Как найти сторону к которой проведена медиана

Отличный повод вывести полезную (но очень редко) формулу и может даже две.

Речь пойдет опять о метрическом соотношении сторон в треугольнике (9-й класс), а именно связь между сторонами и медианами и в качестве бонуса выведем формулу нахождения стороны по двум другим и медиане, а ещё — формулу нахождения медианы по трём сторонам.

Условие

В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.

Подсказка

Как и в последних нескольких задачах, подсказка будет — теорема косинусов. А именно — уравнение или даже система уравнений на теореме косинусов. Нужно только заметить смежные углы, косинусы которых – противоположны.

Формула №1

Нахождение стороны по двум известным и медиане

Выведется самостоятельно, если до самого конца использовать буквенные обозначения сторон и медианы.

Формула №2

Нахождение медианы по трём сторонам

Выводится из предыдущей формулы небольшими преобразованиями.

#школьное образование #школьная программа #образование

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

По сторонам и медиане найти сторону треугольника

Чтобы по сторонам и медиане найти сторону треугольника, достаточно знать ход решения задачи. Учить дополнительную формулу не обязательно.

По двум сторонам и медиане найти третью сторону треугольника — задача, обратная нахождению медианы треугольника по трем его сторонам .

Сначала рассмотрим, как по сторонам и медиане найти сторону треугольника, в общем виде.

Пусть в треугольнике ABC известны стороны AB=c, AC=b и медиана BF=m.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF и соединим точку D с точками A и C.

Поскольку в полученном четырехугольнике ABCD диагонали точкой пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку). А значит, мы можем применить свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Имеем: AC²+BD²=2(AB²+BC²). Отсюда b²+(2m)²=2(c²+BC²), b²+4m²=2c²+2BC², BC²=(b²+4m²-2c²)/2.

Переходим к решению конкретной задачи.

По двум сторонам 6 см и 8 см и медиане,проведенной к третьей стороне, найти неизвестную сторону треугольника. Длина медианы равна √46 см.

Пусть AB=6 см, BC=8 см, BF=√46 см. Рассуждая аналогично, получаем: AC²+BD²=2(AB²+BC²), AC²+(2√46)²=2(6²+8²), AC²+4∙46=200, AC²=200-184=16, AC=4 см.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Найти сторону треугольника через медиану и стороны

Найти сторону треугольника через медиану и стороны — задача, обратная нахождению медианы через стороны.

Решается она аналогично, то есть с помощью дополнительного построения и применения свойства диагоналей параллелограмма.

Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана, проведенная к его третьей стороне, равна √46 см. Найти неизвестную сторону треугольника.

BO — медиана, BO=√46 см.

1) На луче BO отложим отрезок OD,

2) Соединим точку D с точками A и C.

3) AO=CO (так как BO — медиана по условию), OD=BO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).

Если ввести обозначения BC=a, AB=c, AC=b, BO=mb, то получим формулу для нахождения стороны треугольника через медиану и две другие стороны:

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

[/spoiler]

Как найти сторону треугольника, если известна его медиана и сторона

Информации о медиане и одной из сторон треугольника достаточно для нахождения его другой стороны, если он равносторонний или равнобедренный. В остальных случаях для этого необходимо знать угол между медианой и высотой.

Инструкция

Наиболее простой случай возникает, когда в условии задачи дан равнобедренный треугольник с некоторой стороной a. Две боковые стороны такого треугольника равны, а все медианы пересекаются в одной точке. Кроме того, медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и высотой, и биссектрисой. Соответственно, в треугольнике ABC возникнет треугольник BHC, и по теореме Пифагора можно будет вычислить HC – половину стороны AC:HC=√[(CB)^2-(BH)^2]Следовательно, AC=2√[(CB)^2-(BH)^2]В равнобедренном треугольнике угол α=γ, как это показано на рисунке.

Если в условии задачи приведено значение длины медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его боковой стороне, решайте задачу несколько иным способом. Во-первых, медиана не перпендикулярна к боковой стороне фигуры, а во-вторых, формула зависимости между медианой и тремя сторонами выглядит следующим образом:ma=√2(c^2+b^2)-a^2По этой формуле найдите ту сторону, которую медиана делит пополам.

Если треугольник является неправильным, то информации о медиане и стороне недостаточно. Необходимо знать также угол между медианой и стороной. Чтобы решить задачу, вначале найдите по теореме косинусов половину стороны треугольника:c^2=a^2+b^2-2ab*cosγ, где c – сторона, которую нужно найти.Если получается так, что используя теорему косинусов, можно найти лишь только половину стороны, то тогда вычисляемое значение умножается на два. Например, дана медиана и прилежащая к ней сторона, между которыми находится угол. Противоположная углу сторона делится медианой пополам. Вычислив половину стороны по теореме косинусов, получим:BC = 2c, где c – 1/2 стороны BC

Решение прямоугольных треугольников является таким же, как и у любого неправильного треугольника, если нам не известны его углы, а дан лишь только угол между медианой и стороной. Узнав вторую сторону, уже можно найти и третью по теореме Пифагора. Такие задачи помогают искать помимо сторон и другие параметры треугольников. К ним относятся, например, площадь и периметр, которые вычисляются по заданным сторонам и углам.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?