Как найти сторону зная синус или косинус

Содержание:

Теорема синусов, теорема косинусов:

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описан­ной около треугольника, т. е.
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС = Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

1) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решеният. е. Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из прямоугольного треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр) Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Для Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения справедливость равенства Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения докажите самостоятельно, В силу доказанного Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения позволяет решить две следующие задачи:

  • зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
  • зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияможно решить еще три задачи (рис. 153): 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

  • зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
  • зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
  • зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти два других угла Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения При помощи калькулятора (таблиц). находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то, зная Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вначале мы нашли бы острый угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения А за­тем, используя формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получили бы, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпо теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Используем формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения из которой Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТак как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениято Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — боковая сторона, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — высота, проведенная к основанию Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения 

Заменив Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения в формуле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По основному тригонометрическому тождеству Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Справедливость теоремы для случаев, когда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения теорема косинусов запишется так:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то по теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует формула

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Для углов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияполучим:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По теореме косинусов

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
 

Так, из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения с учетом того, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует:

  1. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый;
  2. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой;
  3. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
 

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

  1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— острый, откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)
Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку cos Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                   (2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

  • • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
  • • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Утверждение доказано.

Аналогично: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Формула медианы позволяет:

  • зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
  • зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
  • зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения б) Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то есть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениястороны АВ = 6, ВС = 10 и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 171).
Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и по условию Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой, то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим стороны треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана (рис. 172).
По формуле медианы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а также по двум сторонам и углу между ними: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно найти по формуле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— полупериметр треугольника.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Для Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения синус положительный. Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияИз теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Так какТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
 

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними). 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 184).

Найти : Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Решение:

Рис. 184
1) По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По следствию из теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Нахождение угла Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениятребует выяснения того, острый или тупой угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум  прилежащим к ней углам).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 185).

Найти: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияили Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(cos Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениянаходим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 186).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Найти: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Зная Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 4) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения затем нахождение по косинусу угла его синуса Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и, наконец, использование теоремы синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениядля нахождения R.

Пример №4

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпоскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №5

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Проведем Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD – АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияСН = 8. Площадь трапеции Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 76.
 

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как в четырехугольнике АВМС Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где R — радиус. Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике АВС известно: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Построим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения симметричный Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то вокруг четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вписан в эту окруж­ность, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пусть СО = х. По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения.

 Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Способ 3. Достроим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №8

Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Применим формулу Герона:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

С другой стороны, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из уравнения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения = 2. Откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
 

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 194) следует:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения              (2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Сложим почленно полученные равенства:
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из последнего равенства выразим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Разделив сторону Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияс в отношении Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим: 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме Стюарта Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 196). Нужно доказать, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Выразим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и через Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По формуле биссектрисы треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Из условия Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (второй множитель при положительных Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения больше нуля). Утверждение доказано.

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е.Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 197).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (по свойству вписанного четырехугольника) и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Аналогично из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда  Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

Запомните:

  1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тиволежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу проти­волежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме ква­дратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  4. Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — стороны треугольника и с — большая сторона. Если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник тупоугольный, если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник остроугольный, если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник прямоугольный.
  5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  6. Формула Герона: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  7. Формула медианы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha.

Гипотенуза и катеты

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет a, лежащий напротив угла alpha, называется противолежащим (по отношению к углу alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла alpha, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin displaystyle alpha = frac{a}{c} sin{}^2 alpha +cosdisplaystyle {}^2 alpha =1 alpha + beta = 90 ^{circ} 
cos displaystyle alpha = frac{b}{c} 1+tg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha} cosalpha = sin beta
tg displaystyle alpha = frac{a}{b} 1+ctg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha} sinalpha = cosbeta
ctg displaystyle alpha = frac{b}{a} tgalpha = ctgbeta

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{circ}.
  2. С одной стороны, sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}, поскольку для угла beta катет а будет прилежащим. Получаем, что cos beta =sin alpha. Иными словами, cos left( 90^{circ}-A right) = sin A.
  3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2. Поделим обе части на c^2, получаем displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 , то есть sin ^2 A+cos^2 A=1.
    Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos^2 A, получим: 1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }. Это значит, что если нам дан тангенс острого угла alpha, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{circ} до 90^{circ}.

varphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}
sinvarphi 0 displaystyle frac{1}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{sqrt{3}}{2} 1
cosvarphi 1 displaystyle frac{sqrt{3}}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{1}{2} 0
tgvarphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 1 sqrt{3}
ctgvarphi sqrt{3} 1 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и A_1B_1C_1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и A_1B_1C_1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .

Из этих равенств следует, что displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} , т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1}, т. е. cos А = cosA_1, и displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1}, т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку A+B = 90^{circ}, sin A = cos B = 0,1.

Задача 2В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, AB=5, sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Найдите AC.

Решение:

sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Отсюда

BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.

Найдем AC по теореме Пифагора.

AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против angle C. Значит, sin A displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: AC^2+BC^2=AB^2.

Тогда AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.

cos⁡ А displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;

tg A displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 2, sin A= displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17}, displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} , displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.

По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2, получим

a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;

a^2+4=17a^2;

16a^2=4, displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;

BC = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 4, tg A = displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} . Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},

displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}}, displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},

AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен 90^ circ, CH – высота, AB = 13, tg A = displaystyle frac{1}{5} . Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} , тогда b = 5a.

По теореме Пифагора triangleABC: a^2+b^2=c^2,

a^2+(5a)^2=13^2,

26 a^2=169,

displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}}, тогда displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.

triangle AHC approx triangle ACB (по двум углам), следовательно displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} , откуда

displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ,

CH – высота, BC = 3, sin A = displaystyle frac{1}{6} .

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6}, тогда displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} , c = АВ = 18.

sin A = displaystyle frac{a}{c} = cos⁡ B = displaystyle frac{1}{6} .

Рассмотрим triangle BHC:

{cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC} = displaystyle frac{1}{6} , получим displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},

тогда BH = displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2} = 0,5,

AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BC = 3, cos A = displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.

Найдите АH.

Решение:

Так как для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}= sin В = displaystyle frac{sqrt{35}}{6},

а для triangle ВНС: sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{sqrt{35}}{6} , откуда СН = displaystyle frac{BC cdot  sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},

По теореме Пифагора найдем ВН:

BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=

=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для triangle АВС получим:

{CH}^2=AH cdot BH, тогда AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = {cos B}.

Рассмотрим triangle BHC : {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}.

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,

тогда {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28, а значит и sin A = {cos B  }= 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = ;   cos A = displaystyle frac{b}{c} = displaystyle frac{AC}{AB} = {sin B },

тогда tg A = displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB, который найдем из triangle BHC:

ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, tg A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.

Для triangle BHC: ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3} , значит displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3}, СН = displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.

Для triangle АHC: tg A= displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, то displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, AH = displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, sin A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = displaystyle frac{BC}{AB} = sin A = displaystyle frac{2}{3}.

Из triangle СВН имеем cos В = displaystyle frac{HB}{BC} = displaystyle frac{2}{3}, тогда ВС = displaystyle frac{3 cdot  HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.

В triangle АВС имеем sinA = displaystyle frac{BC}{AB} = displaystyle frac{2}{3}, тогда AВ = displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из triangle ВСН:

HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=

sqrt{8 cdot 32}= sqrt{8 cdot 2 cdot 16}=16.

sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5}, получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5}, то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора {AC}^2+{BC}^2= {AB}^2, получим {(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2
{25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,

{16x}^2= {20}^2,

x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,
х = 5 ( так как хtextgreater 0). Значит, AC=15,  AB=25.

2-й способ.

triangle HBC approx triangle CBA (по двум углам), значит displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB} или displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,

k = displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} , тогда displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5}, АС = displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15; displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5}, АВ = displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.

3-й способ.

{CH}^2=AH cdot HB (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда {12}^2=AH cdot 16, АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)} = sqrt{5cdot 45}=sqrt{5cdot 5cdot 9}=15.

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного triangle ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}= sqrt{900}=30;

cos C = displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: sin А = displaystyle frac{BC}{AC} = cos C = displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АНВ: sin А = displaystyle frac{BH}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, то displaystyle frac{24}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, АВ = displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = displaystyle frac{7}{25}.

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном triangle АСЕ sin А = displaystyle frac{CE}{AC},

значит CE=AC cdot sinA=50 cdot displaystyle frac{7}{25} = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};

AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.

Площадь прямоугольного треугольника равна S = displaystyle frac{1}{2}ab,

поэтому S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin angle ACK. Результат округлите до сотых.

Решение:

triangle CAK approx triangle BAC ( angle A-общий, angle AKC=angle ACB=90{}^circ ),

значит angle ACK=angle ABC, sin angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.

Найдем АС по теореме Пифагора из triangle САВ:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=

=sqrt{(13-12)(13+12)}=sqrt{25}= 5.

Тогда sin angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = displaystyle frac{12}{13}. Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то triangle АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = displaystyle frac{1}{2}AB=36.

Поскольку triangle АСН — прямоугольный,

cos A = displaystyle frac{AH}{AC}= displaystyle frac{12}{13}, то есть displaystyle frac{36}{AC}= displaystyle frac{12}{13} Rightarrow АС = displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.

По теореме Пифагора {AH}^2+{CH}^2={AC}^2, тогда

CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=

=sqrt{(39-36)(39+36)}=sqrt{3cdot 3cdot 25}=15.

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, sin A = displaystyle frac{11}{14}, AC = 10sqrt{3}. Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = displaystyle frac{BC}{AB}= displaystyle frac{11}{14}, то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора AC^2+{BC}^2={AB}^2;

{(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;

{(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

3cdot 25 x^2 = 3 cdot 100.

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством {sin}^2A+{cos}^2A=1;

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

По определению cos A = displaystyle frac{AC}{AB}, значит displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

Так как АС=10sqrt{3}, то displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}, откуда АВ = displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}} = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, angle DAO=angle BAO = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3}, а катет ВО = displaystyle frac{1}{2}BD =2.

Поэтому tgalpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}}, откуда alpha =30{}^circ .

angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .

Ответ: {60}^circ, {120}^circ, {60}^circ, {120}^circ .

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} или с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

Для треугольника с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{circ}, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, угол А равен 30{}^circ, АВ = 2sqrt{3} .

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим triangle АВС:

По свойству катета, лежащего против угла {30}^circ, имеем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = sqrt{3}.

В triangle BHC: angle BHC=90{}^circ ,;  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно, ВН = displaystyle frac{1}{2} BC = displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.

По теореме Пифагора найдем НС:

HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=

=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, АВ = 2, angle A=30{}^circ . Найдите АH.

Решение:

Из triangle АВС найдем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30{}^circ),

angle A=30{}^circ , то angle B=60{}^circ .

Из triangle ВСН: angle BHC=90{}^circ ,  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно,

ВН = displaystyle frac{1}{2} ВС = displaystyle frac{1}{2}.

АН = АВ — НВ = 2 – displaystyle frac{1}{2} = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

  1. Найти все стороны треугольника.
  2. Найти все углы треугольника.
  3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
  4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
  5. Найти радиус (R) описанной окружности.
  6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними



где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании



где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними



где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании



где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь



где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту



где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности



где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности



где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)



где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)



где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Формул для нахождения стороны треугольника не так уж много, но главное не знать их – а успешно применять при решении задач, ведь далеко не каждую задачу можно решить в лоб.

Сейчас на примере я покажу, как нужно их применять.

Есть произвольный треугольник со стороной 18 см, один угол при нем равен 30 градусам, а площадь равна 36 см.кв. Нужно найти две другие стороны. Сделаем рисунок

Для решения задачи проведем к основанию (с=18см) высоту h и тем самым разделим наш треугольник на два прямоугольных.

Исходя из формулы площади, найдем высоту

S = 1/2h*c откуда h = 2S/c = 2*36/18 = 4 см

Теперь находим сторону b по синусу угла

sin = h/b (отношение противоположного катета к гипотенузе) откуда b = h/(sin 30) = 4/(1/2) = 8 см.

Мы уже знаем две стороны у угол между ними и третью сторону можно найти по формуле из теоремы косинусов, но к сожалению не всегда мы ее помним. В нашем случае ничего страшного – найдем сторону а по формуле Пифагора, но для начала нам нужно найти сторону х.

Можно по формуле Пифагора

откуда х = квадратный корень из (8*8 – 4*4), что равно 4*(кв.к3)

и находим последнюю сторону нашего треугольника

а = кв.к из (c-x)*(c-x) + h*h = кв.к из 18*18-2*18*4*(кв.к3)+4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4

здесь стоит обратить внимание, что

18*18 = с*с

4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4 = 4*4*3+4*4 = 4*4*4 = 4*2*2*2 = 8*8 = b*b

2*18*4*(кв.к3) = 2*18*4*2*(кв.к3/2) = 2*18*8*(кв.к3/2) = 2*с*b*cos30 и теперь можно записать

а = кв.к из с*с – 2*с*b*cos30 + b*b Что на самом деле есть формулой нахождения стороны треугольника по теореме косинусов (мы ее только что вывели)

Теперь посчитаем и найдем сторону а = 11,772 см.

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Как найти неизвестную сторону треугольника

a, b, c – стороны произвольного треугольника

α, β, γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

Формула  стороны треугольника по теореме косинусов

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

Формула  стороны по теореме синусов

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Формулы для прямоугольного треугольника

a, b – катеты

c – гипотенуза

α, β – острые углы

Формулы для катета, (a):

Формулы катета прямоугольного треугольника

Формулы для катета, (b):

Формулы катета прямоугольного треугольника

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы гипотенузы прямоугольного треугольника

формула гипотенузы прямоугольного треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины равных сторон , (a):

Формулы длины равных сторон

Формулы длины равных сторон

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

Найти длину высоты треугольникаH – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β, γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через стороны

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

Формула длины высоты через сторону и угол

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

Формула длины высоты через сторону и площадь

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

Формула длины высоты через стороны и радиус

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр – точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике
H – высота из прямого угла

a, b – катеты

с – гипотенуза

c1 , c2 – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β – углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через стороны

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через катет и угол

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

Найти длину биссектрисы в треугольнике

L– биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b – стороны треугольника

с – сторона на которую опущена биссектриса

d, e – отрезки полученные делением биссектрисы

γ – угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через две стороны и угол

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника

L – биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)

a, b – катеты прямоугольного треугольника

с – гипотенуза

α – угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через катеты

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

Биссектриса из острого угла прямоугольного треугольника

L – биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла

a, b – катеты прямоугольного треугольника

с – гипотенуза

α, β – углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

Формула биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника через катет и угол

Формула биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника через катет и угол

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

Формула биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

L – высота = биссектриса = медиана

a – одинаковые стороны треугольника

b – основание

α – равные углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника

L – высота=биссектриса=медиана

a – сторона треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника

Медиана – отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

Найти длину медианы треугольника по формулам

M – медиана, отрезок |AO|

c – сторона на которую ложится медиана

a, b – стороны треугольника

γ – угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через три стороны

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

Длина медианы прямоугольного треугольника

M – медиана

R – радиус описанной окружности

O – центр описанной окружности

с – гипотенуза

a, b – катеты

α – острый угол CAB

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы

Формула длины через катеты, (M):

Формула медианы через катеты

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Формула медианы через катет и острый угол

Добавить комментарий