Как найти стороны прямоугольника вписанного в треугольник

Это весьма сложная задача. Она встречалась на вступительных испытаниях в некоторые технические университеты (в Кембридже в частности) и на собеседованиях в крупные IT-компании, типа Amazon.

В прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, как показано на рисунке ниже. И два вопроса: 1) нужно найти площадь прямоугольника и 2) отыскать площадь минимального треугольника, удовлетворяющего этих условиям.

Первый вопрос разминочный, на него ответит каждый, кто хоть немного помнит школьную геометрию, а вот второй вопрос серьезный, который отсеивает самых умных от просто умных — как раз то, что нужно для собеседований.

Рекомендую взять листок бумаги с карандашом и немного подумать самостоятельно, а уже потом листать дальше. Или поделитесь задачей у себя в соцсетях, чтобы потом не потерять.

Решение

Сначала найдем площадь прямоугольника. Это легко. Смотрите рисунок ниже. Красный и зеленый треугольники подобны по двум углам (не буду подробно расписывать из чего следуют такие выводы — это уж совсем просто). Поэтому длины соответствующих стороны имеют одинаковое отношение и мы можем записать 4:х=y:3. Теперь перемножим крест-накрест по правилу пропорции и получим x•y=4•3=12 — это и есть площадь прямоугольника.

Теперь перейдем ко второму вопросу. Площадь большого треугольника складывается из суммы трёх площадей: площади красного треугольника, площади синего прямоугольника и площади зеленого треугольника (рисунок выше и рисунок ниже).

Так как стороны прямоугольника x и y, то площадь большого треугольника S▲= 4x/2 + xy + 3y/2. Но мы знаем, что xy=12. Отсюда y=12/x. Тогда S▲=2x + 12 + 18/x = f(х) — площадь треугольника является функцией, зависящей от х.

Чтобы найти минимум функции f(x), нужно взять производную. f'(x)=2-18/x². Чтобы найти минимум функции, приравняем производную к нулю: 2-18/x²=0; x²=9. Так как x — это длина, то нас интересуют только положительные значения, а значит, x=3. Понять, что х=3 — это точка минимума функции можно либо с помощью метода интервалов (смотри картинку ниже), либо с помощью второй производной f”(x)=36/x³=36/27>0. Раз вторая производная в этой точке положительна, то это в самом деле точка минимума.

Таким образом минимальная площадь треугольника будет при х=3. Тогда минимальная площадь треугольника, удовлетворяющего условиям, будет равна min(S▲)=6+12+6=24. Любопытно получается, что это как раз тот случай, когда красный и зеленые треугольники равны.

Как вам? По-моему отличная задача для собеседования. Она проверяет не столько логику, сколько понимание того, для чего нужны производные, ведь в школе многие вычисляют их чисто механически, не понимая, зачем это вообще нужно в реальной жизни.

Ещё интересно:

Yes, any number of triangles can be constructed that way. Draw a line parallel to one leg. See where it cuts the altitude. Reflect this parallel parallel line about altitude to be parallel to the other leg. Draw the inscribed rectangle as shown including cutting points on both the slant sides of the isosceles triangle.

The slant parallel lines cannot be called diagonals in general. They help to locate intersection point.. of concurrency ( slant leg, breadth and height of rectangle. )

The cutting point can be even outside the given isosceles triangle $ABC$ ( base $a$, height $b$). That is, $h>b$ possible as well as $h<0$ is possible.

Equation of slant leg

$$ frac{2x}{a}+frac{y}{b}=1 $$

If you plug in $ y=h$ then the $x-$ coordinate of the corner of rectangle is:

$$ x1=(1-frac{h}{b}) frac{a}{2}$$

When $ h>b, x1 $ goes negative, to the left of base center.

Прямоугольник в треугольнике

Казалось бы – самый простой случай: в треугольник вписан прямоугольник. Но почему-то нигде не приводятся общие формулы! Только частные численные задачи. Если же рассматривать задачу в общем виде, то появится нечто очень красивое и неожиданное. В основе лежит параметр А, который я бы назвал Параметром Герона. Придумать подобные компактные тождества немыслимо, а произвести расчёты по формулам – раз плюнуть.

