Как найти сторону основания тетраэдра

Как найти рёбра основания тетраэдра

Четверка – «тетра» – в названии объемной геометрической фигуры указывает на количество образующих ее граней. А число граней правильного тетраэдра, в свою очередь, однозначно определяет конфигурацию каждой из них – четыре поверхности могут составить объемную фигуру, только имея форму правильного треугольника. Вычисление длин ребер составленной из правильных треугольников фигуры особой сложности не представляет.

Инструкция

В фигуре, составленной из абсолютно одинаковых граней, основанием можно считать любое из них, поэтому задача сводится к вычислению длины произвольно выбранного ребра. Если вам известна полная площадь поверхности тетраэдра (S), для вычисления длины ребра (a) извлеките из нее квадратный корень и разделите полученный результат на кубический корень из тройки: a = √S/³√3.

Площадь одной грани (s), очевидно, должна быть вчетверо меньше полной площади поверхности. Поэтому для расчета длины грани по этому параметру трансформируйте формулу из предыдущего шага к такому виду: a = 2*√s/³√3.

Если в условиях дана только высота (H) тетраэдра, для нахождения длины стороны (а), составляющей каждую грань, утройте это единственное известное значение, а затем разделите на квадратный корень из шестерки: a = 3*H/√6.

При известном из условий задачи объеме (V) тетраэдра для вычисления длины ребра (a) придется извлекать кубический корень из этой величины, увеличенной в двенадцать раз. Рассчитав эту величину, разделите ее еще и на корень четвертой степени из двойки: a = ³√(12*V)/⁴√2.

Зная диаметр описанной около тетраэдра сферы (D) тоже можно найти длину ее ребра (a). Чтобы это сделать, увеличьте диаметр вдвое, а затем разделите на квадратный корень из шестерки: a = 2*D/√6.

По диаметру вписанной в эту фигуру сферы (d) длина ребра определяется почти так же, разница лишь в том, что диаметр надо увеличивать не вдвое, а в целых шесть раз: a = 6*d/√6.

Радиус окружности (r), вписанной в любую грань этой фигуры, тоже позволяет вычислить нужную величину – умножьте его на шестерку и разделите на квадратный корень из тройки: a = r*6/√3.

Если в условиях задачи дана суммарная длина всех ребер правильного тетраэдра (P), для нахождения длины каждого из них просто разделите это число на шесть – именно столько ребер имеет эта объемная фигура: a = P/6.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая – тетраэдра (см. ниже). Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Определение

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

На рисунке обозначены:
ABC – Основание пирамиды
OS – Высота
KS – Апофема
OK – радиус окружности, вписанной в основание
AO – радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO – двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Свойства правильной треугольной пирамиды:

• боковые ребра правильной пирамиды равны
• все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
• в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
• если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3 (пи делить на 3 или 60 градусов ).
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
• вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

V – объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник
h – высота пирамиды
a – длина стороны основания пирамиды
R – радиус описанной окружности
r – радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной – см. формулы для правильной пирамиды.

Примеры решения задач:

Тетраэдр

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.

Тетраэдр – это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

• Все грани равны
• 4 грани, 4 вершины и 6 ребер
• Все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

Медиана тетраэдра – это отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, противолежащего вершине)

Бимедиана тетраэдра – это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер (соединяющий середины сторон треугольника, являющегося одной из граней тетраэдра)

Высота тетраэдра – это отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани (то есть является высотой, проведенной от любой грани, также совпадает с центром описанной окружности).

Тетраэдр обладает следующими свойствами:

• Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке
• Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины
• Эта точка делит бимедианы пополам

Тетраэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Тетра» означает четыре, «хедра» – означает грань (тетраэдр – четырехгранник).

Поэтому на вопрос – “что такое тетраэдр?”, можно дать следующее определение: ” Тетраэдр это геометрическое тело из четырех граней, каждая их которых – правильный треугольник “.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .

Тетраэдр имеет следующие характеристики:

• Тип грани – правильный треугольник;
• Число сторон у грани – 3;
• Общее число граней – 4;
• Число рёбер, примыкающих к вершине – 3;
• Общее число вершин – 4;
• Общее число рёбер – 6;

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Является ли тетраэдр пирамидой? Да, тетраэдр это треугольная пирамида у которой все стороны равны.

Может ли пирамида быть тетраэдром? Только если это пирамида с треугольным основанием и каждая из её сторон равносторонний треугольник.

Отметим, что очень редко, но встречаются геометрические тела, составленные не из правильных треугольников, и их тоже называют тетраэдры, так как они имеют четыре грани.

Математические характеристики тетраэдра

Тетраэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы тетраэдра определяется по формуле:

, где a – длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь тетраэдра.

Радиус вписанной сферы тетраэдра определяется по формуле:

Площадь поверхности тетраэдра

Для наглядности, площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон тетраэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 4. Либо воспользоваться формулой:

Объем тетраэдра определяется по следующей формуле:

Высота тетраэдра определяется по следующей формуле:

Расстояние до центра основания тетраэдра определяется по формуле:

Вариант развертки

Тетраэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка – единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал тетраэдр с “земным” элементом огонь, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали красный цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
– если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере – цветная развертка
– если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон – развертка

Видео. Тетраэдр из набора “Волшебные грани”

Вы можете изготовить модель тетраэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора “Волшебные грани”.

Сборка многогранника из набора:

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал PRO)

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал PRO)

вращение готового многогранника:

Видео. Вращение всех правильных многогранников

Популярное

Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира.

Для Вашего удобства мы снизили стоимость доставки наборов “Волшебные грани” в разы!

Основатели города Мирный, находящегося в Архангельской области разместили на флаге и гербе своего города многогранник – «Большой додекаэдр».

Нечасто удается встретить многогранники за пределами учебников математики. И если такие геометрические формы как куб, призма и цилиндр встречаются повседневно, то.

Если ты не любишь математику, опасайся хэллоуина! Злые силы придут за тобой в хэллоуин! Создай двух стражей, которые будут оберегать тебя от злых сил! Ну, или.

Многогранник – (определение) геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками – гранями.

1. Вы хотели бы увидеть, как можно преобразовать развертку обычного куба? Если да, то следующий.

[spoiler title=”источники:”]

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter149/

http://mnogogranniki.ru/tetraedr.html

[/spoiler]

В данной публикации мы рассмотрим определение и разновидности тетраэдра, а также формулы для расчета площади его поверхности (одной грани и полной) и объема. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

• Определение тетраэдра

• Виды тетраэдра
• Формулы площади и объема правильного тетраэдра

Определение тетраэдра

Тетраэдр – это разновидность пирамиды; четырехгранник, гранями которого являются треугольники.

Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.

Развертка тетраэдра на примере правильной фигуры представлена ниже:

Основные элементы и свойства тетраэдра (к нему применимы свойства правильной пирамиды) мы рассмотрели в отдельной публикации.

 Виды тетраэдра

1. Равногранный тетраэдр – боковые грани фигуры равны, а основанием является правильный (равносторонний) треугольник.
2. Прямоугольный тетраэдр – угол между всеми тремя ребрами при одной вершине является прямым, т.е. равным 90°.
3. Правильный тетраэдр – все ребра равны, а грани, соответственно, являются равносторонними треугольниками.
4. Ортоцентричный тетраэдр – все высоты, проведенные из всех вершин фигуры к противолежащим граням, пересекаются в одной точке.

Формулы площади и объема правильного тетраэдра

Площадь поверхности

Объем