Как найти сумму бесконечной числовой последовательности

Рассказ о суммировании бесконечных рядов начну анекдотом из математического фольклора, который я сегодня опубликовал на «Десяти Буквах»

В магазин пришло бесконечное множество математиков. Первый попросил килограмм сахара, второй – полкило, третий – четверть килограмма…
-Так! – прервал их продавец, – Забирайте свои два килограмма и проваливайте.

Итак, первый вопрос, который рассмотрим – почему сумма равна двум.

Докажем этот факт двумя способами.

В первом способе вообще нет нужды оперировать с бесконечными последовательностями, поэтому его можно показать даже в 6 классах, сразу после изучения степеней.

Рассмотрим сумму

Прибавим к обеим частям дробь . Получим:

Но , так что

Затем схлопнется сумма двух дробей, каждая из которых равна :

Сумма будет сворачиваться с правого края, как ряд костяшек домино. Закончится это выражением:

Так что

Понятно, что чем больше n, тем меньше S будет отличаться от двух.

Для решения вторым способом опять запишем искомую сумму

А также половину этой суммы:

B вычтем из первого равенства второе:

Все слагаемые, кроме первого, уничтожатся и мы получим:

Значит S=2.

Данный метод используется в общем виде для вывода формулы суммы геометрической прогрессии.

Итак, наш первый результат сегодня:

Рассмотрим теперь сумму

В конечном виде, скажем, до 1997 члена, она появлялась на олимпиадах для 7 или 8 класса.

В решениях предлагалось воспользоваться закономерностью:




И т.д.

Тогда сумма превращается в:

Что даёт нам единицу (Или , если рассматривать только первые 1997 слагаемых.)

Но ключевой вопрос: как додуматься до этой закономерности? Оказывается, если в знаменателе дроби стоит произведение, то она представляется суммой дробей, у которых знаменатели раны множителям, входящим в это произведение.

В данном случае

Найдём эти А и В, сведя сумму обратно к общему знаменателю:

Числители должны быть тождественно равны, поэтому
A+B=0 и A=1.

Значит B=-1. Отсюда и получаем соотношение:

Такой подход применим и когда в знаменателях стоят более сложные произведения.

Итак, мы получили, что

Теперь рассмотрим, что выйдет, если знаменателями дробей будут степени двойки, а числителями – последовательные натуральные числа. (Аналогичная задача поднималась в статье о механическом генераторе случайных чисел.)
Найдём сумму
.

Это также можно сделать двумя способами. В первом обозначим искомую сумму как S, найдём её половину и вычтем половину из целого:

.
.
.


Значит S=4

Второй способ несколько более длинный, но построен на не менее красивой идее.
Запишем сумму в виде треугольника:

…

Так что искомая сумма равна

Итак, третий результат: .

На сегодня достаточно. А через неделю рассмотрим, что будет, если в третьей сумме в числителях будут идти числа Фибоначчи, как Эйлер доказал, что сумма обратных квадратов равна одной шестой квадрата числа пи, и почему гармонической ряд расходится.

Время на прочтение
3 мин

Количество просмотров 386K

Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда

Чему равна сумма этого бесконечного ряда? Перед тем, как читать дальше, дайте себе минуту на размышления. Если вы до этого не встречались с подобным рядом, а тема численных рядов в целом не слишком вам близка, то ответ на этот вопрос будет для вас большим сюрпризом.

Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.

Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом

Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.

Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди

который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм.

Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 — 2 + 3 — 4 +…, частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции.

Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.

Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +…, т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +…, представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел.

Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией. Введём дзета-функцию

Подставляя s = -1, получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий

Где является эта-функцией Дирихле

При значении s = -1 эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 — 2 + 3 — 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение

Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:

Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира.

Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией

Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии, где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.

Содержание:

Числовые последовательности

Термин «последовательность» используют, когда говорят о расположении учеников в шеренге, очередности дней недели, расположении команд в турнирной таблице и т. п. В этом параграфе мы выясним, что такое числовая последовательность, в частности, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии, каковы их свойства, научимся использовать свойства упомянутых прогрессий при решении прикладных задач.

• 1; 1; 2; 3; 5; 8;… — последовательность
• 2; 5; 8; 11; 14;… — арифметическая прогрессия (каждое число, начиная со второго, на 3 больше предыдущего)
• 2; 6; 18:54; 162:. . — геометрическая прогрессия (каждое число, начиная со второго, в три раза больше предыдущего)

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Один подсолнух за лето «выпивает» в среднем 250 л воды. Сколько воды «выпьют» за лето 1 ,2 ,3 ,4 ,5 подсолнухов?

Решение:

Во второй строке получили несколько чисел, записанных в определенном порядке, говорят, получим последовательность чисел: 250; 500; 750: 1000; 1250, в которой на первом месте стоит число 250, на втором — 500, на пятом — 1250. В этом примере каждому натуральному числу от 1 до 5 включительно соответствует одного число из указанной последовательности. Итак, имеем функцию, областью определения которой является множество чисел 1.2.3.4.5.

Пример:

3аписать в порядке возрастания натуральные числа запись которых оканчивается цифрой 2.

Решение:

Получим последовательность чисел 2; 12; 22; 32; 42; …. в которой на первом месте стоит число 2, на втором — 12. на третьем — 22 и т. д.

В этом примере каждому натуральному числу соответствует одно чис­ло из указанной последовательности. Так, натуральному числу 6 соответствует число 52 этой последовательности, числу 7 — число 62 и т. д. Следовательно, имеем функцию, областью определения которой является множество всех натуральных чисел.

Определение:

Последовательностью называют функцию, заданную на множестве всех или первых натуральных чисел.

Числа образующие последовательность. называют членами последовательности. Если последовательность имеет конечное число членов, тогда ее называют конечной последовательностью (пример 1). Если последовательность имеет бесконечное число членов, то ее называют бесконечной последовательностью (пример 2), а в записи это показывают многоточием после последнего записанною члена последовательности.

Приведем еще примеры последовательностей:

• 4; 8; 12; 16;… — последовательность натуральных чисел, кратных 4;
• — последовательность правильных дробей с числителем 1;
• -1: -2 ; -3 ; -4 ;… — последовательность отрицательных целых чисел;
• 0.1; 1.1; 2.1: 3,1 — последовательность, состоящая из четырех членов;
• 7 :7 ; 7 :7 :… — последовательность, все члены которой равны 7.
• Четвертая последовательность конечная, остальные — бесконечные.

В общем случае члены последовательности, как правило, обозначают маленькими буквами с индексами внизу. Каждый индекс указывает порядковый номер члена последовательности. Например, первый член последовательности обозначают читают «а первое», второй — читают «а второе», член последовательности с номером обозначают , и читают «а энное». Саму последовательность обозначают и записывают: Член называют следующим за а член — предыдущим члену Например, рассмотрим последовательность 1: 3; 5;… — последовательность нечетных натуральных чисел. В ней Член последовательности является предыдущим члену и последующим за членом

Способы задании последовательностей

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, при помощи которого можно найти любой ее член. Существуют различные способы задания последовательностей.

1. Последовательность можно задать описанием способа определения ее членов. Например, пусть задана последовательность, членами которой являются делители числа 15, записанные в порядке возрастания. Эту последовательность, описанную словами, можно записать так; 1 ; 3; 5: 15.

2. Конечную последовательность можно задать, перечислив ее члены. Например,

3. Последовательность можно задать таблицей, в которой напротив каждого члена последовательности указывают его порядковый номер. Например.

4. Последовательность можно задать формулой, по которой можно найти любой член последовательности, зная его номер. Например, последова­тельность натуральных чисел, кратных 3, можно задать формулой последовательность чисел, обратных натуральным, — формулой Такие формулы называют еще формулами члена последовательности. Пусть последовательность задана формулой Подставляя вместо натуральные числа 1,2 ,3 …., получим:

Поэтому 2; 2; 0 ;….

5. Последовательность можно задать так: сначала указать первый или несколько первых членов последовательности, а потом — условие, по которому можно определить любой член последовательности, зная предыдущие. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным. Например, найдем несколько членов последовательности первый член которой равен -1 , второй — -3 , а каждый последующий, начиная с третьего, равен произведению двух предыдущих. Получим:

Условия, определяющие эту последовательность, можно записать так: Формулу, при помощи которой любой член последовательности можно найти через предыдущие, называют рекуррентной формулой.