Из выражения для длины прямоугольника L, что синей рамочке на рисунке, методом дифференциального исчисления легко находятся уже габариты прямоугольника с наибольшей площадью. Высота такого оптимального элемента Н равна половине высоты треугольника (то есть перпендикуляра, опущенного с вершины В на основание АС). Длина L равна половине основания, то есть b/2. Отсюда ясно, что площадь наибольшего треугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади исходного треугольника АВС. Геометрически построение прямоугольника наибольшей площади элементарное: строится средняя линия треугольника (она параллельна стороне АС) и из точек пересечения с боковыми сторонами опускаются вниз перпендикуляры. Это в геометрии давно известно, но из моих формул всё чётко и наглядно выводится.

Формулы я самостоятельно получил еще в седьмом классе и они часто выручали как при решении примеров, так и в строительстве. Каждый уважающий себя интеллектуал должен содержимое рисунка твёрдо знать! Наряду с числами Марсенна, Марсела, теоремами Экобара, Менелая, Виета, распределениями Гаусса, Релея, Гумбеля, Александрова. И ещё многое из всего в математике – величайшей науке всех цивилизаций.

Тема: “Применение производной к решению экстремальных задач”

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Теорема 2 (второе правило).

Если для дифференцируемой функции f(x) в некоторой точке х 0 ее первая производная f'(x) равна нулю, а вторая производная f”(x) существует и отлично от нуля, т. е. f'(x 0 )= 0, f”(x 0 )≠0, то в этой точке функция f(x) имеет экстремум;

если f”(x 0 )>0, то f(x 0 )- минимум функции f(x), и

если f”(x 0 ) 0 )- максимум функции f(x).

Положим, что f'(x 0 )=0, f”(x 0 ), пусть x=x 0 +x 0 – точка близкая к x 0 .

Т.к. вторая производная f”(x) есть производная от первой производной f'(x), то имеем:

Таким образом, переменная

стремится к пределу f // (x 0 )≠0, а значит, начиная с некоторого момента, это величина имеет знак своего предела в нашем случае плюс. поэтому:

>0 при 0 0 | f / ( x 0 ) при х 0 -Е x x 0 и, следовательно, f / ( x 0 )>0 при х 0 x x 0 +Е.

Мы видим, что производная f / (x) при переходе через точку х 0 меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. минимум функции.

Аналогично доказываем, что если f / (x 0 )=0 и f // (x 0 ) f ( x 0 )- минимум функции f (х).

Дан треугольник АBC, основание которого AC=b и высота BL=h. Найти прямоугольник наибольшей площади, который можно вписать в этот треугольник.

ешение.

Обозначим высоту KL прямоугольника через х , основание DE через у . Тогда площадь его S=xy . Переменные х и y не являются независимыми, они связаны некоторыми соотношением.

В самом деле из подобия треугольников DBE и ABC , учитывая, что высоты их BK и BL пропорциональны основаниям DE и AC имеем

или т.к . BK=h-x, DE = y, BL=h, AC=b,

то у=

исключая у из выражения для S находим

S =

Ищем максимум для этой функции

S =

S =0 h -2 x =0 x =

Легко видеть, что значение х действительно даст максимум функции S. В самом деле, составляя вторую производную, будем иметь

следовательно, при площадь S имеет максимум, причем из формулы S = получаем S max =

Ответ: площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади этого треугольника.

§6. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции.

Решение таких примеров рекомендуется проводить по следующей схеме:

Найти область определения заданной функции ;

Найти производную ;

Определить критические точки функции ;

Найти промежутки знакопостоянства производной и указать промежутки возрастания и убывания функции f(x)

Указать, в каких точках функция имеет максимумы и минимумы, вычислить её экстремальные значения.

Найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума функции

3)Найдем критические точки:

4)

+ — +

1 1

Ответ: функция возрастает на

Функция убывает на

§7.Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Определение наименьшего и наибольшего значений дифференцируемой функции на заданном отрезке [а; b ] рекомендуется проводить по следующей схеме:

1)Найти производную данной функции;

2) Определить критические точки данной функции;

3)Из всех критических точек отобрать те, которые лежат внутри заданного отрезка;

4)Выписать значения данной функции в отобранных критических точках;

5)Выписать значения данной функции на концах а и b заданного отрезка;

6) Среди всех указанных вычисленных значений функции определить наименьшие и наибольшие числа. Они и являются решениями поставленной задачи.

Пример : Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

+ sin 2 x на (0 ; )

Решение : D ( f )= R

f’ (x) = – cos x +2 sinxcosx = cos x (2 sin x-)

Найдем критические точки:

f(x)=0 cos x (2 sin x -=0

cos x =0 2sinx – =0

x= 2 sin x =

sin x =

Х=(-1)+, k.

На промежутке (0;) лежит лишь одна критическая точка x =.

Вычислим значение функции в точке х=.

f( )=1-+==0,5.

Вычислим значение функции на концах заданного промежутка:

f ()=1-1+1=2-=0,586

Из трех значений f (0)=1;

f ()=0,586;

f ( )=0,5.

Выбираем наименьшее и наибольшее значение

Ответ: min f ( x )= f ( )=0,5;

.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции: y(x)= -2x-3x+4

на промежутке: а);

б)

Находим критические точки функции. Т.к. y’(x)= -6x-6x=-6x(x+1), то имеются две критические точки: x=0 и x=-1.

а) В промежутке лежит одна из критических точек: x=-1 .

т.к. y(-2)=8, y(-1)=4, y(-0,5)=3,5 то наименьшее значение функции

y(x)=-2x-3x+4 достигается в точке x=-1 и равно 3, а наибольшее

в точке x=-2 и равно 8. Кратко запишем так:

б) В промежутке данная функция убывает. Поэтому max y(x)=y(1)=-1. Наименьшего значения в промежутке функция не достигает, т.к. точка x=3 не принадлежит этому промежутку.

Отрезок с концами на сторонах прямого угла содержит точку внутри себя, удаленную на расстоянии 1 и 8 от сторон этого угла.

Найти наименьшую длину таких отрезков.

Решение: 1) Пусть ОА=х, ОВ=у

МАВ, МD=8, МС=1

Исходя из того, что

у=

т.к. АВО прямоугольный, то

Найдём наименьшее значение функции = при х>1

2) Для этого найдём производную

3. Найдём критические точки:

х=5

т.к. в точке х = 5 производная меняет свой знак с “-“ на “+”, то это наименьшее значение.

4. . 5. A В= =

Ответ: 5.

Из круга радиусом R вырезан сектор и из сектора сплетен конус. Каков наибольший объем получившийся конической воронки?

пусть – центральный угол сектора

r -радиус основания конуса

– L осн.кон.=2

ИзАОО 1 h = = R

V =

Найдем наибольшее значение функции y = от :

y 2 =

y 1 =

Ответ: Наибольший объем равен .

Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90см. Стоимость 1м каменного забора 10руб, а деревянного 8руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей?

Решение: 1) Пусть стоимость ограды f руб.

x (м) – длина каменной части ограды, значит, ширина – 90/х (м),

тогда f ( x )= 10 x +8*2*90/ x = 10 x +1440/ x

2) D (f) =(0; + )

3) f ’ (x)= (10x) + 1440’x – 1440*x/x 2 =

10-1440/ x =10( x 2 -144)/ x 2

4) Найдём критические точки:

f ’ ( x )= 0 10( x 2 -144)/ x 2 =0

D ( f )= (0; + )

В точке x = 12 производная меняет свой знак с – на + , значит это наименьшее значение функции и оно единственное в области определения.

5) м in f (12) =10*12+1440/12=120+120=240

(0;+)

Наименьшая длина каменной стены 12 м , а деревянной 90/12=7,5м

Ответ: 12м; 7,5м; 240 руб.

Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.

Пусть радиус круга – R , BD =х,

тогда О D= х- R

если каждая сторона будет равна , то площадь будет наименьшей.

На изготовление ящика с крышкой расходуется 108 дм 2 фанеры. Стороны основания относятся как 1: 2. Найдите линейные размеры ящика, при которых его объем наибольший.

Решение: S ПОЛН. = 2 ab + 2 ac +2 bc =2( ab + ac + bc )=108

аb-54= – ac-bc

54- ab =с(а+ b )

а с=

Пусть а=х, x (0;+ ), тогда b =2 x , c =

V=a b c= x 2x = x (54-2) =x (27-)

))) – x 2x =

=36- – =36-4 x

V / ( x )=0 36-4 x =0

=9

=3

=-3

a =3дм , b =6дм, с=

Ответ: 3дм , 6дм , 4дм .

Задача №6. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус

Решение:

Пусть задан конус высотой Н и радиусом основания R .

Обозначим через h высоту цилиндра и через r радиус

основания цилиндра, вписанного в данный конус.

Обозначим ВМ= x . Тогда

Объём цилиндра .

В нашем случае

Определим, при каком значении x объём цилиндра будет принимать наибольшее значение.

Найдём производную V 1 (x) .

V 1 ( x )=0 при x =

При х  V 1 ( x )  0 и V 1 ( x )  0 при х 

Следовательно, в точке х= функция V (х) имеет максимум. Так как х может менятся от нуля до R , причём V (0)=0 , то число

V( )= R 2 является наибольшим значением объёма вписанных цилиндров.

Найти высоту конической воронки наибольшего объёма, если её образующая равна L .

Решение.

площадь основания которого равна S ,

а высота- Н , вычисляется по формуле ,

где 2 ,

R – радиус окружности, лежащей в основании конуса.

По теореме Пифагора R и Н связаны равенством R 2 +H 2 =L 2 .

Воспользовавшись этим равенством, выразим V как функцию только одной переменной Н

Решая уравнения находим две критические точки функции V(H): H 1 + H 2=-

Из которых точка H принадлежит промежутку (0,L ). При переходе через точку Н 1 функция V / (H) =(L-3H 2 ) меняет знак с плюса на минус, и, следовательно, на промежутке (0,) функция V(H ) возрастает, а на промежутке (; L)убывает.

Таким образом Н=- высота конуса максимального объема при заданной длине образующей L.

Задача №8. В трапецию ABCD , боковая сторона АВ , которой

(длина 8 см ) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.

Рассмотрим отдельно два случая.

Первый – вершина прямоугольника P лежит на боковой стороне трапеции CD .

Второй – вершина P лежит на основании трапеции ВС .

В первом случае обозначим стороны прямоугольника

Составим уравнение, связывающие неизвестные x и y .

Для этого проведем вспомогательный отрезок BL , параллельный стороне CD и рассмотрим два треугольника ABL и QPD .

Катеты этих треугольников равны соответственно

| AB |=8, | AL |=4, | QD |=10- x , | PQ |= y .

Искомое уравнение получается тогда из условия подобия треугольников ABL и QPD :

или y =20-2 x .

Площадь прямоугольника AKPQ равна S ( x )= x (20-2 x ).

Интервал изменения x в первом случае находится из условия, что точка Q – проекция точки P , лежащий на стороне С D , cледовательно, х6 .

Таким образом, задача свелась к отысканию наименьшего значения функции S ( x ) на промежутке [6;10]. Единственная критическая точка функции S ( x ): x =5 не принадлежит найденному промежутку.

Следовательно, производная функции S ( x ) не меняет на этом промежутке знак.

Вычисляя производную S ( x ) в произвольной точке промежутка [6;10] , убеждаемся, что она отрицательна.

Таким образом, наибольшее значение S ( x ) достигается в левом конце промежутка, т.е. max S ( x )= S (6)=48см 2

x [6;10]

Площадь прямоугольников, относящихся по второму случаю, не превосходит 48см 2 , т.к. при одинаковой боковой стороне равной 8см , длины их оснований не могут быть больше 6см .

Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема?

Решение . Пусть АВС D – данный квадрат, О – его центры и KLMN – основание искомой пирамиды. Обозначив через К расстояние от точки К до стороны АВ , выразим объем пирамиды как функцию x .

Получим:

Следовательно,

Функция принимает наибольшее значение одновременно с функцией .

0

Имеем, V(0)=V(=0

V(>0

следовательно, при х= функция V имеет наибольшее значение.

Таким образом, объём будет наибольшим тогда, когда диагональ её основания равна сторона квадрата.

Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.

Решение:

Пусть АВС=, тогда по теореме синусов имеем АВ=2sin.Далее из АDC СD = АD ctg = sinctg = a sin a = a ( 1 + cos a ) .

Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а ( 0) :

S ( a) = = sin a ( 1+ cos a ) = ( sin a + 0,5 sin 2a ).

S` = ( cos a + cos 2a ) = ( 2cos 2 a + cos a – 1) =

= a 2 ( cos a + 1 ) ( 2cos a – 1 ).

Т.к cos + 1> 0 ( ( 0 : п) ), то S` (a) = 0 при cos a = 0,5, откуда .

Если 0 0, т.е S (a) возрастает на

( 0; ]. Если Задача № 11.

Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.

Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x , тогда длина другой стороны равна .

Заметим, что 0 x R , т.к. x -длина хорды окружности радиуса R , отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника .

Hайдем наибольшее значение функции S ( x ) на

Имеем S ’( x )=0 , т.е. 4 R 2 -2 x 2 =0, откуда x 1 =Rи x 2 =-R

Значит, надо сравнить значение функции при x = R и на концах отрезка x =0 и x =2 R .

Т.к. S(0)=S(2R)=0, а S(R)=2R 2 , то функция принимает наибольшее значение на [0;2R) при х=R. Поскольку наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0;2R) достигается
в точке x= R.

При этом длина другой стороны прямоугольника равна , то есть искомым прямоугольником служит квадрат.

Задача № 12. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.

Пусть периметр прямоугольника равен 2 а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет

Диагональ прямоугольника – переменная величина, обозначив её через у, получим по теореме Пифагора у 2 =х 2 +(а-х) 2 ,

или у 2 =2х 2 -2ах+а 2 , откуда у=, где 0 0, если х>.

Производная меняет знак с минуса на плюс на плюс, следовательно, функция х= имеет минимум.

Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

Работая над темой «Применение производной к решению экстремальных задач» я изучила очень много литературы по этой теме. При решении задач мне пришлось использовать следующие теоремы:

Необходимый признак возрастания и убывания функции.

Достаточный признак возрастания и убывания функции.

Кроме того «Экстремум функции одной переменной и достаточные условия экстремума функции».

Также я, изучая литературу, выделила этапы решения задач на нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции и нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Я считаю, что моя тема очень интересна. Поэтому я буду продолжать ее изучение в дальнейшем.

Моя работа будет очень полезной при подготовке выпускников к экзаменам в качестве дополнительного материала, который можно изучать на факультативах по математике.

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.

Краткий курс высшей математики.- М.: Наука,1989

2. Васильев Н.Б. Заочные математические олимпиады. -М.: Наука,1986.

3. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике.-М.: Наука,1984

4.Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение, 1990

5.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике.-М.: Просвещение,1991

6.Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом -М.: Просвещение, 1979 .

7.Мочалин А.А. Сборник задач по математике.- Саратов, Лицей, 1998.

В равнобедренный треугольник вписан прямоугольник, стороны которого относятся как 1:3. Меньшая сторона прямоугольника лежит на основании

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,287
• гуманитарные 33,620
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,113
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

[spoiler title=”источники:”]

http://gigabaza.ru/doc/23217-p2.html

http://www.soloby.ru/1099463/%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

[/spoiler]

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Найти площадь вписанного прямоугольника в форуме Геометрия	ferma-T	25	624	07 фев 2023, 12:16
Максимальная площадь вписанного прямоугольника в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики	vulpes	13	649	18 май 2018, 11:42
Высота прямоугольника, вписанного в другой прямоугольник в форуме Геометрия	unclebuster	3	189	28 окт 2019, 23:59
Найти угол поворота вписанного прямоугольника в форуме Тригонометрия	besd	17	278	02 фев 2023, 20:11
Найти длину стороны правильного треугольника, вписанного в э в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	MARGARITA1987	1	553	16 янв 2014, 21:01
Чему равны диагонали пятиугольника? в форуме Геометрия	dasha math	1	479	28 мар 2014, 13:41
Чему равны бухгалтерские издержки? в форуме Экономика и Финансы	savin	4	573	14 июн 2014, 21:47
Чему равны длины оснований трапеции? в форуме Геометрия	FEBUS	7	303	17 ноя 2019, 22:03
Чему равны действительная и мнимая части функции в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление	sansii35	1	157	12 янв 2021, 16:23
Построить равнобедренный треугольник по радиусами вписанного в форуме Геометрия	IvanSavkiv	9	434	16 июн 2018, 16:48

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения