Как найти сtg a

Котангенс угла. Таблица котангенсов.

Котангенс угла через градусы, минуты и секунды

Котангенс угла через десятичную запись угла

Определение котангенса

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

tg(α) = cos(α)/sin(α)

сtg(α) = 1/tg(α)

Таблица котангенсов в радианах

ctg(0°) = ∞ctg(π/12) = ctg(15°) = 3.732050808ctg(π/6) = ctg(30°) = 1.732050808ctg(π/4) = ctg(45°) = 1ctg(π/3) = ctg(60°) = 0.577350269ctg(5π/12) = ctg(75°) = 0.2679491924ctg(π/2) = ctg(90°) = 0ctg(7π/12) = ctg(105°) = -0.2679491924ctg(2π/3) = ctg(120°) = -0.577350269ctg(3π/4) = ctg(135°) = -1ctg(5π/6) = ctg(150°) = -1.732050808ctg(11π/12) = ctg(165°) = -3.732050808ctg(π) = ctg(180°) = ∞ctg(13π/12) = ctg(195°) = 3.732050808ctg(7π/6) = ctg(210°) = 1.732050808ctg(5π/4) = ctg(225°) = 1ctg(4π/3) = ctg(240°) = 0.577350269ctg(17π/12) = ctg(255°) = 0.2679491924ctg(3π/2) = ctg(270°) = 0ctg(19π/12) = ctg(285°) = -0.2679491924ctg(5π/3) = ctg(300°) = -0.577350269ctg(7π/4) = ctg(315°) = -1ctg(11π/6) = ctg(330°) = -1.732050808ctg(23π/12) = ctg(345°) = -3.732050808

Таблица Брадиса котангенсы

ctg(0) = ∞ ctg(120) = -0.577350269 ctg(240) = 0.577350269
ctg(1) = 57.28996162 ctg(121) = -0.6008606192 ctg(241) = 0.5543090515
ctg(2) = 28.63625328 ctg(122) = -0.6248693519 ctg(242) = 0.5317094318
ctg(3) = 19.08113669 ctg(123) = -0.6494075931 ctg(243) = 0.5095254494
ctg(4) = 14.30066626 ctg(124) = -0.6745085166 ctg(244) = 0.4877325885
ctg(5) = 11.4300523 ctg(125) = -0.7002075381 ctg(245) = 0.466307658
ctg(6) = 9.514364451 ctg(126) = -0.7265425283 ctg(246) = 0.4452286853
ctg(7) = 8.144346428 ctg(127) = -0.7535540499 ctg(247) = 0.4244748162
ctg(8) = 7.115369723 ctg(128) = -0.7812856266 ctg(248) = 0.4040262259
ctg(9) = 6.313751516 ctg(129) = -0.8097840329 ctg(249) = 0.383864035
ctg(10) = 5.67128182 ctg(130) = -0.8390996309 ctg(250) = 0.3639702343
ctg(11) = 5.144554017 ctg(131) = -0.869286738 ctg(251) = 0.3443276133
ctg(12) = 4.704630109 ctg(132) = -0.9004040442 ctg(252) = 0.3249196963
ctg(13) = 4.331475875 ctg(133) = -0.9325150862 ctg(253) = 0.3057306815
ctg(14) = 4.010780934 ctg(134) = -0.9656887746 ctg(254) = 0.2867453857
ctg(15) = 3.732050808 ctg(135) = -1 ctg(255) = 0.2679491924
ctg(16) = 3.487414443 ctg(136) = -1.035530314 ctg(256) = 0.2493280028
ctg(17) = 3.270852618 ctg(137) = -1.07236871 ctg(257) = 0.2308681911
ctg(18) = 3.077683537 ctg(138) = -1.110612515 ctg(258) = 0.2125565617
ctg(19) = 2.904210878 ctg(139) = -1.150368407 ctg(259) = 0.1943803091
ctg(20) = 2.747477419 ctg(140) = -1.191753593 ctg(260) = 0.1763269807
ctg(21) = 2.605089065 ctg(141) = -1.234897157 ctg(261) = 0.1583844403
ctg(22) = 2.475086854 ctg(142) = -1.279941632 ctg(262) = 0.1405408347
ctg(23) = 2.355852366 ctg(143) = -1.327044822 ctg(263) = 0.1227845609
ctg(24) = 2.246036774 ctg(144) = -1.37638192 ctg(264) = 0.1051042353
ctg(25) = 2.14450692 ctg(145) = -1.428148007 ctg(265) = 0.08748866355
ctg(26) = 2.050303841 ctg(146) = -1.482560969 ctg(266) = 0.06992681193
ctg(27) = 1.962610505 ctg(147) = -1.539864964 ctg(267) = 0.05240777928
ctg(28) = 1.880726465 ctg(148) = -1.600334529 ctg(268) = 0.0349207695
ctg(29) = 1.804047755 ctg(149) = -1.664279482 ctg(269) = 0.01745506493
ctg(30) = 1.732050808 ctg(150) = -1.732050808 ctg(270) = 0
ctg(31) = 1.664279482 ctg(151) = -1.804047755 ctg(271) = -0.01745506493
ctg(32) = 1.600334529 ctg(152) = -1.880726465 ctg(272) = -0.0349207695
ctg(33) = 1.539864964 ctg(153) = -1.962610505 ctg(273) = -0.05240777928
ctg(34) = 1.482560969 ctg(154) = -2.050303841 ctg(274) = -0.06992681193
ctg(35) = 1.428148007 ctg(155) = -2.14450692 ctg(275) = -0.08748866355
ctg(36) = 1.37638192 ctg(156) = -2.246036774 ctg(276) = -0.1051042353
ctg(37) = 1.327044822 ctg(157) = -2.355852366 ctg(277) = -0.1227845609
ctg(38) = 1.279941632 ctg(158) = -2.475086854 ctg(278) = -0.1405408347
ctg(39) = 1.234897157 ctg(159) = -2.605089065 ctg(279) = -0.1583844403
ctg(40) = 1.191753593 ctg(160) = -2.747477419 ctg(280) = -0.1763269807
ctg(41) = 1.150368407 ctg(161) = -2.904210878 ctg(281) = -0.1943803091
ctg(42) = 1.110612515 ctg(162) = -3.077683537 ctg(282) = -0.2125565617
ctg(43) = 1.07236871 ctg(163) = -3.270852618 ctg(283) = -0.2308681911
ctg(44) = 1.035530314 ctg(164) = -3.487414443 ctg(284) = -0.2493280028
ctg(45) = 1 ctg(165) = -3.732050808 ctg(285) = -0.2679491924
ctg(46) = 0.9656887746 ctg(166) = -4.010780934 ctg(286) = -0.2867453857
ctg(47) = 0.9325150862 ctg(167) = -4.331475875 ctg(287) = -0.3057306815
ctg(48) = 0.9004040442 ctg(168) = -4.704630109 ctg(288) = -0.3249196963
ctg(49) = 0.869286738 ctg(169) = -5.144554017 ctg(289) = -0.3443276133
ctg(50) = 0.8390996309 ctg(170) = -5.67128182 ctg(290) = -0.3639702343
ctg(51) = 0.8097840329 ctg(171) = -6.313751516 ctg(291) = -0.383864035
ctg(52) = 0.7812856266 ctg(172) = -7.115369723 ctg(292) = -0.4040262259
ctg(53) = 0.7535540499 ctg(173) = -8.144346428 ctg(293) = -0.4244748162
ctg(54) = 0.7265425283 ctg(174) = -9.514364451 ctg(294) = -0.4452286853
ctg(55) = 0.7002075381 ctg(175) = -11.4300523 ctg(295) = -0.466307658
ctg(56) = 0.6745085166 ctg(176) = -14.30066626 ctg(296) = -0.4877325885
ctg(57) = 0.6494075931 ctg(177) = -19.08113669 ctg(297) = -0.5095254494
ctg(58) = 0.6248693519 ctg(178) = -28.63625328 ctg(298) = -0.5317094318
ctg(59) = 0.6008606192 ctg(179) = -57.28996162 ctg(299) = -0.5543090515
ctg(60) = 0.577350269 ctg(180) = ∞ ctg(300) = -0.577350269
ctg(61) = 0.5543090515 ctg(181) = 57.28996162 ctg(301) = -0.6008606192
ctg(62) = 0.5317094318 ctg(182) = 28.63625328 ctg(302) = -0.6248693519
ctg(63) = 0.5095254494 ctg(183) = 19.08113669 ctg(303) = -0.6494075931
ctg(64) = 0.4877325885 ctg(184) = 14.30066626 ctg(304) = -0.6745085166
ctg(65) = 0.466307658 ctg(185) = 11.4300523 ctg(305) = -0.7002075381
ctg(66) = 0.4452286853 ctg(186) = 9.514364451 ctg(306) = -0.7265425283
ctg(67) = 0.4244748162 ctg(187) = 8.144346428 ctg(307) = -0.7535540499
ctg(68) = 0.4040262259 ctg(188) = 7.115369723 ctg(308) = -0.7812856266
ctg(69) = 0.383864035 ctg(189) = 6.313751516 ctg(309) = -0.8097840329
ctg(70) = 0.3639702343 ctg(190) = 5.67128182 ctg(310) = -0.8390996309
ctg(71) = 0.3443276133 ctg(191) = 5.144554017 ctg(311) = -0.869286738
ctg(72) = 0.3249196963 ctg(192) = 4.704630109 ctg(312) = -0.9004040442
ctg(73) = 0.3057306815 ctg(193) = 4.331475875 ctg(313) = -0.9325150862
ctg(74) = 0.2867453857 ctg(194) = 4.010780934 ctg(314) = -0.9656887746
ctg(75) = 0.2679491924 ctg(195) = 3.732050808 ctg(315) = -1
ctg(76) = 0.2493280028 ctg(196) = 3.487414443 ctg(316) = -1.035530314
ctg(77) = 0.2308681911 ctg(197) = 3.270852618 ctg(317) = -1.07236871
ctg(78) = 0.2125565617 ctg(198) = 3.077683537 ctg(318) = -1.110612515
ctg(79) = 0.1943803091 ctg(199) = 2.904210878 ctg(319) = -1.150368407
ctg(80) = 0.1763269807 ctg(200) = 2.747477419 ctg(320) = -1.191753593
ctg(81) = 0.1583844403 ctg(201) = 2.605089065 ctg(321) = -1.234897157
ctg(82) = 0.1405408347 ctg(202) = 2.475086854 ctg(322) = -1.279941632
ctg(83) = 0.1227845609 ctg(203) = 2.355852366 ctg(323) = -1.327044822
ctg(84) = 0.1051042353 ctg(204) = 2.246036774 ctg(324) = -1.37638192
ctg(85) = 0.08748866355 ctg(205) = 2.14450692 ctg(325) = -1.428148007
ctg(86) = 0.06992681193 ctg(206) = 2.050303841 ctg(326) = -1.482560969
ctg(87) = 0.05240777928 ctg(207) = 1.962610505 ctg(327) = -1.539864964
ctg(88) = 0.0349207695 ctg(208) = 1.880726465 ctg(328) = -1.600334529
ctg(89) = 0.01745506493 ctg(209) = 1.804047755 ctg(329) = -1.664279482
ctg(90) = 0 ctg(210) = 1.732050808 ctg(330) = -1.732050808
ctg(91) = -0.01745506493 ctg(211) = 1.664279482 ctg(331) = -1.804047755
ctg(92) = -0.0349207695 ctg(212) = 1.600334529 ctg(332) = -1.880726465
ctg(93) = -0.05240777928 ctg(213) = 1.539864964 ctg(333) = -1.962610505
ctg(94) = -0.06992681193 ctg(214) = 1.482560969 ctg(334) = -2.050303841
ctg(95) = -0.08748866355 ctg(215) = 1.428148007 ctg(335) = -2.14450692
ctg(96) = -0.1051042353 ctg(216) = 1.37638192 ctg(336) = -2.246036774
ctg(97) = -0.1227845609 ctg(217) = 1.327044822 ctg(337) = -2.355852366
ctg(98) = -0.1405408347 ctg(218) = 1.279941632 ctg(338) = -2.475086854
ctg(99) = -0.1583844403 ctg(219) = 1.234897157 ctg(339) = -2.605089065
ctg(100) = -0.1763269807 ctg(220) = 1.191753593 ctg(340) = -2.747477419
ctg(101) = -0.1943803091 ctg(221) = 1.150368407 ctg(341) = -2.904210878
ctg(102) = -0.2125565617 ctg(222) = 1.110612515 ctg(342) = -3.077683537
ctg(103) = -0.2308681911 ctg(223) = 1.07236871 ctg(343) = -3.270852618
ctg(104) = -0.2493280028 ctg(224) = 1.035530314 ctg(344) = -3.487414443
ctg(105) = -0.2679491924 ctg(225) = 1 ctg(345) = -3.732050808
ctg(106) = -0.2867453857 ctg(226) = 0.9656887746 ctg(346) = -4.010780934
ctg(107) = -0.3057306815 ctg(227) = 0.9325150862 ctg(347) = -4.331475875
ctg(108) = -0.3249196963 ctg(228) = 0.9004040442 ctg(348) = -4.704630109
ctg(109) = -0.3443276133 ctg(229) = 0.869286738 ctg(349) = -5.144554017
ctg(110) = -0.3639702343 ctg(230) = 0.8390996309 ctg(350) = -5.67128182
ctg(111) = -0.383864035 ctg(231) = 0.8097840329 ctg(351) = -6.313751516
ctg(112) = -0.4040262259 ctg(232) = 0.7812856266 ctg(352) = -7.115369723
ctg(113) = -0.4244748162 ctg(233) = 0.7535540499 ctg(353) = -8.144346428
ctg(114) = -0.4452286853 ctg(234) = 0.7265425283 ctg(354) = -9.514364451
ctg(115) = -0.466307658 ctg(235) = 0.7002075381 ctg(355) = -11.4300523
ctg(116) = -0.4877325885 ctg(236) = 0.6745085166 ctg(356) = -14.30066626
ctg(117) = -0.5095254494 ctg(237) = 0.6494075931 ctg(357) = -19.08113669
ctg(118) = -0.5317094318 ctg(238) = 0.6248693519 ctg(358) = -28.63625328
ctg(119) = -0.5543090515 ctg(239) = 0.6008606192 ctg(359) = -57.28996162

Похожие калькуляторы

Котангенс угла ctg(A)

Котангенс угла ctg(A) — есть отношение
прилежащего катета b к
противолежащему катету a

[ ctg(A) = frac{b}{a} ]

Котангенс угла — ctg(A), таблица

0°
Котангенс угла 0 градусов

$ ctg(0°) = ctg(0) = infin $
30°
Котангенс угла 30 градусов

$ ctg(30°) = ctgBig(Largefrac{pi}{6}normalsizeBig) = sqrt{3} $
1.732
45°
Котангенс угла 45 градусов

$ ctg(45°) = ctgBig(Largefrac{pi}{4}normalsizeBig) = 1 $
1.000
60°
Котангенс угла 60 градусов

$ ctg(60°) = ctgBig(Largefrac{pi}{3}normalsizeBig) = Largefrac{1}{sqrt{3}}normalsize $
0.577
90°
Котангенс угла 90 градусов

$ ctg(90°) = ctgBig(Largefrac{pi}{2}normalsizeBig) = 0 $
0

Вычислить, найти котангенс угла ctg(A) и угол, в прямоугольном треугольнике

Вычислить, найти котангенс угла ctg(A) по углу A в градусах

Вычислить, найти котангенс угла ctg(A) по углу A в радианах

Котангенс угла — ctg(A)

стр. 225
Определение котангенса угла

Котангенс является обратно пропорциональной величиной к тангенсу. То есть, это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: котангенс угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к дальнему катету.

1.png

В случае с рисунком, описанным выше: ctg⁡α=bactgalpha=frac{b}{a}

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡αctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}

Задача 1

Пусть в прямоугольном треугольнике синус угла равен 0.200.20, а косинус этого угла равен 0.980.98. Найдите котангенс данного по условию угла.

Решение

sin⁡α=0.20sinalpha=0.20
cos⁡α=0.98cosalpha=0.98

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α=0.980.20=4.9ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{0.98}{0.20}=4.9

Ответ

4.94.9

После того, как мы изучили и тангенс, и котангенс, можно рассмотреть еще одно тождество:

Связь тангенса с котангенсом

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

Вывод его прост:

tg⁡α⋅ctg⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡αsin⁡α=1tgalphacdotctgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}cdotfrac{cosalpha}{sinalpha}=1

Благодаря ему можно быстро и без каких-либо трудностей вычислять одну из этих величин.

