Как найти стороны треугольника в ромбе

Так как в ромбе все четыре стороны равны, совсем несложно найти одну из них, если известен его периметр – просто делим на четыре.

И опять несложно определить одну из сторон, если известны площадь ромба и его высота:

нужно площадь разделить на высоту

Немножко сложнее, если известны диагонали – здесь без теоремы Пифагора и извлечением из под корня не обойтись:

сторона ромба равна половине корня квадратного от суммы квадратов диагоналей

Примечание:

на рисунке d1=D и d2=d

Также есть много других формул (более сложных), где сторону ромба можно найти через площадь и угол, через диагональ и угол и другие

Углы ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти углы ромба по известным элементам. Для нахождения углов ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Углы ромба через сторону и высоту

Пусть известны сторона и высота ромба (Рис.1).

Покажем, что углы ромба через сторону и высоту вычисляются по формулам

( small alpha= mathrmfrac<large h> <large a>)

(1)

( small beta= 180°-alpha )

(2)

(small frac<large h><large sin alpha>=frac<large a><large sin 90°>.)

(3)

(small sin alpha=frac<large h><large a>)

(4)

(small alpha=mathrmfrac<large h><large a>)

(5)

Поскольку сумма соседних углов ромба равна 180° (свойство 4 статьи Ромб), то угол β вычисляется из формулы (2).

2. Углы ромба ромба через площадь и высоту

Рассмотрим ромб с высотой h и площадью S (Рис.2).

Покажем, что углы ромба через площадь и высоту вычисляются по формулам:

( small alpha= mathrmfrac<large h^2><large S>, )

(6)

( small beta= 180°-alpha . )

(7)

Площадь ромба через сторону и высоту вычисляется из формулы:

( small S=a cdot h. )

(8)

Найдем a из формулы (8) и подставим в (1):

( small alpha= mathrmfrac<large h><large a>=mathrmfrac<large h><large frac> ) ( small =mathrmfrac<large h^2> <large S>)

(9)

Как отметили в параграфе 1, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

3. Углы ромба через площадь и сторону

Пусть известны площадь и сторона ромба (Рис.3).

Чтобы найти формулу углов ромба через площадь и сторону, из формулы (8) найдем h и подставим в (1):

Следовательно угол α ромба через площадь и сторону вычисляется из формулы:

( small alpha =mathrmfrac<large S><large a^2>. )

(10)

Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

4. Углы ромба через диагонали

Пусть известны диагонали d₁ и d₂ ромба (Рис.4). Выведем формулу вычисления углов α и β ромба.

(small h=frac<large d_1d_2><large sqrt>.)

(11)

(small a=frac<large sqrt><large 2>.)

(12)

Подставляя (11) и (12) в (4), получим:

(small sin alpha=frac<large h><large a>) ( small =frac<frac<large d_1d_2><large sqrt>><frac<large sqrt><large 2>> ) ( small =frac<large 2d_1d_2> <large d_1^2+d_2^2>.)

(13)

(small alpha=mathrm frac<large 2d_1d_2> <large d_1^2+d_2^2>.)

(14)

Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

5. Углы ромба через сторону и диагональ

Пусть известны сторона a=AB ромба и диагональ d=AC (Рис.5).

Найдем углы ромба. Учитывая свойства 5, 6 и 7 ромба, получаем, что треугольник AOB прямоугольный и ( small angle ABO =frac<alpha> <2>.) Тогда для треугольника AOB имеют места следующие равненства:

(small frac<large AO><large a>=sin frac<alpha><2>,)

(small frac<large AO><large a>=cos frac<beta><2>)

(small sin frac<alpha><2>=frac<large d><large 2a>)

(15)

(small cos frac<beta><2>=frac<large d><large 2a >.)

(16)

Формулы половинного угла для синуса и косинуса имеют следующий вид:

(small sin frac<alpha><2>=±sqrt<frac<large 1-cos alpha><large 2 >>,)

(17)

(small cosfrac<beta><2>=±sqrt<frac<large 1+cos beta><large 2 >>.)

(18)

Найдем из формул (17),(18) ( small cos alpha ) и ( small cos beta: )

(small cos alpha=1-2cdot sin^2 frac<alpha><2>,)

(19)

(small cos beta=2cdot sin^2 frac<beta><2>-1,)

(20)

Подставляя (15),(16) в (19),(20), получим формулы углов ромба через сторону и диагональ:

(small cos alpha=1- frac<large d^2><large 2a^2>,)

(21)

(small cos beta=frac<large d^2><large 2a^2>-1.)

(22)

(small alpha=mathrm left(1- frac<large d^2> <large 2a^2>right),)

(23)

(small beta=mathrm left( frac<large d^2><large 2a^2>-1 right).)

(24)

Отметим, что полученный угол α находится напротив диагонали d, а угол β делится диагональю d на две равные части.

6. Углы ромба через сторону и радиус вписанной окружности

Пусть известны сторона ромба и радиус вписанной окружности (Рис.6). Найдем углы ромба.

В статье Высота ромба мы вывели формулу высоты ромба через радиус вписанной октужности:

(small h=2 cdot r.)

(25)

Подставляя (25) в (4) и (5) параграфа 1 данной статьи, получим:

(small sin alpha=frac<large 2 cdot r><large a>)

(26)

(small alpha=mathrmfrac<large 2 cdot r><large a>)

(27)

Как отметили выше, соседний угол β ромба вычисляется по формуле:

Геометрические фигуры. Ромб. Углы ромба. Как найти угол ромба.

Углы ромба, нахождение:

1. Сумма 4-х внутренних углов ромба равняется 360°, точно так же как и у всякого четырехугольника. Противоположные углы ромба имеют одинаковую величину, причем, всегда в 1-ой паре равных углов — углы острые, во второй – тупые. 2 угла, которые прилегают к 1-ной стороне в сумме составляют развернутый угол.

Ромбы с равным размером стороны могут внешне довольно сильно отличаться друг от друга. Это разница объясняется различной величиной внутренних углов. То есть, для определения угла ромба не хватит знать лишь длину его стороны.

2. Для вычисления величины углов ромба хватит знать длины диагоналей ромба. После построения диагоналей ромб разбивается на 4 треугольника. Диагонали ромба располагаются под прямым углом, то есть, треугольники, которые образовались, оказываются прямоугольными.

Ромб — симметричная фигура, его диагонали есть в одно время и осями симметрии, вот почему каждый внутренний треугольник равен остальным. Острые углы треугольников, которые образованы диагоналями ромба, равняются ½ искомых углов ромба.

3. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника соответствует отношению противолежащего катета к прилежащему. ½ любой из диагоналей ромба оказывается катетом прямоугольного треугольника.

Обозначим большую и малую диагонали ромба как d₁ и d₂, а углы ромба — А (острый) и В (тупой), теперь из соотношения сторон в прямоугольных треугольниках внутри ромба находим:

4. Из формулы двойного угла tg (2α) = 2/(сtg α – tg α) находим тангенсы углов ромба:

По тригонометрическим таблицам находят углы, которые соответствуют полученным значениям тангенсов.

Острый угол ромба равен 60 градусам.

Когда острый угол ромба = 60°, значит, диагональ равняется стороне ромба и делит его на 2 одинаковых равносторонних треугольника.

∆ ABD и ∆ BCD — равносторонние,

1) Изучим треугольник ABD.

Т.к. AB=AD (так как являются сторонами ромба), значит, ∆ ABD является равнобедренным треугольником с основанием BD.

Углы при основании равнобедренного треугольника:

Так как каждый угол треугольника ABD равен 60 градусов, значит, ∆ ABD является равносторонним треугольником. Значит, BD=AB.

2) Треугольники ABD и BCD одинаковы по трем сторонам (AB=BC=CD=AD (как стороны ромба), BD=AB (из доказанного)).

То есть, ∆ BCD оказывается равносторонним треугольником.

Что и требовалось доказать.

Т.к. сумма углов ромба, которые прилежат к одной стороне, равна 180º, когда острый угол ромба равен 60º, его тупой угол равен 120º. Таким образом:

Когда тупой угол ромба равен 120 градусам, значит диагональ равняется стороне ромба и делит его на 2 равных равносторонних треугольника.

Ромб с прямыми углами называется квадратом.

В треугольник вписан ромб

Если в треугольник вписан ромб так, что один угол у них — общий, а противоположная ему вершина ромба принадлежит третьей стороне треугольника, то ромб отсекает два треугольника, подобные данному.

Дано : ∆ ABC,

Рассмотрим треугольники ABC и MBN.

2) ∠A=∠NMB (как соответственные при AK ∥ MN и секущей AB).

Следовательно, треугольники ABC и MBN подобны (по двум углам).

Аналогично, в треугольниках ABC и KNC

2) ∠A=∠CKN (как соответственные при AM ∥ KN и секущей AC) и

Заметим, что треугольники MBN и KNC также подобны (как треугольники, подобные одному и тому же треугольнику ABC, либо по двум углам).

Что и требовалось доказать .

В треугольник ABC вписан ромб AMNK так, что угол A у них общий, а вершина N принадлежит стороне BC. Найти сторону ромба, если AB=10 см, AC=15 см.

Треугольники ABC и MBN подобны (по доказанному выше).

Следовательно, их соответствующие стороны пропорциональны:

Пусть сторона ромба равна x см: MN=AN=x см, тогда AM=(10-x) см.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Geometricheskiye-Figury-Romb-Ugly-Romba-Kak-Nayti-Ugol-Romba.html

[/spoiler]

• Ромб  – это параллелограмм у которого все стороны равны. 
• Противоположные стороны ромба параллельны.
• Все ромбы различаются между собой только размером стороны и углов.

Как найти длину стороны ромба?

Сторона ромба может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.

	a = S h
	a = √d12 ― d22 2
	a = d1 √2 + 2·cos(α°)
	a = d2 √2 – 2·cos(β°)
	a = √S √sin(α°) = √S √sin(β°)
	a = S 2r
	a = P 4

Ромб – это параллелограмм с равными сторонами, поэтому вычислив любую его сторону, мы знаем все остальные. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, и образуют во внутреннем пространстве фигуры прямоугольные треугольники одинаковые по величине. Сторона ромба является гипотенузой в таком треугольнике, а половины диагоналей – катетами. Используя теорему Пифагора, подставим необходимые величины и найдем сторону ромба через диагонали: