Как найти сторону угла если известно сумма - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Решаем задачу: как найти одну из сторон треугольника при известной сумме углов

Введение

Углы треугольника имеют большое значение для его характеристик, таких как площадь, периметр, высоты и другие. Однако в некоторых задачах может возникнуть необходимость найти длину одной из сторон треугольника, когда известна только сумма его углов. В этой статье мы рассмотрим, как можно решить такую задачу.

Теория

Сначала нам нужно убедиться, что сумма углов треугольника действительно задана. Верно ли, что сумма углов треугольника равна 180 градусам? Да, это правда! Из этого следует, что если мы знаем два угла треугольника, мы можем легко найти третий угол путем вычитания суммы из 180 градусов.

Теперь, когда мы знаем все три угла треугольника, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины любой стороны. Например, мы можем использовать теорему синусов:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Где a, b, и c – это длины сторон треугольника, а A, B, и C – это соответствующие углы.

Или мы можем использовать теорему косинусов:

a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cosA

где a – это искомая сторона, а b и c – это другие две стороны, а A – это угол между сторонами b и c.

Пример

Допустим, нам дали треугольник, сумма углов которого составляет 150 градусов, а один угол равен 30 градусов. Найдите длину противоположной данному углу стороны, если другие две стороны имеют длины 5 и 7.

Мы можем найти третий угол, вычитая 30 и 90 из 150:

150 – 30 – 90 = 30 градусов

Теперь, используя теорему синусов, мы можем найти длину третьей стороны:

a/sin30 = 5/sin90

a = 5*sin30/sin90 = 2.5

Таким образом, искомая сторона имеет длину 2.5.

Заключение

Найдение длины стороны треугольника при известной сумме его углов может показаться сложной задачей, но это возможно при использовании правильных тригонометрических формул и знании основных принципов геометрии.

Источник

Исторический термин «решение треугольников» (лат. solutio triangulorum) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным^[1]. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) и т. п. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников[править | править код]

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника^[2] общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон a,b,c ) и 3 угловые (). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная^[3].

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов^[4]:

три стороны;
две стороны и угол между ними;
две стороны и угол напротив одной из них;
сторона и два прилежащих угла;
сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Основные теоремы[править | править код]

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников^[5]:

Теорема косинусов: ${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha }$; ${displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accdot cos beta }$; ${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma }$
Теорема синусов: ${frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}$
Сумма углов треугольника: $alpha +beta +gamma =180^{circ }$

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

Замечания[править | править код]

Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синус^[6]. Например, если то угол может быть как $30^{circ }$ , так и $150^{circ }$ , потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от $0^{circ }$ до $180^{circ }$ значение косинуса определяет угол однозначно.
При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем $180^{circ }$ .

Три стороны[править | править код]

Пусть заданы длины всех трёх сторон a,b,c . Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

{displaystyle a<b+c,quad b<a+c,quad c<a+b.}

Чтобы найти углы , надо воспользоваться теоремой косинусов^[7]:

${displaystyle alpha =arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},quad beta =arccos {frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.}$

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна ${displaystyle 180^{circ }colon }$

${displaystyle gamma =180^{circ }-(alpha +beta ).}$

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть для определённости известны длины сторон a,b и угол gamma между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны применяется теорема косинусов^[8]:

${displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}.}$

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

${displaystyle alpha =arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=arccos {frac {b-acos gamma }{sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}}.}$

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: $beta =180^{circ }-alpha -gamma$ .

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол напротив одной из них[править | править код]

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны b,c и угол beta . Тогда уравнение для угла gamma находится из теоремы синусов^[9]:

${displaystyle sin gamma ={frac {c}{b}}sin beta .}$

Для краткости обозначим ${displaystyle D={frac {c}{b}}sin beta }$ (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от D^[10]^[11].

Задача не имеет решения (сторона «не достаёт» до линии ) в двух случаях: если или если угол $beta geqslant 90^{circ }$ и при этом
Если существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный: ${displaystyle gamma =arcsin D=90^{circ }.}$

Если то возможны 2 варианта.
1. Если , то угол имеет два возможных значения: острый угол и тупой угол ${displaystyle gamma '=180^{circ }-gamma }$ . На рисунке справа первому значению соответствуют точка , сторона и угол , а второму значению — точка , сторона и угол .
2. Если , то (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для исключён и решение единственно.

Третий угол определяется по формуле ${displaystyle alpha =180^{circ }-beta -gamma }$ . Третью сторону можно найти по теореме синусов:

$a=b {frac {sin alpha }{sin beta }}$

В данном случае заданы сторона и прилежащие к ней углы. Аналогичные рассуждения имеют смысл, даже если один из известных углов противоположен стороне.

Сторона и два угла[править | править код]

Пусть задана сторона и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше $180^{circ }$ . В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы , то ${displaystyle gamma =180^{circ }-alpha -beta }$ . Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов^[12]:

${displaystyle a=c {frac {sin alpha }{sin gamma }},quad b=c {frac {sin beta }{sin gamma }}.}$

Решение прямоугольных треугольников[править | править код]

Прямоугольный треугольник

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

два катета;
катет и гипотенуза;
катет и прилежащий острый угол;
катет и противолежащий острый угол;
гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой , гипотенузу — . Катеты обозначаются и , а величины противолежащих им углов — alpha и beta соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

и определения основных тригонометрических функций:

$sin alpha =cos beta ={frac {a}{c}},quad cos alpha =sin beta ={frac {b}{c}},$

${displaystyle operatorname {tg} alpha =operatorname {ctg} beta ={frac {a}{b}},quad operatorname {ctg} alpha =operatorname {tg} beta ={frac {b}{a}}.}$

Ясно также, что углы alpha и beta — острые, так как их сумма равна $90^{circ }$ . Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета[править | править код]

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

$c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

${displaystyle alpha =operatorname {arctg} {frac {a}{b}},quad beta =operatorname {arctg} {frac {b}{a}}}$

или же по только что найденной гипотенузе:

$alpha =arcsin {frac {a}{c}}=arccos {frac {b}{c}},quad beta =arcsin {frac {b}{c}}=arccos {frac {a}{c}}.$

Катет и гипотенуза[править | править код]

Пусть известны катет и гипотенуза — тогда катет находится из теоремы Пифагора:

$a={sqrt {c^{2}-b^{2}}}.$

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет и прилежащий к нему угол alpha .

Гипотенуза находится из соотношения

$c={frac {b}{cos alpha }}.$

Катет может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

Острый угол beta может быть найден как

$beta =90^{circ }-alpha .$

Катет и противолежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет и противолежащий ему угол beta .

Гипотенуза находится из соотношения

$c={frac {b}{sin beta }}.$

Катет и второй острый угол alpha могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол[править | править код]

Пусть известны гипотенуза и острый угол beta .

Острый угол alpha может быть найден как

$alpha =90^{circ }-beta .$

Катеты определяются из соотношений

Решение сферических треугольников[править | править код]

Стороны сферического треугольника a,b,c измеряют величиной опирающихся на них центральных углов

Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника a,b,c принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера^[13] и формула половины стороны^[14].

Три стороны[править | править код]

Если даны (в угловых единицах) стороны a,b,c , то углы треугольника определяются из теоремы косинусов^[15]:

$alpha =arccos left({frac {cos a-cos b cos c}{sin b sin c}}right)$

$beta =arccos left({frac {cos b-cos c cos a}{sin c sin a}}right)$

$gamma =arccos left({frac {cos c-cos a cos b}{sin a sin b}}right)$

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны a,b и угол gamma между ними. Сторона находится по теореме косинусов^[15]:

c=arccos left(cos acos b+sin asin bcos gamma right)

Углы можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

${displaystyle alpha =operatorname {arctg} {frac {2sin a}{operatorname {tg} ({frac {gamma }{2}})sin(b+a)+operatorname {ctg} ({frac {gamma }{2}})sin(b-a)}},}$

${displaystyle beta =operatorname {arctg} {frac {2sin b}{operatorname {tg} ({frac {gamma }{2}})sin(a+b)+operatorname {ctg} ({frac {gamma }{2}})sin(a-b)}}.}$

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны b,c и угол beta . Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

{displaystyle b>arcsin(sin c,sin beta ).}

Угол gamma получается из теоремы синусов:

${displaystyle gamma =arcsin left({frac {sin c,sin beta }{sin b}}right).}$

Здесь, аналогично плоскому случаю, при b<c получаются два решения: gamma и ${displaystyle 180^{circ }-gamma }$ .

Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера^[16]:

$a=2operatorname {arctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(b-c)right){frac {sin left({frac {1}{2}}(beta +gamma )right)}{sin left({frac {1}{2}}(beta -gamma )right)}}right}$

$alpha =2operatorname {arcctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(beta -gamma )right){frac {sin left({frac {1}{2}}(b+c)right)}{sin left({frac {1}{2}}(b-c)right)}}right}$

Заданы сторона и прилежащие углы

Сторона и прилежащие углы[править | править код]

В этом варианте задана сторона и углы . Угол gamma определяется по теореме косинусов^[17]:

{displaystyle gamma =arccos(sin alpha sin beta cos c-cos alpha cos beta ).}

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

$a=operatorname {arctg} left{{frac {2sin alpha }{operatorname {ctg} (c/2)sin(beta +alpha )+operatorname {tg} (c/2)sin(beta -alpha )}}right}$

$b=operatorname {arctg} left{{frac {2sin beta }{operatorname {ctg} (c/2)sin(alpha +beta )+operatorname {tg} (c/2)sin(alpha -beta )}}right}$

или, если использовать вычисленный угол gamma , по теореме косинусов:

${displaystyle a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right),}$

${displaystyle b=arccos left({frac {cos beta +cos gamma cos alpha }{sin gamma sin alpha }}right).}$

Заданы два угла и сторона не между ними

Два угла и сторона не между ними[править | править код]

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона и углы . Сторона определяется по теореме синусов^[18]:

${displaystyle b=arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}$

Если угол для стороны острый и , существует второе решение:

${displaystyle b=pi -arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}$

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

${displaystyle c=2operatorname {arctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(a-b)right){frac {sin left({frac {1}{2}}(alpha +beta )right)}{sin left({frac {1}{2}}(alpha -beta )right)}}right}.}$

${displaystyle gamma =2operatorname {arcctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(alpha -beta )right){frac {sin left({frac {1}{2}}(a+b)right)}{sin left({frac {1}{2}}(a-b)right)}}right}.}$

Три угла[править | править код]

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

$a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right)$

$b=arccos left({frac {cos beta +cos gamma cos alpha }{sin gamma sin alpha }}right)$

$c=arccos left({frac {cos gamma +cos alpha cos beta }{sin alpha sin beta }}right)$

Другой вариант: использование формулы половины угла^[19].

Решение прямоугольных сферических треугольников[править | править код]

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол ) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношений^[20]:

{displaystyle sin a=sin ccdot sin alpha =operatorname {tg} bcdot operatorname {ctg} beta ,}

{displaystyle sin b=sin ccdot sin beta =operatorname {tg} acdot operatorname {ctg} alpha ,}

{displaystyle cos c=cos acdot cos b=operatorname {ctg} alpha cdot operatorname {ctg} beta ,}

{displaystyle operatorname {tg} a=sin bcdot operatorname {tg} alpha ,}

{displaystyle operatorname {tg} b=operatorname {tg} ccdot cos alpha ,}

{displaystyle cos alpha =cos acdot sin beta =operatorname {tg} bcdot operatorname {ctg} c,}

{displaystyle cos beta =cos bcdot sin alpha =operatorname {tg} acdot operatorname {ctg} c.}

Вариации и обобщения[править | править код]

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

Примеры практического применения[править | править код]

Триангуляция[править | править код]

Чтобы определить расстояние от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние между которыми известно, и измерить углы alpha и beta между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника^[23]:

$d={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(alpha +beta )}},l={frac {operatorname {tg} alpha ,operatorname {tg} beta }{operatorname {tg} alpha +operatorname {tg} beta }},l$

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние^[23].

Другой пример: требуется измерить высоту горы или высокого здания. Известны углы наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии . Из формул того же варианта, что и выше, получается^[24]:

$h={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(beta -alpha )}},l={frac {operatorname {tg} alpha ,operatorname {tg} beta }{operatorname {tg} beta -operatorname {tg} alpha }},l$

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара[править | править код]

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре^[25]:

Точка

: широта $lambda _{mathrm {A} },$

долгота $L_{mathrm {A} },$

Точка

: широта $lambda _{mathrm {B} },$

долгота $L_{mathrm {B} },$

Для сферического треугольника ABC , где — северный полюс, известны следующие величины:

${displaystyle a=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {B} }}$

${displaystyle b=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {A} }}$

${displaystyle gamma =L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }}$

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

$mathrm {AB} =Rarccos left{sin lambda _{mathrm {A} },sin lambda _{mathrm {B} }+cos lambda _{mathrm {A} },cos lambda _{mathrm {B} },cos left(L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }right)right}$

где — радиус Земли.

История[править | править код]

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.^[26]

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии^[27]. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников^[28]:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее^[29]: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке^[30].

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков^[31]. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут^[1].

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных^[32].

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию^[33]. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов^[34]. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров^[35]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус^[36]. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для . В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась^[37].

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории^[38]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс^[36].

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века^[29]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника^[39]. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения^[40].

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году^[41]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам^[42]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10″^[43]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»^[44]. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также[править | править код]

Признаки подобия треугольников
Площадь треугольника
Сферическая тригонометрия
Сферический треугольник
Триангуляция
Тригонометрические тождества
Тригонометрические функции
Формулы Мольвейде

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Выгодский М. Я., 1978, с. 266—268.
↑ Плоский треугольник иногда называют прямолинейным.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 487.
↑ Solving Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 июня 2019 года.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 488.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 133.
↑ Solving SSS Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
↑ Solving SAS Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
↑ Solving SSA Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012). Архивировано 30 сентября 2012 года.
↑ Выгодский М. Я., 1978, с. 294.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 493—496.
↑ Solving ASA Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 87—90.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 102—104.
↑ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 545.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 121—128.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 115—121.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 128—133.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 104—108.
↑ Основные формулы физики, 1957, с. 14—15.
↑ Цейтен Г. Г., 1932, с. 223—224.
↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 126—127.
↑ ¹ ² Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260—261.
↑ Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 136—137.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.
↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 77.
↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 94—95.
↑ ¹ ² Матвиевская Г. П., 2012, с. 92—96.
↑ Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
↑ История математики, том I, 1970, с. 143.
↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 366. — 456 с.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 25—27.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 33—36.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 40—44.
↑ ¹ ² Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978, с. 79.
↑ Юшкевич А. П. История математики в Средние века. — М.: ГИФМЛ, 1961. — С. 160. — 448 с.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 51—55.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 111.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 96—98.
↑ Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
↑ Рыбников К. А., 1960, с. 105.
↑ История математики, том I, 1970, с. 320.
↑ Степанов Н. Н. § 42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87—90. — 154 с.

Литература[править | править код]

Теория и алгоритмы

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия, учебник для 10 класса. — М.: МЦНМО, 2002. — ISBN 5-94057-050-X.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. — С. 518—557. — 568 с.
Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948.

История

Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
- История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
- Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.—Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.

Источник

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

Найти все стороны треугольника.
Найти все углы треугольника.
Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
Найти радиус (r) вписанной окружности.
Найти радиус (R) описанной окружности.
Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами.
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

Как найти сторону треугольника?

Как найти длину одной из сторон треугольника? Какие есть формулы?

Формул для нахождения стороны треугольника не так уж много, но главное не знать их — а успешно применять при решении задач, ведь далеко не каждую задачу можно решить в лоб.

Сейчас на примере я покажу, как нужно их применять.

Есть произвольный треугольник со стороной 18 см, один угол при нем равен 30 градусам, а площадь равна 36 см.кв. Нужно найти две другие стороны. Сделаем рисунок

Для решения задачи проведем к основанию (с=18см) высоту h и тем самым разделим наш треугольник на два прямоугольных.

Исходя из формулы площади, найдем высоту

S = 1/2h*c откуда h = 2S/c = 2*36/18 = 4 см

Теперь находим сторону b по синусу угла

sin = h/b (отношение противоположного катета к гипотенузе) откуда b = h/(sin 30) = 4/(1/2) = 8 см.

Мы уже знаем две стороны у угол между ними и третью сторону можно найти по формуле из теоремы косинусов, но к сожалению не всегда мы ее помним. В нашем случае ничего страшного — найдем сторону а по формуле Пифагора, но для начала нам нужно найти сторону х.

Можно по формуле Пифагора

откуда х = квадратный корень из (8*8 — 4*4), что равно 4*(кв.к3)

и находим последнюю сторону нашего треугольника

а = кв.к из (c-x)*(c-x) + h*h = кв.к из 18*18-2*18*4*(кв.к3)+4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4

здесь стоит обратить внимание, что

4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4 = 4*4*3+4*4 = 4*4*4 = 4*2*2*2 = 8*8 = b*b

2*18*4*(кв.к3) = 2*18*4*2*(кв.к3/2) = 2*18*8*(кв.к3/2) = 2*с*b*cos30 и теперь можно записать

а = кв.к из с*с — 2*с*b*cos30 + b*b Что на самом деле есть формулой нахождения стороны треугольника по теореме косинусов (мы ее только что вывели)

Теперь посчитаем и найдем сторону а = 11,772 см.

Существует целый ряд формул, с помощью которых можно найти сторону треугольника.

Рассмотрим 2 варианта:

1) Сторона треугольника через 2 других стороны и угол между ними.

Пусть a и b — известные стороны, α — угол между ними. Формула будет такой:

c = √(a² + b² — 2ab * cosα).

В треугольнике ABC сторона AB = 6 см, сторона AC = 10 см, угол меду ними = 60º.

Сторона BC = √(36 + 100 — 120 * 0,5) = √(136 — 60) = √76 = 2√19 = 8,72 см.

2) Сторона треугольника через два угла и сторону.

Здесь можно воспользоваться теоремой синусов.

Если даны углы α и β, а также сторона c, то две другие стороны можно найти по формулам:

a = c * (sinα / sinγ), где γ = 180° — α — β.

b = c * (sinβ / sinγ).

c = 10 см, α = 30°, β = 45°.

a = 10 * (0,5 / 0,96) = 5,21 см.

b = 10 * (0,7 / 0,96) = 7,29 см.

Кроме того, треугольник может быть равнобедренным или прямоугольным — в этом случае специфика нахождения длины стороны будет немного другой.

Например, для нахождения катетов или гипотенузы можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Есть еще формулы для равнобедренного треугольника (это треугольник у которого две стороны равны и углы при оснавании также равны между собой). Для такого треугольника основание можно рассчитать по формулам:

b = 2a*sin(x/2) = a*√(2-2cosx)

Где b — длина оснавания, а — длина равных сторон, х — равные уголы при оснавании, у — угол образованный равными сторонами (лежит напротив основания).

Для того чтобы найти равные стороны равнобедренного треугольника можно использовать вот эти формулы:

a = b/(2*sin(x/2)) = b/√(2-2cosx)

Для рассчетов по этим формулам нужно знать длину хотябы одной стороны и хотябы один угол. Так как зная величину одного любого угла в равнобедренном треугольнике можно найти все остальные углы исходя из теоремы о сумме углов треугольника (сумма всех углов любого треугольника равна 180°)

Углы треугольника

Геометрическая фигура из трех отрезков, соединенных между собой тремя точками, не лежащими на одной прямой, называется треугольником. Это — многоугольник с тремя углами. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Если известна величина двух из них, третий угол определяем вычитанием из 180° величины двух известных углов.

α = 180°-β-γ

Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), плюс удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.

a 2 = b 2 + c 2 + 2abc cos (α)

Отсюда, косинус искомого угла равняется сумме квадратов смежных сторон (b, с) минус квадрат третей стороны треугольника (а), противолежащей искомому углу, и все это делится на удвоенное произведение смежных сторон:

cos (α) = (b 2 + c 2 — a 2 ) / 2bc

,
где а, b, с — стороны треугольника.
Используя теорему косинусов, определяем косинусы остальных углов. Величины углов в градусах находим по тригонометрической таблице.

Формулы треугольника

Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.

Виды треугольников

Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

$$ AB BC — CA $$
$$ BC AB — CA $$
$$ CA AB — BC $$

Признаки равенства треугольников

Произвольные треугольники равны, если:

Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).

Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).

AB = DE и BC = EF и ∠ABC = ∠DEF;

BC = EF и AC = DF и ∠BCA = ∠EFD;

AB = DE и AC = DF и ∠CAB = ∠FDE;

Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

AB = DE или BC = EF или AC = DF

Прямоугольные треугольники равны, если равны:

Гипотенуза и острый угол.

BC = EF и ∠ABC = ∠DEF

BC = EF и ∠BCA = ∠EFD;

AB = DE и ∠BCA = ∠EFD

AC = DF и ∠ABC = ∠DEF

AB = DE и ∠ABC = ∠DEF

AC = DF и ∠BCA = ∠EFD

AB = DE и AC = DF

AB = DE и BC = EF

AC = DF и BC = EF

Подобные треугольники

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;
$$ = = = К_ $$

Признаки подобия треугольников

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (K_{подобия}) $$ over S_> = К_^2 $$
Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, образованные высотой, опущенной из прямого угла, являются подобными друг другу
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Площадь треугольника

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр
AC – основание треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по углу и двум сторонам

Площадь треугольника по двум углам и стороне

Площадь прямоугольного треугольника по катетам

Где:	AB,AC – катеты треугольника

$$ S = * AB * AC $$

Площадь равнобедренного треугольника

Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника

$$ S = * sqrt $$

Площадь равностороннего треугольника

Где:	AB,BC,AC – равные стороны треугольника
h – высота треугольника

$$ S = over 4> * AB^2 $$ $$ S = > $$

Стороны треугольника

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр
AC – основание треугольника

Сторона треугольника по двум сторонам и углу

Сторона треугольника по стороне и двум углам

Сторона прямоугольного треугольника

Где:	AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника

$$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = = $$ $$ BC = = $$

Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

Сторона равнобедренного треугольника

Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника

$$ AC = 2 * AB * sin() = AB * sqrt $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = = > $$ $$ AB = $$

Высота треугольника

Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
P – полупериметр $$ P = $$
α, β, γ – углы треугольника
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формула длины высоты через сторону и угол

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формула длины высоты через сторону и площадь

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формула длины высоты через стороны и радиус

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

Где:	AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α, β– углы треугольника

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

Формула длины высоты через катет и угол

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

Биссектрисы в треугольнике

Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
AA₁,BB₁,CC₁ — биссектрисы в треугольнике
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр $$ P = $$

Длина биссектрисы через две стороны и угол

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

Длина биссектрисы через три стороны

Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса

Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике

Где:	AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
β, γ– острые углы треугольника

Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.

Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол

Длина биссектрисы через катет и угол

Длина биссектрисы через катет и гипотенузу

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Где:	AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
α – равные углы при основании треугольника
β – угол образованный равными сторонами треугольника

Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника

Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника

Длина биссектрисы равностороннего треугольника

Где:	AB,BC,AC – равные стороны треугольника

$$ BB_1 = over 2> $$

Медиана в треугольнике

Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
AA₁,BB₁,CC₁ — медианы в треугольнике
α, β, γ– углы треугольника

Длина медианы через три стороны

Длина медианы через две стороны и угол между ними

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.

Где:	AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
AA₁,BB₁,CC₁ — медианы в треугольнике
β, γ– острые углы треугольника

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности

Длина медианы через катеты

Длина медианы через катет и острый угол

Описанная окружность

Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам

Где:	AB,BC,AC – стороны треугольника
P – полупериметр $$ P = $$
R — радиус описанной окружности

$$ R = > $$

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Источник

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

Три стороны треугольника.
Две стороны треугольника и угол между ними.
Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Из формулы (3) найдем cosA:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://poschitat.online/storony-pryamougolnogo-treugolnika

[/spoiler]

Источник

Решаем задачу: как найти одну из сторон треугольника при известной сумме углов

Введение

Теория

Пример

Заключение

Решение плоских треугольников[править | править код]

Основные теоремы[править | править код]

Замечания[править | править код]

Три стороны[править | править код]

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Две стороны и угол напротив одной из них[править | править код]

Сторона и два угла[править | править код]

Решение прямоугольных треугольников[править | править код]

Два катета[править | править код]

Катет и гипотенуза[править | править код]

Катет и прилежащий острый угол[править | править код]

Катет и противолежащий острый угол[править | править код]

Гипотенуза и острый угол[править | править код]

Решение сферических треугольников[править | править код]

Три стороны[править | править код]

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Две стороны и угол не между ними[править | править код]

Сторона и прилежащие углы[править | править код]

Два угла и сторона не между ними[править | править код]

Три угла[править | править код]

Решение прямоугольных сферических треугольников[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Примеры практического применения[править | править код]

Триангуляция[править | править код]

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара[править | править код]

История[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Как найти длину стороны треугольника?

Для прямоугольного треугольника: 1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

2) Найти гипотенузу по двум катетам

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

3) Найти боковые стороны по углу между ними

4) Найти боковые стороны по углу при основании

1) Найти сторону через площадь

2) Найти сторону через высоту

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

Как найти сторону треугольника?

Углы треугольника

Формулы треугольника

Виды треугольников

Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:

Признаки равенства треугольников

Подобные треугольники

Площадь треугольника

Стороны треугольника

Высота треугольника

Биссектрисы в треугольнике

Медиана в треугольнике

Описанная окружность

Решение треугольников онлайн

Решение треугольника по трем сторонам

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

4. Найти длину высоты треугольника

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Формула

Пример

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет