Как высчитать сторону пятиугольника?
Макс
Ученик
(242),
закрыт
5 лет назад
Лучший ответ
Евгений Кутузов
Просветленный
(49079)
5 лет назад
L = (505 – 253) * √2 ≈ 252 * 1.4142 ≈ 356.4
МаксУченик (242)
5 лет назад
Спасибо большое! 1.4142 а вот это откуда появилось?
МаксУченик (242)
5 лет назад
всё разобрался )))
Остальные ответы
Похожие вопросы
Содержание
- Как найти площадь правильного пятиугольника?
- Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a
- Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус
- Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?
- Триангуляция
- Гауссовские детерминанты
- Решенные упражнения
- Упражнение 1
- Решение
- Упражнение 2.
- Решение
- Площадь треугольника EDC
- Площадь треугольника AEC
- Площадь треугольника ABC
- Площадь неправильного пятиугольника
- Ссылки
Для расчета площадь пятиугольника для начала нам нужно определить, регулярно это или нет. Пятиугольник – это многоугольник, замкнутая плоская фигура с пятью сторонами. Когда многоугольник правильный, это означает, что длина его сторон одинакова, а его внутренние углы одинаковы.
В этом случае есть формула для вычисления точной площади правильного многоугольника, зная некоторые из его основных характеристик, которые мы выведем позже.
Если многоугольник не правильный, то есть имеет стороны разных размеров и неравные внутренние углы, единой формулы не существует.
Однако математики нашли методы вычислений, такие как разделение фигуры на другие с меньшим количеством сторон, такие как треугольники, квадраты и прямоугольники, размеры которых легко узнать или вычислить.
Еще одна процедура для вычисления площадей полигонов в целом, зная координаты их вершин, – это метод, называемый Гауссовские детерминанты, о котором мы расскажем позже.
Как найти площадь правильного пятиугольника?
Мы собираемся взять правильный пятиугольник со стороной a и разделить его на 5 равных треугольников, как показано на рисунке, проведя отрезки от центра (красный) до вершин (синий).
В свою очередь, треугольники, как и тот, который выделен желтым справа на рисунке выше, делятся на два равных прямоугольных треугольника благодаря зеленому сегменту, который называется апофема.
Апофема определяется как перпендикулярный сегмент, который соединяет центр многоугольника с центром одной из сторон. Его длина LК.
Площадь прямоугольного треугольника с основанием a / 2 и высотой LК это:
[(a / 2) x LК]
Пентагон состоит из 10 таких треугольников, поэтому его площадь равна:
А = 10 (а / 2) х LК
Но периметр п пятиугольника равно P =10а, поэтому площадь определяется как произведение периметра и длины апофемы:
А = P x LК /2
Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a
Выражая длину апофемы LК как функция стороны a, зная, что указанный угол составляет половину центрального угла, то есть 36º, что эквивалентно:
36º = π/5
Методом элементарной тригонометрии через тангенс острого угла 36º:
загар (π / 5) = (a / 2) ÷ LК
Отсюда:
LК= (а / 2) ÷ загар (π / 5)
Подставив в область, выведенную в предыдущем разделе, и зная, что P = 5a:
А = P x LК /2
Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус
В радио правильного многоугольника – это отрезок, идущий от центра до одной из его вершин. Он соответствует радиусу описанной окружности, как показано на следующем рисунке:
Пусть R – мера указанного радиуса, которая совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника, выделенного синим цветом на предыдущем рисунке. По тригонометрии:
cos 36º = cos (π / 5) = LК ÷ R
Y
sin 36º = sin (π / 5) = (a / 2) ÷ R
Таким образом:
А = P x LК / 2 = 5р. sin (π / 5) x R. cos (π / 5) = 5R2 [sin (π / 5) x cos (π / 5)]
Используя формулу двойного угла:
грех (2θ) = 2 греха θ. cos θ
У нас это:
[sin (π / 5) x cos (π / 5)] = (1/2) sin 72º
Итак, подставив это значение, мы получим следующую формулу для площади правильного пятиугольника:
А = (5/2) R2.sen 72º
Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?
Как мы уже говорили ранее, для неправильного многоугольника не существует уникальной формулы, но есть два метода, которые обычно работают очень хорошо: первый называется триангуляцией, а второй – методом детерминантов Гаусса.
Триангуляция
Он состоит из деления фигуры на треугольники, площадь которых легче вычислить, или ее также можно проверить с другими фигурами, площадь которых известна, такими как квадраты, прямоугольники и трапеции.
Гауссовские детерминанты
Другой способ найти площадь неправильного пятиугольника или другого неправильного многоугольника – это поместить фигуру в декартову систему координат, чтобы найти координаты вершин.
Зная эти координаты, применяется гауссовский метод определителей для вычисления площади, которая определяется следующей формулой:
Где A – площадь многоугольника, а (xп , Yп ) – координаты вершин. Многоугольник с n сторонами имеет 5 вершин, для пятиугольника это будет n = 5:
Полосы, сопровождающие формулу, представляют собой столбцы модуля или абсолютного значения.
Это означает, что даже если результат операции отрицательный, мы должны выразить его положительным знаком, а если он уже положительный, то его нужно оставить с этим знаком. Это потому, что площадь всегда является положительной величиной.
Процедура названа гауссовскими детерминантами в честь ее создателя, немецкого математика Карла Ф. Гаусса (1777-1855). Указанные операции эквивалентны определителю матрицы 2 × 2, например, первый определитель равен:
Чтобы найти площадь пятиугольника, мы должны решить 5 определителей, сложить результат алгебраически, разделить его на 2 и, наконец, выразить площадь всегда с положительным знаком.
Решенные упражнения
Упражнение 1
Найдите площадь правильного пятиугольника, апофема которого равна 4 см, а сторона – 5,9 см.
Решение
Поскольку это правильный пятиугольник, а у нас есть размеры стороны и апофемы, мы используем формулу, полученную выше:
А = P x LК /2
Периметр P равен 5a = 5 x 5,9 см = 29,5 см.
A = 29,5 см x 4 см / 2 = 59 см2
Упражнение 2.
Найдите площадь неправильного пятиугольника, как показано. Известны следующие размеры:
DC ≈ DE
АЕ = АВ = 5
BC = 12
Решение
Площадь пятиугольника – это сумма площадей треугольников, которые являются прямоугольниками. В заявлении говорится, что DC ≈ DE, поэтому при применении теоремы Пифагора к треугольнику EDC мы имеем:
EC2 = 2 ED2. Тогда EC = √2.ED.
Треугольники AEC и ABC имеют общую гипотенузу – отрезок AC, поэтому:
EA2 + EC2 = AB2 + BC2
Поскольку EA и AB измеряют одно и то же, отсюда следует, что:
EC = BC = √2.ED
Поскольку BC = 12, то ED = 12 / √2 = 8,485.
Используя эти значения, мы рассчитаем площадь каждого треугольника и добавим их в конце.
Площадь треугольника EDC
ED x DC / 2 = 8,4852 / 2 = 36
Площадь треугольника AEC
EA x EC / 2 = EA x √2. ED / 2 = 5 x √2. 8 485/2 = 30
Площадь треугольника ABC
AB x BC / 2
Тогда искомая область:
5 х 12/2 = 30
Это то же самое, что и треугольник AEC, поскольку они оба имеют одинаковые размеры.
Площадь неправильного пятиугольника
Наконец, запрашиваемая площадь представляет собой сумму площадей трех треугольников:
А = 36 + 30 + 30 единиц = 96 единиц.
Ссылки
- Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
- Открытый справочник по математике. Площадь многоугольника. Получено с: mathopenref.com.
- Формулы Вселенной. Площадь неправильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
- Формулы Вселенной. Площадь правильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
- Википедия. Пентагон. Получено с: es.wikipedia.com.
Пятиугольник, виды, свойства и формулы.
Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.
Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник
Правильный многоугольник
Свойства правильного пятиугольника
Построение правильного пятиугольника
Формулы правильного пятиугольника
Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре
Пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник
Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник:
Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.
Пятиугольник – фигура, состоящая из пяти углов (вершин), которые образуются пятью отрезками (сторонами).
Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 1. Выпуклый пятиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 540°.
Невыпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого одна часть его точек лежат по одну сторону, а другая часть – по другую от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 2. Невыпуклый пятиугольник
Звёздчатый пятиугольник (пентаграмма) – пятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого пятиугольника могут пересекаться между собой.