Рассмотренные выше последовательности являются числовыми последовательностями, так как их элементами являются числа. Существуют и другие последовательности. Например, последовательность передач на канале телевидения, последовательность футбольных команд в турнирной таблице и т. п.

В дальнейшем будем рассматривать только числовые последовательности.

Пример:

Записать шесть первых членов последовательности натуральных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2.

Решение:

Первым натуральным числом, которое при делении па 3 дает остаток 2, является число 2. Следующим является число 5 — оно на 3 больше 2, дальше 8 — на 3 больше 5 и т. д. Поэтому получим: 2; 5; 8; I I ; 14; 17.

Ответ. 2 ;5 ;8 ; 11; 14; 17

Пример:

Записать формулу -го члена последовательности натуральных чисел, которые больше 8 и при делении на 9 дают остаток 7.

Решение:

Первым натуральным числом, которое больше 8 и при делении на 9 дает остаток 7, является число 16. Его можно записать так: 16 = 9 •1 + 7 . Вторым будет число 25, которое можно записать гак: 25 = 9 • 2 + 7, третьим — 34 = 9 • 3 + 7 и т. д. Тогда формула -го члена искомой последовательности будет иметь вид: Ответ.

Пример:

Последовательность задана формулой Является ли членом этой последовательности число 6?

Решение:

Число 6 будет членом этой последовательности, если найдется такой номер что то есть Получаем уравнение: откуда Число не является натуральным, а поэтому не может быть номером члена последовательности. Следовательно, число 6 яв­ляется третьим членом заданной последовательности.

Ответ. Да.

Пример:

Записать три первых члена последовательности если

Решение:

При = 1 по формуле получим: При = 2 получим: Ответ. 2; 4; 10.

Арифметическая прогрессия и ее свойства

Среди числовых последовательностей важную роль играют последовательности, которые называют арифметической и геометрической прогрессиями.

Пример:

Группа туристов поднималась на гору в течение 4 ч. За первый час туристы прошли 2,5 км, а та каждый следующий — на 0,5 км меньше, чем за предыдущий. Какой путь проходили туристы за каждый час движения?

Решение:

За первый час туристы прошли 2.5 км. за второй — 2,5 – 0,5 = 2 (км), за третий — 2 – 0,5 = 1,5 (км), за четвертый — 1 км. Получили конечную последовательность чисел: 2,5; 2; 1,5; 1, в которой каждый последующий член, начиная со второю, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом -0.5.

Пример:

3аписать последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 1.

Решение:

Получим: 1;4 ;7 ; 10; 13; 16; 19; 22 ;…. В этой последовательности любой член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 3. Каждая из рассмотренных последовательностей является примером арифметической прогрессии.

Определение:

Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Это число называют разностью арифметической прогрессии и обознача­ют буквой d (d — начальная буква латинского слова differentia — разность). Итак, если имеется арифметическая прогрессия то то есть для любого натурального выполняется равенство

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна одному и тому же числу — разности d, то есть Итак,

Верно и наоборот: если в некоторой числовой последовательности разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна одному и тому же числу, то такая последовательность является арифметической прогрессией.

Арифметические прогрессии могут быть конечными (пример 1) и беско­нечными (пример 2).

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Тогда каждый последующий член можно вычислить по предыдущему по рекуррентной формуле В таблице приведены примеры арифметических прогрессий для некоторых значений

Рассмотрим свойства арифметической прогрессии.

1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5: 7; 9 ;… каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов:

Покажем, что такое свойство имеет любая арифметическая прогрессия. Пусть имеется арифметическая прогрессия с разностью d. Тогда для натуральных значений выполняются равенства: Отсюда:

Свойство 1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов. С этим свойством арифметической прогрессии и связано ее название.

2. Рассмотрим конечную арифметическую прогрессию имеющую 7 членов: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15. Найдем сумму крайних членов прогрессии и суммы членов, равноотстоящих от крайних:

Сумма любых двух членов арифметической прогрессии, равноотстоя­щих от ее крайних членов, равна сумме крайних членов.

Используем эти соображения для произвольной конечной арифметической прогрессии с разностью Пусть Тогда:

Свойство 2. Сумма любых двух членов конечной арифметической прогрессии, равноотстоящих от ее крайних членов, равна сумме крайних членов этой прогрессии.

Пример:

Найти разность и третий член арифметической прогрессии

Решение:

В этой прогрессии Поэтому:

Ответ. 0.2; 1,4.

Пример:

Является ли последовательность чисел 3: 0: -3 : -6 ; -9 арифметической прогрессией?

Решение:

Обозначим члены заданной последовательности:

Найдем разность последующего и предыдущего членов последовательности:

Так как полученные разности равны одному и тому же числу – 3, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Пример:

Между числами 7 и 15 вставить такое число, чтобы все три числа образовали арифметическую прогрессию.

Решение:

Пусть — искомое число, тогда последовательность 7; х; 15 — арифметическая прогрессия. Второй член арифметической прогрессии является средним арифметическим первого и третьего членов: Ответ. 11 .

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность, а последующие члены можно найти по формуле

Например, найдем несколько первых членов арифметической прогрессии, в которой Получим:

Далее можно найти и т. д.

Чтобы найти член этой прогрессии с большим порядковым номером, например, нужно выполнить много вычислений. Поэтому вычисление членов арифметической прогрессии но формуле часто является неудобным. Найдем более краткий путь вычисления n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии получим:

Замечаем, что в этих формулах коэффициент при d на 1 меньше поряд­кового номера искомого члена прогрессии. Так, Итак, можем записать:

Полученную формулу называют формулой члена арифметической прогрессии.

Пример:

Найти девятый член арифметической прогрессии

Решение:

Имеем: Найдем разность прогрессии: Тогда Ответ. -1,4.

Пример:

Найти первый член арифметической прогрессии в которой

Решение:

Используя формулу -го члена арифметической прогрессии при = 8, получим: Отсюда Ответ. 107.

Пример:

Является ли число 181 членом арифметической прогрессии, в которой

Решение:

Число 181 будет членом прогрессии, если существует такое натуральное число — порядковый номер члена прогрессии, что Так как Решим полученное уравнение: Число 36.6 не является натуральным, поэтому число 181 не является членом данной арифметической прогрессии. Ответ. Нет.

Пример:

Найти первый член и разность арифметической прогрессии если сумма второго и пятого ее членов равна 20, а разность девятого и третьего членов равна 18.

Решение:

По условию имеем: Записав члены и по формуле -го члена арифметической прогрессии, получим систему уравнений:

Откуда

Ответ. 2.5;3 .

Формула суммы первых п членов арифметической прогрессии

Пример:

Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно.

Решение:

Запишем суму данных чисел двумя способами: в порядке возрастания и в порядке убывания слагаемых и почленно сложим полученные равенства:

Суммы пар чисел, расположенных друг под другом в правых частях этих равенств, равны одному и тому же числу 101; таких нар 100. Поэтому

Отсюда

Итак, сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно равна 5050. Отметим, что последовательность натуральных чисел I; 2; …; 99: 100 является арифметической прогрессией в которой Используем рассмотренный способ для вывода формулы суммы первых членов любой арифметической прогрессии Запишем:

Сложим почленно эта равенства, получим:

По свойству 2 арифметической прогрессии сумма каждых двух членов, взятых в скобки, равна Таких сум есть поэтому:

Отсюда

Если в этой формуле вместо подставить выражение то получим:

Итак,

Формулы (1) и (2) называют формулами суммы первых членов арифметической прогрессии.

Пример:

Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии

Решение:

1-й способ. Имеем: Найдем По формуле (1) находим:

2-й способ. Зная, что по формуле (2) находим:

Ответ. 171.

Пример:

Найти сумму нечетных натуральных чисел, не превышающих 71.

Решение:

Нечетные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию 1; 3: 5;……. в которой Найдем, какой порядковый номер имеет член 71 этой прогрессии: Следовательно, нужно искать сумму первых тридцати шести членов прогрессии. Имеем:

Ответ. 1296.

Пример:

Найти сумму натуральных чисел не больше 105, которые при делении на 9 дают остаток 1.

Решение:

Натуральные числа, которые при делении на 9 дают остаток 1, образуют арифметическую прогрессию в которой Найдем, сколько членов этой прогрессии не превышают 105. Для этого решим неравенство

Следовательно, нужно искать сумму первых двенадцати членов про­грессии. Имеем: Ответ. 606.

Пример:

Найти первый член арифметической прогрессии если сумма второго и двенадцатого ее членов равна 20.4, а сумма первых одиннадцати— 121.

Решение:

По условию имеем: Используя формулы -по члена и суммы первых членов арифметической прогрессии, получим систему уравнений Отсюда:

Ответ. 15.

Пример:

Сколько нужно взять первых членов арифметическом прогрессии в которой чтобы их сумма равнялась 90?

Решение:

Используя формулу суммы первых членов арифметической прогрессии получим: Корень не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, = 12. Ответ. 12.

Геометрическая прогрессия и ее свойства

В благоприятных условиях некоторые бактерии размножаются так, что их количество удваивайся каждые 30 минут. Поэтому, если первоначально была одна бактерия, то их будет:

• через 0,5 ч 2
• через I ч 4
• через 1,5 ч 8
• через 2 ч 16
• …………………..

Во втором столбце получили последовательность чисел: 2: 4; 8; 16; каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число 2. Такая последовательность является примером геометрической прогрессии.

Определение:

Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обо­значают буквой q (начальная буква французского слова qwoti — частное). Итак, если имеем геометрическую прогрессию то сеть для любого натурального выполняется равенство

Из определения геометрической прогрессии следует, что частное от деления любого ее члена, начиная со второго, на предыдущий член равно одному и тому же числу – знаменателю то есть: Итак, Верно и наоборот: если в некоторой последовательности частное от деления любого ее члена, начиная со второго, на предыдущий член равно одному и тому же числу, то такая последовательность является геометрической прогрессией. Геометрические прогрессии, как и арифметические, мотут быть конечными и бесконечными.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель. Тогда каждый последующий член по предыдущему можно вычислить по рекуррентной формуле

В таблице прицелены примеры геометрических прогрессий для некоторых значений

Рассмотрим свойства геометрической прогрессии.

1. В геометрической прогрессии 1; 3: 9, 27; 81;… квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов:

Покажем, что такое свойство имеет любая геометрическая прогрессия. Пусть имеется геометрическая прогрессия со знаменателем q. Тогда при выполняются равенства: Отсюда

Свойство 1

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух сосед­них с ним членов.

Если все члены геометрической прогрсссии являются положительными числами, то из равенства следует, что Следовательно, каждый член такой прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим .двух соседних с ним членов. С этим свойством геометрической профессии и связано ее название.

2. Рассмотрим конечную геометрическую прогрессию содержащую шесть членов: -1:2; 4; 8; -16:32. Найдем произведение крайних членов этой прогрессии и произведение членов, равноотстоящих от крайних:

Видим, что произведения членов профессии, равноотстоящих от ее крайних членов, одинаковы и равны произведению крайних членов.

Используем эти соображения для произвольной конечной геометрической прогрессии Пусть Тогда:

Свойство 2

Произведение любых двух членов конечной геометрической прогрессии, равноотстоящих от ее крайних членов, равно произведению крайних членов.

Пример:

Найти знаменатель и третий член геометрической npoгpеcсии

Решение:

В этой прогрессии Поэтому:

Ответ. 1,5; 2,25.

Пример:

Доказать, что последовательность является геометрической профессией.

Решение:

Обозначим члены последовательности: Найдем частные от деления последующего члена последовательности на предыдущий:

Так как полученные частные равны одному и тому же числу то данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем

Пример:

Найти второй член геометрической прогрессии:

Решение:

Согласно свойству 1 геометрической прогрессии Отсюда – 10 или = -10. Ответ 10 или-10.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Чтобы задать геометричсскую прогрессию достаточно указать ее первый член и знаменатель, а следующие члены можно найти по формуле Например, запишем несколько первых членов геометрической прогрессии, в которой

Далее можно найти и т. д. Чтобы найти член этой прогрессии с большим порядковых! номером, на­пример, нужно выполнить мною вычислений. Поэтому вычисление членов геометрической прогрессии по формуле часто является неудобным. Найдем более краткий путь вычисления -го члена геометрической прогрессии со знаменателем q. По определению геометрической прогрессии имеем:

Замечаем, что в этих формулах показатель степени числа q на единицу меньше порядкового номера искомого члена прогрессии. Так, Итак, можем записать:

Полученную формулу называют формулой -го члена геометрической прогрессии.

Пример:

Найти шестой член геометрической прогрессии

Решение:

Имеем: Тогда Ответ. 6250.

Пример:

Найти первый член геометрической прогрессии если

Решение:

Используя формулу при = 7, получим:

Ответ. 0,5

Пример:

Найти знаменатель геометрической прогрессии в кото­рой

Решение:

Используя формулу -го члена геометрической прогрессии, получим: Отсюда:

Ответ. -3 или 3.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Пусть — геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен Обозначим через сумму первых членов этой профессии. то есть

(1)

Умножив обе части этого равенства на q получим:

Пo определению геометрической прогрессии: Тогда:

(2)

Вычтем почленно из равенства (1) равенство (2), получим:

Если , то

(3)

Учитывая, что получим Итак,

(4)

Формулы (3) и (4) называют формулами суммы первых членов геометрической прогрессии. При каждый член геометрической прогрессии равен поэтому

Пример:

Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии

Решение:

Имеем : Тогда но формуле находим:

Ответ. -255.

Пример:

Найти первый член геометрической прогрессии если четвертый ее член в три раза больше третьего, а сумма первых пяти членов равна -12,1.

Решение:

Так как По условию поэтому:

Ответ. -0,1.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии, в которой [q] меньше 1

Сумма бесконечной геометрической прогрессии, в которой

Пусть стороны прямоугольника равны I см и 4 см (рис. 74). Его площадь равна

Найдем площадь этою прямоугольника иначе. Отрезком MN. соединяющим середины противоположных сторон ВС и прямоугольника, разделим его пополам. Площади образованных прямоугольников и равны по каждая. Образованный справа прямоугольник снова разделим пополам, соединив середины противоположных сторон. Площади образованных прямоугольников NMKP и PKCD равны по 1 см² каждая. Аналогично образованный прямоугольник снова разделим пополам отрезком на два прямоугольника с площадями по и т.д.

Найдем сумму площадей прямоугольников и т.д. Числовое значение суммы площадей этих прямоугольников равно суме чисел Последовательность является бесконечной геометриче­ской профессией, первый член которой равен 2, а знаменатель — Найдем сумму первых членов этой прогрессии:

Если число слагаемых суммы неограниченно увеличивается, то значение дроби приближается к нулю, а разность приближается к числу 4, говорят: стремится к числу 4. Число 4 называют суммой бесконечной геометрической прогрессии и записывают

Итак, сумма площадей прямоугольников ABMN, NMKP, PKTS и т. д. равна 4 см², то есть равна площади прямоугольника ABCD. Обобщим рассмотренный пример. Пусть . — любая бесконечная геометрическая прогрессия, в которой Сумму первых членов этой прогрессии вычисляют по формуле Преобразуем выражение в правой части последнего равенства: Так как то при неограниченном увеличении множитель стремится к нулю, а значит, к нулю стремится и произведение Тогда сумма , стремится к числу Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем и записывают: Обозначим эту сумму через S. Тогда

Полученную формулу называют формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии, в которой

Пример:

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 6: – 2 ; ..

Решение:

По условию Тогда Имеем геометрическую прогрессию, в которой По формуле находим:

Ответ. 4,5.

Решение задач, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями

Вычисление сумм

Изучая арифметическую и геометрическую прогрессии, мы вычисляли суммы первых их членов. Известно также, как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Однако существуют задачи, решая которые приходится искать суммы чисел, не об­разующих ни арифметическую, ни геометрическую прогрессии. Такие суммы иногда можно найти, преобразовав определенным образом их слагаемые.

Пример 1. Найти сумму

Решение:

Обозначим эту сумму через и запишем ее так:

В первых скобках записана сумма членов арифметической прогрессии в которой Найдем, каким но счету членом этой прогрессии является число 13:

Итак, в первых скобках записана сумма первых семи членов арифметической прогрессии. Во вторых скобках записана сумма первых семи членов геометрической прогрессии в которой Используя формулы суммы первых членов арифметической и геометрической прогрессий, находим:

Ответ:

Обращение бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенную дробь

Рассмотрим пример.

Пример:

Записать число 0,(7) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

Бесконечную десятичную дробь 0,(7) = 0,777… запишем в виде такой суммы: 0,(7) = 0.7 + 0,07 + 0,007 + …. Слагаемые 0,7; 0,07; 0.007;… — члены бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 0,7 и знаменателем Сумма этой прогрессии: Поэтому

Ответ:

Решение уравнении

Рассмотрим пример.

Пример:

Решить уравнениев котором коэффициенты 4 ,7 . …, 25 образуют арифметическую прогрессию.

Решение:

Запишем уравнение так:

В скобках записана сумма первых членов арифметической прогрессии. в которой Найдем количество членов. Пусть число 25 является ее -м членом. По формуле -го члена 25 = 4 + ( -1 )-3, откуда получим:

Итак, в скобках записана сумма первых 8 членов арифметической прогрессии. Тогда получим:

Ответ. 2,5.

Пример:

Записать число 3.1(23) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

Число 3.1(23) = 3,12323… запишем в виде такой суммы:

Слагаемые 0,023; 0,00023; … — члены бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 0,023 и знаменателем Сумма этой прогрессии равна: Поэтому

Ответ:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

Запишем уравнение в виде:

Во вторых скобках записана сумма первых членов арифметической про­грессии. в которой Найдем Пусть число 71 является ее -м членом. По формуле -го члена откуда = 36. Учитывая, что в первых скобках записана сумма тридцати шести слагаемых, каждый из которых равен получим:

Ответ. 1; 35.

Пример:

Найти сумму

Решение:

Обозначим данную сумму через S. Записав слагаемые в виде и т. д., получим:

В скобках записана сумма первых членов геометрической прогрессии в которой Поэтому:

Ответ.

ИНТЕРЕСНО ЗНАТЬ

Слово «прогрессия» происходит от латинского слона «prcigrcssio» и значит «движение вперед» (как и слово «прогресс»). Впервые этот термин встре­чается в работах римского ученого Боэция (V -V I в.). Прогрессии как частные виды числовых последовательностей встречаются в папирусах II тысячелетия до н. э. Первые задачи на прогрессии, дошедшие до нас, связаны с хозяйственной деятельностью, а именно — с рас­пределением продуктов, разделом наследства и т. п. Древнейшей задачей на прогрессии считают задачу из египетского папируса Ахмеса Райнда о распределении 100 мер хлеба между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько больше первого, на сколько третий получил больше второго и т. д. В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии, сумма первых пяти членов которой равна 100. В одной из задач этого папируса представлена формула первого члена арифметической прогрессии, которую в современной символике записывают так:

где а — первый член, — число членов, S — сума первых членов, d — разность прогрессии. Убедитесь, что эта формула верна. С вычислением суммы членов арифметической прогрессии связана такая интересная история. У известною немецкого математика Карла Гаусса (1777-1875) еще в школе обнаружились блестящие математические способности. Как-то учитель предложил ученикам найти сумму первых ста натуральных чисел. Едва он успел прочитать условие задачи, как маленький Гаусс поднял руку: «Готово». Весь класс был поражен скоростью, с которой он провел подсчет. Как считал Гаусс? Издавна большой популярностью пользуется задача-легенда, которая относится к началу нашей эры. Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя игры в шахматы, своего подданного Сету, чтобы наградить его за изобретение. Когда изобретателю предложили самому выбрать награду, он попросил за первую клетку шахматной доски дать ему 1 зерно пшеницы, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 и т.д . Оказалось, что царь не смог выполнить просьбу Сеты. За последнюю, 64-ю, клетку шахматной доски пришлось бы отдать зерен пшеницы, а за все клетки количество зерен, равное сумме членов геометрической прогрессии: Эта сумма равна Такое количество зерен пшеницы можно собрать с плошали, приблизительно в 2000 раз больше площади всей поверхности Земли.

———–

Числовые последовательности

♦ Множество чисел в котором каждое число имеет свой номер называется числовом последовательностью. То есть, числовая последовательность это функция определенная во множестве натуральных чисел. Например

♦ Числа, образующие последовательность, называются соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности, обычно обозначаются буквами, индекс буквы показывает порядковый номер члена. Например, первый член второй член -ый член и т.д. Сама последовательность обозначается: и т.д.

♦ Последовательности бывают конечные и бесконечные. Например, множество двузначных чисел может быть примером конечной последовательности. А последовательность натуральных чисел – бесконечна.

♦ Обычно последовательность задают с помощью формулы определящей функцию -ro члена последовательности от номера . Такую формулу называют формулой -го члена последовательности.

Например: – последовательность четных чисел.Любой член этой последовательности можно найти по формуле 10-ый член последовательности:

Наблюдается взаимосвязь многих природных явлений с последовательностью Фибоначчи.

Фибоначчи родился в итальянском городе Пиза: Его произведение “Книга вычислений” (Liber Abaci) оказала огромное влияние на распространение математических знаний в Европе, служила учебником – справочником европейских ученых. Особенно неоценима его роль в быстром распространении в Европе индийско-арабской десятичной системы. В то время в Европе при записи и вычислениях пользовались Римскими цифрами. В этом произведении Фибоначчи также уделил большое внимание задаче о размножении кроликов, которая дает последовательность чисел 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Для членов этого ряда (при ) верно Продолжите ряд Фибоначчи для последующих трех шагов.

Рекуррентный и экспилитический способы задания последовательности

Формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через один или несколько предыдущих членов называется рекуррентной формулой, (от латинского слова recirro – возвращаться). Например, в последовательности при , то – рекуррентная формула и по этой формуле можно продолжить последовательность. Во многих случаях последовательность задается формулой, выражающей -ый член номером этого члена. Способ задания последовательности формулой -го члена называется экспилитическим способом.

Например,

Арифметическая прогрессия, рекуррентное правило

Определение. Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом называется арифметической прогрессией. То есть арифметическая прогрессия – это такая последовательность, в которой Здесь – постоянная для данной последовательности число. Число называют разностью арифметической прогрессии. Из определения следует, что равенство справедливо для любого натурального числа . В частных случаях, Арифметическая прогрессия с -ым членом символически обозначается . Для того чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно показать его первый член и разность. Арифметическая прогрессия задается с рекуррентным соотношением

Пример 1. Определите, какие из последовательностей являются арифметической прогрессией.

а) последовательность – арифметическая прогрессия, потому что разность между двумя соседними членами остается постоянной

b) последовательность не является арифметической прогрессией, потому что разность между двумя соседними членами меняется

Разность арифметической прогрессии может быть положительным, отрицательным числом или нулем. При начиная со второго каждый член будет больше предыдущего (возрастающая последовательность), а при – меньше предыдущего (убывающая последовательность)

Пример 2. а) При соответствующая арифметическая прогрессия будет : 2; 5; 8; 11; 14; 17; … Рекуррентная формула этой прогрессии будет:

b) При условии арифметическая прогрессия будет: 11; 7; 3; 1; 5; … Рекуррентная формула этой прогрессии будет:

При все члены будучи равными одному числу (1-му члену) образуют стационарную последовательность. Например, 5; 5; 5; …

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом. Согласно этому правилу:

По этому правилу можно записать:

Формула является формулой -го члена арифметической прогрессии.

Пример 1. В арифметической прогрессии найдем

Отметим, что можно было бы вычислить и нижеуказанным способом:

Вообще, , то есть верно равенство,

Отсюда, получаем формулу для разности прогресии:

Пример 2. В арифметической прогрессии

Решение:

Замечание. Переписав формулу в виде можно сделать вывод: любая прогрессия задается формулой здесь любые числа.

Арифметическая прогрессия и среднее арифметическое

Свойство. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

Действительно, из получается

Так как в общем случае, то верно равенство:

Это свойство можно обобщить таким образом. Каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) равен среднему арифметическому равноудаленных от него членов:

Это свойство поясняет причину названия арифметической прогрессии. Верно и обратное. Если любой член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

В конечной арифметической прогрессии сумма членов, расположенных на одинаковом расстоянии от концов, равна сумме крайних членов.

В общем, если

Сумма n-первых членов арифметической прогрессии

Обозначим через сумму -первых членов любой арифметической прогрессии.

Попарные суммы и т.д равны между собой, гак как в конечной арифметической прогрессии сумма членов, расположенных на одинаковом расстоянии от концов, равна сумме крайних членов. Всего таких пар , поэтому а отсюда получим:

Сумма -первых членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов этой прогрессии. Так как: Тогда формулу суммы членов арифметической прогрессии можно написать в виде:

Пример 1. Найдите сумму 12-ти первых членов арифметической прогрессии заданной формулой .

Решение:

Пример 2. Найдите сумму 10-ти первых членов арифметической прогрессии 3; 5; 13;… .

Решение.

Пример 3. В зале заседаний 30 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем ряду на одно место больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в зале?

Решение:

В последнем ряду: места. Всего в 30-ти рядах:

Пример 4. Сколько членов арифметической прогрессии 5; 7; 9… нужно сложить, чтобы получить 320 ?

Решение:

Так как количество членов не может быть отрицательным, то сумма 16-ти первых членов этой прогрессии равна 320. Перепишем сумму первых членов арифметической прогрессии в следующем виде:, обозначая получаем, что сумму -первых членов любой арифметической прогрессии можно также записать в виде: Можно считать арифметическую прогрессию заданной, если известна

Пример 5. Найдем первый член и разность арифметической прогрессии, сумма -первых членов которой задана формулой

Решение:

Внимание! При решении некоторых задач для определения пользуются формулой .

Члены геометрической прогрессии, рекуррентное правило

Определение. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущего члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю, число. То есть если для любого натурального числа будет выполнено условие: и то последовательность будет геометрической прогрессией. Число называется знаменателем геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия символически обозначается . Формула является представлением геометрической прогрессии по рекуррентному правилу. Из определения следует, что для любого натурального числа справедливо равенство: . В частности,

Пример 1. а) Если , то получится геометрическая прогрессия 2, 6, 18, 54, 162,…; b) Если , то получится геометрическая прогрессия 3, 6, 12, 24,48,… . При члены геометрической прогрессии имеют одинаковый знак. При знаки членов прогрессии чередуются. При получается стационарная последовательность.

Пример 2. Какая из данных числовых последовательностей геометрическая прогрессия?

а) 4, 12, 22, 34, 48; b) 625, 125, 25, 5, 1.

Отношение каждого члена геометрической прогрессии на предыдущий всегда остается постоянной. Проверим это условие для обеих прогрессий.

а) Условие не выполняется, последовательность не является геометрической прогрессией.

b) Условие выполняется, это последовательность – геометрическая прогрессия.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Вообще, чтобы в геометрической прогрессии найти нужно перемножить то есть

Это выражение называется формулой -го члена геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно знать его первый член и знаменатель.

Пример 1. Если в геометрической прогрессии найдем и

Указание. Можно было бы вычислить следующем способом

Вообще, справедливо равенство,

Пример 2. Найдем если в геометрической прогрессии

Решение: отсюда и

Заключение: Если известны какие-либо два члена, то можно задать геометрическую прогрессию, -ый член геометрической прогрессии можно найти другим путем. По определению:

Если перемножить почленно эти равенства, получим:

Сократив одинаковые члены в левой и правой частях, получим формулу

Заключение: Записав и обозначив становится ясным, что любую геометрическую прогрессию можно задать формулой (Здесь -какое-либо число отличное от нуля, – знаменатель прогрессии).

Члены геометрической прогрессии и среднее геометрическое

В геометрической профессии с положительными членами, начиная со второго, каждый член равен среднему геометрическому соседних с ним членов. Это свойство поясняет причину названия геометрической прогрессии. Например, в последовательности, 2, 6, 18, 54, 162,… число 18 является средним геометрическим 6 и 54. Среднее геометрическое-можно ясно увидеть, записывая отношения, выражающие знаменатель профессии. Из определения геометрической прогрессии получатся равенства:

.

Взяв попарно эти равенства, получим: , Это свойство можно задать в более общем виде. В геометрической прогрессии, начиная со второго, квадрат любого члена равен произведению равноудаленных членов последовательности, то есть Для геометрической прогрессии с положительными членами это свойство можно записать в виде:

Еще одно свойство членов геометрической профессии: Если то верно равенство

Сумма n-первых членов геометрической прогрессии

Обозначим через сумму -первых членов геометрической прогрессии:

При , все члены равны Рассмотрим случай когда .

Умножим обе части (1 )-го равенства на :

Отнимем от (2)-го равенства (1)-е. Получим:

Отсюда S

(3)-я формула называется формулой -первых членов геометрической прогрессии. Так как , то для можно записать:

Пример. В геометрической прогрессии Найдите сумму первых шести членов.

Решение. Отсюда

Из формулы выразим

Тогда

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

Если число членов геометрической прогрессии бесконечно, то ее называют бесконечной геометрической профессией. Преобразуем формулу суммы – первых членов геометрической прогрессии следующим образом.

Если, то с бесконечным ростом множитель , а значит и приближаются к нулю. Поэтому с ростом до бесконечности сумма приближается к числу . Число при называется суммой бесконечной геометрической прогрессии.

Если обозначить эту сумму через то получим: .

Пример. Примените формулу суммы бесконечной геометрической профессии в преобразовании периодической дроби в обыкновенную.

Так как то по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии

Геометрические преобразования. Движение

Параллельный перенос

При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и тоже расстояние и фигура переходит в фигуру конгруэнтную себе. Треугольник изображенный на рисунке получен параллельным переносом из треугольника . Здесь

В координатной плоскости каждая точка данного треугольника перемещена на 4 единицы направо, и на 5 единиц вниз.

Применяя формулу расстояния между двумя точками, получим: По признаку конгруэнтности

При параллельном переносе фигуры произвольная точка переходит в точку и между координатами этих точек справедливо равенство:

На координатной плоскости при параллельном переносе перемещение по осям координат направо и наверх выражаегся положительными, налево и вниз отрицательными единицами. Это определяется числами и . При параллельном переносе расстояние между двумя точками не меняется.

Действительно, при параллельном переносе произвольные точки переходят в точки Отсюда Значит, при параллельном переносе сохраняется расстояние.

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка будут такими же (проверьте сами).

Значит, диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. То есть, этот четырехугольник параллелограмм. А у параллелограмма противоположные стороны параллельны. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в саму себя). Если при переходе одной фигуры в другую расстояния между точками сохраняются, то такое преобразование называется движением. Параллельный перенос это движение.

• Заказать решение задач по высшей математике

Параллельный перенос и векторы

Каждый параллельный перенос определяет один вектор. То есть при параллельном переносе перемещение всех точек фигуры выполняется по одному вектору. Выражение параллельного переноса вектором упрощает запись. Компоненты вектора показывают изменения координат точек относительно осей и

На картине изображен параллельный перенос на вектор . Воспользуясь компонентами вектора, можно определить перемещение фигуры. Все точки треугольника перемещаясь на длину вектора переходят в точки треугольника

Длина вектора

Движение и конгруэнтные фигуры

Пусть каждой точке фигуры противопоставлена определенная точка плоскости. Множество таких точек образует фигуру . В этом случае говорят, что фигура получена преобразованием фигуры . Плоскость так же является геометрической фигурой. При преобразовании плоскости произвольная точка переходит в точку этой же плоскости и причем каждая точка преобразуется в определенную точку. Если при преобразовании одной фигуры в другую расстояние между точками сохраняется, то все геометрические свойства фигуры сохраняются и фигура преобразуется в конгруэнтную фигуру. Такие преобразования называются движением. Результат последовательных движений также является движением.

Теорема. При движении отрезок преобразуется в отрезок.

Доказательство. Пусть при движении концы отрезка переходят соответственно в точки и . Докажем, что отрезок переходит в отрезок . На отрезке берем произвольную точку Пусть точка преобразуется в точку . Так как при движении расстояния между точками сохраняются Отсюда А это значит, что точка находится на отрезке , то есть точка отрезка переходит в точку отрезка , и наоборот в точку переходит точка отрезка , удовлетворяющее условию Теорема доказана.

Следствие. При движении каждая сторона треугольника переходит в конгруэнтный отрезок, и поэтому по признаку треугольник преобразуется в конгруэнтный треугольник. При движении прямая переходит в прямую, отрезок в отрезок и угол между полупрямыми сохраняется. При таких преобразованиях как параллельный перенос, центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, фигура переходит в конгруэнтную фигуру. Исследуем это при помощи оси симметрии (отражения).

Теорема. Осевая симметрия (отражение) есть движение.

На рисунке изображено отражение отрезка относительно прямой . По расположению отрезка и прямой возможны 4 различных случая.

Докажем теорему для первого случая:

Текстовое доказательство

В этом случае точки и лежат по одну сторону от прямой .

Из определения отражения следует, что, так как отрезок – серединный перпендикулярный отрезков , то и Тогда по признаку Так как у конгруэнтных треугольников соответственные стороны конгруэнтны, то Теорема доказана.

——

Числовые последовательности

В этой лекции вы:

Пример №356

Запишем в порядке возрастания четные натуральные числа: 2; 4; 6; 8; 10; … .

Получим последовательность четных натуральных чисел. На первом месте в ней число 2, на втором – число 4, на пятом – 10. Если и далее записывать четные натуральные числа, то, например, на десятом месте окажется число 20, на сотом – число 200. Вообще, для любого натурального числа можно указать натуральное четное число, стоящее на месте. Этим числом будет .

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами последовательности. Члены последовательности принято обозначать буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена последовательности. Например: , , , , … (читают: « первое, второе, третье, четвертое» и т. д.). В нашем примере , … . Член последовательности с номером называют членом последовательности и обозначают . Саму последовательность принято обозначать .

Рассмотрим два соседних члена последовательности с номерами и , а именно и . Член называют следующим за , а член – предыдущим к .

Поскольку в последовательности четных натуральных чисел на месте стоит число , то можем записать, что . Таким образом, имеем формулу члена последовательности четных натуральных чисел.

Эта последовательность содержит бесконечное число членов. Такую последовательность называют бесконечной. В записи бесконечной последовательности после перечисления нескольких ее первых членов ставят многоточие. Если же последовательность содержит конечное число членов, то ее называют конечной.

Пример №357

Последовательность двузначных натуральных чисел 10; 11; 12; …; 98; 99 является конечной. Она содержит 90 членов и может быть задана формулой члена: .

Зная формулу члена последовательности, можем найти любой ее член.

Пример №358

Последовательность задана формулой . Найдем несколько ее членов: – первый член, – седьмой, – двадцатый, – сотый.

Формула члена является достаточно удобным, но не единственным способом задания последовательности.

Пример №359

Конечную последовательность можно задать перечислением ее членов. Например, .

Пример №360

Последовательность можно задать описанием ее членов. Например, последовательность натуральных делителей числа 18, записанных в порядке возрастания, выглядит так: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Пример №361

Конечную последовательность можно задать и в виде таблицы. Например:

Последовательность можно задавать, указав первый или несколько первых членов последовательности, а затем – формулу, позволяющую найти остальные члены последовательности через предыдущие. Такую формулу называют рекуррентной, а способ задания последовательности – рекуррентным.

Пример №362

Пусть первый член последовательности равен 2, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, то есть . Тогда по известному первому члену можно найти второй: , по известному второму можно найти третий: и так далее.

Получим последовательность: 2; 4; 16; 256; 65 536; … .

Пример №363

Найдем третий, четвертый и пятый члены последовательности , заданной рекуррентно: , .

Получим:

Последовательности, рассмотренные выше, являются числовыми последовательностями, так как состоят из чисел. Иногда рассматривают последовательности, членами которых являются выражения, функции и т. п. В дальнейшем будем рассматривать только числовые последовательности.

Математики уже очень давно занимаются изучением числовых последовательностей. Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1. 1, 2, 3, 4, 5,… – последовательность натуральных чисел;
2. 2, 4, 6, 8, 10,… – последовательность четных чисел;
3. 1, 3, 5, 7, 9,… – последовательность нечетных чисел;
4. 1,4,9,16,25,… – последовательность квадратов натуральных чисел;
5. 2, 3, 5, 7, 11,… – последовательность простых чисел;
6. – последовательность чисел, обратных натуральным.

Для всех этих последовательностей, кроме пятой, можно записать формулу члена. Для последовательности простых чисел формула члена не была известна древним математикам… Нет ее и поныне!

Одной из наиболее известных является числовая последовательность, которую называют последовательностью Фибоначчи в честь итальянца Л. Пизанского (Фибоначчи) (ок. 1170 – ок. 1250). Он первым рассмотрел последовательность чисел, два первых члена которой – единицы и каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144 ….

Лишь несколько веков спустя была найдена формула члена последовательности Фибоначчи:

Арифметическая прогрессия, ее свойства. формула n-го члена арифметической прогрессии

Рассмотрим числовую последовательность, первый член которой равен 4, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом 3:

Такую последовательность называют арифметической прогрессией.

Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называют арифметической прогрессией.

Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой (от начальной буквы латинского слова differentia – разность). Значит, если – арифметическая прогрессия, то имеют место равенства:

Таким образом, для любого натурального получим равенство:

Тогда: то есть

разность арифметической прогрессии можно найти, если от любого члена прогрессии, начиная со второго, отнять предыдущий.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен , а ее разность равна . Тогда:

Заметим, что в каждой из полученных формул коэффициент у разности на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии, для которого записана эта формула. Действительно, чтобы найти , имея и , нужно раз прибавить к число , то есть к прибавить . Таким образом:

Получили формулу члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы.

Пример №364

Последовательность – арифметическая прогрессия, . Найти двадцатый член этой последовательности .

Решение:

Ответ. 25,2.

Пример №365

Принадлежит ли арифметической прогрессии 7; 10; 13; … число: 1) 82; 2) 102?

Решение:

В данной прогрессии , , тогда . Запишем формулу члена этой прогрессии: , то есть .

1) Допустим, число 82 является членом прогрессии . Тогда существует такое натуральное число , что , то есть . Имеем уравнение: , откуда получим, что .

Следовательно, число 82 является двадцать шестым членом арифметической прогрессии, то есть .

2) Рассуждая аналогично, имеем: , откуда .

Полученное число не является натуральным, а значит, арифметическая прогрессия числа 102 не содержит.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Пример №366

Кубики сложены рядами так, что в верхнем ряду 4 кубика, а в каждом следующем ниже ряду – на одно и то же количество кубиков больше, чем в предыдущем. Известно, что в шестом ряду 14 кубиков. Сколько кубиков в третьем ряду?

Решение:

Так как в каждом следующем ряду на одно и то же количество кубиков больше, чем в предыдущем, то числа, равные количеству кубиков в рядах, образуют арифметическую прогрессию, в которой , следовательно, нам нужно найти .

Для начала найдем разность этой прогрессии. Из формулы члена получим уравнение: , откуда .

Теперь, зная значение , найдем :

Следовательно, в третьем ряду 8 кубиков.

Заметим, что найти можно было и без использования уравнения, например выразив из формулы 6-го члена прогрессии. Действительно, поскольку , то

Ответ. 8 кубиков.

Докажем несколько важных свойств арифметической прогрессии.

1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов, то есть

Доказательство: Используем формулу члена арифметической прогрессии, тогда:

По одной из версий именно с этим свойством арифметической прогрессии связано ее название.

2. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух равноудаленных от него членов, то есть

Свойство доказывается аналогично предыдущему свойству.

3. Если и — натуральные числа и , то .

Доказательство: Используем формулу члена, тогда:

Но , поэтому , то есть .

4. Любую арифметическую прогрессию можно задать формулой , где и — некоторые числа.

Доказательство: По формуле члена имеем:

Обозначив , получим: .

5. Последовательность , заданная формулой вида , где и — некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Доказательство: Рассмотрим разность и членов этой последовательности:Получим, что для любого имеет место равенство . Следовательно, последовательность () является арифметической прогрессией, разность которой равна .

Первые представления об арифметической прогрессии появились еще до нашей эры. В древнеегипетском папирусе Ахмеса (II тыс. до н. э.) есть такая задача: «Тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры». Решение задачи сводится к нахождению десяти членов арифметической прогрессии: , сумма которых равна 10.

Задачи на арифметические прогрессии есть и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах».

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т. п.

У древних греков теория арифметических прогрессий была связана с так называемой непрерывной арифметической пропорцией:

Здесь числа образуют арифметическую прогрессию с разностью Таким образом, прогрессии рассматривались как бы продолжениями пропорций, вот почему эпитет арифметическая был перенесен с пропорций на прогрессии. Это еще одна из версий, почему эта прогрессия получила именно такое название.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Рассмотрим первых членов арифметической прогрессии . Обозначим через их сумму:

Найдем формулу для вычисления этой суммы. Запишем эту сумму дважды, разместив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором – в порядке убывания:

Теперь сложим эти равенства почленно и получим:

Но по свойству 3 из предыдущего параграфа: , то есть каждая сумма в скобках равенства равна , так как . Тогда правая часть равенства состоит из слагаемых, каждое из которых равно . Следовательно,

Разделив обе части этого равенства на 2, получим формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:

Если в формуле по формуле члена заменить выражением , получим:

или

Получили еще одну формулу для вычисления суммы п первых членов арифметической прогрессии, которой удобно пользоваться, если известны первый член и разность прогрессии.

Применим формулы и для решения примеров.

Пример №367

Найти сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии 4; 7; 10; … .

Решение:

1-й способ. Так как , то и .

Тогда по формуле :

2-й способ. Так как , и легко найти, что , используем формулу :

Ответ. 1425.

Пример №368

Найти сумму восемнадцати первых членов последовательности заданной формулой .

Решение:

Поскольку последовательность задана формулой , где , то она является арифметической прогрессией (по свойству 5 из предыдущего параграфа).

Имеем:

Найдем :

Ответ. -216.

Пример №369

Найти сумму всех натуральных чисел, кратных числу 7 и не превышающих 999.

Решение:

Натуральные числа, кратные числу 7, образуют арифметическую прогрессию: 7; 14; 21; 28; …, которую можно задать формулой .

Найдем, сколько членов этой прогрессии не превышают числа 999. Для этого решим неравенство и получим,

что .

Следовательно, 142 члена прогрессии не превышают 999. Найдем их сумму, то есть

Имеем: . Тогда:

Ответ. 71 071.

Пример №370

Из двух точек, расстояние между которыми 100 м, одновременно навстречу друг другу начинают двигаться два объекта. Первый движется равномерно со скоростью 9 м/с, а второй за первую секунду проходит 7 м, а за каждую следующую на 2 м больше, чем за предыдущую. Через сколько секунд они встретятся?

Решение:

Пусть объекты встретятся через секунд. Первый за это время преодолеет м. Расстояния, которые преодолеет второй объект за первую, вторую, третью и следующие секунды, образуют арифметическую прогрессию, у которой . Тогда за секунд второй объект преодолеет расстояние Sn> которое можно вычислить по формуле:

По условию , тогда , откуда . Второй корень не удовлетворяет задаче. Следовательно, , то есть встреча произойдет через 5 с.

Ответ. 5 с.

Уже в V в. до н. э. греки знали несколько прогрессий и их суммы, в частности:

1)

2)

3) и другие.

С вычислением суммы арифметической прогрессии связана интересная история, произошедшая с выдающимся немецким математиком Карлом Гауссом (1777-1855), который, еще учась в школе, проявил чрезвычайные математические способности. Однажды учитель предложил ученикам найти сумму ста первых натуральных чисел. Юный Гаусс мгновенно получил результат. Он заметил, что значения сумм 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, … одинаковы, а количество таких сумм равно 50:

Геометрическая прогрессия, ее свойства. формула n-го члена геометрической прогрессии

Рассмотрим числовую последовательность, первый член которой равен 3, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число 2:

Такую последовательность называют геометрической прогрессией.

Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждое из которых, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой (от первой буквы французского слова quotient – частное). Поэтому если – геометрическая прогрессия, то верны следующие равенства:

Следовательно, для любого натурального получим:

Тогда то есть

знаменатель геометрической прогрессии можно найти, ли любой член прогрессии, начиная со второго, разделить на предыдущий.

Заметим, что поскольку члены геометрической прогрессии отличны от нуля, то и знаменатель не может быть равным нулю, то есть .

Если , то геометрическая прогрессия будет состоять из одинаковых чисел. Например, если и , то получим геометрическую прогрессию:

Заметим, что полученную последовательность можно также считать и арифметической прогрессией, первый член которой равен -5, а разность равна нулю.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен , а знаменатель равен . Тогда

Заметим, что в каждой из полученных формул показатель степени числа на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии, для которого записана эта формула. Действительно, чтобы найти , имея и , нужно раз умножить на , то есть умножить на . Имеем:

Получили формулу члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы.

Пример №371

Последовательность – геометрическая прогрессия, . Найти .

Решение:

.

Ответ. .

Пример №372

Найти знаменатель геометрической прогрессии , если .

Решение:

1-й способ. . Тогда

При этом, то есть , откуда или .

2-й способ. .

Так как , то , откуда или .

Ответ. или .

Пример №373

Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Середины его сторон являются вершинами второго треугольника, а середины сторон второго являются вершинами третьего и т. д. (рис. 75). Найти площадь пятого треугольника, построенного по тому же принципу.

Решение:

Пусть – площади первого, второго, третьего и т. д. треугольников. Найдем :

Поскольку стороны каждого следующего треугольника являются средними линиями предыдущего, то длина стороны каждого следующего треугольника будет вдвое меньше длины стороны предыдущего. Тогда сторона второго треугольника равна 4 см, а его площадь . Сторона третьего треугольника равна 2 см, тогда . Очевидно, что в 4 раза меньше, чем , a в 4 раза меньше, чем , то есть приходим к выводу, что площадь каждого следующего треугольника в 4 раза меньше площади предыдущего, и поэтому найденные числовые значения площадей являются последовательными членами геометрической прогрессии со знаменателем , первый член которой равен . Тогда числовое значение площади пятого треугольника является соответственно пятым членом этой прогрессии. Значит,

Ответ.

Докажем некоторые важные свойства геометрической прогрессии.

1. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов, то есть

Доказательство. Воспользуемся формулой члена геометрической прогрессии. Тогда:

Если все члены геометрической прогрессии являются положительными числами, то , то есть каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим двух соседних с ним членов.

По одной из версий именно с этим свойством геометрической прогрессии и связано ее название.

2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух равноудаленных от него членов, то есть

Свойство доказывается аналогично предыдущему свойству.

3. Если — натуральные числа и , то .

Доказательство: Воспользуемся формулой члена геометрической прогрессии:

Нo , поэтому . Следовательно,

В уже неоднократно здесь упоминавшемся папирусе Ахмеса содержится следующая задача, в которой необходимо найти сумму членов геометрической прогрессии: «У семи человек по семи кошек, каждая кошка съедает по 1 мышей, каждая мышь съедает по 7 колосьев, из каждого колоса может вырасти по 7 мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?».

В своей работе «Псаммит» Архимед впервые сопоставил арифметическую и геометрическую прогрессии:

и указал на связь между ними, например: , то есть для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

У древних греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией:

в которой числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем Этой связью и объясняется одна из версий названия прогрессии – геометрическая.

Формула сложных процентов

Бухгалтерам и работникам банков часто приходится решать задачи на проценты. Рассмотрим задачу о начислении процентного дохода. С экономической точки зрения процентный доход можно считать вознаграждением, которое платит лицо или учреждение (заемщик) за пользование в течение определенного времени определенной суммой средств, полученных от другого лица или учреждения (кредитора). Размер этого вознаграждения зависит от суммы средств и срока пользования ими.

Пример №374

Вкладчик открыл в банке депозит в размере 10 ООО грн под 11 % годовых (то есть банк обязан выплатить процентный доход в размере 11 % в год от начальной суммы вклада). Какой процентный доход получит вкладчик через год?

Решение:

11 % = 0,11, поэтому вкладчик получит (грн) процентного дохода.

Ответ. 1100 грн.

Если вкладчик решил держать средства в банке более года, не добавляя новых средств и не забирая вложенных, то определить сумму средств на счету вкладчика через несколько лет можно с помощью формулы сложных процентов.

Пусть вкладчик положил в банк грн под % годовых, еще называют начальным капиталом. Через год банк начислит вкладчику грн процентного дохода. Поэтому на счету вкладчика через год будет грн – наращенный капитал. Обозначим . За второй год вкладчику будет начислено грн процентного дохода (ведь теперь банк начисляет % годовых от числа ), и его вклад будет равен:

Рассуждая аналогично и применяя формулу члена геометрической прогрессии , где и придем к выводу, что через лет наращенный капитал будет равен:

Таким образом,

начальный капитал , вложенный в банк под % годовых, через лет станет наращенным капиталом , размер которого определяется но формуле:

которую называют формулой сложных процентов.

Пример №375

Вкладчик открыл в банке депозит на 5000 грн под 12 % годовых. Сколько средств будет на счету вкладчика через 3 года? Какой процентный доход получит вкладчик через 3 года?

Решение:

. Тогда:

Процентный доход можно найти как разность

Таким образом, .

Ответ. 7024,64 грн, 2024,64 грн.

По формуле сложных процентов можно решать и другие задачи, не связанные с наращиванием капитала.

Пример №376

Население города составляет 30 000 жителей. Каждый год количество населения уменьшается на 0,2 %. Сколько жителей будет в этом городе через 10 лет?

Решение:

Так как население города ежегодно уменьшается на один и тот же процент, и это процент от количества населения каждого предыдущего года, а не от начального количества жителей, то можно воспользоваться формулой сложных процентов.

Имеем, (так как население уменьшается, то ), . Тогда:

.

Ответ. 29 405 жителей.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Рассмотрим первых членов геометрической прогрессии .

Обозначим через их сумму:

Найдем формулу для вычисления этой суммы. Имеем (учитывая формулу члена геометрической прогрессии):

Умножим обе части этого равенства на :

Вычтем почленно из этого равенства предыдущее:

Таким образом, и .

Если , получаем формулу суммы первых членов геометрической прогрессии:

Если , то все члены прогрессии равны первому члену и тогда .

Заметим, что полученную формулу можно записать и так:

Так как , то формулу можно записать и по-другому. Действительно,

Таким образом,

Получили еще одну формулу для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии, которой удобно пользоваться, если известны первый и члены прогрессии и ее знаменатель. Применим эти формулы для решения упражнений.

Пример №377

Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии 2; -6; 18; … .

Решение:

1-й способ. По условию:

Тогда по формуле :

2-й способ. Известно, что , тогда

По формуле :

Ответ. 1094.

Пример №378

Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии , если

Решение:

, тогда , следовательно, или .

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи:

1) если , то

2) если , то

Ответ. 252 или -84.

Пример №379

Сократить дробь

Решение:

Слагаемые в числителе дроби являются последовательными членами геометрической прогрессии 1, , , , , , первый член которой равен 1, а знаменатель равен . Из условия следует, что .

Найдем сумму всех шести членов этой прогрессии по формуле и сократим данную в условии дробь:

Ответ. .

Древняя индийская задача-легенда гласит- что изобретатель шахматной игры Сета в награду за свою остроумную выдумку попросил у индийского царя Шерама столько зерен пшеницы, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – два, на третью – четыре, на четвертую – восемь и т. д., пока не заполнятся все клетки.

Царь удивился, что изобретатель пожелал столь мало, и приказал придворным математикам подсчитать необходимое количество зерен. Каково же было изумление царя, когда он узнал, что не сможет выдать обещанную награду, так как необходимое число зерен равно

Чтобы получить столько зерен, потребовалось бы собрать урожай с площади, в 2000 раз превышающей всю поверхность Земли. А для хранения такого урожая понадобился бы амбар, который при высоте 4 м и ширине 10 м тянулся бы на 300 000 000 км, то есть вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Вычисление бесконечных сумм

Будем
теперь рассматривать бесконечную сумму
вида
.
Это выражение называется функциональным
рядом. При различных значенияхиз
функционального ряда получаются
различные числовые ряды.
Числовой ряд может быть сходящимся или
расходящимся. Совокупность значений,
при которой функциональный ряд сходится,
называется его областью сходимости.

Числовой
ряд называется сходящимся, если сумма
n первых его членов
приимеет
предел, в противном случае, ряд называется
расходящимся. Ряд может сходиться лишь
при условии, что общий член рядапри
неограниченном увеличении его номера
стремится к нулю:.
Это необходимый признак сходимости для
всякого ряда.

В
случае бесконечной суммы будем вычислять
ее с заданной точностью
Cчитается,
что требуемая точность достигается,
если вычислена сумма нескольких первых
слагаемых и очередное слагаемое оказалось
по модулю меньше чеме,
то есть это слагаемое на результат
практически не влияет. Тогда его и все
последующие слагаемые можно не учитывать.

Пример.
Написать программу для подсчета суммы
с
заданной точностью().

Указание
по решению задачи.
Рассмотрим, что представляет из себя
заданный ряд:
.
Как видим, общий член ряда с увеличением
значения i стремится к нулю. Поэтому
данную сумму можно вычислить, но только
с определенной точностью.
Заметим также, что последовательность
слагаемых можно выразить с помощью
рекуррентного соотношения,,
а всю сумму – с помощью рекуррентного
соотношения.
(Данные рекуррентные соотношения
выведите самостоятельно.)

using
System;

namespace
Hello

{

class
Program

{

static
void Main()

{

Console.Write(“Задайте
точность вычислений е: “);

double
e=double.Parse(Console.ReadLine());

double
a=-1, s=0;

for
(int i=2; Math.Abs(a)>=e; ++i)

{

s+=a;

a/=-i;

}

Console.WriteLine(“s={0:f2}”,s);

}

}

}

Практическое задание

Замечание.
При решении задач производить обработку
следующих исключительных ситуаций:
ввода пользователем недопустимых
значений и переполнения при вычислении
математических выражений.

1. Для
   заданного натурального
   и
   действительногоподсчитать
   следующие суммы:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. 

2. Для
   заданного натурального
   и
   действительногоподсчитать
   следующие выражения:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

3. Вычислить
   бесконечную сумму ряда с заданной
   точностью е (e>0).

1. 

2. 

3. 

4. 

Вычислить
и вывести на экран значение функции
на
отрезкеc
шагомс
точностьюРезультат
работы программы представить в виде
следующей таблицы:

№	Значение x	Значение функции F(x)	Количество просуммированных слагаемых n
1
2
…

Замечание.
При решении задачи использовать
вспомогательную функцию.

1. 

2. 

3. 

4. 

Лекция 8. Массивы

Данная
лекция рассматривает одномерные и
многомерные массивы. Приведено большое
количество практических примеров и
заданий.

Массив
– набор элементов одного и того же типа,
объединенных общим именем. Массивы в
С# можно использовать по аналогии с тем,
как они используются в других языках
программирования. Однако С#-массивы
имеют существенные отличия: они относятся
к ссылочным типам данных, более того –
реализованы как объекты. Фактически
имя массива является ссылкой на область
кучи (динамической памяти), в которой
последовательно размещается набор
элементов определенного типа. Выделение
памяти под элементы происходит на этапе
инициализации массива. А за освобождением
памяти следит система сборки мусора –
неиспользуемые массивы автоматически
утилизируются данной системой.

Рассмотрим
различные типы массивов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #