Как найти сумму арифметические корни

В статье мы поговорим о таких действиях с квадратными корнями, как сложение и вычитание.

Свойство 1. 

Корень, взятый от умножения двух корней равен произведению корней от указанных множителей, если они больше нуля:

√(a*b) = √a*√b, где a и b – неотрицательные числа.

Свойство может быть распространено на большее число множителей, т. е. √(a*b*…*d) = √a*√b* …*√d. При этом, если число отрицательных множителей чётное, то их произведение всё равно даст положительное число, а значит свойство останется справедливым.

Свойство 2. 

Корень отношения из отношения членов выражения равен отношению корней:

√(a/b) = √a/√b, где a – неотрицательное, не равное нулю число, число и b – неотрицательные число.

Свойство 3.  

√a²ⁿ= aⁿ, где a – неотрицательное, натуральное, не равное нулю число.

Общие правила сложения и вычитания корней

Вся сложность заключается в упрощении подкоренного выражения. Когда приступаешь к этому, не известно получится ли его упростить. Окончательно решить вопрос можно лишь попробовав подобное сделать.

Сложение и вычитание квадратных корней, простейшие случаи

Пример 1. Сложить √4 + √64. Казалось бы числа под знаком корня разные, и складываться не должны, но √4 = 2, а √64 = 8. Получаем 2√1 + 8√1 или 2 + 8. Результат равен 10. Ответ: √4 + √64 = 10. Это один из примеров того, как складывать разные корни. К сожалению, так легко получается далеко не всегда.

---

Пример 2. Сложить 7√3 + 5√3. Выносим √4 за скобки, получаем (7+5) √3 или 12√3.

Ответ: 7√3 + 5√3 = 12√3.

---

Пример 3. Вычесть √64 — √4.

Т. к. √64 = 8, а √4 = 2, получаем √64 — √4 = 8 – 2 = 6.

Ответ: √64 — √4 = 6.

---

Пример 4. Вычесть 7√3 — 5√3.

Выносим √3 за скобки, получаем (7-5) √3 = 2√3.

Ответ: 7√3 — 5√3 = 2√3.

---

Пример 5. Сложить √45 + 4√5.

Число √45 можно представить в виде √(9*5). Как известно √9 = 3, выносим это число из-под знака корня. Получаем 3√5. Нам нужно будет выполнить сложение 3√5 + 4√5. Подкоренное выражение одинаковое, поэтому действие допустимо. Выносим √5 за скобки и получаем (3+4)√5 = 7√5.

Ответ: √45 + 4√5 = 7√5.

---

Пример.6. Вычислить выражение 6√40 — 3√10 + √5.

Упрощаем число 6√40. Разлагаем √40 на множители: 6√(4*10). Выносим 4 из-под корня: 6*2√10. Перемножаем 6 и 2, в результате имеем 12√10.

Выражение 6√40 — 3√10 + √5 записываем в виде 12√10 — 3√10 + √5. У первых двух членов общее подкоренное число √10, выносим его за скобки и получаем (12-3)√10 + √5 = 9√10 +√5. Больше упрощать некуда.

Ответ: 6√40 — 3√10 + √5 = 9√10 +√5.

Вычитание и сложение квадратных корней с помощью сокращения знаменателя

Это часто бывает нужно, когда требуется избавиться от иррациональности в знаменателе. Нам дано выражение N/(√X +√Y). Умножаем обе части дроби (числитель и знаменатель) на √X -√Y. Вспомните формулу сокращённого умножения. (a+b)*(a-b) = a² – b². Применительно к нашему случаю это будет (√X +√Y)*(√X -√Y) = X-Y.

Пример 7. Вычислить 4 / (√3 + √5). Умножаем всё на (√3 — √5). В результате получаем

4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) =

= 4 * (√3 — √5) / (3-5) = 4 * (√3 — √5) / (-2) =

=2 * (√5 — √3).

Далее задача посложнее.

---

Пример 8. Нужно вычислить выражение 12 / (√2 + √3 + √5). Поступить можно только одним образом – умножить обе части дроби на (√2 + √3 — √5). Обратите внимание, последний знак в выражении минус, а не плюс, как в исходном. В результате мы имеем:

12*(√2 + √3 — √5)/[(√2 + √3 + √5)* (√2 + √3 — √5)].

После последовательного перемножения всех чисел получаем  12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6). Упрощаем выражение далее и в итоге получаем: 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Ответ: 12 / (√2 + √3 + √5) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Теперь вы знаете, как складывать квадратные корни при действиях с дробями.

Приближённое вычисление квадратного корня

Приближённое сложение и вычитание корней проводится следующим образом:

Сначала на калькуляторе вычисляем точное значение каждого из корней, округляем их до требуемой степени точности, после чего проводим сложение приближённых чисел.

Иногда это является единственным доступным способом решить задачу, а иногда используется в качестве проверки результата, полученного иным путём.

Пример 9. Сложить √7 + √5.  Сложение этих квадратных корней проводим, используя калькулятор точное значение √7 = 2,645751, и точное значение √5 = 2,236067.

Округляем полученные числа и складываем их 2,65 + 2,24 = 4,89.

Важно. Выражения √(X+Y) = √X +√Y и√(X-Y) = √X — √Y абсолютно не верны. Чтобы убедиться в этом, давайте посчитаем сколько будет √(9+16) = √25 = 5.

Если складывать, числа как отдельные корни, то, √9 +√16 = 3 + 4 = 7.

Посмотрите, сколько будет, если √(16-9) = √7 ≈ 2,65, При вычитании чисел, как отдельных корней √16 — √9 = 4 – 3 = 1.

Дополнительные примеры

Приведём ряд дополнительных примеров по сложению и вычитанию корней.

Пример 10. Вычислить √9 + √4 — 3√2. Из 9 и 4 квадратные корни вычисляются очень легко. √9 = 3, √4 = 2. В результате имеем 3 + 2 — 3√2 = 5 — 3√2. Это выражение дальше уже никак нельзя сделать проще, т. е. окончательным будет результат 5 — 3√2.

Ответ: √9 + √4 — 3√2 = 5 — 3√2.

---

Пример 11. Вычислить (√2)/4 + (√2)/2. Сначала находим наименьший знаменатель указанных дробей. Не сложно понять, что он равен 4. Чтобы привести к наименьшему знаменателю вторую дробь, умножаем её на 2/2 и получаем (2√2)/4. Теперь нам остаётся сложить лишь числители, знаменатель остаётся прежним. В итоге получаем (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4.

Ответ: (√2)/4 + (√2)/2 = (3√2)/4.

---

Пример 12. Посчитать выражение (√X+√Y)/ (√X-√Y). Умножаем указанное выражение на дробь (√X+√Y)/(√X+√Y), В результате будем иметь

[(√X+√Y)*(√X+√Y)]/[(√X-√Y)*(√X+√Y)] = (√X+√Y)²/(X-Y).

Далее нужно раскрыть скобки. Тогда мы получим [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y).

Ответ: (√X+√Y)/(√X-√Y) = [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y). Проще исходного полученное выражение назвать сложно. Скорее это наглядный пример того, что упрощение возможно далека не всегда. Его попытка имеет смысл лишь для того, чтобы в последнем убедить себя окончательно.

---

Пример 13. Вычислить выражение (√2 +√3)*(√2-√3)³/(2-2√6+3). Раскладываем второй множитель числителя на два множителя

 (√2-√3)³ = (√2-√3)²*(√2-√3). После этого будем иметь выражение [(√2-√3)²*(√2-√3)*(√2 +√3)]/(2-2√6+3), но ведь (√2-√3)² = 2 -2√6+3 и оно совпадает со знаменателем дроби, а значит может быть сокращено. Мы имеем (√2-√3)*(√2 +√3), по известной формуле  (a+b)*(a-b) = a² – b² в результате мы получаем (√2-√3)*(√2 +√3) = 2 – 3 = -1.

Казалось бы, очень сложное выражение получилось равным (-1). Результат абсолютно точен. Вычисляя выражение через приближённые значения корней, мы пришли бы к тому же самому результату, то в его точности сомнения тогда могли бы остаться. Сейчас же их совершенно нет. Надеемся, что статья была для вас понятной и полезной.

Что такое арифметический квадратный корень

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Согласно определению, выполняются следующие условия:

• (ageqslant 0;)
• (bgeqslant 0.)

Перечисленные условия определяют смысл квадратного корня в алгебре.

Известно, что при возведении какого-либо числа во вторую степень получается неотрицательный результат. Запишем примеры:

(100^2=10000geqslant 0)

((-100)^2=10000geqslant 0.)

Попробуем вычислить (sqrt{25}). Известно, что:

(5^2=25)

((-5)^2=25.)

Исходя из определения квадратного корня, искомое число должно быть неотрицательным. Таким образом, -5 в данном случае не является ответом к примеру. В результате остается одно верное решение, то есть:

(sqrt{25}=5), так как (25=5^2.)

Извлечь квадратный корень из числа а — значит, выполнить действие по определению значения (sqrt a).

Подкоренное выражение — это число а в записи (sqrt a=b).

Свойства арифметического квадратного корня:

1. Корень произведения вычисляется, как произведение корней: (sqrt[{}]{ab}=sqrt[{}]{a}cdot sqrt[{}]{b}), например, (sqrt[{}]{64cdot 9}=sqrt[{}]{64}cdot sqrt[{}]{9}=8cdot 3=24).
2. Корень из дроби определяется, как корень из числителя и корень из знаменателя: (sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), когда (age 0 , b > 0,) к примеру, (sqrt[{}]{frac{64}{9}}=frac{sqrt[{}]{64}}{sqrt[{}]{9}}=frac{8}{3}=2frac{2}{3}).
3. Возведение корня в степень заключается в возведении в эту степень подкоренного выражения: ({{left( sqrt{a} right)}^{n}}={{left( sqrt{{{a}^{n}}} right)}^{{}}}), когда (age 0), например, ({{left( sqrt{2} right)}^{4}}=sqrt{{{2}^{4}}}=sqrt{16}=4).

Действия с корнями: основы

При решении задач на квадратные корни следует понимать, что результат сложения или вычитания арифметических корней не равен квадратному корню из суммы или разности, то есть:

(sqrt apmsqrt bne sqrt{apm b})

Рассмотрим пример, когда нужно сложить два корня квадратных:

(sqrt{25}+sqrt{49})

В этом случае следует вычислить значения этих корней, а далее их суммировать:

(sqrt{25}+sqrt{49}=5+7=12)

Нередко бывают ситуации, когда значения (sqrt a) или (sqrt b) для определения суммы (sqrt a+sqrt b) не представляется возможным вычислить. Тогда выражение оставляют в том виде, в котором оно записано.

К примеру, попробуем найти значение следующего выражения:

(sqrt 2+ sqrt {49}

)

Известно, что:

(sqrt{49} = 7)

При этом (sqrt 2) вычислить не получается. В связи с этим, запишем ответ:

(sqrt 2+sqrt{49}=sqrt 2+7.)

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Сложение и вычитание квадратных корней возможно в том случае, когда эти корни обладают идентичным подкоренным выражением. Таким образом, допустимо найти суммы следующих корней:

(2sqrt 3) и (4sqrt 3)

С другой стороны, сложить или вычесть корни с разными подкоренными выражениями не представляется возможным, к примеру:

(2sqrt 3) и (2sqrt 5)

Согласно изложенному правилу, перед тем, как складывать или вычитать выражения с квадратными корнями, необходимо привести их к одинаковому подкоренному выражению. После этого можно найти сумму или разность корней.

Когда под знак корня заключен полный квадрат, в первую очередь следует выполнить извлечение корня. К примеру:

(sqrt 4 + sqrt 9 = 2 + 3 = 5)

Следующий способ складывания и вычитания арифметических квадратных корней состоит в вынесении множителя числа из-под знака корня. Этот метод целесообразно использовать в том случае, когда отсутствуют полные квадраты под знаком корня. К примеру, попробуем вычислить значение следующего простого выражения с двумя слагаемыми:

(sqrt 24 + sqrt 54)

Выполним разложение на множители:

(24 = 2 cdot 2 cdot 2 cdot 3)

(54 = 2 cdot 3 cdot 3 cdot 3)

Вынесем множители за знак корня, чтобы получить выражения с одинаковым основанием и показателем:

(sqrt 24 + sqrt 54 = sqrt {4 cdot 6} + sqrt{9 cdot 6} = 2 cdot sqrt 6 + 3 cdot sqrt 6 =5 cdot sqrt 6)

Сложение и вычитание квадратных корней выполняют с помощью формул сокращенного умножения:

• ((sqrt a – sqrt b)(sqrt a + sqrt b)=a-b;)
• ((sqrt[3]a-sqrt[3]b)(sqrt[3]{a^2}+sqrt[3]{ab}+sqrt[3]{b^2})=a-b;)
• ((sqrt[3]a+sqrt[3]b)(sqrt[3]{a^2}-sqrt[3]{ab}+sqrt[3]{b^2})=a+b;)
• (asqrt a+bsqrt b=(sqrt a)^3+(sqrt b)^3=(sqrt a+sqrt b)(a-sqrt{ab}+b);)
• (asqrt a-bsqrt b=(sqrt a)^3-(sqrt b)^3=(sqrt a-sqrt b)(a+sqrt{ab}+b).)

Примеры решения задач со сложением и вычитанием корней

Сложение корней, формулы

Складывать подобные квадратные корни, то есть иррациональные выражения с одинаковым основанием, очень просто. Для этого суммируют множители слагаемых, а подкоренное число остается неизменным:

(msqrt a+nsqrt a=left(m+nright)sqrt a)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В случае со сложением корней с разными подкоренными значениями нужно привести их к подобию. Упрощение корневых чисел выполняют по следующему алгоритму:

1. Раскладывание подкоренного числа на два множителя так, чтобы один из них являлся числом, из которого извлекается целый квадратный корень.
2. Извлечение корня из квадратного числа, запись ответа перед символом корня. Второй множитель остается под знаком корня.
3. Упрощенные корни с одинаковым основанием можно складывать как подобные.

Пример

(3sqrt{50}+2sqrt8+sqrt{12})

(3sqrt{50}=3sqrt{25times2}=3times5sqrt2=15sqrt2)

(2sqrt8=2sqrt{4times2}=2times2sqrt2=4sqrt2)

(sqrt{12};=sqrt{4times3}=2times1sqrt2=2sqrt2)

После упрощения исходное выражение приобретает вид:

(15sqrt2+4sqrt2+2sqrt2=21sqrt2)

Вычитание корней, формулы

При вычитании подобных корней вычитаются их множители, а подкоренное выражение не меняется:

(msqrt a-nsqrt a=left(m-nright)sqrt a)

Чтобы узнать разность иррациональных чисел с разным основанием, нужно привести уменьшаемое и вычитаемое к единому образцу. Для этого используют тот же алгоритм, что и перед сложением.

Пример

(4sqrt{75}-3sqrt{24})

(4sqrt{75}=4sqrt{25times3}=4times5sqrt3=20sqrt3)

(3sqrt{12}=3sqrt{4times3}=3times2sqrt3=6sqrt3)

Упростив, получаем:

(20sqrt3-6sqrt3=14sqrt3)

Сложение корней со степенями

Складывание и вычитание корней с разными степенями, но одинаковым основанием имеет следующую последовательность:

Допустим, надо решить данное выражение:

(sqrt[3]а+sqrt[4]а)

Для начала проведем процедуру упрощения:

(sqrt[3]а+sqrt[4]а=12timessqrt a^4+12timessqrt a^3)

(12timessqrt a^4+12timessqrt a^3=12timessqrt{a^4+a^3})

При приведении двух подобных членов к общему показателю корневого числа применяется одно из свойств корней. Оно звучит так: при умножении степени основания и показателя корня на одинаковое число вычисление корневого выражения не поменяется.

Примеры решения задач

Задача №1

Упростить выражение:

(sqrt{{(2-sqrt5)}^2})

По свойству квадратного корня:

(sqrt{{(2-sqrt5)}^2}=left|2-sqrt5right|)

Для выведения из модуля необходимо узнать знак получившегося выражения:

(2=sqrt4)

(4<5)

Значит, (sqrt4<sqrt5)

Тогда (2-sqrt5<0)

Таким образом:

(sqrt{{(2-sqrt5)}^2}=left|2-sqrt5right|=-(2-sqrt5)=sqrt5-2)

Ответ: (sqrt5-2)

Задача №2

Упростите выражение:

(sqrt{{(а-2)}^2}+sqrt{{(а-4)}^2}) при (2leq аleq4)

Из основного свойства квадратного корня:

(sqrt{{(а-2)}^2}+sqrt{{(а-4)}^2}=left|а-2right|+left|а-4right|)

Раскроем модули в промежутке (2leq аleq4):

(vert а-2vert=а-2,;т.к.;а-2geq0)

(vert а-4vert=4-а,;т.к.;а-4leq0)

Следовательно, (vert а-2vert+vert а-4vert=а-2+4-а=2)

Ответ: 2.

Была ли эта статья полезной?

Как складывать квадратные корни

Квадратным корнем из числа x называют число a, которое при умножении само на себя дает число x: a * a = a^2 = x, √x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания.

Инструкция

Во-первых, при сложении квадратных корней попробуйте извлечь эти корни. Это будет возможно, если числа под знаком корня являются полными квадратами. Например, пусть задано выражение √4 + √9. Первое число 4 – это квадрат числа 2. Второе число 9 – это квадрат числа 3. Таким образом получается, что: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.

Если под знаком корня нет полных квадратов, то попробуйте вынести из под знака корня множитель числа. Например, пусть дано выражение √24 + √54. Разложите числа на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. В числе 24 имеется множитель 4, который можно вынести из под знака квадратного корня. В числе 54 – множитель 9. Таким образом, получается что: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6. В данном примере в результате выноса множителя из под знака корня получилось упростить заданное выражение.

Пусть сумма двух квадратных корней является знаменателем дроби, например, A / (√a + √b). И пусть перед вами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе». Тогда можно воспользоваться следующим способом. Умножьте числитель и знаменатель дроби на выражение √a – √b. Таким образом в знаменателе получится формула сокращенного умножения: (√a + √b) * (√a – √b) = a – b. По аналогии, если в знаменателе дана разность корней: √a – √b, то числитель и знаменатель дроби необходимо умножить на выражение √a + √b. Для примера, пусть дана дробь 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 – √5) / ( (√3 + √5) * (√3 – √5) ) = 4 * (√3 – √5) / (-2) = 2 * (√5 – √3).

Рассмотрите более сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе. Пусть дана дробь 12 / (√2 + √3 + √5). Необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение √2 + √3 – √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 – √5) / ( (√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 – √5) ) = 12 * (√2 + √3 – √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 – √5) = 2 * √3 + 3 * √2 – √30.

И наконец, если вам необходимо только приблизительное значение, то можно посчитать значения квадратных корней на калькуляторе. Вычислите значения отдельно для каждого числа и запишите с необходимой точностью (например, два знака после запятой). А затем совершите требуемые арифметические операции, как с обычными числами. Например, пусть необходимо узнать приблизительное значение выражения √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Видео по теме

Обратите внимание

Квадратные корни ни в коем случае нельзя складывать как простые числа, т.е. √3 + √2 ≠ √5!!!

Полезный совет

Если вы раскладываете число на множители, чтобы вынести квадрат из под знака корня, то совершите обратную проверку – перемножьте все получившиеся множители и получите первоначальное число.

Источники:

• сложение корней правило

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?