Как найти сторону если известна дуга

Сторона окружности

Определение стороны окружности

Сторона окружности — это длина дуги окружности.

Длина дуги численно равна стороне
окружности, поэтому более распространено
понятие дуги окружности.

На рисунке 1, изображена окружность,
обладающая следующими величинами:

• O — точка, являющаяся
  центром окружности;
• R — радиус
  окружности;
• α — центральный
  угол окружности;
• L — сторона
  окружности;

Длину стороны L, окружности,
с центром в точке O, можно
найти следующим образом:

Ⅰ. Умножить радиус окружности на π,
получившееся разделить на 180 градусов.
Ⅱ. Полученный результат умножить на угол.

Также, все это можно сделать, зная одну из
известных формул стороны окружности:

Формулы стороны окружности

Ⅰ. Через диаметр и центральный угол

Сторону окружности L, можно найти, разделив
произведение половины диаметра и π на 180 градусов.
Затем умножить полученное значение на угол.

Ⅱ. Через площадь и центральный угол

Эта формула, примечательна тем, что
для нахождения длины, не обязательно
знать радиус — главное знать площадь.

Ⅲ. Через периметр и центральный угол

Самая краткая запись формулы
стороны окружности.

Пример решения задач по теме сторона окружности

Возьмем для удобства π равное 3.14.

Ⅰ.
Дано: Диаметр равен 6, центральный равен 180.
Найти: Длина стороны окружности — ?

Решение:

( L = frac<frac<6> <180>cdot pi> <180>cdot 180 = frac<3 pi> <180>cdot 180 = 3pi = 9.42 )

Ⅱ.
Дано: Периметр равен 100, центральный угол равен 60.
Найти: Длина стороны окружности — ?

Решение:

( L = frac<100> <180>cdot 60 = 0.55 cdot 60 = 33 )

Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.

По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.

Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:

откуда легко найдем x .

Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:

Теорема.

Произведение двух сторон треугольника равно:

1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.

1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через h_a , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.

Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.

По первой теореме мы имеем: bс = 2Rh_a , где b и с есть две стороны треугольника, h_a – высота, опущенная на третью сторону треугольника, и R – радиус описанного круга.

Из этого равенства выводим:

Исключим из этой формулы высоту h_a: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение h_a a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:

,

Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и OС разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой – радиус r.

Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Treugolnik-Sootnosheniya-Mezhdu-Storonami-Treugolnika-I-Radi.html

[/spoiler]

Определение стороны окружности

Сторона окружности — это длина дуги окружности.

Длина дуги численно равна стороне
окружности, поэтому более распространено
понятие дуги окружности.

На рисунке 1, изображена окружность,
обладающая следующими величинами:

• O — точка, являющаяся
  центром окружности;
• R — радиус
  окружности;
• α — центральный
  угол окружности;
• L — сторона
  окружности;

Длину стороны L, окружности,
с центром в точке O, можно
найти следующим образом:

Ⅰ. Умножить радиус окружности на π,
получившееся разделить на 180 градусов.
Ⅱ. Полученный результат умножить на угол.

Также, все это можно сделать, зная одну из
известных формул стороны окружности:

[ L = frac{ pi R}{180} cdot alpha ]

Формулы стороны окружности

Ⅰ. Через диаметр и центральный угол

Сторону окружности L, можно найти, разделив
произведение половины диаметра и π на 180 градусов.
Затем умножить полученное значение на угол.

[ L = frac{ frac{D}{2} cdot pi}{180} cdot a ]

Ⅱ. Через площадь и центральный угол

[ L = frac{ sqrt{frac{S}{pi}} cdot pi}{180} cdot alpha ]

Эта формула, примечательна тем, что
для нахождения длины, не обязательно
знать радиус — главное знать площадь.

Ⅲ. Через периметр и центральный угол

[ L = frac{frac{P}{2pi}cdot pi}{180} cdot alpha ]

Самая краткая запись формулы
стороны окружности.

Пример решения задач по теме сторона окружности

Возьмем для удобства π равное 3.14.

Ⅰ.
Дано: Диаметр равен 6, центральный равен 180.
Найти: Длина стороны окружности — ?

Решение:

( L = frac{frac{6}{180} cdot pi}{180} cdot 180 = frac{3 pi}{180} cdot 180 = 3pi = 9.42 )

Ⅱ.
Дано: Периметр равен 100, центральный угол равен 60.
Найти: Длина стороны окружности — ?

Решение:

( L = frac{100}{180} cdot 60 = 0.55 cdot 60 = 33 )

Как найти сторону треугольника, зная сторону и угол

В общем случае знания длины одной стороны и одного угла треугольника недостаточно для определения длины другой стороны. Этих данных может быть достаточно для определения сторон прямоугольного треугольника, а также равнобедренного треугольника. В общем же случае необходимо знать еще один параметр треугольника.

Вам понадобится

• Стороны треугольника, углы треугольника

Инструкция

Для начала можно рассмотреть частные случаи и начать со случая прямоугольного треугольника. Если известно, что треугольник прямоугольный и известен один из его острых углов, то по длине одной из сторон можно найти и лругие стороны треугольника.

Для нахождения длины других сторон необходимо знать, какая сторона треугольника задана – гипотенуза или какой-то из катетов. Гипотенуза лежит против прямого угла, катеты образуют прямой угол.

Рассмотрите прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ABC. Пусть задана его гипотенуза AC и, например, острый угол BAC. Тогда катеты треугольника будут равны: AB = AC*cos(BAC) (прилежащий катет к углу BAC), BC = AC*sin(BAC) (катет, противолежащий углу BAC).

Пусть теперь задан тот же угол BAC и, например, катет AB. Тогда гипотенуза AC этого прямоугольного треугольника равна: AC = AB/cos(BAC) (соответственно, AC = BC/sin(BAC)). Другой катет BC находится по формуле BC = AB*tg(BAC).

Другой частный случай – если треугольник ABC равнобедренный (AB = AC). Пусть задано основание BC. Если задан угол BAC, то боковые стороны AB и AC можно найти по формуле: AB = AC = (BC/2)/sin(BAC/2).

Если задан угол при основании ABC или ACB, то AB = AC = (BC/2)/cos(ABC).

Пусть задана одна из боковых сторон AB или AC. Если известен угол BAC, то BC = 2*AB*sin(BAC/2). Если известен угол ABC или угол ACB при основании, то BC = 2*AB*cos(ABC).

Теперь можно рассмотреть общий случай треугольника, когда длины одной стороны и одного угла недостаточно для нахождения длины другой стороны.

Пусть в треугольнике ABC задана сторона AB и один из прилежащих к ней углов, например, угол ABC. Тогда, зная еще сторону BC, по теореме косинусов можно найти сторону AC. Она будет равна: AC = sqrt((AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC))

Пусть теперь известна сторона AB и противолежащий ей угол ACB. Пусть также известен, например, угол ABC. По теореме синусов AB/sin(ACB) = AC/sin(ABC). Следовательно, AC = AB*sin(ABC)/sin(ACB).

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Укажите размеры:

α

?
b

Сторона b

Угол в градусах

Округлить число Пи до 3,14

Результат:

Решение:

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.

Прямоугольный треугольник — это треугольник у которого один из углов прямой (равен 90°). Стороны треугольника образующие прямой угол называются катетами треугольника. Сторона противоположная прямому углу называется гиппотенузой.

Радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Своё название данная едииница измерения получила от слова радиус. Имеет обозначение: рад, международное: rad.

Радианы являются основной единицей используемой в вичислениях.

Градус — общепринятая единица измерения плоского угла, которая равняется dfrac{1}{90} части прямого угла или dfrac{1}{360} часть окружности. В отличии от радиан, градусы являются чисто символическими единицами измерения, так сказать “взятые с потолка” и не имеют в своём значении ни какого математического основания.

Причина выбора градуса в качестве единицы измерения углов неизвестна. В быту измерение углов в градусах выглядит удобнее и понятнее, но что касается математических вычислений, то здесь основными единицами являются радианы.

Формула нахождения стороны через угол

Посчитать длину одного из катетов треугольника можно через второй катет и угол противолежащий искомой стороне:

---

Похожие калькуляторы:

Войдите чтобы писать комментарии