Как найти суммарную длину прямоугольника

В этой статье мы поговорим о длине прямоугольника. Как определить, какая из сторон является длиной и зачем их разделять. Разберем три способа нахождения длины прямоугольника и решим небольшую задачу.

Что такое длина прямоугольника

Довольно часто люди путают местами длину и ширину прямоугольника, как правило, это не критично, но в результате значительно уменьшается наглядность, а от этого страдает качество решения.

Прямоугольник это частный случай параллелограмма. Параллелограмм, каждый угол которого равен 90 градусам, называется прямоугольником. Для наглядного изображения лучше будет, если нижней опорой прямоугольника будет служить длинна. Так сложилось, что такой рисунок больше всего напоминает рисунки в учебнике, а потому ученику будет проще разобраться в теме.

Рис. 1. Изображение прямоугольника

Три способа найти длину прямоугольника

Если разделить фигуру на две части диагональю, то можно заметить, что прямоугольник поделится ею на два прямоугольных треугольника. Из этого разделения и вытекают все формулы длины прямоугольника.

• Через теорему Пифагора

Если известна длина диагонали ( обозначим ее буквой d) и ширина прямоугольника (примем значение за букву a). Тогда корень квадратный из разности квадратов диагонали и ширины будет равен длине прямоугольника.

Чтобы было понятнее, напишем решение в виде нескольких формул.

Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза это сторона, противоположная прямому углу, две другие стороны зовутся катетами. В нашем случае гипотенуза это диагональ.

Значит: d2=a2+b2 . Из этого выражения выразим квадрат длины (значение «b»):b2=d2-a2

Для того, чтобы определить значение b, нужно взять корень квадратный из обеих сторон получившегося выражения: b=(d2-a2)(-1)

В случае необходимости, можно поменять местами а и b, тогда получится формула ширины.

• Через площадь

Рассмотрим еще один способ найти длину прямоугольника. Через площадь.Площадь прямоугольника равняется произведению длины на ширину. То есть, используя уже знакомые обозначения S=a*b. Выразим из этой формулы значение длины: b=S/b.

Так же, как и в первом методе, можно поменять местами а и b, чтобы получить формулу для ширины: a=S/b.

• Тригонометрическая функция

Один из самых быстрых, но при этом немного сложных способов нахождения длины – воспользоваться тригонометрической функцией.

Если имеется прямоугольный треугольник, то соответственно имеются отношения, известные как синус и косинус.

Выберем угол между длинной и диагональю. Обозначим его α. Тогда sin α катета, противоположного углу α к гипотенузе: Sin α = a/d

Рис. 2. Угол альфа на половине прямоугольника

Значение синуса любого угла можно найти в таблицах Брадиса. Для удобства можно воспользоваться онлайн-версией, которая найдет значение отношения автоматически.

Но в формуле нет значения b, которое соответствует длине, а значит воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.Косинус это отношение стороны, прилежащей к углу, к гипотенузе: cos a=b/d

Значит можно найти длину, умножив косинус на гипотенузу: b=cos α*d

Задача

• Найти длину прямоугольника, если известно, что его ширина равна 3, а диагональ 5.

  Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем b. Длина равна корню квадратному из разности квадрата диагонали и квадрата ширины.

5^2=25

3^2=9

25-9=16

Корень квадратный из 16 равен 4.

Значение b=4

Рис. 3. Решение задачи

Что мы узнали?

Мы рассмотрели, как правильно изображать прямоугольник для большей наглядности, рассмотрели как можно найти длину при различных условиях задачи и решили задачу средней сложности на нахождение длины прямоугольника через теорему Пифагора.

Предыдущая

МатематикаДиагональ треугольника – формула

Следующая

МатематикаИзмерение углов транспортиром в докладе (5 класс, математика)

Общие сведения

Фигуру с четырьмя прямыми углами, то есть равными 90 градусов, называют прямоугольником. Он состоит из четырёх отрезков, каждый из которых соединяется с двумя другими. Впервые упоминание о прямоугольнике встречается в манускриптах Древнего Египта. Но подробные признаки фигуры в III веке до н. э. дал математик Евклид.

В евклидовой геометрии достаточным условием для прямоугольника является существование трёх прямых углов в замкнутой фигуре. Если этот признак выполняется, оставшийся будет прямой в силу правила о сумме углов в простейших многоугольниках: если она не равняется 360 градусам, тело не может называться прямоугольным.

Современное правило, позволяющее отнести фигуру к прямоугольному объекту — параллелограмм называется прямоугольником, когда его 4 угла прямые. Исходя из этого определения, сюда относятся:

• квадрат;
• ромб.

Эти фигуры являются частным видом не только параллелограмма, но и прямоугольника. Для них действуют одинаковые правила и формулы. Единственно, для производных четырёхугольников существует ряд упрощений.

Углы многоугольника называют вершинами, а прямые линии, соединяющие их — гранями или сторонами. Для обозначения первых используют большие буквы латинского алфавита, чаще всего — А, B, C, D. Проставляют их по часовой стрелке начиная с нижнего левого угла. Соответственно, отрезки, соединяющие вершины, подписывают так: AB, BC, CD, AD.

Грани фигуры формируют ширину и длину. Эти названия условны для квадрата и ромба, так как их 4 стороны между собой равны.

В классической прямоугольной фигуре нижнюю грань принимают за ширину, а боковую считают длиной. Узнать их можно, просто измерив размеры или рассчитав по формулам.

В повседневности термины «длина» и «ширина» фактически обозначают пространственные оси координат, расположенные параллельно поверхности земли. За первую принимают более длинную сторону фигуры, вне зависимости от её пространственного расположения. Другими словами, это «размер по оси X» или «размер по оси Y», поэтому понятия о длине и ширине — довольно абстрактные.

Свойства и линии

Из-за того, что прямоугольник — это параллелограмм, все свойства последнего справедливы и к нему. В первую очередь для него характерно, что противоположные стороны являются параллельными, то есть лежат на непересекающихся прямых. Отсюда следует, что фигуры отличаются друг от друга только размерами двух граней.

К основным свойствам прямоугольника относят:

• противолежащие стороны имеют равную длину: AB = CD, BC = AD;
• все углы равны 90 градусов;
• отрезки, обозначающие ширину и длину, всегда перпендикулярные друг другу: AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB;
• сумма любых двух углов фигуры равняется 180 градусов, соответственно всех четырёх — 360;
• в четырёхугольном теле можно провести 2 диагонали, длины которых будут совпадать по величине: AB = BC;
• сумма квадратов диагональных отрезков равняется удвоенной сумме квадратов сторон фигуры: AC² + BD² = 2 (AB² + BC²);
• построенная диагональ разделяет прямоугольник на 2 одинаковые фигуры — прямоугольные треугольники;
• точка пересечения прямых линий, соединяющая попарно противоположные углы, является центром фигуры и описанной окружности;
• диагонали в месте пересечения разделяются на 4 равных отрезка;
• в многоугольник, у которого длина не равна ширине, вписать окружность нельзя, поэтому её можно построить только для частных случаев прямоугольника.

На свойстве, что сложенные квадраты диагоналей можно найти как сумму квадратов всех его сторон, построено решение многих геометрических задач. Нелишним будет доказательство теоремы. Пусть имеется прямоугольник, у которого линии AC и BD — диагонали. Если изобразить многоугольник на рисунке и построить отрезки, можно увидеть, что каждая диагональ делит фигуру на 2 треугольника: ABC и BDC.

Используя теорему косинусов, можно записать: AC² = AB² + BC² — 2 * AB * BC * cos (ABC); BD² = CD² + BC² — 2 * CD * BC * cos (BCD). После сложения полученных выражений получится запись: AC² + BD² = AB² + BC² — 2 * AB * BC * cos (ABC) + CD² + BC² — 2 * CD * BC * cos (BCD).

Так как по свойству прямоугольной фигуры противоположные стороны равны, уравнение примет вид: AC² + BD² = 2AB² + 2BC² — 2 * AB * BC * cos (ABC) — 2 * AB * BC * cos (BCD). Учитывая, что сумма двух углов равняется 180⁰, полученное выражение можно переписать так: AC² + BD ² = 2 (AB ² + BC ²). Что и следовало доказать.

Формулы нахождения длины

Существует несколько способов, позволяющих найти длину. Как лучше это сделать и какой алгоритм использовать, зависит от известных данных и личных предпочтений решающего. Как показывает практика, найти величину достаточно просто, если есть значение ширины и ещё одного из параметров многоугольника.

Найти длину (BC) прямоугольника можно следующим образом:

1. Зная площадь и ширину. Так как первая величина находится из произведения сторон S = AB * BC, длина будет равняться отношению размера замкнутой плоскости к ширине: BC = S/AB.
2. По известному периметру и примыкающей стороне. Периметр прямоугольника равен сумме всех его граней: P = AB + BC + CD + AD. Так как противолежащие стороны равны, равенство можно переписать так: P = 2AB + 2BC. Отсюда следует, что BC = (P — 2AB)/2.
3. Если известна диагональ и ширина. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, делит многоугольник на 2 прямоугольных треугольника, поэтому можно воспользоваться теоремой Пифагора: a = √ (‎ b² + c²), где: a — гипотенуза (диагональ); b, с — катеты (ширина и длина). Отсюда: b = √ (c² — a²) = ВС = √ CA² — AB ².
4. Используя формулу радиуса описанной окружности: R = √ (AB² — BC2)/2. Для квадрата или ромба формула выглядит проще: R = a / √2 = d / 2, где d — диаметр описанного круга.

При решении задач может случиться, что исходные данные не позволяют напрямую воспользоваться формулами для нахождения длины. В этом случае приходится использовать переходные выражения.

Диагональ прямоугольника можно вычислить через радиус описанной окружности d = 2 R или используя синус угла: d = a / sin (a), то есть найти из отношения прилегающей функции к ширине. Исходя из этого, можно вывести ещё одну формулу для поиска длины: BC = CA * cos (a).

Площадь фигуры можно найти не только как произведение сторон, но и зная размер диагонали с величиной синуса острого угла: S = d² * sin (b) / 2, где b — угол между диагоналями. Приведённых формул будет достаточно для нахождения длины прямоугольника. При этом следует отметить важное свойство фигуры — высота многоугольника является шириной. Это свойство необходимо знать, так как в примерах нередко даётся размер не стороны, а именно высоты.

Решение примеров

Несмотря на то что формулы довольно простые, запомнить их простой зубрёжкой сложно. Чтобы материал закрепился, нужно научиться их применять на практике. Если понять принцип нахождения длины, многие из этих выражений можно будет вывести самостоятельно.

Вот некоторые задачи, рассчитанные на учащихся седьмых классов, рекомендуемые к самостоятельной проработке:

1. Определить длину прямоугольного многоугольника, у которого длина в 4 раза больше ширины. Периметр тела равен 20 см. Для решения задачи нужно принять сторону фигуры за х. Тогда длина будет составлять 4х. Согласно формуле, периметр равен: P = 2AB + 2 BC = 2* x + 2 * 4x. После подстановки значения P и выражения неизвестного, должно получиться следующее равенство: x = 20 / 10 = 2. Отсюда следует, что искомая длина равняется: BC = 4 * x = 4 * 2 = 8 см. Задача решена.
2. Длина прямоугольной фигуры больше её ширины на 2. Если ширина увеличится на 3 см, а длина на 8, площадь фигуры возрастёт в 3 раза. Найти длину. Чтобы решить задачу, нужно рассуждать следующим образом: пусть x ширина для первого состояния фигуры. Значит, длина этой фигуры будет x + 2. Соответственно, площадь равна: S = x * (x + 2). После трансформации ширина изменилась до значения x + 3, а длина — х + 2 + 8 = х + 10. Площадь новой фигуры равна: S = (х + 3) * (х + 10). После раскрытия скобок получится уравнение: 2 * х² — 7* х — 30 = 0. После его решения должно получиться, что x = 6 см. Отсюда длина будет равняться: 6 + 2 = 8 см.
3. Определить длину и ширину прямоугольника ABCD, в который вписаны 3 круга, если радиус каждой описанной окружности равен 5 см. Для решения примера нужно вспомнить, что ширина многоугольника равна двум радиусам круга или его диаметру. Значит, AB = 2 * 5 = 10 см. Соответственно, длина будет составлять 3 диаметра или 6 радиусов: BC = 6 * 5 = 30 см. Ответ найден.

В процессе изучения материала совсем не зазорно пользоваться так называемыми онлайн-калькуляторами. Это сайты, предлагающие своим пользователям рассчитать различные математические величины по исходным данным. Их интересность не только в том, что можно получить готовый ответ, но и в появлении возможности просмотреть подробное решение. Это как раз и позволит устранить пробелы в знании на стадии обучения.

В принципе легко.

Площадь прямоугольничка со знаком вопроса (?) равна 66.

Потомк что его площадь относится к площади 22 также как площадь 30 относится к площади 10.

Аналогично площадь вырезанного верхнего правого угла равна 20,ибо отношение площади 44 к площади 22 равно 2.

Итого плошадь большого прямоугольника равна :

10+30+20+22+66+44=19­2

Теперь длины сторон.

Пусть сторона левого нижнего прямоугольничка – х.

Тогда его другая сторона будет 22/х.

Можно записать для большого прямоугольника :

6х(22/х + 10/х)=192

6х(32/х)=192

Вариант:х=1

Тогда стороны большого прямоугольника 6 и 32

Варианты ещё :

х=2 и стороны будут 12 и 16

х=4 и стороны будут 24 и 8

х=8,тогда стороны 48 и 4

х=16,тогда стороны 96 и 2

х=32,тогда стороны 192 и 1(этот последний будет повторением)

На рисунке автора надпись о том чтобы не было дробных чисел. Значит и стороны всех маленьких прямоугольников и выреза в правом верхнем углу пусть выражаются целыми числами.

Вариант 6*32=192 точно подходит

Вариант 12*16=192 тоже подходит.

Остальные не подходят