Как найти сторону четырехугольника описанного около окружности

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

Фигура	Рисунок	Утверждение
Ромб		В любой ромб можно вписать окружность
Квадрат		В любой квадрат можно вписать окружность
Прямоугольник		В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
Параллелограмм		В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
Дельтоид		В любой дельтоид можно вписать окружность
Трапеция		В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Ромб

Квадрат

В любой квадрат можно вписать окружность

Прямоугольник

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

Параллелограмм

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

Дельтоид

Трапеция

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.

Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.

Теорема.

В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Обратная теорема.

Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.

Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.

Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Svoystva-Chetyrekhugolnikov-Opisannykh-Okolo-Okruzhnosti.html

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vpisannyj-i-opisannyj-chetyrexugolniki-i-ix-svojstva/

[/spoiler]

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.

Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.

Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.

Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.

Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.

Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.

Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол  равен . Тогда напротив него лежит угол в  градусов. Если угол  равен , то угол  равен .

Ответ: 122.

Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Решение:

Пусть сторона  равна ,  равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что  равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

Ответ: 12.

Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Решение:

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны  и , а боковые стороны —  и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Ответ: 10.

Задача 4.  Угол A четырехугольника , вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна

Поэтому 

Ответ: 148.

Задача 5.  Углы четырехугольника  относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть 

Сумма всех углов четырехугольника равна

А сумма каждой пары противоположных углов равна (т.к. четырехугольник вписан в окружность).

Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:

Подставляем второе уравнение в первое и получаем 

Ответ: 90.

Задача 6. Стороны четырехугольника   и   стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна .

Поэтому

Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е. 

Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е. 

Ответ: 107.

Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол А – вписанный, опирается на дугу равную сумме дуг и Найдем дуги и

Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.

Тогда  или

Сумма дуг и составляет

Вписанный угол А равен половине дуги т.е. 

Ответ: 15.

Задача 8.  Радиус окружности, описанной около квадрата, равен   Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна 

Выразим сторону квадрата через его диагональ: 

Ответ: 32.

Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями 

Тогда боковые стороны 

Проведем параллельно Тогда треугольник – равнобедренный, т.к. и равносторонний, т.к. Поэтому

– параллелограмм по построению, но , поэтому – ромб, и

Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –

Ответ: 6.

Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.

Решение:

Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.

Ответ: 12.

Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований

Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:

Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: 

Ответ: 5.

Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и 

Решение:

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.

В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как 

Радиус окружности равен половине диаметра:

Ответ: 9.

Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому

Ответ: 8.

Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).

Боковая сторона тогда боковая сторона

Радиус вписанной окружности равен половине т.е. 2.

Ответ: 2.

Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение:

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

Ответ: 28.

Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

Ответ: 16.

Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности: 

Ответ: 16.

Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

Рассмотрим равнобедренную трапецию

Проведем Треугольник – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. – параллелограмм, и ),

Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника .

Радиус вписанной окружности

Ответ: 6.

Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),

Треугольники и – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:

Ответ: 7.

Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.

Задача 21. В четырёхугольник можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а

Решение:

Обозначим  Тогда 

Обозначим также 

Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Значит, Отсюда 

Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника

При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это 

Пусть 

Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:

Из 

Из 

Из 

Из 

Мы получили систему уравнений.

Сложив первое и третье из них и выразив  как  получим: 

Кроме того,  Это мы нашли в самом начале.

Из системы уравнений

находим: 

Значит, 

Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник вписан в окружность.

Треугольники и равны по трем сторонам. Значит, углы и равны.

Четырехугольник вписан в окружность, поэтому сумма углов и равна 180 градусов. Мы получили, что углы и – прямые. Тогда – диаметр окружности.

По условию, , тогда 

опирается на диаметр.

 – прямоугольный,  – его гипотенуза.

По теореме Пифагора для :

Отсюда 

Ответ: 40.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Здравствуйте, уважаемые читатели. Продолжаем разбор заданий с окружностью. В этой статье рассмотрим две темы, 5 и 6.

1. Центральные и вписанные углы.

2.Касательная, хорда, секущая.

3.Вписанная и описанная окружность (треугольник)

4. Вписанная и описанная окружность (квадрат)

5. Вписанная и описанная окружность (трапеция)

6. Вписанная и описанная окружность (произвольный четырехугольник)

Объединение этих тем возможно из-за одинаковых свойств.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Поэтому при решении этих задач пойдем от частного случая к общему.

