Как найти степень возводимого числа

Как найти степень возводимого числа

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя – как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.

Определение 1

Возвести число в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова “вычисление значение степени” и “возведение в степень” означают одно и то же. Так, если в задаче стоит “Возведите число 0,5 в пятую степень”, это следует понимать как “вычислите значение степени (0,5)5.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:

Как возвести число в натуральную степень

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите -2 в степень 4.

Решение

Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3272

Как будем решать

Данную запись можно перевести или переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π.

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.

Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

a1=a

Это понятно из записи Как возвести число в натуральную степень.

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно  73.

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.

Пример 5

Примеры:

50=1, (-2,56)0=1230=1

00- не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.

Пример 6

Выполните возведение 2 в степень -3.

Решение 

Используя определение выше, запишем: 2-3=123

Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 23=2·2·2=8.

Тогда ответ таков: 2-3=123=18

Пример 7

Возведите 1,43 в степень -2.

Решение 

Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2

Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом: Как возвести число в целую степень

В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1,43)-2=1000020449

Отдельный случай – возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.

Пример 8

Пример: 3−1=1/3

913-1=13964-1=164 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.

У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.

Проиллюстрируем на примере.  

Пример 9

Вычислите 8-23.

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8-23=1643=133643=133433=14

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2

После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадратик: 2-2=122=14

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44,89 в степень 2,5.

Решение 

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107

Ответ: 13 501,25107.

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями – довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную – значения не имеет: 0-43.

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367…. 

Решение

Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.

Возведение степени в степень 

Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.

Возведение степени в степень Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ. 

Здесь а – это любое число, а n и m – натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.

Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.

Источник

Степень числа

  • Возведение в степень
  • Выражения со степенями. Порядок действий
  • Калькулятор возведения в степень

Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.

Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:

5 · 5 · 5 = 125.

Произведение  5 · 5 · 5  можно записать так:  53  (пять в третьей степени). Выражение  53  — это степень. Следовательно,

5 · 5 · 5 = 53 = 125.

Рассмотрим выражение  53 . В этом выражении число  5  — основание степени, а число  3  — показатель степени.

основание и показатель степени

Основание степени — это повторяющийся множитель. Показатель степени — это число, указывающее количество повторений, то есть показатель степени показывает сколько одинаковых множителей содержится в произведении.

Читаются степени так:

  • 72  —  семь во второй степени.

    Вторую степень числа также называют квадратом этого числа. Следовательно, выражение 72 можно прочесть так: семь в квадрате или квадрат числа семь.

  • 23  —  два в третьей степени.

    Третью степень числа также называют кубом этого числа. Следовательно, выражение 23 можно прочесть так: два в кубе или два куб.

  • 64  —  шесть в четвёртой степени.
  • 1015  —  десять в пятнадцатой степени.
  • an  —  a  в энной степени  или  a  в степени эн.

Пример. Записать в виде степени:

a) 5 · 5;

б) 10 · 10 · 10 · 10;

в) 8 · 8 · 8.

Решение:

a) 5 · 5 = 52;

б) 10 · 10 · 10 · 10 = 104;

в) 8 · 8 · 8 = 83.

Возведение в степень

Возведение числа в степень — это вычисление произведения одинаковых множителей. Например, возвести число  2  в третью степень  (23)  — это значит найти произведение  2 · 2 · 2 , то есть

23 = 2 · 2 · 2 = 8.

Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:

23 = 8,

2  — это основание степени,  3  — показатель степени,  8  — степень.

Пример. Вычислите:

a) 112;

б) 25;

в) 104.

Решение:

a) 112 = 11 · 11 = 121;

б) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32;

в) 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.

Выражения со степенями. Порядок действий

Если выражение не содержит скобки и содержит степени, то сначала выполняется возведение в степень в порядке следования степеней (слева направо), а затем все остальные арифметические действия. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках, с учётом всех правил порядка выполнения действий.

Рассмотрим два выражения:

52 + 22

и

(5 + 2)2

В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае сначала выполняется возведение в степень, а затем вычисляется сумма. Во втором случае сначала вычисляется сумма, а затем результат возводится в квадрат.

52 + 22 = 25 + 4 = 29,

(5 + 2)2 = 72 = 49.

Пример 1. Найти значение выражения:

5 · (10 – 8)3.

Решение: Сначала выполняется действие, заключённое в скобки:

1) 10 – 8 = 2.

Затем, по правилам порядка действий, выполняется возведение в степень:

2) 23 = 2 · 2 · 2 = 8.

И последним действием вычисляется произведение:

3) 5 · 8 = 40.

Ответ:  5 · (10 – 8)3 = 40.

Пример 2. Вычислить:

a) (4 + 2) · 32;

б) 3 · 52 – 50;

в) 3 · 4 + 62.

Решение:

a) (4 + 2) · 32 = 54

  1. 4 + 2 = 6
  2. 32 = 9
  3. 6 · 9 = 54

б) 3 · 52 – 50 = 25

  1. 52 = 25
  2. 3 · 25 = 75
  3. 75 – 50 = 25

в) 3 · 4 + 62 = 48

  1. 62 = 36
  2. 3 · 4 = 12
  3. 12 + 36 = 48

Калькулятор возведения в степень

Данный калькулятор поможет вам выполнить возведение в степень. Просто введите основание с показателем степени и нажмите кнопку Вычислить.

Источник

Как узнать, в какую степень возведено число при наличии результата возведения?

Лови Бабло



Ученик

(123),
закрыт



9 лет назад

Здравствуйте, расскажите пожалуйста, как решаются задачи вроде такой:
(1 известное число) ^(неизвестное) =(2 известное)
Как узнать эту степень?
Конкретный пример: 10^(А) =316. Надо найти “А”. Знаю, что “А” должно быть 2.5, а вот как его находят?
_______________________
И ещё вопрос (возник в процессе выбора категории и подкатегории для этого топика) : математика – это естественная или гуманитарная наука? Чуем чую, что ни гуманитарная, но и к естественным вроде тоже не относится, какую же подкатегорию выбирать? =)

Дополнен 9 лет назад

вспомнил – это ТОЧНАЯ наука =) вот только категории такой тут нет =)

.

Оракул

(77956)


9 лет назад

Конкретный пример: 10^(А) =316. Надо найти “А”. Знаю, что “А” должно быть 2.5, а вот как его находят?
Неправильно! Никак не два с половиной.
Логарифм надо брать. По основанию десять. Вот так вот: lg(316).

Источник

Как посчитать степень

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Арифметика
  6. /
  7. Как посчитать степень

Для того чтобы возвести любое число в любую степень воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Просто введите число и степень, в которую хотите его возвести, и получите ответ.

Теория

Возведение в степень – это математическая операция, при которой число умножается само на себя энное количество раз в зависимости от значения степени.

Формула

an=a⋅a⋅a…и так n-раз

Пример

К примеру, возведём число 2 в 3-ю степень:

23 = 2⋅2⋅2 = 4⋅2 = 8

Как посчитать отрицательную степень

Возведение в отрицательную (минусовую) степень происходит по следующей формуле:

Формула

a-n = 1/an

Пример

К примеру, возведём число 2 в −3-ю степень:

2-3 = 1/(2⋅2⋅2) = 1/(4⋅2) = 1/8 = 0,125

Как посчитать дробную степень

Возведение числа в дробную степень происходит по следующей формуле:

Формула

an/m = m√an

Пример

К примеру, возведём число 4 в степень 0.5:

40.5 = 4½ = 2√41 = 2

Теперь пример посложней: возведём число 2 в степень ¾:

2¾ = 4√23 ≈ 1.6817

См. также

Источник

Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a и натуральным показателем b обозначается как

{displaystyle a^{b}=underbrace {acdot acdot ldots cdot a} _{b},}

где b — количество множителей (умножаемых чисел)[1][К 1].

Например, {displaystyle 3^{2}=3cdot 3=9;quad 2^{4}=2cdot 2cdot 2cdot 2=16}

В языках программирования, где написание a^{b} невозможно, применяются альтернативные обозначения[⇨].

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных[⇨], рациональных[⇨], вещественных[⇨] и комплексных[⇨] степеней[1].

Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени {displaystyle c=a^{b}} и показателя b находит неизвестное основание {displaystyle a={sqrt[{b}]{c}}}. Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени {displaystyle c=a^{b}} и основания a находит неизвестный показатель {displaystyle b=log _{a}c}. Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Употребление в устной речи[править | править код]

Запись {displaystyle a^{n}} обычно читается как «a в n-й степени» или «a в степени n». Например, 10^{4} читается как «десять в четвёртой степени», {displaystyle 10^{3/2}} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 10^{2} читается как «десять в квадрате», 10^{3} читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо a^2, {displaystyle a^{3}} древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[2].

Число, являющееся результатом возведения натурального числа в n-ую степень, называется точной n-ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом.

Свойства[править | править код]

Основные свойства[править | править код]

Все приведенные ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени[⇨].

  • {displaystyle a^{1}=a}
  • left(abright)^{n}=a^{n}b^{n}
  • left({a over b}right)^{n}={{a^{n}} over {b^{n}}}
  • {displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}
  • left.{a^{n} over {a^{m}}}right.=a^{n-m}
  • left(a^{n}right)^{m}=a^{nm}.

Запись a^{n^{m}} не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае,(a^{n})^{m}neq a^{left({n^{m}}right)} Например, {displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}, а 2^{left({2^{3}}right)}=2^{8}=256. В математике принято считать запись a^{n^{m}} равнозначной a^{left({n^{m}}right)}, а вместо (a^{n})^{m} можно писать просто a^{nm}, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, a^{b}neq b^{a}, например, 2^{5}=32, но {displaystyle 5^{2}=25.}

Таблица натуральных степеней небольших чисел[править | править код]

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Расширения[править | править код]

Целая степень[править | править код]

Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль[4]::

{displaystyle a^{z}={begin{cases}a^{z},&z>0\1,&z=0,aneq ;0\{dfrac {1}{a^{|z|}}},&z<0,aneq ;0end{cases}}}

Результат не определён при a=0 и {displaystyle zleqslant 0}.

Рациональная степень[править | править код]

Возведение в рациональную степень {displaystyle m/n,} где m — целое число, а n — натуральное, положительного числа определяется следующим образом[4]:

{displaystyle a^{m over n}=({sqrt[{n}]{a}})^{m};quad forall a>0,ain mathbb {R} ,min mathbb {Z} ,nin mathbb {N} .}.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

{displaystyle 0^{m over n}=0;quad min mathbb {N} ,nin mathbb {N} .}

Для отрицательных a степень с дробным показателем не рассматривается.

Следствие: {displaystyle {sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};quad a>0,ain mathbb {R} .} Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.

Вещественная степень[править | править код]

Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается mathbb {R} . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[5] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где alpha – положительное):

{displaystyle alpha =a_{0},a_{1}a_{2}ldots a_{n}ldots ={a_{n}},~~alpha >0,}
{displaystyle beta =pm b_{0},b_{1}b_{2}ldots b_{n}ldots ={b_{n}},}

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: alpha =[a_{n}] и beta =[b_{n}], то их степенью называют число {displaystyle gamma =[c_{n}]}, определённое степенью последовательностей {a_{n}} и {b_{n}}:

{displaystyle gamma =alpha ^{beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}{widehat {}}b_{n}]},

вещественное число {displaystyle gamma =alpha ^{beta }}, удовлетворяет следующему условию:

{displaystyle (a'leqslant alpha leqslant a'')land (b'leqslant beta leqslant b'')Rightarrow ({(a')}^{b'}leqslant alpha ^{beta }leqslant {(a'')}^{b''})Rightarrow ({(a')}^{b'}leqslant gamma leqslant {(a'')}^{b''}),~~~forall ~a',a'',b',b''in mathbb {Q} ,~forall alpha >0,~alpha ,beta ,gamma in mathbb {R} .}

Таким образом степенью вещественного числа  {displaystyle alpha ^{beta }} является такое вещественное число gamma  которое содержится между всеми степенями вида {displaystyle {(a')}^{b'}} с одной стороны и всеми степенями вида {displaystyle {(a'')}^{b''}}с другой стороны.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.

{displaystyle 0^{beta }=0;quad beta in mathbb {R} ,beta >0.}

Для отрицательных  alpha степень с вещественным показателем не рассматривается.

На практике для того, чтобы возвести число alpha в степень beta , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами a и b. За приближенное значение степени {displaystyle alpha ^{beta }} берут степень указанных рациональных чисел {displaystyle a^{b}}. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают alpha и beta .

Пример возведения в степень {displaystyle gamma =pi ^{e}}, с точностью до 3-го знака после запятой:

Полезные формулы:

{displaystyle x^{y}=a^{ylog _{a}x}}
x^{y}=e^{yln x}
x^{y}=10^{ylg x}

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции x^{y}, и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Комплексная степень[править | править код]

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен:

{displaystyle z^{n}=r^{n}(cos varphi +isin varphi )^{n}=r^{n}(cos nvarphi +isin nvarphi );quad forall nin mathbb {N} ,zin mathbb {C} ,rin mathbb {R} } , (формула Муавра)[6].

Для нахождения степени произвольного комплексного числа в алгебраической форме a + bi можно воспользоваться формулой бинома Ньютона (справедливой и для комплексных чисел):

{displaystyle (a+bi)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bi+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}i^{2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}i^{n-1}+b^{n}i^{n},quad forall nin mathbb {N} } .

Заменяя степени {displaystyle i^{k}} в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: {displaystyle i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,kin mathbb {N} }, получим:

{displaystyle (a+bi)^{n}=sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k}a^{n-2k}b^{2k}+isum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k+1}a^{n-2k-1}b^{2k+1}.}[7]

Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента e^{z}, где e — число Эйлера, z=x+iy — произвольное комплексное число[8].

Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:

{displaystyle e^{z}=1+z+{frac {z^{2}}{2!}}+{frac {z^{3}}{3!}}+{frac {z^{4}}{4!}}+cdots .}

Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного {displaystyle z,} поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для {displaystyle e^{iy}}:

{displaystyle e^{iy}=1+iy+{frac {(iy)^{2}}{2!}}+{frac {(iy)^{3}}{3!}}+{frac {(iy)^{4}}{4!}}+cdots =left(1-{frac {y^{2}}{2!}}+{frac {y^{4}}{4!}}-{frac {y^{6}}{6!}}+cdots right)+ileft(y-{frac {y^{3}}{3!}}+{frac {y^{5}}{5!}}-cdots right).}

В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:

{displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(cos y+isin y)}

Общий случай a^{b}, где a,b — комплексные числа, определяется через представление a в показательной форме: {displaystyle a=re^{i(theta +2pi k)}} согласно определяющей формуле[8]:

{displaystyle a^{b}=(e^{operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{operatorname {ln} (r)+i(theta +2pi k)})^{b}=e^{b(operatorname {ln} (r)+i(theta +2pi k))}.}

Здесь {displaystyle operatorname {Ln} } — комплексный логарифм, ln  — его главное значение.

При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно[8]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество {displaystyle e^{2pi i}=1} в степень i. Слева получится {displaystyle e^{-2pi },} справа, очевидно, 1. В итоге: {displaystyle e^{-2pi }=1,} что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень i даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных k), поэтому правило {displaystyle left(a^{b}right)^{c}=a^{bc}} здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа {displaystyle e^{-2pi k};} отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при k=0 и при {displaystyle k=1.}

Степень как функция[править | править код]

Разновидности[править | править код]

Поскольку в выражении x^{y} используются два символа (x и y), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.

Ноль в степени ноль[править | править код]

Выражение 0^{0} (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция {displaystyle f(x,y)=x^{y}} в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

{displaystyle e^{x}=1+sum _{n=1}^{infty }{x^{n} over n!}}

можно записать короче:

{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{x^{n} over n!}.}

Следует предостеречь, что соглашение 0^0=1 чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

История[править | править код]

Обозначение[править | править код]

В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, x^{4} изображалось как {displaystyle xxxx.} Отред записывал {displaystyle x^{5}-15x^{4}} следующим образом: {displaystyle 1qc-15qq} (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)[9]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени[10]; например, {displaystyle (2)2+1(2)} у него означало {displaystyle 2^{2}+x^{2}}. Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали x^{4} в виде {displaystyle x4} и {displaystyle x^{IV}} соответственно[11].

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)[11][12].

Запись возведения в степень в языках программирования[править | править код]

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^» («циркумфлекс», он же «карет»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.


Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень.
То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: {displaystyle a^{b^{c}}=a^{left(b^{c}right)}}.

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

  • x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
  • x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc[К 2], Haskell[К 3], Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;
  • x ^^ y: Haskell[К 4], D;
  • x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP[К 5], Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell[К 6], Turing[en], VHDL, ECMAScript[К 7][К 8], AutoHotkey[К 8], JavaScript;
  • x⋆y: APL.

Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.

Вариации и обобщения[править | править код]

Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень).

Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде M (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно[13] для любого xin M:

Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней.

Гипероператор возведения в степень — тетрация.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Степень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 221.
  2. ↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — С. 165—167. — 456 с.
  3. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 140—141.
  4. ↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 182—184.
  5. ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида {x:alpha <x<beta }
  6. ↑ Пискунов Н. С. § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа. scask.ru. Дата обращения: 27 марта 2022.
  7. ↑ Близняков Н.М. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Учебно-методическое пособие для вузов 23. Дата обращения: 27 марта 2022. Архивировано 1 апреля 2022 года.
  8. ↑ 1 2 3 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М.: Наука, 1977. — С. 597 (подстрочное примечание 3). — 872 с.
  9. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §290—297.
  10. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §164.
  11. ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
  12. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §298—301, 307—309.
  13. ↑ David M. Bloom. Linear Algebra and Geometry (англ.). — 1979. — P. 45. — ISBN 978-0-521-29324-2.
Комментарии
  1. ↑ В разговорной речи иногда говорят, например, что {displaystyle a^{3}} — «a умноженное само на себя три раза», имея в виду, что берётся три множителя a. Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: {displaystyle a^{3}=acdot acdot a} (три множителя, но две операции умножения). Часто, когда говорят «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть {displaystyle a^{4}.} См. Август Давидов. Начальная алгебра. — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с. Архивная копия от 31 мая 2016 на Wayback Machine. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение».
  2. ↑ Для целой степени.
  3. ↑ Для неотрицательной целой степени.
  4. ↑ Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение.
  5. ↑ Начиная с версии 5.6 (см. Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности Архивная копия от 18 апреля 2018 на Wayback Machine).
  6. ↑ Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.
  7. ↑ Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.
  8. ↑ 1 2 В JavaScript изначально присутствует метод Math.pow(x, y).

Литература[править | править код]

  • Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — 509 с.
    • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
  • Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1969—1978.
  • Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.

Ссылки[править | править код]

  • Возведение в степень: правила, примеры. Дата обращения: 2 февраля 2020.
Источник

Добавить комментарий