Задача 2

Каков тангенс угла, если его котангенс равен 4.54.5?

Решение

ctg⁡α=4.5ctgalpha=4.5

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

tg⁡α⋅4.5=1tgalphacdot4.5=1

tg⁡α=14.5tgalpha=frac{1}{4.5}

tg⁡α≈0.22tgalphaapprox0.22

Ответ

0.220.22

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с котангенсом:

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат синуса.

Задача 3

Найдите котангенс угла, если квадрат его синуса равен 0.490.49.

Решение

sin⁡2α=0.49sin^2alpha=0.49

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

1+ctg⁡2α=10.491+ctg^2alpha=frac{1}{0.49}

1+ctg⁡2α≈2.041+ctg^2alphaapprox2.04

ctg⁡2α≈1.04ctg^2alphaapprox1.04

ctg⁡α≈1.02ctgalphaapprox1.02

Ответ

1.021.02

Решение задач по математике недорого от экспертов биржи!

Тест по теме «Вычисление котангенса»

  • Определение

  • График котангенса

  • Свойства котангенса

  • Обратная к котангенсу функция

  • Таблица котангенсов

Определение

Котангенс острого угла α (ctg α или cotan α) – это отношение прилежащего катета (b) к противолежащему (a) в прямоугольном треугольнике.

ctg α = b / a

Котангенс угла

Например:
a = 3
b = 4
ctg α = b / a = 4 / 3 ≈ 1,334.

График котангенса

Функция котангенса пишется как y = ctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом (x, –∞ < y < +∞):

График котангенса

Свойства котангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства котангенса с формулами.

Обратная к котангенсу функция

Арккотангенс x – это обратная функция к котангенсу x.

Если котангенс угла у равняется х (ctg y = x), значит арккотангенс x равен у:

arcctg x = ctg-1 x = y

Таблица котангенсов

x (°) x (рад) ctg x
0 0
30 π/6 3
45 π/4 1
60 π/3 1/√3
90 π/2 0
120 2π/3 -1/√3
135 3π/4 -1
150 5π/6 -√3
180 π
210 7π/6 3
225 5π/4 1
240 4π/3 1/√3
270 3π/2 0
300 5π/3 -1/√3
315 7π/4 -1
330 11π/6 -√3
360

microexcel.ru

Тригонометрия – раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой нужной науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии, которые придумали наиболее важные понятия, объяснили многие свойства, предложили варианты измерения и др.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии без таблиц и графиков.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Зачем разделять понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса?

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Что такое синус?

Синус угла (sin α) – это отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Что такое косинус?

Косинус угла (cosα) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Что такое тангенс?

Тангенс угла (tg α) – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Синус и косинус можно представить через экспоненту (экспоненциальная функция).

Приведем иллюстрацию. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Означения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять (находить) значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Что и почему важно и принято помнить в ходе такого нахождения?

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тг и ктг – вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Как найти синус? Для начала нужно определиться, какой перед нами треугольник: прямоугольный или произвольный. В первом случае можно использовать обычный тригонометрический метод, а во втором – теорему косинусов.

Как найти косинус? Соответственно, нам нужно знать значения прилежающего катета и гипотенузы. 

Как найти тангенс? Если треугольник прямоугольный, то тангенс вычисляется при помощи значений противоположного катета и прилежащего (в уравнении нужно поделить одно на другое). Если речь идет о числах, тупых, развернутых углов и углов, превышающих 360 градусов, то тангенс определяется при помощи синуса и косинуса (посредством их отношения и деления).

Теорема синусов и косинусов используется для того чтобы искать элементы в произвольном треугольнике. Такой поиск используется часто.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность (круг) с центром в начале декартовой системы координат.

                                                                 Угол поворота

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус (sin или син) угла поворота

Синус угла поворота α – это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α – это абсцисса точки A1(x , y). cos α=икс

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α – это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котанг угла поворота α – это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогична ситуация с котангенсом. Отличие состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Простое правило: синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят “синус угла поворота α”. Слова “угол поворота” просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности – точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t – ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t – абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t – отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α – это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс – основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

                                                                     Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы​​​​​​​

Добавить комментарий