Как найти сторону напротив синуса

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Найти сторону треугольника через синус

Неверно введено число.

Неверно задан треугольник.

Стороны треугольника: теорема синусов

Введите стороны треугольника :

a	=
β	=	– в градусах
γ	=	– в градусах

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Теория

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Если известны одна сторона и два прилежащих угла, то с помощью теоремы синусов можно вычислить остальные две стороны треугольника. Например пусть известны сторона a и углы γ и β. С учетом того, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, угол α будет равен:

Тогда остальные стороны вычисляются по следующим формулам:

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Теорема синусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

bc sinα = ca sinβ

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

• Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
• Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° – α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° – α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° – α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

• sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° = 3/√2;
• sin150° = sin(180° – 30°) = sin30° = 1/2;
• sin135° = sin(180° – 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

sinγ = sin(180° – α)

Так как sin(180° – α) = sinα, то sinγ = sin(180° – α) = sinα

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Согласно теореме о сумме углов треугольника:

∠B = 180° – 45° – 15° = 120°

Сторону AC найдем по теореме синусов:

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

>

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-sinusov

[/spoiler]

При подготовке к ЕГЭ по математике одиннадцатиклассник должен помнить базовый набор формул, которые помогут решать задачи. Одной из них является синусов теорема, которая отражает взаимосвязь между сторонами и углами треугольника.

Напомним, доказательство теоремы учить не нужно, поскольку экзамен ориентирован на проверку практических навыков. Лучше посвятить время разбору примеров, в которых можно применить указанную математическую закономерность.

Теорема синусов с примерами

Человечество знакомо с теоремой синусов довольно давно — еще в начале XXI века ее доказательство приводил в своей работе «Книга о неизвестных дугах сферы» западноарабский астроном и математик Ибн Муаз аль-Джайяни.

Существует два варианта теоремы синусов:

• обычный — устанавливает соотношения между сторонами треугольника и синусами его углов;
• расширенный — связывает соотношение сторон треугольника с радиусами описанной окружности.

Формулировка обычной синусов теоремы: отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны или стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Пример 1. В треугольнике АВС сторона АВ равна 5 см, а синус противолежащего угла АСВ = 3/5. Найти сторону ВС, если синус угла САВ, прилежащего к стороне АВ, равен 1/2.

Решение

Составим соотношение фигурирующих в условии сторон и синусов их углов:

АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ.

Подставим известные значения:

5 : 3/5 = ВС : 1/2.

Выразим из этого выражения ВС:

ВС = (5 : 3/5) : 1/2 = 5 : 1/2 = 10 см.

Ответ: ВС = 10 см.

Пример 2. В треугольнике АВС сторона АВ равна 10 см, а противолежащий угол АСВ = 30°. Найти остальные стороны, если угол САВ равен 60°.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся прилагаемой таблицей, в которой указаны значения синусов основных углов. В остальном ход решения будет аналогичен предыдущему примеру за исключением одного маленького хода. Для начала составим соотношение сторон и синусов противолежащих углов:

АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ = АС : sin ∠ВАС.

На первом этапе нам известны только три из шести членов этого равенства, причем два из них в косвенном виде:

10 : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin ∠ВАС.

Если вспомнить, что сумма углов треугольника равна 180°, то легко найти оставшийся угол:

∠ВАС = 180° – (∠АСВ + ∠САВ) = 180° – (30° + 60°) = 90°.

Мы уже знаем и третий угол, поэтому уравнение приобретет следующий вид:

10 : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin 90°.

Дальше поступаем, как в предыдущей задаче, выразив стороны через известные члены выражений:

ВС = sin 60° ∙ 10 : sin 30°,

АС = sin 90° ∙ 10 : sin 30°.

Обратимся к таблице, приведенной выше и выберем из нее соответствующие синусы известных углов:

ВС = √3/2∙ 10 : 1/2 = 10√3 см,

АС = 1 ∙ 10 : 1/2 = 20 см.

Ответ: ВС = 10√3 см; АС = 20 см.

Расширенная синусов теорема с примерами

Формулировка расширенной теоремы синусов: отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны друг другу и удвоенному радиусу окружности, описанной вокруг него.

Пример 3. Найти площадь треугольника, если диаметр описанной окружности D равен 20 см. Угол АСВ = 30°, а угол САВ = 60°.

Решение

Для решения воспользуемся расширенной формулировкой теоремы синусов:

АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ = АС : sin ∠ВАС = 2R.

В этой формулировке нам известны два из семи компонентов и еще лва мы можем определить из базовых знаний по геометрии:

• R = ½ D, следовательно 2 R = D = 20 см;
• ∠ВАС = 180° – (∠АСВ + ∠САВ) = 180° – (30° + 60°) = 90°.

Подставим в исходное выражение известные величины и получим соотношение:

АВ : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin 90° = 20.

Основным отличием от предыдущей задачи является то, что нам неизвестна сторона АВ, зато известен удвоенный радиус описанной окружности. Это позволяет составить выражения для нахождения всех сторон треугольника:

ВС = 20 ∙ sin 60°

АС = 20 ∙ sin 90°,

АВ = 20 ∙ sin 30°.

Выберем из таблицы значения синусов углов и вычитаем стороны треугольника:

ВС = 20 ∙ sin 60° = 20 ∙ √3/2 = 10√3 см,

АС = 20 ∙ sin 90° = 20 ∙ 1 = 20 см,

АВ = 20 ∙ sin 30° = 20 ∙ 1/2 = 10 см.

Внимательный читатель заметил, что мы «зашифровали» в этой задаче треугольник из предыдущего примера. Теперь осталось найти его площадь. Для этого берем стандартную формулу площади произвольного треугольника, которая равна половине произведения сторон на синус угла между ними

S = ½ ∙ a ∙ b ∙ sin α

Поскольку нам известны все стороны и все углы, то мы можем выбрать любые из них. Возьмем стороны АС и АВ, а также угол САВ между ними:

S = ½ ∙ АС ∙АВ ∙ sin 60° = ½ ∙ 20 ∙10 ∙ √3/2 = 50√3 см².

Примечание: внимательный читатель заметил, что наш треугольник — прямоугольный, так как один из его углов равен 90°. В таком случае можно обойтись без знания синуса угла, вычислив площадь треугольника как половину площади прямоугольника, длина и ширина которого равна катетам треугольника.

S = ½ ∙ ВС ∙АВ = ½ ∙ 10√3 ∙ 10 = 50√3 см².

Ответ: S = 50√3 см².

---

Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:

Как найти сторону через синус

Сторону треугольника можно найти не только по периметру и площади, но и по заданной стороне и углам. Для этого используются тригонометрические функции – синус и косинус. Задачи с их использованием встречаются в школьном курсе геометрии, а также в вузовском курсе аналитической геометрии и линейной алгебры.

Инструкция

Если известна одна из сторон треугольника и угол между ней и другой его стороной, воспользуйтесь тригонометрическими функциями – синусом и косинусом. Представьте себе прямоугольный треугольник НBC , у которого угол α равен 60 градусам. Треугольник НBC показан на рисунке. Поскольку синус, как известно, представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, для решения поставленной задачи воспользуйтесь следующим соотношением между этими параметрами:sin α=НB/BCСоответственно, если вы хотите узнать катет прямоугольного треугольника, выразите его через гипотенузу следующим образом:НB=BC*sin α

Если в условии задачи, наоборот, дан катет треугольника, найдите его гипотенузу, руководствуясь следующим соотношением между заданными величинами:BC=НB/sin αПо аналогии найдите стороны треугольника и с использованием косинуса, изменив предыдущее выражение следующим образом:cos α=НC/BC

В элементарной математике существует понятие теоремы синусов. Руководствуясь фактами, которые описывает данная теорема, также можно найти стороны треугольника. Помимо этого, она позволяет найти стороны треугольника, вписанного в окружность, если известен известен радиус последней. Для этого воспользуйтесь соотношением, указанным ниже:a/sin α=b/sin b=c/sin y=2RЭта теорема применима в том случае, когда известны две стороны и угол треугольника, либо дан один из углов треугольника и радиус описанной вокруг него окружности.

Помимо теоремы синусов, существует и аналогичная ей по сути теорема косинусов, которая, как и предыдущая, также применима к треугольникам всех трех разновидностей: прямоугольному, остроугольному и тупоугольному. Руководствуясь фактами, которые доказывают эта теорема, можно находить неизвестные величины, используя следующие соотношения между ними:c^2=a^2+b^2-2ab*cos α

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Содержание:

Теорема синусов, теорема косинусов:

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описан­ной около треугольника, т. е.

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС =  — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

1) Угол  острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором  как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что  как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим т. е.  откуда

2) Угол  тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника  Из прямоугольного треугольника  как вписанный угол, опирающийся на диаметр)  Поскольку  то  откуда

3) Для  справедливость равенства  докажите самостоятельно, В силу доказанного  откуда

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция  позволяет решить две следующие задачи:

• зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
• зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы можно решить еще три задачи (рис. 153): 

• зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
• зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
• зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

 

 

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны  и угол  Найти два других угла  округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов  откуда  При помощи калькулятора (таблиц). находим  Тогда  По теореме синусов  откуда

Ответ:
 

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом  то, зная  вначале мы нашли бы острый угол  А за­тем, используя формулу  получили бы, что
 

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника  где  — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника:  По теореме синусов  откуда  Тогда  Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника
 

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Решение:

Способ 1. Из формулы  следует, что  Найдем . Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда  Из по теореме Пифагора  откуда

Тогда
Способ 2. Используем формулу  из которой Так как то
Ответ:
 

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу  где  — боковая сторона,  — высота, проведенная к основанию  

Заменив в формуле  получим  — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

 

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны  треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон ). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из  находим  откуда
Из  по теореме Пифагора

По основному тригонометрическому тождеству
Тогда

Справедливость теоремы для случаев, когда  или  тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон  теорема косинусов запишется так:

Замечание. Если , то по теореме Пифагора  Так как  то  Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства  следует формула

Для углов получим:

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

По теореме косинусов

Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
 

Так, из формулы  с учетом того, что  следует:

1. если  то  и угол  острый;
2. если  то  и угол  тупой;
3. если  то  и угол  прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
 

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как  то  угол  тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон:
2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:
3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон:

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: 

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD — острый, откуда  — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из
                                     (1)
Из  Поскольку cos  то

                                   (2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим  что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

• • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
• • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану  треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле 

 

Доказательство:

Рассмотрим  — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину:

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма  Отсюда следует, что
Утверждение доказано.

Аналогично:

Формула медианы позволяет:

• зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
• зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
• зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3,  Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов 

 Отсюда  б) Пусть  По теореме косинусов  то есть  Отсюда  или  так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь —
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Решение:

Пусть в стороны АВ = 6, ВС = 10 и  (рис. 171).
Поскольку  то  откуда
Так как  и по условию  — тупой, то . Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Решение:

Обозначим стороны треугольника  Пусть  — медиана (рис. 172).
По формуле медианы  откуда  По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию:  а также по двум сторонам и углу между ними:  Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами  можно найти по формуле  где — полупериметр треугольника.

Доказательство:

 (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества  следует, что  Для  синус положительный. Поэтому Из теоремы косинусов  откуда 

Тогда 

Так как

Теорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
 

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними). 

Дано: (рис. 184).

Найти :
 

Решение:

Рис. 184
1) По теореме косинусов

2) По следствию из теоремы косинусов

3) Угол  находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол
Замечание. Нахождение угла  по теореме синусов требует выяснения того, острый или тупой угол
 

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум  прилежащим к ней углам).

Дано: (рис. 185).

Найти:

Решение:

1) Угол

2) По теореме синусов (sin  и sin  находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: или (cos и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Дано:  (рис. 186).

Найти: и радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

2) Зная  угол  находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол

 4) Угол

 5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле  где
 

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов  затем нахождение по косинусу угла его синуса  и, наконец, использование теоремы синусов для нахождения R.

Пример №4

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим:

 Тогда 

 Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы  Имеем:
Ответ:
Способ 2. Так как поскольку  то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов:  а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
 

Пример №5

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и  Проведем  (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD – АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

 Так как СН = 8. Площадь трапеции

Ответ: 76.
 

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Решение:

Пусть  Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому
Так как в четырехугольнике АВМС , то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е.  где R — радиус. Из  по теореме косинусов  Из  по теореме синусов  откуда

Ответ:
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике АВС известно:  высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Решение:

Построим  симметричный  относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку  то вокруг четырехугольника  можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник  вписан в эту окруж­ность,  По теореме синусов  откуда
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС =  На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Решение:

Способ 1. Так как  (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то  поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр  Тогда

Пусть СО = х. По теореме косинусов из  находим

из  находим

По свойству вписанного четырехугольника  Поскольку  то откуда находим Тогда .

 Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Способ 3. Достроим  до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда
Ответ:
 

Пример №8

Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС,  Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Решение:

Пусть  и
 — радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда

Отсюда  Применим формулу Герона:

С другой стороны,  Из уравнения  находим  = 2. Откуда  (см),  (см),  (см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
 

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Доказательство:

По теореме косинусов из и  (см. рис. 194) следует:

                                     (1)

              (2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на

Сложим почленно полученные равенства:

Из последнего равенства выразим
Теорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника  Разделив сторону с в отношении  получим: 

 По теореме Стюарта

Пример №9

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС,  — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и  (рис. 196). Нужно доказать, что  Выразим  и через  и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому  откуда  откуда

По формуле биссектрисы треугольника 

Из условия  следует:  Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим:  Отсюда  (второй множитель при положительных  больше нуля). Утверждение доказано.

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е. (рис. 197).

Доказательство:

Из  по теореме косинусов 
Так как  (по свойству вписанного четырехугольника) и откуда
Аналогично из  получим Тогда   Теорема доказана.

Запомните:

1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тиволежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу проти­волежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:
2. Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы:
3. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме ква­дратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
4. Пусть  — стороны треугольника и с — большая сторона. Если , то треугольник тупоугольный, если  то треугольник остроугольный, если , то треугольник прямоугольный.
5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
6. Формула Герона:
7. Формула медианы: