Как найти сумму чисел в кубах

Иногда единственный способ пройти через математические вычисления – это грубая сила. Но время от времени вы можете сэкономить много работы, распознавая особые проблемы, для решения которых вы можете использовать стандартизированную формулу. Нахождение суммы кубов и нахождение разности кубов являются двумя примерами именно этого: Как только вы знаете формулы для факторизации ³ + b ³ или ³ – b ³, найти ответ так же просто, как подставить значения для a и б в правильную формулу.

Помещение в контекст

Во-первых, кратко рассмотрим, почему вы можете захотеть найти – или, что более уместно, «фактор» – суммы или разности кубов. Когда концепция впервые вводится, это простая математическая задача сама по себе. Но если вы продолжите изучать математику, позже это станет промежуточным этапом в более сложных вычислениях. Поэтому, если вы получите ³ + b ³ или ³ – b ³ в качестве ответа во время других вычислений, вы можете использовать навыки, которые вы собираетесь изучить, чтобы разбить эти кубические числа на более простые компоненты, что часто облегчает продолжение решение исходной задачи.

Факторинг суммы кубов

Представьте, что вы достигли бинома x ³ + 27 и вас попросили упростить его. Первое слагаемое x ³, очевидно, является кубическим числом. После небольшого осмотра вы увидите, что второе число на самом деле тоже кубическое число: 27 – это то же самое, что и 3 ³. Теперь, когда вы знаете, что оба числа являются кубами, вы можете применить формулу для суммы кубов.

1. Напишите оба числа как кубики

Запишите оба числа в форме куба, если это не так. Чтобы продолжить этот пример, вам нужно:

2. Подставьте значения из шага 1 в формулу

Подставьте значения из шага 1 в формулу из шага 2. Итак, у вас есть:

x ³ + 3 ³ = ( x + 3) ( x ² – 3_x_ + 3 ²)

На данный момент прибытие в правую часть уравнения представляет ваш ответ. Это результат деления суммы двух чисел в кубах.

Факторинг Разницы Кубов

Факторизация разности двух чисел в кубах работает одинаково. На самом деле формула практически идентична формуле для суммы кубов. Но есть одно критическое отличие: обратите особое внимание на то, куда идет знак минус.

1. Определите свои кубики

Представьте, что вы получаете проблему y ³ – 125 и должны ее учитывать. Как и прежде, y ³ является очевидным кубом, и, немного подумав, вы сможете понять, что 125 на самом деле 5 ³. Так что у тебя есть:

у ³ – 125 = у ³ – 5 ³

2. Запишите формулу для разности кубов

Как и прежде, выпишите формулу для разности кубов. Обратите внимание, что вы можете заменить y на a, а 5 на b , и обратите особое внимание на то, куда в этой формуле идет знак минус. Расположение знака минус является единственной разницей между этой формулой и формулой для суммы кубов.

a ³ – b ³ = ( a – b ) ( a ² + ab + b ²)

3. Подставьте значения из шага 1 в формулу

Запишите формулу снова, на этот раз подставляя значения из шага 1. Это дает:

y ³ – 5 ³ = ( y – 5) ( y ² + 5_y_ + 5 ²)

Опять же, если все, что вам нужно сделать, это учесть разницу в кубах, это ваш ответ.

Краткое описание

В алгебре большим спросом пользуются различные формулы и соответствующие правила сокращённого умножения. При правильном подходе ученик может максимально быстро и правильно решать большие уравнения. Универсальные формулы были получены специалистами для умножения и вычитания сразу нескольких многочленов. Только подготовленные ученики могут максимально быстро решать поставленные задачи, существенно упростив используемое выражение. Базовые правила востребованных преобразований позволяют выполнять определённые манипуляции с уравнениями.

Если максимально придерживаться основных рекомендаций, то можно будет получить в левой части примера равенство выражения, расположенное с правой стороны. Ученик должен хорошо владеть теми формулами, которые применяются для сокращённого умножения, используемого во время решения задач, а также уравнений. Но даже в этом случае нужно соблюдать ряд нюансов, чтобы можно было избежать допущения грубых ошибок.

Интересным фактом является то, что некоторые формулы для быстрого умножения были выведены экспертами ещё в конце четвёртого тысячелетия до нашей эры. Именно целеустремлённые греки максимально развили идеи своих предшественников, из-за чего им удалось разработать сразу несколько важных и полезных правил. Но в те времена математики мыслили совершенно иначе, так как они стремились воссоздать числа с помощью подручных материалов или геометрических фигур. К примеру: специально обтёсанные камни на счётной доске из дерева.

Ещё несколько лет назад формулы для определения суммы различных величин выводились исключительно геометрическим методом. Эксперты практиковали рассечение квадрата на разные фрагменты. Настоящий подъём науки пришёлся на времена Ньютона и других учёных. Именно эти целеустремлённые люди смогли внести огромный вклад в развитие формул для алгебры, представив обществу усовершенствованный вариант.

Сумма и разность кубов

Для изучения этой темы должно быть отведено достаточно времени, так как только после изучения всех нюансов ученик сможет должным образом применить свои знания. Основная формула суммы кубов двух чисел выглядит следующим способом: w3 + y3 = (w + y) (w2 — wy + y2). Стоит отметить, что задействованное выражение w2 — wy + y2 отличается от правой части только присутствующим коэффициентом при y. Именно поэтому такое выражение называют неполным квадратом разности.

Обязательно нужно усвоить правило, что итог двух кубических (ударение падает на слог с первой буквой «и») корней будет соответствовать произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Нужно понимать, что каждая математическая задача обладает определёнными характеристиками, которые нельзя оставить без внимания.

Элементарную формулу сумму кубов получают следующим образом:

1. (w + y)3 = w3 +3w2y +3 wy2 + y3.
2. Из описанного выше примера можно выразить w3+ y3; w3 +y3 =(w+y)3−3w2y-3wy2 =(w+y)3−3wy (w+y)=(w+y)((w+y)2−3wy)=(w+y)(w2 -wy+y2).

Определение разности кубов сопряжено с некоторыми нюансами. Если в элементарной формуле попробовать заменить суммы кубов y на -y. После выполненных манипуляций можно правильно отобразить не только равнозначность, но и разность кубов: w3 — y3 = (w — y) (w2 + wy + y2). Эксперты утверждают, что для неполного квадрата суммы свойственно следующее выражение: w2 + wy + y2. Самостоятельный анализ поставленной задачи позволяет раскрыть больше ценной информации, которая нужна для получения необходимых навыков.

Зафиксированная сумма кубов раскладывается по специальной технологии, так как разность кубов двух уравнений равна произведению разности этих уравнений на неполный квадрат их суммы. В качестве примера можно изучить следующую задачу:

1. Нужно разложить на отдельные множители многочлен 27х 3−8у 6.
2. Следует заметить, что 27х 3 =(3х) 3. А вот 8у 6 =(2у 2) 3.
3. По действующей формуле разности геометрических кубов можно получить — 27х 3−8у 6 =(3х-2у 2)(9х 2 +6 ху 2 +4у 4).

По описанному примеру можно понять, что решать поставленные задачи можно быстро и без ошибок, но это только в том случае, если заранее изучить все правила. Ученику необходимо решить минимум три задачи, чтобы увидеть разницу между уравнениями и выполнить полное раскрытие темы.

Основное доказательство ФСУ

Во время изучения математики перед учениками неизбежно возникает необходимость определить сумму кубов. Примеры решения элементарных и более сложных задач позволяют лучше усвоить тему. Основное доказательство ФСУ отличается своей простотой и элементарностью. Базируясь на свойствах умножения можно правильно выполнять сложение цифр из всех частей формул в скобках. В качестве примера можно рассмотреть формулу квадрата разности: d — r2= d−2dr + r2.

Чтобы иметь возможность возвести пример во вторую степень, необходимо задействованное выражение умножать само на себя:

1. d — r2= d — rd — r.
2. Скобки раскрываются следующим образом: d — rd — r = d2- dr — rd + r2= d2−2 dr + r2.

После этого можно считать, что формула полностью доказана. Все остальные ФСУ описываются подобным образом.

Основная цель применения математических приёмов — максимально быстрое и правильное умножение, а также возведение в степень имеющихся выражений. Но это далеко не все способы использования ФСУ. Распространённые методы сокращённого умножения применяются для упрощения выражений, разложение задействованных многочленов на множители, а также для работы с различными дробями.

Пример: нужно попробовать упростить выражение 9y -(1 +3у)2. Если прибегнуть к формуле, которая касается суммы квадратов, то в итоге получится следующий результат — 9у-(1+3у)2=9у-(1+6у+9у2)=9у-1−6у-9у2=3у-1−9у2. Более сложный пример задачи связан с сокращением дробей: 8*3-с64*2-с4. В числителе присутствует разность кубов, а в знаменателе это утверждение касается квадратов. После всех манипуляций формула примет следующий вид: 8*3-с64*2-с4=2х -с (4*2+2 *с+с4) 2х-с2х+с. На третьем этапе остаётся только выполнить финальный переход: 8*3-с64*2-с4 =(4*2+2 *с+с4)2х+с.

При правильном подходе ФСУ позволяет даже вычислить значения математических выражений. Главная задача — иметь достаточно навыков, чтобы заметить, где именно будет уместна формула. Если по условиям задачи нужно возвести в квадрат любое число (к примеру: 79), тогда вместо громоздких вычислений можно прибегнуть к более лаконичным и понятным записям: 79=80−1; 792=80−12=6400−160+1=6241.

Формулы умножения с упрощённой схемой и специальные таблицы позволяют гораздо быстрее выполнить все необходимые вычисления. Определённые сложности могут возникнуть с выделением квадрата двучлена, так как в этом случае можно допустить много ошибок.

Математическое выражение 4х2+4х-3 можно легко преобразовать. В этом случае можно получить следующий результат: 2х2 +2*2*х *1 +12−4=2х+12−4. Интересным является то, что именно такое преобразование активно используется в интегрировании.

Вспомогательная информация

Именно сумма сразу двух геометрических кубов получила большой спрос в алгебре для кардинального упрощения многочленов. Лучше всего рассматривать конкретные примеры, которые относятся к категории сложных уравнений. Без наставлений учителя решать такие задачи при помощи универсального тригонометрического аппарата будет крайне сложно, особенно для неподготовленного школьника.

Грубые ошибки допускают те, кто плохо знаком со свойствами синусов и косинусов. На помощь может прийти правило суммы двух кубов, так как все описанные примеры максимально повторяют разложение на отдельные множители выражения a 2 + b 2. Но в этом случае вместо а — sinx, а b заменил cosy.

Если следовать правилам, то многоуровневое тригонометрическое выражение может легко превратиться в лаконичную запись, где sin3x + cos3y. После этого остаётся применить эту универсальную формулу во время подсчёта. Многие люди практически на память знают все квадраты к используемым в повседневной жизни натуральным числам до пятнадцати. А ученики, которые занимаются арифметикой на постоянной основе, владеют большим количеством квадратов. Гораздо сложнее работать с кубами. Если по условиям задачи нужно посчитать сумму двух таких кубов, то гораздо практичнее и быстрее применить формулу разложения на отдельные множители.

В качестве примера можно посчитать следующее выражение: 153 -123. Без предварительной подготовки вычислить кубы этих чисел просто невозможно (если ученик не посещает специальный математический кружок). Лучше всего прибегнуть к следующей формуле: 15 3 + 12 3 = (15 + 12) x (15 2−15×12 + 12 2). Дополнительно все действия можно проверить при помощи калькулятора. В кубе 15 даёт число 3375, а вот 12 — это 1728. Если всё просуммировать (3375+1728), то в итоге получим 5103. Ранее полученный результат оказался правильным, но работать с меньшими числами гораздо проще и удобнее.

На просторах интернета много различных программ, которые считают сумму двух кубов с различными иллюстрациями промежуточных вкладов. Эта разработка программистов пригодится школьникам, стремящимися проверить результаты выполненных работ, а также взрослым, которые хотят возобновить в памяти школьный курс алгебры.

Особенности использования уравнений

Для лучшего усвоения этой темы следует более подробно изучать приведённые примеры. В качестве основы следует взять элементарную формулу для квадрата суммы двух чисел: h+ hl = h2+2 hl + l2. Этот математический пример необходимо читать только таким образом: квадрат суммы для двух выражений h и l соответствует квадрату первого выражения, удвоенного произведения уравнения, а также квадрату второго выражения. Точно таким образом математики читаются все остальные формулы.

Если нужно записать квадрат разности h — l2= h2−2hl + l2. Запись такого уравнения выглядит только так: квадрат математической разности двух примеров максимально соответствует конечной сумме, которая была получена от квадрата этих утверждений. Но также перед учеником может возникнуть необходимость правильно прочитать более сложную формулу: h + l3= h3+3h2l +3hl 2+ l3. Задействованный куб суммы двух математических уравнений соответствует итоговым данным этого примера. В этом уравнении присутствует утроенное произведение квадрата первого выражения на второе.

Ключевые нюансы

Чтобы правильно посчитать квадрат разности, нужно определить сумму, которая состоит из квадрата первого числа, удвоенного произведением первого числа на второе. В виде стандартного математического выражения это правило будет выглядеть так: (g — v) 2 = g 2 -2 gv + v 2. А вот формула установленной разности двух чисел, которые предварительно были возведены в квадрат, максимально соответствует произведению суммы этих элементов на их разность. Уравнение имеет такой вид: f 2 — j 2 =(f + j)*(f — j).

Если есть необходимость самостоятельно вычислить куб суммы двух слагаемых, тогда первым делом определяют сумму, которая включает в себя куб первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого и второго слагаемого. В алгебре это выражение выглядит так: (d+e) 3 = d 3 +3 d 2 e +3 de 2 + e 3.

Специальные формулы сокращённого умножения являются неотъемлемой темой в школьной программе по алгебре, так как она обязательно пригодится во время решения многоуровневых задач. Это своеобразная основа, на которой строятся решения интегральных исчислений. Онлайн-калькуляторы помогают лучше освоить технологию применения формулы двух кубов, которые можно свернуть, а потом снова открыть для приведения уравнения в нужный вид.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 марта 2023 года; проверки требует 1 правка.

У этого термина существуют и другие значения, см. Куб (значения).

Кубом числа называется результат возведения числа в степень 3, то есть произведение трёх множителей, каждый из которых равен Эта арифметическая операция называется «возведением в куб», её результат обозначается :

Для возведения в куб обратной операцией является извлечение кубического корня. Геометрическое название третьей степени «куб» связано с тем, что античные математики рассматривали значения кубов как кубические числа, особый вид фигурных чисел (см. ниже), поскольку куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной .

Последовательность кубов[править | править код]

Последовательность кубов неотрицательных чисел начинается числами^[1]:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97336, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сумма кубов первых положительных натуральных чисел вычисляется по формуле:

Вывод формулы[править | править код]

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии^[2]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области первой таблицы:

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

Некоторые свойства[править | править код]

• В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в отличие от квадрата)
• В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:

последняя цифра	предпоследняя цифра
0	0
5	2, 7
4, 8	чётная
2, 6	нечётная
1, 3, 7, 9	любая

Кубы как фигурные числа[править | править код]

«Кубическое число» исторически рассматривалось как разновидность пространственных фигурных чисел. Его можно представить как разность квадратов последовательных треугольных чисел^[3] :

Разность между двумя соседними кубическими числами есть центрированное шестиугольное число.

Выражение кубического числа через тетраэдральные^[3] :

, где

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел. Впервые эта гипотеза («проблема Варинга») была высказана Эдуардом Варингом в 1770 году, доказана Гильбертом в 1909 году. Обычно для представления заданного числа достаточно семи кубов, но 15 чисел требуют восьми (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, последовательность A018889 в OEIS), а двум числам нужны все девять: 23 и 239^[4][5].

Если, кроме сложения, допускать вычитание (или, что то же самое, допускать кубы отрицательных чисел), то достаточно пяти кубов. Например, для вышеупомянутого числа 23 хватает и четырёх^[5][4].:

Была высказана гипотеза, что любое целое число можно представить в виде суммы не более четырёх кубов (со знаками), но это пока не доказано, хотя проверено на компьютере для чисел до 10 млн. В 1966 году В. Демьяненко доказал, что любое целое число, кроме чисел вида 9n ± 4, представимо как сумма четырёх кубов. Наибольшее число, которое, возможно, не представимо в виде суммы четырёх кубов, это 7 373 170 279 850, и есть основания думать, что это наибольшее такое число^[6][4].

Производящая функция кубических чисел имеет вид^[3]:

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки[править | править код]

• Фигурные числа
• Figurate Numbers на сайте MathWorld (англ.)