Как найти сумму арифметической прогрессии онлайн

Эта математическая программа находит (S_n) – сумму n первых членов арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел
( a_1, d ) и ( n ).
Числа ( a_1 ) и ( d ) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби ( ( 2,5 ) ) и в виде обыкновенной дроби ( ( -5frac{2}{7} ) ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например,
дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных
номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a₁, a₂, a₃, …, a_N
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a_n.

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a₁, a₂, a₃, …, a_n, … .

Число a₁ называют первым членом последовательности, число a₂ — вторым членом последовательности,
число a₃ — третьим членом последовательности и т. д.
Число a_n называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, …, n², (n + 1)², …
а₁ = 1 – первый член последовательности; а_n = n² является n-м членом последовательности;
a_n+1= (n + 1)² является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности.
Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена.
Например, формулой ( a_n=frac{1}{n}, ; n in mathbb{N} ) задана последовательность
( 1, ; frac{1}{2} , ; frac{1}{3} , ; frac{1}{4} , dots,frac{1}{n} , dots )

Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно ( 365frac{1}{4} ) суток, поэтому каждые
четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.

Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.

Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, … .

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4.
Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями.

Определение.
Числовая последовательность a₁, a₂, a₃, …, a_n, … называется арифметической
прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство
( a_{n+1} = a_n+d, )
где d — некоторое число.

Из этой формулы следует, что a_n+1 – a_n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

По определению арифметической прогрессии имеем:
( a_{n+1}=a_n+d, quad a_{n-1}=a_n-d, )
откуда
( a_n= frac{a_{n-1} +a_{n+1}}{2} ), где ( n>1 )

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.
Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Отметим, что если a₁ и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной
формуле a_n+1 = a_n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например,
для a₁₀₀ уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической
прогрессии
( a_2=a_1+d, )
( a_3=a_2+d=a_1+2d, )
( a_4=a_3+d=a_1+3d )
и т.д.
Вообще,
( a_n=a_1+(n-1)d, )
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.

Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a₁, a₂, a₃, …, a_n, …
Пусть S_n — сумма n первых членов этой прогрессии:
S_n = a₁, a₂, a₃, …, a_n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
$$ S_n = n cdot frac{a_1+a_n}{2} $$

Так как ( a_n=a_1+(n-1)d ), то заменив в этой формуле a_n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых
членов арифметической прогрессии:
$$ S_n = n cdot frac{2a_1+(n-1)d}{2} $$