Правильный многоугольник:
Правильный пятиугольник (пентагон) – это правильный многоугольник с пятью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 108°.
Рис. 3. Правильный пятиугольник
Правильный пятиугольник имеет 5 сторон, 5 углов и 5 вершин.
Углы правильного семиугольника образуют семь равнобедренных треугольников.
Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны.
Свойства правильного пятиугольника:
1. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой.
a1 = a2 = a3 = a4= a5.
2. Все углы равны между собой и каждый угол равен 108°.
α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = 108°.
Рис. 4. Правильный пятиугольник
3. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного пятиугольника O.
Рис. 5. Правильный пятиугольник
5. Количество диагоналей правильного пятиугольника равно 5.
Рис. 6. Правильный пятиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр пятиугольника O.
Рис. 7. Правильный пятиугольник
7. Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
Рис. 8. Правильный пятиугольник
8. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
a / c ≈ 5 / 8 ≈ 0,618.
Рис. 9. Правильный пятиугольник
Построение правильного пятиугольника:
Метод построения правильного пятиугольника вписыванием его в заданную окружность:
1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O.
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.
Формулы правильного пятиугольника:
Пусть a – сторона пятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в пятиугольник, R – радиус описанной окружности пятиугольника, S – площадь пятиугольника, h – высота пятиугольника, d – диагональ пятиугольника, Ф – отношение золотого сечения.
Формулы площади правильного пятиугольника:
Формулы высоты правильного пятиугольника:
Формулы стороны правильного пятиугольника:
Формулы диагонали правильного пятиугольника:
Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный пятиугольник:
Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника:
Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре:
Пентасимметрию можно наблюдать в некоторых фруктах (например, у мушмулы германской), у иглокожих (например, у морских звёзд) и у некоторых растений.
Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100-140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.
Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.
Паркет, тротуарная плитка, мозайки и т.п. может выкладываться элементами, которые имеют вид пятиугольников.
Государственный знак качества СССР имеет форму пятиугольника с выпуклыми сторонами.
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Пятиугольник
Шестиугольник
Семиугольник
Восьмиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Коэффициент востребованности
9 587
Площадь пятиугольника (пентагона).
Пятиугольник (пентагон) — представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным.
Формула расчёта площади пятиугольника (пентагона) зная длину сторон: S=n/4 × a 2 × ctg(pi/n).
Где (S) — площадь пятиугольника, (n) — количество сторон, в нашем случае 5, (a) — длина стороны, (ctg) — котангенс.
Формула расчёта площади пятиугольника (пентагона) зная радиус вписанной окружности: a = 1,4131 × r.
Где (r) — радиус вписанной окружности, дальше используем формулу расчёта площади пятиугольника (пентагона)
Формула расчёта площади пятиугольника (пентагона) зная радиус описанной окружности: a = 1,1756 × r.
Где (r) — радиус вписанной окружности, дальше используем формулу расчёта площади пятиугольника (пентагона)
Калькулятор для расчёта площади пятиугольника (пентагона), онлайн
Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!
Как найти площадь пятиугольника — математический — 2022
Чтобы найти область правильного пятиугольника с пятью равными сторонами и углами, вы должны знать длину каждой стороны и длину линии от центра каждой стороны до центра пятиугольника.
Отметьте среднюю точку правильного пятиугольника и проведите линию от каждого из углов до средней точки. Если вы не знаете середину, вы можете нарисовать линии к середине противоположной стороны и стереть половину.
Возьмите одну из этих линий и вытяните ее, чтобы коснуться средней точки противоположной стороны. Это создает апофе Сделайте это для каждой линии, чтобы создать 10 маленьких прямоугольных треугольников с одинаковой площадью. Чтобы продолжить, вы должны знать длину апофема. Если вы работаете с физическим пятиугольником, измерьте апофим.
Найдите площадь одного прямоугольного треугольника и умножьте на 10, чтобы получить общую площадь пятиугольника. Площадь прямоугольного треугольника определяется по формуле: 1/2 x база x высота. Высота — это апофема, а основание — половина стороны пятиугольника.
подсказки
Тот же метод применяется к неправильным пятиугольникам, за исключением того, что вы разбиваете пятиугольник на треугольники разных размеров, находите площадь каждого отдельного треугольника и добавляете области для общей площади пятиугольника.
Как найти площадь 12-стороннего многоугольника
Многоугольник — это любая двумерная замкнутая фигура с тремя или более замкнутыми сторонами, а 12-сторонний многоугольник — это додекагон. Существует формула для расчета площади правильного додекагона, равного сторонам и углам, но не для определения площади неправильного додекагона.
Как найти площадь 3-мерного прямоугольника
Многие трехмерные объекты имеют двухмерные формы в виде деталей или компонентов. Прямоугольная призма — это трехмерное тело с двумя одинаковыми и параллельными прямоугольными основаниями. Четыре стороны между двумя основаниями также являются прямоугольниками, причем каждый прямоугольник идентичен тому, который расположен напротив него. Прямоугольный .
Каковы характеристики пятиугольника, шестиугольника и восьмиугольника?
Полигоны — это математические понятия, относящиеся к прямолинейным геометрическим фигурам. Полигоны включают такие фигуры, как пятиугольники, шестиугольники и восьмиугольники. Полигоны можно считать выпуклыми, вогнутыми или правильными. Полигоны могут иметь более одной характеристики. Например, правильный пятиугольник также считается выпуклым.
Площадь многоугольника
Калькулятор считает площадь многоугольника по введенным вами сторонами и диагоналям, главное чтобы диагонали делили многоугольник на несколько треугольников, которые в свою очередь не пересекались бы между собой.
И так, глядя на рисунок, можно сразу представить, что площадь данного многоугольника будет равна сумме площади трех треугольников, расположенных внутри многоугольника.
Для начала расчетов вам придется внимательно внести в таблицу значения сторон ваших треугольников.
$begingroup$
How do I find the side lengths and therefore corner coordinates of a pentagon with the following internal angles:
A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°
?
The pentagon is described here, but only by it’s angles. I’ve tried to classify it into one of the 15 monohedral pentagons to get some relation between the sides, but with no luck.
Some background: I’m interested in writing some code to draw tessellating pentagons, but without a definition of the dimensions of the base shape I’m unable to get anywhere.
I’m particular interested in this pentagon from this paper:
(Thanks, and please be gentle, I haven’t done much maths since university.)
asked Feb 21, 2019 at 22:20
$endgroup$
4
$begingroup$
Each pentagon consists of an equilateral triangle and a rhombus, see figure (and the Note at the end) To obtain a desired tiling, you can consider the length of each side equal $1.$
The center of the configuration is in $0.$ Starting with two points (here $0$ and $1$), any further point is obtained by a rotation of a point we already have. With the use of complex numbers has a rotation a simple formula
$$z’-z_0=e^{ivarphi}(z-z_0),$$ where $z_0$ is ordinate of the center of the rotation, $z$ is that of the point you want to rotate, and $z’$ is the obtained image of $z.$
Complex ordinates of some points are enclosed.
Note added: there is a typo in the picture, the most right point is obtained by a clockwise rotation (negative angle), the right term is $e^{-i10pi/18}.$
answered Feb 21, 2019 at 23:14
user376343user376343
7,4996 gold badges20 silver badges33 bronze badges
$endgroup$
1
$begingroup$
Angles alone are not enough to specify a pentagon; we also need three side lengths.
Now, from the picture here, these pentagons are equilateral; the rotational symmetry at the center tells us that the two sides at the $60^circ$ angle are equal, the next ring tells us that those two sides are the same as the two sides adjacent to them, and the fifth side is determined by the other four. That’s enough to specify them up to scaling.
Each pentagon can be realized as an equilateral triangle glued onto one side of a rhombus with $80^circ$ and $100^circ$ angles:
That was drawn with a programming language, Asymptote. The code is reproduced in the blockquote below:
size(6 cm);
pair A = origin;
pair B = dir(30);
pair C = dir(90);
pair E = dir(170);
pair D = C+E;draw(A–B–C–D–E–cycle);
draw(A–C,dotted);
Those have side length $1$ in the coordinate system used, although nothing was included to mark that scale.
answered Feb 21, 2019 at 23:13
jmerryjmerry
19.1k1 gold badge22 silver badges38 bronze badges
$endgroup$
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.