Как найти степень суммы многочлена

Часто путают понятия одночлена и многочлена.

Давайте разберемся, что называют одночленом, а что многочленом.
Прежде всего, вспомним, что называли одночленом в уроке «Одночлены».

Обратите внимание, что «внутри» одночлена (между буквами и числовым коэффициентом) есть только знак умножения.
Например, в одночлене:
3ab = 3 · a · b

Запомните!
!

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

Примеры многочленов:
a + 2b2 − c;
 3t5 − 4b;
  4 − 6xy

Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов.

Рассмотрим многочлен подробнее.

пример многочлена

Возникает вопрос, почему многочленом называют алгебраическую сумму
одночленов, если в многочлене присутствует
знак минуса.

Это объясняется тем, что на самом деле знак «» относится к числовому коэффициенту одночлена,
который стоит справа от знака.

многочлен как сумма одночленов

Любой многочлен можно записать
по правилу знаков
как сумму одночленов.

многочлен как сумма одночленов с коэффициентов

В многочлене знак, который стоит слева от одночлена относится к числовому коэффициенту самого одночлена.

Как найти степень многочлена

Запомните!
!

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

То есть, чтобы найти степень многочлена, нужно сначала найти
степень каждого одночлена, который входит в
состав многочлена.

Степени многочленов

Многочлен Степень
многочлена

a2
− 3a2b
+ x =

a2(степень одночлена 2)
− 3a2b(степень одночлена 3)
+ x(степень одночлена 1)

3

1
3

x2y2
+ 4x2 =

1
3

x2y2(степень одночлена 4)
+ 4x2(степень одночлена 2)

4

8x2
− 3a
+ 4 =

8x2(степень одночлена 2)
− 3a(степень одночлена 1)
+ 4(степень одночлена 0)


2

Любой одночлен является многочленом.
В самом деле, любой одночлен, по сути, является многочленом, который состоит всего из одного одночлена.

Примеры таких многочленов: 2a2b; 
−3d3;  a.

Число «0» называют нулевым многочленом.


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


Что такое многочлен?

Многочлен – это сумма одночленов. Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами данного многочлена. Если многочлены состоят из двух или трех слагаемых, то их можно называть двучленами или трехчленами соответственно.

Пример №1.

  • –12х6+ 35с данный многочлен состоит из двух слагаемых – одночленов, таких как: –12х6 и 35с. Еще такой многочлен можно называть двучленом.
  • 47с2+11с–34 данный многочлен состоит из трех слагаемых. Такой многочлен можно назвать трехчленом.
  • 4х3+13а2–45с+28 данный многочлен состоит из четырех слагаемых – одночленов, таких как: 4х3; 13а2; – 45с; 28.

Стандартный вид многочлена

Что такое стандартный вид многочлена?

Многочлен называется приведенным к стандартному виду, если он не имеет подобных слагаемых, и каждый его член имеет также стандартный вид.

Вспомним, что слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть или не имеющие буквенной части называют подобными. Если такие слагаемые есть, то их нужно сложить или вычесть, это действие называют приведением подобных слагаемых.

Пример №2.

13х2–6х+11х2

Данный трехчлен имеет подобные слагаемые (они выделены). Они имеют одинаковые знаки, поэтому мы их складываем и получаем 24х2. Слагаемое –6х не имеет подобных, поэтому его просто переписываем и получаем многочлен в стандартном виде:

13х2–6х+11х2=24х2–6х

Пример №3.

3с4+32х–9а3с4+45х–16

Данный многочлен имеет две группы подобных слагаемых, одна выделена красным цветом, вторая синим цветом, слагаемое –16 не имеет подобных, поэтому его просто перепишем. Приводим подобные слагаемые и получаем многочлен стандартного вида:

3с4+32х–9а3с4+45х–16= –3а3с4+77х–16

Степень многочлена

Что такое степень многочлена?

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. При этом многочлен должен быть записан в стандартном виде. Рассмотрим на примерах, как определить степени многочленов.

Пример №4.

4с6+7а9–18х

Степень многочлена, записанного в стандартном виде, равна 9, так как одночлен 7а9 имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с6 и –18х.

Пример №5.

13х4у7+12х3у6–13

степень данного многочлена стандартного вида находим по наибольшей степени каждого одночлена: одночлен 13х4у7 имеет 11 степень, так как складываем показатели 4 и 7; одночлен 12х3у6 имеет соответственно 9 степень, а –13 имеет степень равную нулю (не содержит переменных). Таким образом, получается, что наибольшая степень равна 11, значит и степень всего многочлена равна 11.

Пример №6.

6а5+8ас+2а5–11ас

Данный многочлен не является многочленом стандартного вида, поэтому сначала приведем подобные слагаемые, получим 6а5+8ас+2а5–11ас=8а5–3ас. Теперь найдем степень у каждого одночлена: у 8а5 пятая степень, у 3ас – вторая (каждая переменная имеет первую степень). Значит, у многочлена 6а5+8ас+2а5–11ас степень равна 5.

Сложение и вычитание многочленов

Многочлены можно как складывать, так и вычитать. То есть сумму или разность многочленов можно представить в виде многочлена стандартного вида. Рассмотрим на примерах сложение и вычитание многочленов.

Пример №7. Выполним сложение многочленов:

2+8х–11 и –9х2+3х+19

Сначала составим их сумму (6х2+8х–11) + (–9х2+3х+19), теперь раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то знаки у слагаемых в скобках не изменяются:

2+8х–11–9х2+3х+19

Теперь приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:

–3х2+11х+8

Пример №8. Выполним вычитание многочленов:

5+12х3–24 и 2х5+36х3–11

Составим разность многочленов (7х5+12х3– 24) – (2х5+36х3–11), раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить знаки у слагаемых в скобках на противоположные:

5+12х3– 24 – 2х5–36х3+11

Приведем подобные слагаемые и получим многочлен:

5– 24х3–13

Умножение одночлена на многочлен

Как умножить многочлен на одночлен?

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.

Пример №9. Умножим одночлен 7х на многочлен 6х2+3х–5. Запишем в виде произведения:

7х•(6х2+3х–5)

выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х2+7х•3х–7х•(–5) и получим:

42х3+21х2+35х

Запись данного выражения можно делать короче, выполняя промежуточные действия устно:

7х•(6х2+3х–5)= 42х3+21х2+35х

Пример №10.

92с(–2с+10а6)= –184с2+920са6

Здесь выполнение умножения одночлена на многочлен выполнено без записи промежуточных действий умножения.

Умножение многочлена на многочлен

Как умножить многочлен на многочлен?

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Пример №11. Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).

Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); получим:

ах+ас+сх+с2

Получили многочлен в стандартном виде. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:

(а+с)(х+с)=ах+ас+сх+с2

Пример №12. Умножим многочлен 8х3–12х на многочлен 3х5–10х. Имеем:

(8х3–12х)(3х5–10х)=8х3•3х5+8х3•(–10х)–12х•3х5–12х•(–10х)=24х8–80х4 –36х6+120х2

Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лучше расписывать, чтобы не допустить ошибок.

Разложение многочлена на множители

Существуют такие способы для разложения многочлена на множители, как вынесение общего множителя за скобки и разложение на множители способом группировки.

Способ №1. Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки – это представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена.

Пример №13. Вынесем общий множитель в выражении 6х4 – 20х2. Для этого удобнее сначала найти наибольший общий делитель у чисел – это число 2, а затем общий делитель у переменных, которые одинаковы по своей буквенной части, но имеют разные показатели степени. В этом случае общим делителем является переменная в наименьшей степени, то есть х2. Запись выглядит следующим образом:

4 – 20х2=2х2(3х2–10)

При вынесении за скобки степеней помним правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем, а основание оставляем прежним.

Пример №14. Разложим на множители многочлен:

12с5х7–36с6х2+72асх3

Найдем сначала наибольший делитель для чисел 12, 36 и 72, это будет 12. Затем выберем у переменных те, которые имеют наименьшую степень и содержатся в каждом слагаемом, это с и х2. Вынесем за скобки 12сх2 и получим:

12с5х7–36с6х2+72асх3=12сх24х5–3с5+6ах)

Сделаем вывод, что вынесение общего множителя за скобки – это выполнение действия деления каждого члена многочлена на его общий делитель.

Способ №2. Способ группировки.

Чтобы выполнить разложение на множители способом группировки необходимо следовать определенному алгоритму (ключевое слово в данном способе – группировка). Группировка слагаемых  выполняется таким образом, чтобы в каждой группе можно было выполнить вынесение общего множителя за скобки, а в скобках оставались одинаковые выражения, это обычно определяется устно.

Пример №15. Разложим на множители многочлен:

ах+сd+cx+ad

Сгруппируем, например, слагаемые первое с последним, а второе с третьим (можно было первое с третьим, а второе с последним):

(ах+ad)+(сd+cx)

Теперь видим, что в каждой группе есть множитель, который можно вынести за скобки:

(ах+ad)+(сd+cx)= а(х+d)+с(d+x)

В полученном выражении видно, что в обеих скобках есть сумма х и d, вынесем эту сумму снова за скобки:

(ах+ad)+(сd+cx)= а(х+d)+с(d+x)= (х+d)(с+а)

Таким образом, мы получили произведение двух выражений, то есть разложили  данный многочлен на множители.

Пример №16. Разложим на множители многочлен:

7a–7b+an–bn

Сгруппируем по порядку, чтобы знаки у слагаемых в скобках были одинаковые:

7a–7b+an–bn=(7a–7b)+(an–bn)

Вынесем общий множитель в каждой группе:

7a–7b+an–bn=(7a–7b)+(an–bn) =7(a–b)+n(a–b)

Вынесем за скобки одинаковые выражения:

7a–7b+an–bn=(7a–7b)+(an–bn) =7(a–b)+n(a–b)=(a–b)(7+n)

Пример №17. Разложим на множители многочлен:

х5–х3–х2+1

Сгруппируем по порядку, обращая внимание на знак перед х2:

х5–х3–х2+1 =(х5–х3)–(х2–1)

Если перед первым слагаемым, которое мы заключаем в скобки, стоит знак «минус», то мы ставим его перед скобкой, а знаки у слагаемых в скобках изменяем на противоположные. Тогда у нас в обеих скобках получатся одинаковые знаки.

Выносим за скобки общий множитель. В данном случае он есть только в первых скобках:

х5–х3–х2+1 =(х5–х3)–(х2–1)= х32–1)–(х2–1)

Выносим за скобки одинаковые выражения, обращая внимание на то, что перед второй скобкой не записан общий множитель, значит, он равен 1:

х5–х3–х2+1 =(х5–х3)–(х2–1)= х32–1)–(х2–1)=(х2–1)(х3–1)

Алла Василевская | Просмотров: 4.7k

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 ноября 2022 года; проверки требуют 2 правки.

Степенью многочлена одной комплексной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности. Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p(x) степени n возможно представить в виде a(x − x1)…(x − xn), где x1, …, xn — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа a ≠ 0 — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a(x − x1)…(x − xn), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых-одночленов, тождественно не равных нулю.

Это определение имеет обобщение: полная степень многочлена с несколькими переменными — это максимальная из степеней всех его одночленов, тождественно не равных нулю, относительно всех переменных, участвующих в них, одновременно.

Многочленное уравнение d переменных, которое с помощью равносильных преобразований можно привести к виду p(x1,…,xd) = 0, где полином p(x1, …, xd) имеет степень n, называется (многочленным) уравнением степени n.

Степень полинома обозначается deg (англ. degree, фр. degré, от лат. gradus + de-).[1]

Названия определённых степеней[править | править код]

  • Степень многочлена, тождественно равного нулю, не определена, но в некоторых случаях её принимают равной −1 или −∞ (ниже).[2]
  • Степень константы, не равной нулю, — 0.
  • Степень линейного многочлена — 1. Уравнение, в котором линейная функция приравнивается нулю, — уравнение 1-й степени.
  • Степень квадратного многочлена — 2. Соответствующее уравнение — уравнение 2-й степени.
  • Степень кубического многочлена — 3. Ему соответствует уравнение 3-й степени.

В d-мерном евклидовом пространстве (d − 1)-мерная поверхность, являющаяся решением уравнения p(x1,…,xd) = 0 степени n с декартовыми координатами x1, …, xd, называется (d − 1)-мерной поверхностью n-го порядка. Термин порядок фактически означает степень уравнения. Отдельные названия гиперповерхностей:

  • квадрика — гиперповерхность второго порядка. В одномерном случае квадрика представляет собой конику — плоскую кривую, один из эквивалентных способов получить которую — пересечь прямой круговой конус плоскостью;
  • кубика — гиперповерхность третьего порядка. Примеры плоских кубик: кубика Чирнгауза, полукубическая парабола;
  • квартика — гиперповерхность 4-го порядка: например, квартика Люрота.

Примеры[править | править код]

  1. Многочлен x(x − 2) имеет вторую степень, так как он состоит из двух линейных сомножителей.
  2. У многочлена (2x − 1)(3x − 2) коэффициенты 2 и 3 можно вынести за скобки: 2 × 3(x12)(x23), — так что он имеет степень 2.
  3. У многочлена 16x5 + (−20)x3 + 5x + (−1) одночлен с наибольшей степенью — это 16x5, а значит, степень многочлена равна 5.
  4. Многочлены могут быть записаны в неканоническом виде: например, полином (x2 + 1)2 − (−x2 + 1)2 имеет степень 2, так как он представляет собой одночлен 4x2.
  5. Многочлен 2(2x − y)xy является третьей степени.
  6. Многочлен x2 + y имеет вторую степень, поскольку одночлен с наибольшей степенью равен x2, причём этот многочлен уже нельзя разложить на линейные множители от x и y.
  7. Степень многочлена xy + y + x равна 2.

Степень многочлена при операциях над ними[править | править код]

Умножение[править | править код]

При умножении ненулевого многочлена p(x) на ненулевую константу c степень не изменяется:

{displaystyle deg {big (}cp(x){big )}=deg p(x).}

Например, степень полинома 6(x12)(x23) = 6x2 − 5x + 2, как и (x12)(x23) = x2 + −56x + 13, равна 2. В более общем случае степень произведения полиномов p(x) и q(x) равна сумме степеней этих полиномов:[3][4]

{displaystyle deg {big (}p(x)q(x){big )}=deg p(x)+deg q(x).}

К примеру, степень многочлена (x2 + 1)(x3 − x − 1) = x5 − x2 − x − 1 равна 2 + 3 = 5.

Сложение, вычитание[править | править код]

Степень суммы ненулевых многочленов не может быть больше максимальной из их степеней:[5][6]

{displaystyle deg {big (}p(x)+q(x){big )}leqslant max {big (}{deg }~p(x),deg q(x){big )}.}

То же самое неравенство верно и для разности:

{displaystyle deg {big (}p(x)-q(x){big )}leqslant max {big (}{deg }~p(x),deg(-1cdot q(x)){big )}=max {big (}{deg }~p(x),deg q(x){big )}.}

При этом если степени многочленов-слагаемых различаются, то вышенаписанные соотношения обращаются в равенства. Например, многочлен (x2 + 1)2 имеет четвёртую степень, (x + 1)2 — вторую, а многочлены (x2 + 1)2 ± (x + 1)2 — 4-ю.

Композиция[править | править код]

Пусть p(x) и q(x) — ненулевые многочлены. Тогда:[7]

{displaystyle deg[qcirc p(x)]=deg[pcirc q(x)]=deg p(x)deg q(x).}

Например, если p(x) = x2 + 1, q(x) = x3 + 1, то степени многочленов p ∘ q(x) = x6 + 2x3 + 2 и q ∘ p(x) = x6 + 3x4 + 3x2 + 2 равны 2 × 3 = 6.

Степень многочлена нескольких переменных[править | править код]

Как и в случае с одной переменной, (полная) степень одночлена нескольких переменных — сумма всех показателей степеней всех переменных в одночлене. К примеру, полная степень одночлена x1y2x3 относительно x и y равна 1 + 2 + 3 = 6.

В свою очередь, (полная) степень многочлена нескольких переменных — это максимальная из степеней всех его одночленов. Пример: многочлен xy + y + x имеет степень 2, так как одночлен с наибольшей степенью — xy.

Помимо этого, степень многочлена нескольких переменных может также рассматриваться относительно одной из переменных. Например, полином x2 + y2 + xy + x + y имеет 2-ю степень относительно x и ту же степень относительно y. Причём относительно x этот полином раскладывается на комплексные линейные множители так:

{displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=left(x-{tfrac {-y-1-{sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}right)left(x-{tfrac {-y-1+{sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}right),}

а относительно y:

{displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=left(y-{tfrac {-x-1-{sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}right)left(y-{tfrac {-x-1+{sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}right).}

Иногда на степень полинома относительно конкретной переменной могут влиять другие переменные: например, полином (x2 + 1)y2 + (x + 1)y + 1 четвёртой степени является квадратным относительно y, только если x не равняется ±i, — в противном случае одночлен (x2 + 1)y2 обратится в нуль и многочлен станет линейным: его нельзя будет разложить на два линейных множителя (относительно y).

Степень нулевого многочлена[править | править код]

Степень многочлена, равного 0 при любом значении переменной(-ых), считается либо неопределённой[8], либо отрицательной — как правило, −1[9] или −∞.[2][10]

В случае, когда степень такого многочлена не определена, полагают, что нулевой многочлен, строго говоря, вообще не имеет никаких одночленов-слагаемых, которые тождественно не равнялись бы нулю. Соответственно, для нулевого многочлена совсем не вводятся никакие вышенаписанные свойства степеней при преобразовании многочленов.

При этом в случае, когда степень нулевого полинома принимают равной −∞, сохраняются все свойства, приведённые выше, исключая, быть может, композицию. Для любого вещественного числа n по определению выполняются следующие свойства (свойства аффинно расширенной числовой прямой):

Соответственно, сами степени многочленов «ведут себя» следующим образом: если p(x) — ненулевой многочлен степени n, то

Примечания[править | править код]

  1. Eric W. Weisstein. Polynomial Degree (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 3 июня 2021 года.
  2. 1 2 Eric W. Weisstein. Zero Polynomial (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 1 мая 2021 года.
  3. Serge Lang. Algebra. — 3. — New York: Springer-Verlag, 2002. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4.
  4. Серж Ленг. Алгебра. — Springer, 2005. — С. 100. — ISBN 978-0-387-95385-4.
  5. abstract algebra – The degree of a sum of two polynomials (proof question). Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021.
  6. Degree of sum of polynomials – TheoremDep. sharmaeklavya2.github.io. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 20 января 2021 года.
  7. algebra precalculus – What’s polynomial composition useful for? Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021.
  8. Шафаревич, Игорь Ростиславович. Лекции по алгебре. — С. 25. Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine
  9. Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру. — 1995. — С. 233. Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine
  10. 1 2 Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру.. — 2009. Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine

Ссылки[править | править код]

  • https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html
  • https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html

Содержание:

Многочлен – это сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

История многочелена:

Живший в 1050-1122 гг Омар Хаям известен в мире как мастер рубай. Однако имя Омара Хаяма также упоминается наряду с именами гениальных математиков. Именно Омар Хаям впервые представил общую формулу корней уравнения кубического многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлены от одной переменной и действия над ними

Определение многочленов от одной переменной и их тождественное равенство

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной переменной, например, от переменной Многочлен - виды, определение с примерами решения

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — Многочлен - виды, определение с примерами решения) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел записать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандартном виде), то получим выражение вида Многочлен - виды, определение с примерами решения, где Многочлен - виды, определение с примерами решения — некоторое число. Поэтому одночлен от одной переменной Многочлен - виды, определение с примерами решения — это выражение вида Многочлен - виды, определение с примерами решения где Многочлен - виды, определение с примерами решения — некоторое число, Многочлен - виды, определение с примерами решения — целое неотрицательное число. Если Многочлен - виды, определение с примерами решения то показатель степени Многочлен - виды, определение с примерами решения переменной Многочлен - виды, определение с примерами решения называется степенью одночлена. Например, Многочлен - виды, определение с примерами решения — одночлен шестой степени, Многочлен - виды, определение с примерами решения — одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (поскольку Многочлен - виды, определение с примерами решения).

По определению многочлен от одной переменной Многочлен - виды, определение с примерами решения — это сумма одночленов от одной переменной Многочлен - виды, определение с примерами решения. Поэтому

многочленом от одной переменной Многочлен - виды, определение с примерами решения: называется выражение вида

Многочлен - виды, определение с примерами решения (1)

где коэффициенты Многочлен - виды, определение с примерами решения — некоторые числа.

Если Многочлен - виды, определение с примерами решения, то этот многочлен называют многочленом Многочлен - виды, определение с примерами решения степени от переменной Многочлен - виды, определение с примерами решения. При этом член Многочлен - виды, определение с примерами решения называют старшим членом многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения, число Многочлен - виды, определение с примерами решениякоэффициентом при старшем члене, а член Многочлен - виды, определение с примерами решениясвободным членом. Например, Многочлен - виды, определение с примерами решения — многочлен третьей степени, у которого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения записывают так:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

где Многочлен - виды, определение с примерами решения — некоторые числа.

Теорема 1. Одночлены Многочлен - виды, определение с примерами решения где Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения где Многочлен - виды, определение с примерами решения, тождественно равны тогда и только тогда, когда Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения Одночлен Многочлен - виды, определение с примерами решения тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда Многочлен - виды, определение с примерами решения

Поскольку равенство одночленов

Многочлен - виды, определение с примерами решения (2)

выполняется при всех значениях Многочлен - виды, определение с примерами решения (по условию эти одночлены тождественно равны), то, подставляя в это равенство Многочлен - виды, определение с примерами решения, получаем, что Многочлен - виды, определение с примерами решения Сокращая обе части равенства (2) на Многочлен - виды, определение с примерами решения (где Многочлен - виды, определение с примерами решения по условию), получаем Многочлен - виды, определение с примерами решения При Многочлен - виды, определение с примерами решения из этого равенства имеем: Многочлен - виды, определение с примерами решения Поскольку 2Многочлен - виды, определение с примерами решения то равенство Многочлен - виды, определение с примерами решения возможно только тогда, когда Многочлен - виды, определение с примерами решения Таким образом, из тождественного равенства Многочлен - виды, определение с примерами решения получаем, что Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения Если известно, что Многочлен - виды, определение с примерами решения для всех Многочлен - виды, определение с примерами решения то при Многочлен - виды, определение с примерами решения получаем Многочлен - виды, определение с примерами решения Поэтому одночлен Многочлен - виды, определение с примерами решения тождественно равен нулю при Многочлен - виды, определение с примерами решения (тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения).

Далее любой одночлен вида Многочлен - виды, определение с примерами решения будем заменять на 0.

Теорема 2. Если многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения тождественно равен нулю (то есть принимает нулевые значения при всех значениях Многочлен - виды, определение с примерами решения), то все его коэффициенты равны нулю.

Многочлен - виды, определение с примерами решенияЗначком Многочлен - виды, определение с примерами решенияобозначено тождественное равенство многочленов.

Для доказательства используем метод математической индукции. Пусть Многочлен - виды, определение с примерами решения

При Многочлен - виды, определение с примерами решения имеем Многочлен - виды, определение с примерами решения поэтому Многочлен - виды, определение с примерами решения То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при Многочлен - виды, определение с примерами решения это утверждение также выполняется: если многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения то Многочлен - виды, определение с примерами решения

Докажем, что данное утверждение выполняется и при Многочлен - виды, определение с примерами решения Пусть Многочлен - виды, определение с примерами решения (3)

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях Многочлен - виды, определение с примерами решения, то, подставляя в это равенство Многочлен - виды, определение с примерами решения получаем, что Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда равенство (3) обращается в следующее равенство: Многочлен - виды, определение с примерами решения Вынесем Многочлен - виды, определение с примерами решения в левой части этого равенства за скобки и получим

Многочлен - виды, определение с примерами решения (4)

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях Многочлен - виды, определение с примерами решения. Для того чтобы оно выполнялось при Многочлен - виды, определение с примерами решения должно выполняться тождество

Многочлен - виды, определение с примерами решения В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от Многочлен - виды, определение с примерами решения до Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: Многочлен - виды, определение с примерами решения Но мы также доказали, что Многочлен - виды, определение с примерами решения поэтому наше утверждение выполняется и при Многочлен - виды, определение с примерами решения Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательного Многочлен - виды, определение с примерами решения то есть для всех многочленов.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают Многочлен - виды, определение с примерами решения или просто Многочлен - виды, определение с примерами решения (поскольку Многочлен - виды, определение с примерами решения).

Теорема 3. Если два многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения тождественно равны, то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения, а многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения Рассмотрим многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решенияПоскольку многочлены Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения по условию тождественно равны, то многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Но Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения Отсюда Многочлен - виды, определение с примерами решения Многочлен - виды, определение с примерами решенияКак видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, Многочлен - виды, определение с примерами решения больше Многочлен - виды, определение с примерами решения), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (Многочлен - виды, определение с примерами решения-го номера все коэффициенты Многочлен - виды, определение с примерами решения также будут равны нулю. То есть действительно многочлены Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения

имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример:

Докажите, что выражение Многочлен - виды, определение с примерами решения

является полным квадратом.

Решение:

► Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида Многочлен - виды, определение с примерами решения Получаем тождество:

Многочлен - виды, определение с примерами решения (5)

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Многочлен - виды, определение с примерами решения получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Из первого равенства получаем Многочлен - виды, определение с примерами решения или Многочлен - виды, определение с примерами решения

При Многочлен - виды, определение с примерами решения из второго равенства имеем а из третьего — Многочлен - виды, определение с примерами решения Как видим, при этих значениях Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения последние два равенства также выполняются. Следовательно, тождество (5) выполняется при Многочлен - виды, определение с примерами решения Многочлен - виды, определение с примерами решения (аналогично можно также получить Многочлен - виды, определение с примерами решения). Таким образом, Многочлен - виды, определение с примерами решения

Действия над многочленами. Деление многочлена на многочлен с остатком

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В результате выполнения действий сложения или умножения над многочленами от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени получаем многочлен этой же степени, хотя иногда можно получить многочлен меньшей степени. Например, Многочлен - виды, определение с примерами решения При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей степени слагаемого.

Например, Многочлен - виды, определение с примерами решения Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению целых чисел. Напомним, что целое число Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на целое число Многочлен - виды, определение с примерами решения если существует такое целое число Многочлен - виды, определение с примерами решения что Многочлен - виды, определение с примерами решения

Определение: Многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения (где Многочлен - виды, определение с примерами решения— не нулевой многочлен), если существует такой многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения что Многочлен - виды, определение с примерами решения

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен выполняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком. Говорят, что

многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения (где Многочлен - виды, определение с примерами решения — не нулевой многочлен) с остатком, если существует такая пара многочленов Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения что Многочлен - виды, определение с примерами решения причем степень остатка Многочлен - виды, определение с примерами решения меньше степени делителя Многочлен - виды, определение с примерами решения (в этом случае многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решенияназывают неполным частным.)

Например, поскольку Многочлен - виды, определение с примерами решения то при делении многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения на многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения получаем неполное частное Многочлен - виды, определение с примерами решения: и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом.

Пример №1

Разделим многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения на многочленМногочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

Многочлен - виды, определение с примерами решения Докажем, что полученный результат действительно является результатом деления Многочлен - виды, определение с примерами решения на Многочлен - виды, определение с примерами решения с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через Многочлен - виды, определение с примерами решениявторого шага — через Многочлен - виды, определение с примерами решения третьего — через Многочлен - виды, определение с примерами решениято операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

Многочлен - виды, определение с примерами решения (1)

Многочлен - виды, определение с примерами решения (2)

Многочлен - виды, определение с примерами решения (3)

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

Многочлен - виды, определение с примерами решения (4)

Учитывая, что степень многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения меньше степени делителя Многочлен - виды, определение с примерами решения обозначим Многочлен - виды, определение с примерами решения (остаток), а Многочлен - виды, определение с примерами решения (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: Многочлен - виды, определение с примерами решения то есть Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения а это и означает, что мы разделили Многочлен - виды, определение с примерами решения на Многочлен - виды, определение с примерами решения с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого Многочлен - виды, определение с примерами решения и делителя Многочлен - виды, определение с примерами решения (где Многочлен - виды, определение с примерами решения — не нулевой многочлен) найти неполное частное Многочлен - виды, определение с примерами решения и остаток Многочлен - виды, определение с примерами решения

Отметим, что в случае, когда степень делимого Многочлен - виды, определение с примерами решения меньше степени делителя Многочлен - виды, определение с примерами решения, считают, что неполное частное Многочлен - виды, определение с примерами решения а остаток Многочлен - виды, определение с примерами решения

Теорема Безу. Корни многочлена. Формулы Виета

Рассмотрим деление многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения, то получим

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении Многочлен - виды, определение с примерами решения При Многочлен - виды, определение с примерами решения имеем Многочлен - виды, определение с примерами решения Полученный результат называют теоремой БезуМногочлен - виды, определение с примерами решения.

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решенияравен Многочлен - виды, определение с примерами решения (то есть значению многочлена при Многочлен - виды, определение с примерами решения).

Пример №2

Докажите, что Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения без остатка.

Решение:

► Подставив в Многочлен - виды, определение с примерами решения вместо Многочлен - виды, определение с примерами решения значение 1, получаем: Многочлен - виды, определение с примерами решения. Таким образом, остаток от деления Многочлен - виды, определение с примерами решения на Многочлен - виды, определение с примерами решения равен 0, то есть Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения без остатка. <]

Определение: Число Многочлен - виды, определение с примерами решения называют корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения если

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Если многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения то Многочлен - виды, определение с примерами решения — корень этого многочлена.

Многочлен - виды, определение с примерами решенияБезу Этьен (1730-1783) — французский математик, внесший значительный вклад в развитие теории алгебраических уравнений.

Действительно, если Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения то Многочлен - виды, определение с примерами решения и поэтому Многочлен - виды, определение с примерами решения Таким образом, Многочлен - виды, определение с примерами решения — корень многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Теорема 2. Если число Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения то этот многочлен делится на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения без остатка.

По теореме Безу остаток от деления Многочлен - виды, определение с примерами решения на Многочлен - виды, определение с примерами решения равен Многочлен - виды, определение с примерами решения Но по условию Многочлен - виды, определение с примерами решения — корень Многочлен - виды, определение с примерами решения таким образом, Многочлен - виды, определение с примерами решения

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Теорема 3. Если многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения имеет попарно разные корни Многочлен - виды, определение с примерами решения то он делится без остатка на произведение Многочлен - виды, определение с примерами решения

Для доказательства используем метод математической индукции.

При Многочлен - виды, определение с примерами решения утверждение доказано в теореме 2.

Допустим, что утверждение справедливо при Многочлен - виды, определение с примерами решения То есть если Многочлен - виды, определение с примерами решенияМногочлен - виды, определение с примерами решенияпопарно разные корни многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения то он делится на произведение Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда

Многочлен - виды, определение с примерами решения (1)

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при Многочлен - виды, определение с примерами решения Пусть Многочлен - виды, определение с примерами решения — попарно разные корни многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения Поскольку Многочлен - виды, определение с примерами решения — корень Многочлен - виды, определение с примерами решения то Многочлен - виды, определение с примерами решения. Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно допущению индукции, получаем:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

По условию все корни Многочлен - виды, определение с примерами решения разные, поэтому ни одно из чисел Многочлен - виды, определение с примерами решения не равно нулю. Тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения Таким образом, Многочлен - виды, определение с примерами решения — корень многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда по теореме 2 многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения то есть Многочлен - виды, определение с примерами решения Многочлен - виды, определение с примерами решения и из равенства (1) имеем

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Это означает, что Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на произведение

Многочлен - виды, определение с примерами решения то есть теорема доказана и при Многочлен - виды, определение с примерами решения

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального Многочлен - виды, определение с примерами решения

Следствие. Многочлен степени Многочлен - виды, определение с примерами решенияимеет не больше Многочлен - виды, определение с примерами решения разных корней.

Допустим, что многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения степени имеет Многочлен - виды, определение с примерами решения разных корней: Многочлен - виды, определение с примерами решенияМногочлен - виды, определение с примерами решения Тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на произведение Многочлен - виды, определение с примерами решения Многочлен - виды, определение с примерами решения многочлен степени Многочлен - виды, определение с примерами решения но это невозможно. Поэтому многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения степени не может иметь больше чем Многочлен - виды, определение с примерами решения корней.

Пусть теперь многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения степени Многочлен - виды, определение с примерами решения Многочлен - виды, определение с примерами решения имеет Многочлен - виды, определение с примерами решения разных корней Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение Многочлен - виды, определение с примерами решенияМногочлен - виды, определение с примерами решения Это произведение является многочленом той же

Многочлен - виды, определение с примерами решения степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

Многочлен - виды, определение с примерами решения (2)

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что Многочлен - виды, определение с примерами решения то есть

Многочлен - виды, определение с примерами решения (3)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Многочлен - виды, определение с примерами решения в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

Многочлен - виды, определение с примерами решения (4)

Например, при Многочлен - виды, определение с примерами решения имеем:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

а при Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения (5)

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным

условием того, чтобы числа Многочлен - виды, определение с примерами решения были корнями многочлена

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения делится без остатка на Многочлен - виды, определение с примерами решения но не делится без остатка на Многочлен - виды, определение с примерами решения то говорят, что число Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем кратности Многочлен - виды, определение с примерами решения многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Например, если произведение Многочлен - виды, определение с примерами решения записать в виде многочлена, то для этого многочлена число Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число Многочлен - виды, определение с примерами решения — корнем кратности 1.

При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Пример №3

Проверьте справедливость формул Виета для многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Поэтому Многочлен - виды, определение с примерами решения имеет корни: Многочлен - виды, определение с примерами решения (поскольку Многочлен - виды, определение с примерами решения — корень кратности 2).

Проверим справедливость формулы (5). В нашем случае: Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Пример №4

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

► Обозначим корни уравнения Многочлен - виды, определение с примерами решения через Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения Поэтому искомое уравнение имеет вид Многочлен - виды, определение с примерами решения где

Многочлен - виды, определение с примерами решения

По формулам Виета имеем Многочлен - виды, определение с примерами решения Отсюда находим, что Многочлен - виды, определение с примерами решения а Многочлен - виды, определение с примерами решения Таким образом, искомое уравнение имеет вид Многочлен - виды, определение с примерами решения

Схема Горнера

Делить многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения иногда удобно с помощью

специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

Пусть многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения необходимо разделить на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения В результате деления многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения степени (то есть Многочлен - виды, определение с примерами решенияМногочлен - виды, определение с примерами решения, где Многочлен - виды, определение с примерами решения) и остаток Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения то есть

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Найдем из этих равенств коэффициенты Многочлен - виды, определение с примерами решения и остаток Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент Многочлен - виды, определение с примерами решениянеполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент Многочлен - виды, определение с примерами решения умножить на Многочлен - виды, определение с примерами решения и добавить Многочлен - виды, определение с примерами решения коэффициент делимого. Эту процедуру целесообразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Пример №5

Разделите по схеме Горнера многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

► Запишем сначала все коэффициенты многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Таким образом, Многочлен - виды, определение с примерами решения

Пример №6

Проверьте, является ли Многочлен - виды, определение с примерами решения корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

► По теореме Безу остаток от деления многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения на Многочлен - виды, определение с примерами решения равен Многочлен - виды, определение с примерами решенияпоэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления Многочлен - виды, определение с примерами решения на Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Поскольку Многочлен - виды, определение с примерами решения то Многочлен - виды, определение с примерами решения — корень многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами Многочлен - виды, определение с примерами решения имеет рациональный корень Многочлен - виды, определение с примерами решения, то Многочлен - виды, определение с примерами решения является делителем свободного члена Многочлен - виды, определение с примерами решения a Многочлен - виды, определение с примерами решения — делителем коэффициента при старшем члене Многочлен - виды, определение с примерами решения

Если Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения то Многочлен - виды, определение с примерами решения Подставляем

Многочлен - виды, определение с примерами решения вместо Многочлен - виды, определение с примерами решения в Многочлен - виды, определение с примерами решения и из последнего равенства имеем

Многочлен - виды, определение с примерами решения (1)

Умножим обе части равенства (1) на Многочлен - виды, определение с примерами решения Получаем

Многочлен - виды, определение с примерами решения (2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на Многочлен - виды, определение с примерами решения Поэтому Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения

Но когда мы записываем рациональное число в виде Многочлен - виды, определение с примерами решения то эта дробь считается несократимой, то есть Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения не имеют общих делителей. Произведение Многочлен - виды, определение с примерами решения может делиться на Многочлен - виды, определение с примерами решения (если Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения— взаимно простые числа) только тогда, когда Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения Таким образом, Многочлен - виды, определение с примерами решения — делитель свободного члена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на Многочлен - виды, определение с примерами решения ТогдаМногочлен - виды, определение с примерами решения делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения Поскольку Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения взаимно простые числа, то Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения, следовательно, Многочлен - виды, определение с примерами решения — делитель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять Многочлен - виды, определение с примерами решения то корнем многочлена будет целое число Многочлен - виды, определение с примерами решения — делитель Многочлен - виды, определение с примерами решения Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене Многочлен - виды, определение с примерами решения коэффициент Многочлен - виды, определение с примерами решения то делителями Многочлен - виды, определение с примерами решения могут быть только числа Многочлен - виды, определение с примерами решения то есть Многочлен - виды, определение с примерами решения и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Пример №7

Найдите рациональные корни многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

► Пусть несократимая дробь Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем многочлена. Тогда Многочлен - виды, определение с примерами решениянеобходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел Многочлен - виды, определение с примерами решения a Многочлен - виды, определение с примерами решения — среди делителей старшего коэффициента: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать среди чисел Многочлен - виды, определение с примерами решения Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера.

При Многочлен - виды, определение с примерами решения имеем следующую таблицу.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Кроме того, по схеме Горнера можно записать, что

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения не имеет действительных корней (а тем более рациональных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональный корень Многочлен - виды, определение с примерами решения

Пример №8

Разложите многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения на множители.

Решение:

► Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Подходит 1. Делим Многочлен - виды, определение с примерами решения на Многочлен - виды, определение с примерами решения с помощью схемы Горнера.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Тогда Многочлен - виды, определение с примерами решенияМногочлен - виды, определение с примерами решения

Ищем целые корни кубического многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения среди делителей его свободного члена: Многочлен - виды, определение с примерами решения Подходит Многочлен - виды, определение с примерами решения Делим на Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Имеем Многочлен - виды, определение с примерами решения

Квадратный трехчлен Многочлен - виды, определение с примерами решения не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается.

Ответ: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен Многочлен - виды, определение с примерами решения не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения степени не всегда можно разложить на произведение линейных множителей. Но многочлен нечетной степени всегда можно разложить на произведение линейных и квадратных множителей, а многочлен четной степени — на произведение квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается на произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого разложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Пример №9

Разложите на множители многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

► Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен на произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

Многочлен - виды, определение с примерами решения (3)

где Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях Многочлен - виды, определение с примерами решения у них равны. Раскроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Получаем систему

Многочлен - виды, определение с примерами решения (4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравнению 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения могут быть только делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Коэффициенты Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рассматриваем случаи Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения или Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения и т. д.

Для каждой пары значений Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения из третьего равенства системы (4) найдем Многочлен - виды, определение с примерами решения а из второго равенства имеем Многочлен - виды, определение с примерами решения Зная Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения Многочлен - виды, определение с примерами решения подставим в четвертое равенство системы (4) Многочлен - виды, определение с примерами решения чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел Многочлен - виды, определение с примерами решенияМногочлен - виды, определение с примерами решения Тогда равенство (3) имеет вид

Многочлен - виды, определение с примерами решения (5)

Поскольку квадратные трехчлены Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Деление многочлена на многочлен

Задача. Объём подарочных коробок, размеры которых даны в сантиметрах, можно смоделировать функцией Многочлен - виды, определение с примерами решения – положительное целое число и . Если высоты коробок можно определить при помощи линейной функции Многочлен - виды, определение с примерами решения, то как можно выразить другие размеры коробки в виде многочлена? Вы сможете решить эту задачу, изучив правило деления многочлена на многочлен.

Исследование. Изучите, как правило деления многозначных чисел столбиком можно применить при делении многочлена.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

a) Для каждого из двух случаев укажите, какие числа и какие многочлены соответствуют понятиям делимое, делитель и частное.

b) Как был найден первый член при делении многочлена? Каковы сходные и отличительные черты данного деления и деления многозначных чисел?

c) Как вы убедились,что каждое из двух делений выполнено правильно?

Выражение вида Многочлен - виды, определение с примерами решения называется многочленом Многочлен - виды, определение с примерами решения степени от одной переменной. Здесь Многочлен - виды, определение с примерами решения – переменная, Многочлен - виды, определение с примерами решения – определенные числа и Многочлен - виды, определение с примерами решения – старший член, Многочлен - виды, определение с примерами решения– коэффициент при старшем члене, Многочлен - виды, определение с примерами решения-свободный член. Многочлен можно разделить на многочлен аналогично правилу деления целых чисел столбиком.

Деление целого числа па целое число можно проверить равенством

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Аналогичное правило справедливо и при делении многочлена на многочлен. Если многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения -делимое, Многочлен - виды, определение с примерами решения – делитель, Многочлен - виды, определение с примерами решения – неполное частное, Многочлен - виды, определение с примерами решения – остаток, то справедливо равенство

Многочлен - виды, определение с примерами решения или Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Здесь, степень многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения ниже степени многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения Если делителем является двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения, то остатком может являться определенное число Многочлен - виды, определение с примерами решения

В этом случае: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Пример №10

а) Разделите многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Ответ запишите в виде Многочлен - виды, определение с примерами решения

b) Определите множество допустимых значений переменной.

c) Выполните проверку.

Решение:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

b) При этом Многочлен - виды, определение с примерами решения или Многочлен - виды, определение с примерами решения, иначе возникает деление на нуль.

c) Должно выполняться тождество

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Пример №11

Разделите Многочлен - виды, определение с примерами решения на многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Решение:

запишем делимое в порядке убывания степеней. Введем в запись отсутствующие члены с коэффициентом равным 0. Многочлен - виды, определение с примерами решения

Пример №12

1) Исследуйте деление столбиком многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения .

2) На каждом шаге деления делимое делится на старший член делителя, на Многочлен - виды, определение с примерами решения и результат записывается в частное. Установите, как можно найти первый член при делении на каждом из следующих шагов.

Многочлен - виды, определение с примерами решения Правило синтетического деления многочлена на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения(схема Горнера)

При делении многочлена на двучлен вида Многочлен - виды, определение с примерами решения можно использовать метод, альтернативный делению столбиком – метод синтетического деления. При синтетическом делении, используя только коэффициенты, выполняется меньшее количество вычислений.

Пример №13

Разделите многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения методом синтетического деления.

Решение:

коэффициенты делимого записываются в порядке убывания степеней (отсутствующий член записывается с коэффициентом равным нулю). Если двучлен имеет вид Многочлен - виды, определение с примерами решения, то его записывают в виде Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Запишем двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения в виде Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Таким образом, для делимого Многочлен - виды, определение с примерами решения и делителя Многочлен - виды, определение с примерами решениячастным будет Многочлен - виды, определение с примерами решения, а остатком Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Деление можно записать в виде: Многочлен - виды, определение с примерами решения В общем случае, правило синтетического деления (или схема Горнера) многочлена и-ой степени на двучлен х -т приведено в таблице ниже.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Теорема об остатке

Теорема об остатке (Теорема Безу)

Остаток от деления многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения равен значению многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения в точке Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Доказательство: В равенстве Многочлен - виды, определение с примерами решения запишем Многочлен - виды, определение с примерами решения. Многочлен - виды, определение с примерами решения, тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Пример №14

Найдите остаток от деления многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения, применив теорему об остатке.

Решение: запишем делитель в виде Многочлен - виды, определение с примерами решения, тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения. По теореме об остатке получим, что остаток равен Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Проверим решение.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Теорема о разложении многочлена на множители

Значения переменной Многочлен - виды, определение с примерами решения, которые обращают многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения в нуль (т.е. корни уравнения Многочлен - виды, определение с примерами решения), называются корнями (или нулями) многочлена.

Теорема. Если число Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения, то двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения является множителем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Действительно, если Многочлен - виды, определение с примерами решения, то из равенства Многочлен - виды, определение с примерами решения имеем Многочлен - виды, определение с примерами решения. Верно и обратное утверждение, т.е. если двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения является множителем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Пример №15

При помощи теоремы о разложении многочлена на множители определите, являются ли двучлены Многочлен - виды, определение с примерами решения множителями многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Решение: вычислим значение многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения при Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Значит, Многочлен - виды, определение с примерами решения не является множителем, а Многочлен - виды, определение с примерами решения является одним из множителей данного многочлена.

Пример №16

Зная, что Многочлен - виды, определение с примерами решения, разложите многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения на множители.

Решение: так как Многочлен - виды, определение с примерами решения, то двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения один из множителей многочленаМногочлен - виды, определение с примерами решения . Другой множитель найдем, используя метод синтетического деления.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Учитывая, что Многочлен - виды, определение с примерами решения получим: Многочлен - виды, определение с примерами решения .

Отсюда получаем, что Многочлен - виды, определение с примерами решения являются нулями многочлена.

Примечание: Если многочлен задан в виде Многочлен - виды, определение с примерами решения (здесь Многочлен - виды, определение с примерами решения), то число Многочлен - виды, определение с примерами решения является Многочлен - виды, определение с примерами решения кратным корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения (повторяется Многочлен - виды, определение с примерами решения раз). Например, если разложение многочлена на множители имеет вид Многочлен - виды, определение с примерами решения, то число Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем кратности 3.

Нахождение рациональных корней

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Доказательство. Пусть несократимая дробь Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения с целыми коэффициентами:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Умножим обе части равенства на Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена Многочлен - виды, определение с примерами решения, содержит множитель Многочлен - виды, определение с примерами решения и каждый член, кроме члена Многочлен - виды, определение с примерами решения, содержит множитель Многочлен - виды, определение с примерами решения.то коэффициент Многочлен - виды, определение с примерами решения должен делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения, а коэффициент Многочлен - виды, определение с примерами решения должен делится на Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Пример №17

Найдите рациональные корни многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Решение: свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для Многочлен - виды, определение с примерами решения, запишем все возможные числа вида Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения, т.е. одним из множителей является двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения. Другие множители найдем, используя синтетическое деление: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Так как, Многочлен - виды, определение с примерами решенияМногочлен - виды, определение с примерами решения, получим, что Многочлен - виды, определение с примерами решения являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент Многочлен - виды, определение с примерами решения и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Пример №18

Найдите корни многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение: по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как Многочлен - виды, определение с примерами решения то, решив квадратное уравнение Многочлен - виды, определение с примерами решения получим другие корни: Многочлен - виды, определение с примерами решения Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения Многочлен - виды, определение с примерами решения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми. Например, для нахождения корней многочлена

Многочлен - виды, определение с примерами решения надо умножить все члены уравнения Многочлен - виды, определение с примерами решения на 12, а затем решить полученное

уравнение Многочлен - виды, определение с примерами решения

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия.

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число Многочлен - виды, определение с примерами решения (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т. е. определяется двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения могут являться числа ±1.

Проверим: Многочлен - виды, определение с примерами решения Значит, многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения не имеет рациональных корней.

Основная теорема алгебры

Покажем на примере, что многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решенияой степени имеет Многочлен - виды, определение с примерами решения корней.

Пример №19

Найдите все корни многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение: рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Значит, Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем данного многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения Другие корни найдем синтетическим делением.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

В выражении Многочлен - виды, определение с примерами решения для множителя Многочлен - виды, определение с примерами решения вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения Многочлен - виды, определение с примерами решенияРешим уравнение Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения ( корень кратности 2);

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Корни: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение Многочлен - виды, определение с примерами решенияой степени всегда имеет Многочлен - виды, определение с примерами решения корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Теорема. Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень на множестве комплексных чисел.

Если Многочлен - виды, определение с примерами решения является многочленом ненулевой степени с комплексными коэффициентами, то согласно основной теореме алгебры, у него есть хотя бы один корень Многочлен - виды, определение с примерами решенияПо теореме о разложении многочлена на множители получим Многочлен - виды, определение с примерами решения При этом многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения имеет степень Многочлен - виды, определение с примерами решения Если Многочлен - виды, определение с примерами решения то Многочлен - виды, определение с примерами решения если Многочлен - виды, определение с примерами решения то согласно той же теореме, многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения имеет хотя бы один корень. Обозначим его через Многочлен - виды, определение с примерами решения тогда справедливо разложение Многочлен - виды, определение с примерами решения где Многочлен - виды, определение с примерами решения – многочлен степени Многочлен - виды, определение с примерами решения Значит, можно записать Многочлен - виды, определение с примерами решения Аналогично, если Многочлен - виды, определение с примерами решения то Многочлен - виды, определение с примерами решения при Многочлен - виды, определение с примерами решения на основании той же теоремы, многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения имеет хотя бы один корень. Обозначим его через Многочлен - виды, определение с примерами решения получим Многочлен - виды, определение с примерами решения т. е. можно записать Многочлен - виды, определение с примерами решения

Продолжая процесс Многочлен - виды, определение с примерами решения раз, получаем Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда для многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения можно записать следующее разложение:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

здесь числа Многочлен - виды, определение с примерами решения являются нулями многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения Эти нули могут и не быть различными.

Следствие. Многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решенияой степени Многочлен - виды, определение с примерами решения на множестве комплексных чисел имеет ровно Многочлен - виды, определение с примерами решения корней, включая кратные корни.

Отметим, что если комплексное число Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число Многочлен - виды, определение с примерами решения гак же является корнем данного многочлена.

Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения двучленов вида Многочлен - виды, определение с примерами решения соответствующих действительным корням, и трехчленов вида Многочлен - виды, определение с примерами решения соответствующих сопряженным комплексным корням.

Отсюда можно сделать вывод, что многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет действительные корни.

Пример №20

Запишите в виде произведения множителей многочлен наименьшей степени, если коэффициент при старшем члене равен 2, а корни равны 3 и Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение: так как число Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем многочлена, то сопряженное комплексное число Многочлен - виды, определение с примерами решения также является корнем этого многочлена. Тогда искомый многочлен можно записать в виде

Многочлен - виды, определение с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике
Пример №21

При движении скоростной карусели в Лунапарке изменение высоты (в метрах) кабины от нулевого уровня за первые 5 секунд можно смоделировать функцией Многочлен - виды, определение с примерами решения В какие моменты в течении 5 секунд после начала движения кабина карусели находилась на нулевом уровне?

Решение: во всех случаях, кроме значений Многочлен - виды, определение с примерами решения равных нулю, кабина карусели находится либо ниже, либо выше нулевого уровня. Значит, мы должны найти корни заданного многочлена. Применим правило нахождения рациональных корней.

1. Проверим, является ли число Многочлен - виды, определение с примерами решения корнем.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

2. Число Многочлен - виды, определение с примерами решения является корнем, значит одним из множителей данного многочлена является Многочлен - виды, определение с примерами решения Другие корни найдем при помощи синтетического деления.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Учитывая, что Многочлен - виды, определение с примерами решения запишем многочлен в виде Многочлен - виды, определение с примерами решения т. е. Многочлен - виды, определение с примерами решения являются корнями уравнения. Значения Многочлен - виды, определение с примерами решения принадлежат временному интервалу в 5 секунд, и в этих моментах кабина карусели находилась на нулевом уровне. То, что корни найдены верно показывает график многочлена, построенный при помощи графкалькулягора.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Функция-многочлен

График функции-многочлен

В стандартном виде функция – многочлен записывается как Многочлен - виды, определение с примерами решения В частном случае, при Многочлен - виды, определение с примерами решения получаем линейную функцию (график – прямая линия), при Многочлен - виды, определение с примерами решения получаем квадратичную функцию (график- парабола). Любой многочлен определен на множестве действительных чисел и его графиком является непрерывная (сплошная) линия.

При возрастании значений аргумента по абсолютному значению многочлен ведет себя как функция старшего члена Многочлен - виды, определение с примерами решения Ниже показаны примеры графиков функции – многочлен и их свойства.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Пример №22

Определите характер поведения функции – многочлен в зависимости от степени и коэффициента при старшем члене при возрастании аргумента по абсолютному значению.

a) Многочлен - виды, определение с примерами решения б) Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение: а) степень многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения нечетная (равна 3). Коэффициент старшего члена равен Многочлен - виды, определение с примерами решения По таблице видно, что в данном случае при Многочлен - виды, определение с примерами решения а при Многочлен - виды, определение с примерами решения

b) степень многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения четная (равна 4). Коэффициент старшего члена равен 1. В данном случае при Многочлен - виды, определение с примерами решения при Многочлен - виды, определение с примерами решения

Пример №23

По графику определите как ведет себя функция – многочлен при неограниченном возрастании аргументов но абсолютному значению, четность или нечетность степени многочлена, знак коэффициента старшего члена.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

при Многочлен - виды, определение с примерами решения

при Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен нечетной степени

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

при Многочлен - виды, определение с примерами решения

при Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен четной степени

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Отметим, что если Многочлен - виды, определение с примерами решения нечетно, то функция – многочлен имеет хотя бы один действительный нуль, если Многочлен - виды, определение с примерами решения четно, то их вообще может и не быть.

Алгоритм построения эскиза графика функции – многочлен.

1. Находятся точки пересечения графика с осями координат (если они есть). Эти точки отмечаются на координатной плоскости.

2. Вычисляются значения функции в некоторых точках между действительными нулями. Соответствующие точки отмечаются на координатной плоскости.

3. Определяется поведение графика при больших значениях аргумента по абсолютному значению.

4. На основе полученных данных строят схематически график.

Пример №24

Постройте график функции Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение:

1. Применим теорему о рациональных корнях. Разложим многочлен на множители и найдем нули функции.

По теореме возможные рациональные нули надо искать среди чисел, которые являются делителями числа Многочлен - виды, определение с примерами решения

Проверим Многочлен - виды, определение с примерами решения Многочлен - виды, определение с примерами решения

Значит, двучлен Многочлен - виды, определение с примерами решения является одним из множителей. Остальные множители найдем синтетическим делением.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Зная, что Многочлен - виды, определение с примерами решения запишем все линейные множители многочлена: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Отсюда находим нули Многочлен - виды, определение с примерами решения Т. е. график пересекает ось абсцисс в точках Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения Так как Многочлен - виды, определение с примерами решения то точка Многочлен - виды, определение с примерами решения является точкой пересечения с осью Многочлен - виды, определение с примерами решения Отметим эти точки на координатной плоскости.

2. Найдем еще несколько значений функции в точках, не требующих сложных вычислений. Например, в точках Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Отметим точки Многочлен - виды, определение с примерами решения

3. Определим, как меняется график при уменьшении или увеличении значений Многочлен - виды, определение с примерами решения Степень при старшем члене равна 3, а коэффициент положителен, функция нечетная. Значит, при Многочлен - виды, определение с примерами решения при Многочлен - виды, определение с примерами решения

4. Соединим отмеченные точки и получим схематический график функции Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Рациональная функция

Рациональной функцией называется функция, которою можно представить в виде отношения двух многочленов:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Самым простым примером рациональной функции является функция Многочлен - виды, определение с примерами решения

График функции Многочлен - виды, определение с примерами решения называется гиперболой.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

При стремлении значений Многочлен - виды, определение с примерами решения к нулю точки гиперболы стремятся к оси ординат, т е. к прямой Многочлен - виды, определение с примерами решения при неограниченном увеличении Многочлен - виды, определение с примерами решения но абсолютному значению точки гиперболы неограниченно приближаются к оси абсцисс, т. е. к прямой Многочлен - виды, определение с примерами решения Прямая Многочлен - виды, определение с примерами решения называется вертикальной асимптотой, а прямая Многочлен - виды, определение с примерами решения называется горизонтальной асимптотой гиперболы Многочлен - виды, определение с примерами решения При параллельном переносе гиперболы Многочлен - виды, определение с примерами решения на вектор Многочлен - виды, определение с примерами решения получается график функции Многочлен - виды, определение с примерами решения. В этом случае начало координат преобразуется в точку Многочлен - виды, определение с примерами решения и вертикальной асимптотой становится прямая Многочлен - виды, определение с примерами решения а горизонтальной- прямая Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Пример №25

Постройте график функции Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение: точки пересечения с осью Многочлен - виды, определение с примерами решения найдем из уравнения Многочлен - виды, определение с примерами решения Многочлен - виды, определение с примерами решения

При Многочлен - виды, определение с примерами решения получим Многочлен - виды, определение с примерами решения и график пересекает ось Многочлен - виды, определение с примерами решения в точке Многочлен - виды, определение с примерами решения Разделим почленно числитель функции на знаменатель и запишем ее в виде Многочлен - виды, определение с примерами решения Прямая Многочлен - виды, определение с примерами решения является вертикальной асимптотой, а прямая Многочлен - виды, определение с примерами решения – горизонтальной асимптотой. Зададим таблицу значений для нескольких точек справа и слева от вертикальной асимптоты

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Отметим на координатной плоскости точки, соответствующие парам значений из таблицы и, учитывая горизонтальную и вертикальную асимптоту, изобразим ветви гиперболы, которые пересекают координатные оси в точках Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлен - виды, определение с примерами решения

В общем случае, для построения графика рациональной функции надо найти точки пересечения с осями координат (если они есть) и ее асимптоты. Если выражение, которое задает рациональную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке Многочлен - виды, определение с примерами решения а числитель отличен от нуля, то данная функция имеет вертикальную асимптоту. Горизонтальные асимптоты для рациональной функции Многочлен - виды, определение с примерами решения определяются в соответствии со степенью Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения данных многочленов Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решения

Для Многочлен - виды, определение с примерами решения т. е. если степень многочлена в числителе на 1 единицу больше степени многочлена в знаменателе, частное, полученное при делении, имеет вид Многочлен - виды, определение с примерами решения и является линейной функцией. При возрастании Многочлен - виды, определение с примерами решения по абсолютному значению график функции приближается к данной прямой. В этом случае говорят, что прямая Многочлен - виды, определение с примерами решения является наклонной асимптотой.

Пример №26

Найдите асимптоты и схематично изобразите график функции

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Решение: Точки пересечения с осью Многочлен - виды, определение с примерами решения найдем из уравнения Многочлен - виды, определение с примерами решения При Многочлен - виды, определение с примерами решения получим Многочлен - виды, определение с примерами решения и график пересекает ось Многочлен - виды, определение с примерами решения в точке Многочлен - виды, определение с примерами решения При Многочлен - виды, определение с примерами решения знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Значит, прямая Многочлен - виды, определение с примерами решения является вертикальной асимптотой. Горизонтальной асимптоты у данной функции нет Многочлен - виды, определение с примерами решения Разделив числитель на знаменатель, запишем функцию в виде:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Для больших, но модулю, значений Многочлен - виды, определение с примерами решения дробь Многочлен - виды, определение с примерами решения по абсолютному значению уменьшается и график заданной функции бесконечно приближается к прямой Многочлен - виды, определение с примерами решения т. е. прямая Многочлен - виды, определение с примерами решения является наклонной асимптотой данной функции. Составим таблицу значений для некоторых точек слева и справа от вертикальной оси.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Отметим точки, координаты которых соответствуют парам из таблицы. Учитывая вертикальную и наклонную асимптоту, схематично изобразим график функции.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Многочлены в линейной алгебре

Многочленом от переменной х степени n называется выражение вида:

Многочлен - виды, определение с примерами решения, где Многочлен - виды, определение с примерами решения – действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами, n – натуральное число, х – переменная величина, принимающая произвольные числовые значения.

Если коэффициент Многочлен - виды, определение с примерами решения приМногочлен - виды, определение с примерами решениямногочлена Многочлен - виды, определение с примерами решенияотличен от нуля, а коэффициенты при более высоких степенях равны нулю, то число n называется степенью многочлена, Многочлен - виды, определение с примерами решения – старшим коэффициентом, а Многочлен - виды, определение с примерами решения – старшим членом многочлена. Коэффициент Многочлен - виды, определение с примерами решения называется свободным членом. Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называется нулевым и обозначается 0. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одинаковых степенях равны.

Суммой многочленов Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решенияназывается многочлен

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Произведением многочленов Многочлен - виды, определение с примерами решения и Многочлен - виды, определение с примерами решенияназывается многочлен: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Легко проверить, что сложение и умножение многочленов ассоциативно, коммутативно и связаны между собой законом дистрибутивности.

Многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения называется делителем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения , если существует многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решениятакой, что Многочлен - виды, определение с примерами решения

Теорема о делении с остатком

Для любых многочленов Многочлен - виды, определение с примерами решения существуют многочлены Многочлен - виды, определение с примерами решения такие, что Многочлен - виды, определение с примерами решения причем степень Многочлен - виды, определение с примерами решенияменьше степени g(x) илиМногочлен - виды, определение с примерами решения. Многочлены g(x) и r(x) определены однозначно.

Многочлены g(x) и r(x) называются соответственно частным и остатком. Если g(x) делит Многочлен - виды, определение с примерами решения, то остаток Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Число с называется корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения, если Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Теорема Безу

Число с является корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения тогда и только тогда, когда Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на x – с.

Пусть с – корень многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения, т.е.Многочлен - виды, определение с примерами решения. Разделим Многочлен - виды, определение с примерами решения на

Многочлен - виды, определение с примерами решения где степень r(х) меньше степени (x-с) которая равна 1. Значит, степень г(х) равна 0, т.е. r(х) = const. Значит, Многочлен - виды, определение с примерами решения. Так как Многочлен - виды, определение с примерами решения, то из последнего равенства следует, что r=0, т.е. Многочлен - виды, определение с примерами решения

Обратно, пусть (х-с) делит Многочлен - виды, определение с примерами решения, т.е. Многочлен - виды, определение с примерами решения. Тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения

Следствие. Остаток от деления многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения на (x-с) равен Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения можно разделить на линейный многочлен х-с с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть Многочлен - виды, определение с примерами решения и пустьМногочлен - виды, определение с примерами решения где Многочлен - виды, определение с примерами решения Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

Многочлен - виды, определение с примерами решения

Число с-называется корнем кратности к многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения, если Многочлен - виды, определение с примерами решения делит Многочлен - виды, определение с примерами решения, но Многочлен - виды, определение с примерами решения уже не делит Многочлен - виды, определение с примерами решения.

Чтобы поверить, будет ли число с корнем многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на х-с, затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на х-с, и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема. Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени Многочлен - виды, определение с примерами решенияимеет в С (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

Многочлен - виды, определение с примерами решения

где Многочлен - виды, определение с примерами решения– корни Многочлен - виды, определение с примерами решения, т.е. во множестве С всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то: Многочлен - виды, определение с примерами решениягде Многочлен - виды, определение с примерами решения уже различные корни Многочлен - виды, определение с примерами решения, Многочлен - виды, определение с примерами решения – кратность корня Многочлен - виды, определение с примерами решения

Если многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения, с действительными коэффициентами имеет корень с, то число с также корень Многочлен - виды, определение с примерами решения

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть Многочлен - виды, определение с примерами решения корни Многочлен - виды, определение с примерами решения Тогда Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на х-с и Многочлен - виды, определение с примерами решения, но так как у Многочлен - виды, определение с примерами решения и х-с, нет общих делителей, то Многочлен - виды, определение с примерами решения делится на произведение Многочлен - виды, определение с примерами решения

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени Многочлен - виды, определение с примерами решениявсегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь гдеМногочлен - виды, определение с примерами решения многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения Рациональная дробь Многочлен - виды, определение с примерами решения называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде Многочлен - виды, определение с примерами решения некоторые многочлены, а Многочлен - виды, определение с примерами решения правильная рациональная дробь.

Лемма 1, Если Многочлен - виды, определение с примерами решения правильная рациональная дробь, а число Многочлен - виды, определение с примерами решения является вещественным корнем кратности Многочлен - виды, определение с примерами решения многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решения, т.е.Многочлен - виды, определение с примерами решения, то существует вещественное число A и многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения с вещественными коэффициентами, такие, что Многочлен - виды, определение с примерами решения где дробь Многочлен - виды, определение с примерами решения является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если Многочлен - виды, определение с примерами решения правильная рациональная дробь, а числоМногочлен - виды, определение с примерами решенияявляется корнем кратности Многочлен - виды, определение с примерами решения многочлена g(x), т.е. Многочлен - виды, определение с примерами решения и если Многочлен - виды, определение с примерами решения, то существуют вещественные числа M и N многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения с вещественными коэффициентами, такие, Многочлен - виды, определение с примерами решения где дробь , Многочлен - виды, определение с примерами решениятакже является правильной.

Рациональные дроби видаМногочлен - виды, определение с примерами решенияМногочлен - виды, определение с примерами решения – трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов.

Он состоит в следующем:

При этом если степень многочлена Многочлен - виды, определение с примерами решенияравна n, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени n-1, т.е. многочлен Многочлен - виды, определение с примерами решения коэффициентами.

Число неизвестных Многочлен - виды, определение с примерами решения‘ также равняется n: Многочлен - виды, определение с примерами решения

Таким образом, получается система n уравнений с n неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.

  • Квадратичные формы – определение и понятие
  • Системы линейных уравнений с примерами
  • Линейное программирование
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной
  • Кривые второго порядка
  • Евклидово пространство
  • Матрица – виды, операции и действия с примерами
  • Линейный оператор – свойства и определение

Что такое многочлены? Познакомимся с этим понятием из курса математики 7 класс. Мы с вами дадим определение многочленам, рассмотрим какие выражения можно назвать многочленами, а какие нельзя. Разберем что такое многочлен стандартного вида и степень многочлена и решим несколько примеров на определение степени многочлена и приведение подобных слагаемых.

Определение многочлена

Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов. То есть многочлен – это алгебраическое выражение, которое записывается в виде суммы одночленов.

Пример многочлена: 2x^2+3y+5xy+6.

Неправильно

Как отличить многочлен от не многочлена – обратите внимание на варианты неправильного называния не многочлена многочленом:

  • Неправильно называть многочленом дробь, например, дробь frac{y}{3x-4y} не является многочленом. Так как многочлен – это сумма одночленов.
  • Неправильно называть многочленом произведение, например: 2xy cdot (3x+y)  – не является многочленом, но из этого выражения путем преобразований можно получить многочлен.

Виды многочленов

Среди многочленов выделяют следующие виды многочлены:

  • Многочлен состоящий из одного одночлена называется одночленом.
  • Многочлен, состоящий из двух одночленов, называется двучленом или биномом.
  • Многочлен, состоящий из трех одночленов, называется трехчленом.

Это стандартные называния таких многочленов, многочлен, состоящий из любого произвольного числа одночленов, большего трех, называется просто многочленом.

Стандартный вид многочлена

Если все входящие в многочлен одночлены имеют стандартный вид и в многочлене приведены подобные слагаемые, то такой многочлен называется многочленом стандартного вида.

Приведем пример: выражение 2ax+3by-3cz+3 является многочленом стандартного вида.

Степень многочлена

Чтобы определить степень многочлена нужно найти одночлен с наибольшей степенью, входящий в его состав. Например, в многочлене 3x+4x^2 y+5x^2y^3+6y^3 наибольшая степень у одночлена 5x^2 y^3, у которого степень 5. Таким образом, и многочлен будет пятой степени.

Сложение подобных слагаемых

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одним членом, если сложить их числовые коэффициенты и оставить буквенную часть. Такое сложение или, иначе, тождественное преобразование, называют приведением подобных слагаемых.

Приведем пример: в многочлене 5a^2+7ab+8a^2-9ab можно сложить подобные слагаемые 5a^2+8a^2 и 7ab-9ab, тогда мы получим: 13a^2 и -2ab.

Многочлен можно записать в виде 5a^2+7ab+8a^2-9ab=13^2-2ab

Примеры решения задач

Задание 1

Определите степень многочлена 7x^2+65xy+7y^3.

Решение: наибольшая степень у одночлена 7y^3, значит, степень многочлена – 3.

Задание 2

Приведите подобные слагаемые многочлена: underline{a^4} + underline{underline{-3a^2}}+ underline{underline{5a^2}}+ underline{-a^4}.

Решение: сложим слагаемые одинаковой степени, это a^4 и -a^4, а также сложим -3a^2 и 5a^2. Подчеркнем подобные слагаемые одинаковыми чертами. Получаем, underline{a^4} + underline{underline{-3a^2}}+ underline{underline{5a^2}}+ underline{-a^4}=2a^2.

Ответ: 2a^2.

Задание 3

Приведите подобные члены многочлена:

x^4+a^2-6x^4+7a^2.

Решение: выделим подобные слагаемые и сложим их: underline{x^4}+underline{underline{a^2}}-underline{6x^4}+underline{underline{7a^2}}=(underline{x^4}-underline{6x^4})+(underline{underline{a^2}}+underline{underline{7a^2}})=-5x^4+8a^2.

Ответ: -5x^4+8a^2.

Задание 4

Приведите подобные члены многочлена:

3y^3-ab+8y^3+9ab.

Решение: подчеркнем подобные слагаемые и выполним сложение: underline{3y^3}- underline{underline{ab}}+underline{8y^3}+underline{underline{9ab}}=11y^3+8ab.

Ответ: 11y^3+8ab.

Задание 5

Приведите подобные члены многочлена:

2ab^2-nm-5ab^2+6nm.

Решение: 2ab^2-nm-5ab^2+6nm=-3ab+5nm.

Ответ: 5nm-3ab

Задание 6

Приведите подобные члены многочлена:

12c^2d-7kt^2+8kt^2-10c^2d

Решение: 12c^2d-7kt^2+8kt^2-10c^2d=2c^2d+kt^2.

Ответ: kt^2+2c^2d.

Задание 7

Приведите подобные члены многочлена: a^8c+13a^8c-a^2d.

Решение: a^8c+13a^8c-a^2d=14a^8c-a^2d.

Ответ: 14a^8c-a^2d.

Задание 8

Приведите подобные члены многочлена: 4x^3y-6an+2,1an-7x^3y.

Решение: 4x^3y-6an+2,1an-7x^3y=-3x^3y-3,9an.

Ответ: -3x^3y-3,9an

Добавить комментарий