$
переменную возводили…
в квадрат
2) возведение степени в степень ${{(a}^n)}^m=a^{ncdot m}$- т.е. при возведении степени в
Статья от экспертов
Суммы характеров на сдвинутых степенях
Мы изучаем суммы характеров на множестве сдвинутых степеней по модулю простого числа 𝑝. Такие суммы могут рассматриваться как обобщение сумм характеров от сдвинутой подгруппы. Случай, когда подгруппа имеет размер меньше √𝑝, вопрос о нетривиальных по порядку верхних оценок таких сумм остается открытым и на сегодня является нерешенным. Он был предложен Ж. Бургейном и М. Ч. Чанг в обзоре 2010 года. Тем не менее, некоторых промежуточных результатов добился профессор К. Гонг, установивший нетривиальные оценки таких сумм в случае когда подгруппа имеет размер существенно больше √𝑝. В данной работе получены некоторые новые результаты на верхнюю оценку абсолютного значения обобщения таких сумм, которые являются неполными суммами характеров от сдвинутых подгрупп. Дано два доказательства основного утверждения. Первое из них основано на сведении указанной суммы к известной оценке А. Вейля и приеме сглаживания сумм. Применяется также прием оценки неполной суммы через полную. Используется также о…
Формулы сокращенного умножения, квадрат суммы и разности
в квадрат:
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов двух выражений плюс удвоенное произведение…
m=a^{n cdot m}$ – при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степени…
Составить сумму выражений найденных в п. 1,2….
эту степень….
Составить сумму выражений найденных в п. 1 и вычесть из найденной суммы выражение, найденное в п.2
Статья от экспертов
Оценка суммы степенных вычетов в круговом поле
Повышай знания с онлайн-тренажером от Автор24!
- Напиши термин
- Выбери определение из предложенных или загрузи свое
-
Тренажер от Автор24 поможет тебе выучить термины с помощью удобных и приятных
карточек
Квадрат суммы и разности
- Квадрат суммы
- Квадрат разности
- Разность квадратов
Квадрат суммы
Выражение (a + b)2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.
Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.
Пример. Возвести в квадрат выражение 3x2 + 2xy.
Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
(3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2.
Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:
(3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y2.
Квадрат разности
Выражение (a – b)2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a – b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a – b)(a – b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Многочлен a2 – 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.
Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.
Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:
(2a2 – 5ab2)2.
Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:
(2a2 – 5ab2)2 = (2a2)2 – 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2.
Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:
(2a2)2 – 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2 = 4a4 – 20a3b2 + 25a2b4.
Разность квадратов
Выражение a2 – b2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2 – b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:
(a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2.
Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:
a2 – b2 = (a + b)(a – b).
Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.
Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:
(5a2 + 3)(5a2 – 3).
Решение:
(5a2 + 3)(5a2 – 3) = (5a2)2 – 32 = 25a4 – 9.
В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:
(a + b)(a – b) = a2 – b2.
На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.