Задача №1

Решение:

Задачу решим двумя способами:

Способ №1

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.

Запомните!!!

1) В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию.

2) Трапеция называется равнобедренной если боковые стороны равны.

3) В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Способ №2

Запомните!!!! Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника в окружность равна 180 градусов.

Задача №2

Запомните!!!! Если четырехугольник описать около окружности, то суммы противоположных сторон равны.

Подставим значения из задачи, найдем AD

Задача №3

Для решение этой задачи, достаточно провести высоту в трапеции. Высота трапеции будет являться диаметром окружности.

Ответ 36

Задача №4

Эта задача может встретиться как в первой части экзамена, так и во второй части в 23 и 24 задании.

Задача на подобие треугольников.

1) Докажем, что треугольники AKD и ВКС подобны, для этого найдем две пары равных углов.

Чтобы найти пару равных углов, воспользуемся двумя свойствами:

1) Сумма противоположных углов в вписанном четырехугольнике равна 180 градусов.

2) Сумма смежных углов равна 180 градусов

Вторая пара равных углов, это будет общий угол треугольников AKD и ВКС. Угол К общий.

Теперь все отметив на чертеже:

Треугольники AKD и ВКС подобны. Теперь составим отношение сходственных сторон.

Чтобы всегда правильно составлять отношения сторон, записывайте названия подобных треугольников так, чтобы вершины равных углов находились на одинаковых позициях.

Теперь составим отношение сходственных сторон:

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольника.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Четырехугольники бывают выпуклые, если они расположены в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит одну из его сторон (ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Если любые две противолежащие точки выпуклого четырёхугольника соединить между собой отрезком, то весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклого четырёхугольника это не выполняется (рисунок ниже).

Диагонали выпуклого четырёхугольника лежат внутри него и пересекаются. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника лежит снаружи, а другая внутри него, и эти диагонали не пересекаются.

Определения для четырехугольника

• Данный четырёхугольник обозначается ABCD.
• Точки A, B, C, D называются его вершинами, а отрезки AB, BC, CD, DA – его сторонами.
• Смежные стороны – соседние стороны, имеющие общую вершину. Пары смежных сторон: AB и AD, AB и BC, BC и CD, CD и AD.
• Противолежащие стороны – несмежные стороны, не имеющие общих вершин. Пары противолежащих сторон: AB и CD, BC и AD.
  Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. AC и BD – диагонали четырехугольника ABCD.

Виды четырехугольников:

Если рассмотреть схему, то каждый следующий четырехугольник обладает всеми свойствами предыдущего.  Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеции бывают: произвольная, равносторонняя, прямоугольная.

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны. В параллелограмме:
— противоположные стороны и противоположные углы равны.
— диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Соответственно, если  четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами. В ромбе:
— противоположные углы равны,
— диагонали точкой пересечения делятся пополам,
— диагонали взаимно перпендикулярны,
— диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является частным случаем прямоугольника и частным случаем ромба, поэтому обладает всеми их свойствами. В квадрате:
— все углы равны 90 градусов,
— диагонали точкой пересечения делятся пополам,
— диагонали взаимно перпендикулярны,
— диагонали  являются биссектрисами углов,
— диагонали равны.

Свойства углов четырехугольника

• Сумма углов четырёхугольника равна 360°
• Сумма внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
• Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
• Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.

Свойства сторон четырехугольника

• Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
• Сумма диагоналей меньше его периметра.

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник вокруг окружности.

• Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.
• В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны (AB+CD=AD+BC).
• Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырехугольник внутри окружности.

• Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной.
• Вокруг четырёхугольника можно описать окружность, если сумма двух его противоположных углов равна 180°.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
• Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (AC*BD=AB*CD+AD*BC).

Частные случаи:

• Параллелограмм, вписанный в окружность – это прямоугольник, центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
• Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
• Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Диагонали четырехугольника

• Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в одной точке.
• Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
• Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Периметр и площадь четырехугольника

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле: где d1 и d2— диагонали четырёхугольника, a — угол между диагоналями.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть вычислена по формуле: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p=(a+b+c+d)/2 – его полупериметр.

Площадь описанного четырёхугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: