Как найти сумму абсцисс точек касания

Навигация 4. Основы математического анализа Affiliations Template tips

4. Основы математического анализа google.com/+ВикторЦекунов Репетитор по математике, физике (Минск): Виктор Иванович. Математика, физика. Профессиональный репетитор (стаж более 20 лет + 6 лет курсы в БГУ). Подготовка к ЦТ, экзаменам. Бесплатно – проверка знаний. 1-й цикл занятий – ликвидация пробелов. 2-й цикл – решение тестов ЦТ. Занятия в Серебрянке, 1-2 чел. (90 мин) = 30 руб. Тел:  +375(29) 127 61 86._______________________________________________________________________________________________ Оказываю платные услуги: решение задач по математике. Оплата WebMoney. Заказы направляйте сюда: Платные услуги _______________________________________________________________________________________________       4.1. Производная. Касательная к графику функции.       4.2. Исследование функции с помощью производной. ________________________________________________________________________________________________      4.1. Производная. Касательная к графику функции. 4.1-1. Через точку (2;-50) проведены две касательные к графику функции f(x) = 7x²-7x-1. Найдите сумму абсцисс точек касания. Решение: A(2;-50) f(x) = 7x²-7x-1 x₀₁ + x₀₂ − ? Уравнение касательной: y = f(x₀)+fʹ(x₀)(x–x₀), где x₀ − абсцисса точки касания, fʹ(x₀) – производная в точке x₀. Подставим сюда координаты точки А (т.к. касательная проходит через эту точку) -50 = f(x₀)+fʹ(x₀)(2-x₀).                                          (1) Имеем f(x₀) = 7x₀² – 7x₀ – 1, fʹ(x₀) = 14x₀ – 7. Тогда (1) примет вид -50 = 7x₀²-7x₀-1+(14x₀-7)(2-x₀) или, после упрощения, x₀² – 4x₀ – 5 = 0. Корни этого квадратного уравнения x₀₁ = -1 и x₀₂ = 5. x₀₁ + x₀₂ = -1+5 = 4. Ответ: 4.4.1-2. Написать уравнение прямой, которая касается графика функции f(x) = x²-|5x-6|-3 в двух точках. В ответе указать ее угловой коэффициент. Решение: График функции f(x) состоит из “кусков” графиков двух парабол f₁(x) и f₂(x)                              |‾   f₁(x) = x²-5x+3,   при x ≥ 1,2.           (*) f(x)=x²-|5x-6|-3 = |                              |_   f₂(x) = x²+5x-9,   при x < 1,2.         (**) Касательная к первой и второй параболе соответственно y = f₁(x₁)+f₁ʹ(x₁)(x–x₁) y = f₂(x₂)+f₂ʹ(x₂)(x–x₂) где x₁, x₂ – абсциссы точек касания;  f₁ʹ(x₁),  f₂ʹ(x₂) – производные. Тогда эти касательные примут вид y = x₁²-5x₁+3+(2x₁-5)(x–x₁) y = x₂²+5x₂-9+(2x₂+5)(x–x₂) или y = (2x₁ – 5)x + (3 – x₁²)                                                        (1) y = (2x₂ + 5)x + (-9 – x₂²).                                                     (2) Чтобы эти касательные стали одной прямой, приравняем коэффициенты при x, а также свободные члены в (1) и (2). Получим систему двух уравнений {2x₁ – 5 = 2x₂ + 5 {3 – x₁² = -9 – x₂². Решая эту систему, получим, x₁ = 3,7;   x₂ = -1,3. Найдём ординаты точек касания y₁ и y2 y₁ = f₁(3,7) = 3,7²-5·3,7+3 = -1,81. y₂ = f₂(-1,3) = (-1,3)²+5·(-1,3)-9 = -13,81. Получили A₁ (3,7; -1,81) и A₂ (-1,3; -13,81) – точки касания касательной соответственно к параболам f₁(x) и f₂(x). Абсциссы этих точек удовлетворяют соответственно условиям (*) и (**). Чтобы найти уравнение касательной, подставим x₁ = 3,7 в (1)  (или x₂ = -1,3 в (2) ) y = (2·3,7 – 5)x + (3 – 3,7²) или y = 2,4x – 10,69 – уравнение касательной. Угловой коэффициент k = 2,4. Ответ: 2,4. ________________________________________________________________________________________________

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Как получить уравнение касательной и уравнение нормали

Касательная – это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем – уравнение нормали к графику функции.

В нём k – угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль – это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет “холодным душем”.

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример – тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг – приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в “формулу-болванку” и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного “причесать”: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Снова решаем задачи вместе

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали – не заметить, что функция, данная в примере, – сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры – уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция – сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция – сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Тестовые задания по теме: “Касательная к графику функции”

Разделы: Математика

При изучении темы “Касательная к графику функции” можно выделить 5 типов задач.

I. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику

Обучение решению задач на касательную осуществляется при помощи алгоритма.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х: y = f(х) + f ‘(х)(x – х)

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Обозначить х абсциссу точки касания.

2. Найти f(х)

3. Найти f ‘(x) и f ‘(х) 4. Подставить найденные числа х, f(х), f ‘(х) в общее уравнение касательной

Задача. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х=3.

1. х = 3 – абсцисса точки касания.

3. f ‘(x) = x 2 – 4, f ‘(3) = 5. 4.Подставив в уравнение касательной значения х=3, f(х)=-2, f ‘(х)=5, получим y = – 2 + 5(x – 3), т.е. y = 5x – 17. Это и есть искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.

Найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х.

1. f(x)=-x-4x+2, х=-1.	1) y=-2x-3;	2) y=2x-1;	3) y=-2x+3;	4) y=2x+3.
2. f(x)=-x+6x+8, х=-2.	1) y=2x-6;	2 )y=10x+12;	3) y=4x+8;	4) y=-10x+8.
3. f(x)=x+5x+5, х=-1.	1) y=7x+8;	2) y=8x+7;	3) y=9x+8;	4) y=8x+6.
4. f(x)=2cosx, х=	1) y=	2) y=	3) y=	4) y=
5. f(x)=tgx, х= 1) y=x;	2) y=x+	3) y=x-	4) y=x-1.
6. f(x)=1-sin2x, х=0.	1) y=1-2x;	2) y=2x;	3) y = -2x;	4) y=2x+1.
7. f(x)= х=-2.	1) y = -x+1; 2) y = x+1;	3) y = -x-1;	4) y = -x-2.

8. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=lnx в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x-2; 2) y = x-1; 3) y = x+1; 4) y = x.

9. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=e-1 в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x; 2) y = 3x-1; 3) y = x-1; 4) y = x.

10. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=sin(x-)+1 в точке его пересечения с осью ординат, имеет вид. 1) y = x+1; 2) y = x-1; 3) y =- x-1; 4) y =1- x.

Ответы к упражнениям

Задание	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер ответа	3	2	2	2	3	1	3	2	4	4

II. Проведение касательной параллельно заданной прямой

Задача 1. В каких точках касательные к кривой у=- х- х+1 параллельны прямой y=2x-1?

Решение. Так как касательные параллельны прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2 .

Находим у’ = х-2х-1; к= у'(х)= х-2х-1=2.

Решив уравнение х-2х-1=2; х-2х-3=0, получим (х)=3, (х)=-1, откуда (у)= -2, (у)= . Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и В(-1;)

Ответ: (3;-2) и (-1;).

Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx, параллельна прямой у = х.

Решение. Пусть х- абсцисса точки касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к=1. Находим f ‘(x)=2-. К= f ‘ (х)=2-=1.

Решив уравнение 2-=1, получим х=1.

Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у(х).

1. f(x)= х+е, у(х)= -х.	1) -; 2) 0; 3) ; 4) 1.
2. f(x)=2+х, у(х)= 2х.	1) 1; 2) 4; 3) 0; 4) .
3. f(x)=х-5х, у(х)= -х.	1) -2; 2) 3; 3) -3; 4) 2.
4. f(x)=2lnх-x, у(х)= 0.	1) -2; 2) 0; 3) 2; 4) 1.
5. f(x)=-х-е, у(х)= 4-2х.	1) 3; 2) 2; 3) 0; 4) –2.

6. Найти сумму абсцисс точек, в которых касательные к графику функции у=х- 3х+1 параллельны оси абсцисс. 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) –2.

7. Найти сумму абсцисс точек в которых касательные к кривой у= параллельны прямой у=х+5. 1) –2; 2) 4; 3) 2; 4) –4.

8. К графику функции у = проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= -1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –2; 2) 2; 3) 1; 4) –3.

9. К графику функции у =- проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –1; 2) 5; 3) 2; 4) –3.

10. На графике функции у = х (х-4) указать точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Найти сумму абсцисс данных точек. 1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) – 27.

Ответы к упражнениям

Задание	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер ответа	2	1	4	2	2	1	4	3	2	1

III. Задачи на касательную, связанные с ее угловым коэффициентом

Задача 1. К графику функции f(x) = 3x+5x-15 в точке с абсциссой x= проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох.

f'(x) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у =f(x) в точке x. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси Ох.

k= f ‘(x)=tg, где x- абсцисса точки касания, а – угол наклона касательной к оси Ох.

f ‘(x)= f ‘()=6. tg=6.

Задача 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0.

Решение. f ‘(x)= x-3. Из условия f ‘(x) = tg 45° найдем x: x – 3 = 1, x= 4.

1. x= 4 – абсцисса точки касания.

2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.

4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной

Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=xlnx в точке x=1.

Решение. k= f'(x)=tg.

Находим f ‘(x)= 2xlnx+x=2xlnx+x=x(2lnx+1).

При x=1 получим f ‘(1)=1, откуда tg=1 и, значит, =.

Ответ: .

К графику функции f(x) в точке с абсциссой x проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох если:

1. f(x)= 2+x-2x, x=1.	1) -1; 2) –7; 3) 3; 4) 0.
2. f(x)= , x=8.	1) 1; 2) 32; 3) 8; 4) 16.
3. f(x)= 5x-3x-7, x=-1.	1) 21; 2) 14; 3) 9; 4) -21.
4. f(x)= 3x-2lnx, x=2.	1) 10; 2) 8; 3) 11; 4) 11,5.
5. f(x)= -x+14, x=1.	1) -51; 2) –65; 3) 63; 4) 77.

Найти угловой коэффициент касательной проведённой к графику функции f(x) в точке x

6. f(x)=e-x, x=1.	1) e-2; 2) –1; 3) e-1; 4) –2.
7. f(x)=2sinx+2, x=0.	1) -2; 2) 0; 3) 4; 4) 2.
8. f(x)=4cosx-1, x=.	1) 4; 2) 2; 3) -2; 4) 1.
9. f(x)=2+3, x=4.	1) 3,5; 2) 0,5; 3) 7; 4) 2,5.

10. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=3lnx – x, в точке x=1. 1) 2) 3) arctg2; 4)

Ответы к упражнениям

Задание	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер ответа	2	3	1	3	2	1	4	3	2	4

IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику

Задача 1. Составить уравнения касательных к кривой y = x- 4x+3, проходящих через точку М(2;-5).

При х =2, находим у = 4-8+3=-1-5, то есть точка М не лежит на кривой y = x-4x+3 и не является точкой касания.

Пусть (х) – точка касания.

у ‘ =2х-4, k = 2x- 4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М:

у=-5-(2х-4)(2-х). Поскольку точка (х) лежит на кривой, получим y = x-4x+3.

Решим уравнение x-4x+3 = -5-(2х-4)(2-х);

x-4x+3=2x-8x+3, x- 4x=0, (х)=0, (х)= 4.

Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k= -4 (при х=0) и уравнение у = -4х+3, а другая – угловой коэффициент k=4 (при х=4) и уравнение у=4х-13.

Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.

Через точку М(х;у) проведены две касательные к графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек касания.

1. f(x)=4х-8х-2, М(3;-90).	1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
2. f(x)=7х-2х-5, М(2;-93).	1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
3. f(x)=6х-4х-1, М(1;-23).	1) 1; 2) 5; 3) 2; 4) 3.
4. f(x)=х-8х-2, М(1,5;-54).	1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3.
5. f(x)=х-9х-5, М(-1,5;4,5).	1) -2; 2) -5; 3) 2; 4) – 3.
6. f(x)=7х-7х-1, М(2;-50).	1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х- 4х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;4) и абсцисса точки касания положительна.

1) у = 2х+4; 2) у = -2х+4; 3) у = -4х+4; 4) у = 4х-3.

8. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х+ 3х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;1) и абсцисса точки касания отрицательна.

1) у = 2х+1; 2) у = х+1; 3) у = -х+1; 4) у = -2х-5.

9. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x)= -0,5 х+3, если эта касательные проходят через точку на оси Оу и образуют между собой угол 90 o ?.

1) у = х+3,5 и у = х-3,5 ; 2) у = -х+3,5 и у = х+3,5; 3) у = -х+4 и у =х+4; 4) у = -х+3 и у =х+3.

10. Через точку В(-2;3) проходят касательные к графику функции у=. Найти уравнения этих касательных.

1) у = 2х+2 и у = -22х+2; 2) у =-х+3 и у = х-3; 3)у =-0,5х+2 и у =х+4; 4)у =-0,5х+2 и у =-0,1х+2,8.

Ответы к упражнениям

Задание	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер ответа	2	1	3	4	4	1	2	4	2	4

V. Нестандартные задачи, связанные с касательной

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x₀ = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2? Ответ: p₁ = – 10, p₂ = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3).

6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4.

7. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x₁ = 1, x₂ = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

8. Найдите угол между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: = 45°.

9. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x.

10. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: ₁ = arctg 6, ₂ = arctg (– 6).

11. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9).

12. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31.

13. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

14. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x₀ = 2, проходит через точку M(1; 8)?

Касательная и нормаль к графику функции

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021

[spoiler title=”источники:”]

http://urok.1sept.ru/articles/509146

http://1cov-edu.ru/mat-analiz/proizvodnaya/kasatelnaya-i-normal-k-grafiku-funktsii/

[/spoiler]

Алгебра 10-11 класс. Уравнение касательнойadmin2022-11-04T09:37:15+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Уравнение касательной

Задача 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  (y = 3{x^3} — 2x + 1)  в точке  ({x_0} = 2) Ответ ОТВЕТ: 34.
Задача 2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  (y = sqrt {3x + 7} )  в точке  ({x_0} =  — 1) Ответ ОТВЕТ: 0,75.
Задача 3. Определите, какой угол образует с осью Ox касательная, проведенная к графику функции  (y = {x^2} — x + 5)  в точке  ({x_0} = 1). Ответ дайте в градусах Ответ ОТВЕТ: 45.
Задача 4. Определите, какой угол образует с осью Ox касательная, проведенная к графику функции  (y = 3{x^2} + 5x + 2)  в точке  ({x_0} =  — 1). Ответ дайте в градусах Ответ ОТВЕТ: 135.
Задача 5. Определите, какой угол образует с осью Ox касательная, проведенная к графику функции  (y = sqrt 3 sin 2x)  в точке  ({x_0} = frac{pi }{6}). Ответ дайте в градусах Ответ ОТВЕТ: 60.
Задача 6. Определите, какой угол образует с осью Ox касательная, проведенная к графику функции  (y = cos 2x)  в точке  ({x_0} = frac{pi }{6}). Ответ дайте в градусах Ответ ОТВЕТ: 120.
Задача 7. В какой точке касательная к графику функции  (y = 6{x^2} — 6x + 2)  параллельна оси Ox Ответ ОТВЕТ: 0,5.
Задача 8. В какой точке касательная к графику функции  (y = frac{{{x^4}}}{4} + frac{{{x^3}}}{3} + frac{{{x^2}}}{2} — 3x + 5)  параллельна оси Ox Ответ ОТВЕТ: 1.
Задача 9. Прямая (y =  — 5x — 6) параллельна касательной к графику функции (y = {x^2} + 8x — 7.) Найдите абсциссу точки касания. Ответ ОТВЕТ: -6,5.
Задача 10. Прямая (y = 8x + 10) параллельна касательной к графику функции (y = {x^2} + 7x — 8.) Найдите абсциссу точки касания. Ответ ОТВЕТ: 0,5.
Задача 11. Прямая (y = x + 7)  является касательной к графику функции (y = {x^3} — 4{x^2} + 6x + 5). Найдите абсциссу точки касания. Ответ ОТВЕТ: 1.
Задача 12. Прямая (y =  — 6x + 15)  является касательной к графику функции (y = {x^3} + 9{x^2} + 9x — 10). Найдите абсциссу точки касания. Ответ ОТВЕТ: -5.
Задача 13. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 1;13} right)). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой (y = 1). Ответ ОТВЕТ: 9.
Задача 14. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 1;12} right)). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой (y =  — 13). Ответ ОТВЕТ: 7.
Задача 15. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале   (left( { — 1;13} right)). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции (fleft( x right))параллельна прямой  (y =  — 2x — 19)  или совпадает с ней. Ответ ОТВЕТ: 5.
Задача 16. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале   (left( { — 7;6} right)). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции (fleft( x right))параллельна прямой  (y = x + 25)  или совпадает с ней. Ответ ОТВЕТ: 3.
Задача 17. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику (y = fleft( x right)) параллельна прямой (y = 3x — 2)  или совпадает с ней. Ответ ОТВЕТ: -6.
Задача 18. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику (y = fleft( x right)) параллельна прямой (y =  — 4x — 1)  или совпадает с ней. Ответ ОТВЕТ: 4.
Задача 19. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику (y = fleft( x right)) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Ответ ОТВЕТ: -3.
Задача 20. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику (y = fleft( x right)) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Ответ ОТВЕТ: 4.
Задача 21. На рисунке изображены график функции (y = fleft( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ({x_0}). Найдите значение производной функции (fleft( x right)) в точке ({x_0}). Ответ ОТВЕТ: 1,5.
Задача 22. На рисунке изображены график функции (y = fleft( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ({x_0}). Найдите значение производной функции (fleft( x right)) в точке ({x_0}). Ответ ОТВЕТ: 0,25.
Задача 23. На рисунке изображены график функции (y = fleft( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ({x_0}). Найдите значение производной функции (fleft( x right)) в точке ({x_0}) Ответ ОТВЕТ: -1.
Задача 24. На рисунке изображены график функции (y = fleft( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ({x_0}). Найдите значение производной функции (fleft( x right)) в точке ({x_0}) Ответ ОТВЕТ: -0,25.
Задача 25. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке ({x_0} = 10). Ответ ОТВЕТ: -0,6.
Задача 26. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной функции в точке ({x_0} = 8). Ответ ОТВЕТ: 1,25.

Задача 27. Прямая  (y =  — 3x — 8)  является касательной к графику функции  (y = a;{x^2} + 27x + 7). Найдите  a. Ответ ОТВЕТ: 15.

Задача 28. Прямая  (y =  — 5x + 4)  является касательной к графику функции  (y = a;{x^2} — 29x + 10). Найдите  a. Ответ ОТВЕТ: 24.

Задача 29. Прямая (y = 2x — 1) является касательной к графику функции (y = 16{x^2} + b,x + 3). Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Ответ ОТВЕТ: -14.

Задача 30. Прямая (y = 9x + 5) является касательной к графику функции (y = 18{x^2} + b,x + 7). Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0. Ответ ОТВЕТ: 21.

Задача 31. Прямая  (y = 5x — 8)  является касательной к графику функции (y = 4{x^2} — 15x + c). Найдите c. Ответ ОТВЕТ: 17.

Задача 32. Прямая  (y = 2x + 1)  является касательной к графику функции (y = 7{x^2} + 30x + c). Найдите c. Ответ ОТВЕТ: 29.

Задача 33. Составьте уравнение касательной к графику функции (;y =  — {x^2} — 1) в точке с абсциссой (x = 2). Ответ ОТВЕТ: (y =  — 4x + 3.)

Задача 34. Составьте уравнение касательной к графику функции (;y = 2,{x^2} + 3) в точке (,left( {,1;,5} right)). Ответ ОТВЕТ: (y = 4x + 1.)

Задача 35. Составьте уравнение касательной к графику функции (;y = frac{{2x — 1}}{{3 — 2x}}) в точке с абсциссой (x = frac{1}{2}). Ответ ОТВЕТ: (y = x — 0,5.)

Задача 36. Составьте уравнение касательной к графику функции (;y = frac{{x — 1}}{{x — 2}}) в точке с абсциссой (x = 1). Ответ ОТВЕТ: (y =  — x + 1.)

Задача 37. Составьте уравнение касательной к графику функции (y = cos left( {2x — frac{pi }{6}} right)) в точке с абсциссой (x = frac{pi }{6}). Ответ ОТВЕТ: (y =  — x + frac{pi }{6} + frac{{sqrt 3 }}{2}.)

Задача 38. Составьте уравнение касательной к графику функции (y = frac{1}{2},left( {,{e^{frac{x}{2}}} + {e^{ — frac{x}{2}}},} right);) в точке с абсциссой (,x = 2ln 2). Ответ ОТВЕТ: (y = frac{3}{8}x + frac{{5 — 3ln 2}}{4}.)

Задача 39. Составьте уравнение касательной к графику функции (;y =  — {x^2} — 2), параллельную прямой (;y = 4,x + 1). Ответ ОТВЕТ: (y = 4,x + 2.)

Задача 40. Составьте уравнение касательной к графику функции (y = {x^2} — 4,x + 3,)  параллельную прямой (;y = 3,x — 5). Ответ ОТВЕТ: (y = 3,x — 9,25.)

Задача 41. Найдите угол между касательными, проведенными к графику функции (y = {x^2} — 5,x + 6;) в точках пересечения его с осью абсцисс. Ответ ОТВЕТ: (,{90^ circ }.)

Задача 42. Две касательные, проведенные к графику функции (;y = frac{{2,x + 9}}{{2,x — 9}},;) параллельны прямой (;y = 4 — x.) Найдите сумму абсцисс точек касания. Ответ ОТВЕТ: 9.

Задача 43. Две касательные, проведенные к графику функции (;y = {x^2} + 5,x), образуют с осью абсцисс углы (alpha ) и (beta ), причем (alpha  + beta  = {180^ circ }). Найдите сумму абсцисс точек касания. Ответ ОТВЕТ: -5.

Задача 44. Две касательные, проведенные к графику функции (;y = {x^2} — 5,x + 8), и ось абсцисс образуют правильный треугольник. Найдите сумму абсцисс точек касания. Ответ ОТВЕТ: 5.

Задача 45. Пусть (left( {,{x_0};,{y_0}} right)) – координаты ближайшей к началу координат точки графика функции (,y = {text{tg}},left( { — x} right)), где касательная имеет угловой коэффициент (k =  — 4). Найдите значение выражения ({x_0} + y_0^2), если ({x_0} > 0). Ответ ОТВЕТ: (frac{pi }{3} + 3.)

Задача 46. При каких значениях параметра a касательная, проведенная к графику функции (,y = 2,x + frac{a}{x},) в точке с абсциссой ({x_0} = 1), параллельна прямой (y =  — 4,x + 5)? Ответ ОТВЕТ: 6.

Задача 47. При каких значениях параметра a касательная, проведенная к графику функции (,y = frac{{{x^2} — 3,x + a}}{{{x^2}}},) в точке с абсциссой ({x_0} = 2), образует с осью абсцисс угол ({45^ circ })? Ответ ОТВЕТ: -1.

Задача 48. Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки (left( {,0;, — 2} right)) к параболе (,y = {x^2}). Ответ ОТВЕТ: (pi  — 2,{text{arctg}}sqrt 8 .)

Задача 49. Найдите уравнение общей касательной к параболам (;y = {x^2} — 5,x + 6) и (y = {x^2} + x + 1). Ответ ОТВЕТ: (y =  — frac{1}{3}x + frac{5}{9}.)

Задача 50. На параболе (y = {x^2}) взяты две точки с абсциссами ({x_1} = 1,;,{x_2} = 3). Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнение секущей и этой касательной. Ответ ОТВЕТ: (left( {,2;,4} right);) уравнение касательной (,y = 4,x — 4;,) уравнение секущей (,y = 4,x — 3.)

Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Через точку М (2; -50) проведены две касательные к графику функции f (x) = 7x^2-7x-1. найдите сумму абцисс точек касания …» по предмету 📘 Алгебра, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.

Смотреть другие ответы

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #

  26.03.2016870.69 Кб478.docx

• #

  01.06.2015378.38 Кб88.pdf

• #
• #
• #
• #
• #
• #