Как найти сторону когда известен косинус

Длина стороны треугольника

Вычисление длины стороны треугольника по двум другим и углу между ними согласно теореме косинусов.

После написания калькулятора Длина стороны прямоугольного треугольника по запросу пользователя вдруг вспомнил, что теорема Пифагора есть частный случай теоремы косинусов:

Воистину, тема треугольника неисчерпаема, как атом. На сайте уже был один калькулятор, который использовал теорему косинусов — Нахождение углов треугольника по заданным сторонам, а вот и второй, который просто находит длину противолежащей стороны.

Теорема косинусов и синусов

О чем эта статья:

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α – c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α – 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

• Когда b 2 + c 2 – a 2 > 0, угол α будет острым.
• Когда b 2 + c 2 – a 2 = 0, угол α будет прямым.
• Когда b 2 + c 2 – a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

• AD = b × cos α,
• DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

• h 2 = b 2 – (b × cos α) 2
• h 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

• b 2 – (b × cos α) 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2

• a 2 = b 2 + c 2 – 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

• b 2 = a 2 + c 2 – 2ac × cos β;
• c 2 = a 2 + b 2 – 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

• Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Теорема косинусов

Теорема косинусов гласит, что в любом произвольном треугольнике можно найти третью сторону, зная две других и угол между ними. a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos⁡α

Доказательство теоремы косинусов проходит через прямоугольный треугольник, полученный внутри заданного дополнительным построением высоты. Предположим, что сторона а неизвестна, тогда проведем высоту на сторону с и найдем проекцию стороны b на сторону c из отношения косинуса в прямоугольном треугольнике. b_c=b cos⁡α

Так как сторона с состоит из двух проекций сторон b и а на нее, следовательно, проекция a_c равна следующей разности: a_c=c-b_c=c-b cos⁡α

Зная все составляющие внутренних прямоугольных треугольников, можем составить теорему Пифагора, для того чтобы выразить через нее высоту, являющуюся общим звеном для обеих фигур. h 2 =b 2 -b_c 2 =b 2 -(b cos⁡α) 2
h 2 =a 2 -a_c 2 =a 2 -(c-b cos⁡α) 2 =a 2 -c 2 +2bc cos⁡α-(b cos⁡α) 2

Приравнивая полученные для высоты выражения друг к другу, приводим подобные слагаемые, и получаем, что неизвестная сторона а во второй степени равна сумме квадратов двух других сторон и разности с их удвоенным произведением на косинус угла между ними, что и требовалось доказать.
b 2 -(b cos⁡α) 2 =a 2 -c 2 +2bc cos⁡α-(b cos⁡α) 2
a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos⁡α

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-kosinusov-i-sinusov

http://geleot.ru/education/math/geometry/theorem/cosine_theorem

[/spoiler]

В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.

Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).

Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.

Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):

в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

• Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
• Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.

В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :

Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :

Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.

Из рисунка видно, что противолежащая сторона – это сторона АС.

Для стороны АС записываем теорему косинусов:

Подставим значения всех сторон:

Переносим все “свободные” числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:

Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:

Записываем ответ:

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Была ли эта статья полезной?

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Как по косинусу найти сторону треугольника

Знание значения косинуса угла в вершине произвольного треугольника позволяет найти величину этого угла. Но по единственному параметру невозможно узнать длину стороны такой фигуры, нужны какие-либо дополнительные связанные с ней величины. Если они даны в условиях, выбор формулы вычисления будет зависеть от того, какие именно параметры выбраны в качестве дополнения к косинусу угла.

Инструкция

Если кроме значения косинуса угла известны длины пары сторон (b и c), которые образуют этот угол, для вычисления величины неизвестной стороны (a) можно использовать теорему косинусов. Она утверждает, что квадрат длины нужной стороны будет равен сумме квадратов длин двух других, если ее уменьшить на удвоенное произведение длин этих же сторон на известный из условий косинус угла между ними: a² = b² + c² – 2*a*b*cos(α).

Поскольку величина угла α вам неизвестна и вычислять ее нет необходимости, обозначьте данную в условиях переменную (косинус угла) какой-либо буквой (например, f) и подставьте в формулу: a² = b² + c² – 2*a*b*f. Избавьтесь от степени в левой части выражения, чтобы получить в общем виде окончательную формулу вычисления длины искомой стороны: a = √(b²+c²-2*a*b*f).

Чтобы найти длину стороны (a), при условии, что кроме значения косинуса (f = cos(α)) лежащего напротив этой стороны угла, дана величина другого угла (β) и длина лежащей напротив нее стороны (b), можно использовать теорему синусов. Согласно ей отношение искомой длины к синусу противолежащего угла равно отношению длины известной стороны к синусу угла, который тоже дан в условиях: a/sin(a) = b/sin(β).

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице – используйте это тождество, чтобы выразить синус в левой части равенства через заданный в условиях косинус: a/√(1-f²) = b/sin(β). Составьте формулу вычисления длины нужной стороны в общем виде, перенеся знаменатель дроби из левой части тождества в правую: a = √(1-f²)*b/sin(β).

В прямоугольном треугольнике для вычисления величин сторон достаточно дополнить косинус острого угла (f = cos(α)) одним параметром – длиной какой-либо из сторон. Чтобы найти длину катета (b), примыкающего к вершине, косинус угла которой известен, умножьте эту величину на длину гипотенузы (c): b = f*c. Если же нужно вычислить длину гипотенузы, а длина катета известна, трансформируйте эту формулу соответствующим образом: c = b/f.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?