Как найти сторону параллелограмма вписанного треугольник

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB || CD
• AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

В треугольник вписан параллелограмм

Если в треугольник вписан параллелограмм таким образом, что один угол у них общий, а три другие вершины параллелограмма лежат на сторонах треугольника, то параллелограмм отсекает два треугольника, подобных данному.

Дано : ∆ ABC, ADEF — параллелограмм,

Доказательство :

1) Рассмотрим треугольники DBE и ABC.

2) Аналогично, по двум углам подобны треугольники FEC и ABC.

• ∠C — общий,
• ∠FEC=∠ABC (как соответственные при AB ∥ FE и секущей BC).

3) Кроме того, треугольники DBE и FEC также подобны (по двум углам либо как подобные одному и тому же треугольнику).

Что и требовалось доказать .

Дано : ∆ ABC, ADEF- параллелограмм,

AC=30 см, AB=20 см,

(здесь k — коэффициент пропорциональности), откуда

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, следовательно,

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

[spoiler title=”источники:”]

[/spoiler]

Как найти стороны параллелограмма

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.

a , b – стороны параллелограмма

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α , β – углы между диагоналями

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), ( a , b ):

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, ( a , b ):

Формулы сторон параллелограмма , ( a , b ):

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

a , b – стороны параллелограмма

H _b – высота на сторону b

H a – высота на сторону a

α , β – углы параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через высоту, ( a , b ):

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

a , b – стороны параллелограмма

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α – острый угол между диагоналями

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
	Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
	Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
	Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
	Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Как найти стороны параллелограмма вписанного в окружность

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6.

Пусть длин сторон параллелограмма равны a и В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: Периметр параллелограмма

[spoiler title=”источники:”]

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/ofcircle.htm

http://oge.sdamgia.ru/problem?id=340934

[/spoiler]