Как найти сумму числового ряда формула

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$ frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = frac{A}{2n+1} + frac{B}{2n+3} = frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

$$ begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \ n^1: &3A+B=1 end{cases}Rightarrow begin{cases} A=frac{1}{2} \ B=-frac{1}{2} end{cases} $$

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

$$ a_n =frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2} frac{1}{2n+1} – frac{1}{2} frac{1}{2n+3} $$

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + … + a_n $$

$$ a_1 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) $$

$$ a_2 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) $$

$$ a_3 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) $$

$$ …………………………………. $$

$$ a_{n-1}=frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) $$

$$ a_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Замечание

Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_{n-1} $. Обратите внимание, чтобы составить $ a_{n-1} $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

Итого, получаем:

$$ S_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) + … $$

$$ … + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

Выносим дробь одну вторую $ frac{1}{2} $ за скобки:

$$ = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9} … + $$

$$ + … frac{1}{2n-1} – frac{1}{2n+1} + frac{1}{2n+1} – frac{1}{2n+3} bigg) = $$

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

$$ S_n = frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

$$ S=lim_{ntoinfty} S_n = lim_{ntoinfty} frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

$$ = frac{1}{2} lim_{ntoinfty} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = frac{1}{2} cdot frac{1}{3} = frac{1}{6} $$

Нахождение суммы числового ряда. Первая часть.

В теме про основные понятия числовых рядов было указано определение суммы ряда. Вот оно:

Если существует конечный предел $S=lim_{ntoinfty}S_n$, то его называют суммой ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ и сам ряд именуют сходящимся. Если же $lim_{ntoinfty}S_n=infty$ или $lim_{ntoinfty}S_n$ не существует, то ряд называют расходящимся.

Если понятие “частичная сумма” вызывает вопросы, то советую посмотреть раздел про частичную сумму ряда, обратив внимание на пример №4. В этом примере подробно раскрывается суть частичной суммы и остатка.

В данной теме нас будет интересовать вопрос нахождения сумм числовых рядов по определению. Определение суммы ряда опирается на значение $lim_{ntoinfty}S_n$, поэтому для нахождения суммы нам нужно выполнить два шага:

1. Составить n-ю частичную сумму $S_n$;
2. Найти $lim_{ntoinfty}S_n$ (если он существует).

Если конечный $lim_{ntoinfty}S_n$ существует, то его значение и будет суммой рассматриваемого ряда, а сам ряд будет именоваться сходящимся. Если же $lim_{ntoinfty}S_n=infty$ или $lim_{ntoinfty}S_n$ не существует, то ряд будет расходиться. Есть несколько стандартных приёмов, которые применяются для нахождения суммы числовых рядов. Например, для нахождения суммы ряда, общий член которого имеет вид рациональной дроби $u_n=frac{P(n)}{Q(n)}$, вполне подходит такой алгоритм:

1. Разложить дробь $frac{P(n)}{Q(n)}$ на элементарные дроби (процедура разложения описана тут).
2. Записать выражение для частичной суммы $S_n$, используя результаты предыдущего пункта.
3. Перегруппировать слагаемые в выражении для $S_n$, приведя их к удобному для сокращения виду.
4. Используя результат предыдущего пункта, найти $lim_{ntoinfty}S_n$.

Для нахождения суммы ряда нередко удобно использовать и такое свойство:

Пусть общий член ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ можно представить в виде $u_n=b_{n+1}-b_n$. Если существует конечный предел $lim_{ntoinfty}b_n=b$, то ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится. При этом частичная сумма ряда равна $S_{n}=b_{n+1}-b_1$, а сумма ряда $S=b-b_1$.

Доказательство этого свойства может быть интересно не всем читателям, поэтому я скрою его под примечание.

Доказательство свойства: показатьскрыть

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Пример №1

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=(-1)^{n+1}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=\=(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+(-1)^5+ldots+(-1)^{n+1}=1-1+1-1+ldots+(-1)^n.
$$

Вопрос в следующем: чему равна эта сумма? Если в частичных суммах мы станем брать чётное количество слагаемых, они попарно сократятся:

begin{aligned}
& S_2=1-1=0;\
& S_4=1-1+1-1=0;\
& S_6=1-1+1-1+1-1=0;\
& S_8=1-1+1-1+1-1+1-1=0.
end{aligned}

Итак, частичная сумма, содержащая чётное количество слагаемых, равна 0. Т.е. если $n$ – чётное число, то $S_n=0$. Фразу “n – чётное число” можно записать так: $n=2k$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1=2$, $n=2cdot 2=4$, $n=2cdot 3=6$, $n=2cdot 4=8$ и так далее. Итак, $S_{2k}=0$.

Если мы станем брать нечётное количество слагаемых (1, 3, 5 и т.д.), то сумма станет равна 1:

begin{aligned}
& S_1=1;\
& S_3=1-1+1=1;\
& S_5=1-1+1-1+1=1;\
& S_7=1-1+1-1+1-1+1=1.
end{aligned}

Таким образом, если $n$ – нечётное число, то $S_n=1$. Фразу “n – нечётное число” можно записать так: $n=2k-1$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1-1=1$, $n=2cdot 2-1=3$, $n=2cdot 3-1=5$, $n=2cdot 4-1=7$ и так далее. Итак, $S_{2k-1}=1$.

Формально равенство $S_{2k-1}=1$ можно доказать с помощью формулы $S_{2k}=S_{2k-1}+u_{2k}$. Так как $S_{2k}=0$, то $S_{2k-1}+u_{2k}=0$, т.е. $S_{2k-1}=-u_{2k}$. Так как $u_{2k}=(-1)^{2k+1}=left((-1)^2right)^kcdot (-1)^1=-1$, то $S_{2k-1}=-(-1)=1$.

Возникает вопрос: как быть с пределом $lim_{ntoinfty}S_n$? Ведь если $n$ – чётное число, т.е. $n=2k$, то:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ktoinfty}S_{2k}=lim_{ktoinfty}0=0.
$$

С другой стороны, если $n$ – нечётное число, то:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ktoinfty}S_{2k-1}=lim_{ktoinfty}1=1.
$$

Что мы получили? А получили мы следующее: последовательность частичных сумм ${S_n}$ имеет две подпоследовательности: ${S_{2k-1}}$ и ${S_{2k}}$, пределы которых различны. Следовательно, последовательность ${S_n}$ не имеет предела. Вывод: ряд не имеет суммы, т.е. расходится.

Здесь стоит обратить внимание вот на что: следует различать случаи, когда предел равен бесконечности (см. следующий пример №2), и когда предела попросту не существует. Хотя и в том и в другом случаях ряд будет расходиться.

Ответ: ряд расходится.

Пример №2

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}(3n+1)$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=3n+1$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=4+7+10+13+ldots+3n+1.
$$

Эту сумму можно записать в более коротком виде. Дело в том, что последовательность 4, 7, 10, 13 и т.д. есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен 4, а разность равна 3. Сумма первых n членов этой прогрессии такова:

$$
4+7+10+13+ldots+3n+1=frac{4+3n+1}{2}cdot n=frac{3n+5}{2}cdot{n}.
$$

Итак, $S_n=frac{3n+5}{2}cdot n$. Найдем $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{3n+5}{2}cdot nright)=+infty.
$$

Так как $lim_{ntoinfty}S_n=+infty$, то ряд расходится.

Если немного выйти за рамки данной темы, то стоит отметить, что расходимость этого ряда легко доказывается с помощью необходимого признака сходимости.

Ответ: ряд расходится.

Пример №3

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Почему я пишу именно $frac{2}{3cdot 5}$, а не $frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $lim_{ntoinfty}S_n$, но если мы просто запишем:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}right),
$$

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:

$$
frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{A}{2n+1}+frac{B}{2n+3}=frac{Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

$$
2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1).
$$

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем – будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

$$
2=2An+3A+2Bn+B;\
2=(2A+2B)n+3A+B.
$$

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

$$
left{begin{aligned}
& A+B=0;\
& 3A+B=2.
end{aligned}right.
$$

Можно решать эту систему методом Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы. Однако проще всего банально выразить из первого уравнения $A=-B$ и подставить во второе:

$$
3cdot (-B)+B=2;; -2B=2; ; B=-1.
$$

Так как $B=-1$, то $A=-B=1$. Подставляя найденные значения $A=1$ и $B=-1$ в формулу $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{A}{2n+1}+frac{B}{2n+3}$, будем иметь:

$$
frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2n+1}+frac{-1}{2n+3}=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}.
$$

Итак, $u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}$. Используем полученное разложение для того, чтобы упростить формулу частичной суммы ряда. Покажу сначала решение стандартным путём, принятым в большинстве решебников и методичек.

Первый способ упрощения формулы для частичной суммы.

Мы получили разложение общего члена ряда на две дроби: $u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}$. Чтобы этот результат был более наглядным, я распишу несколько первых членов ряда по этой формуле:

begin{aligned}
& u_1=frac{2}{3cdot 5}=frac{1}{3}-frac{1}{5};\
& u_2=frac{2}{5cdot 7}=frac{1}{5}-frac{1}{7};\
& u_3=frac{2}{7cdot 9}=frac{1}{7}-frac{1}{9};\
& u_4=frac{2}{9cdot 11}=frac{1}{9}-frac{1}{11}.
end{aligned}

Давайте распишем частичную сумму, учитывая полученное разложение каждого элемента:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}.
$$

Как видите, все слагаемые этой суммы сокращаются, – кроме первого и последнего:

Итак, $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Этот способ упрощения формулы для частичной суммы имеет простую суть: разложить общий член ряда на элементарные дроби, а потом сократить слагаемые.

Однако можно ли считать вышеуказанные рассуждения строгим доказательством? Полагаю, что в общем случае нет, и поясню почему. Дело в том, что мы должны “увидеть” (как любят писать некоторые авторы – “легко увидеть”), что слагаемые сокращаются. А если мы “увидим” не все слагаемые, которые останутся после сокращения? Где гарантии, что мы сократим именно то, что нужно? Нет гарантий. Понятно, что в случае рассматриваемой конкретной задачи всё тривиально и очевидно, но далеко не все частичные суммы рядов имеют такую простую структуру.

Формулу $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$ можно принять в качестве гипотезы, которую ещё нужно доказать. Доказательство удобнее всего проводить методом математической индукции. Так как доказательством заинтересуются не все читатели, то я его скрыл под примечание.

Доказательство формулы $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$: показатьскрыть

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются “вычёркиванием” сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.
$$

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Этот способ основан на свойстве, записанном в начале страницы. По сути, он схож с предыдущим, – разница лишь в применении уже готовой теоремы, доказанной нами ранее. Вернёмся к записи общего члена ряда:

$$
u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}
=frac{-1}{2n+3}-frac{-1}{2n+1}
$$

Обозначим $b_n=frac{-1}{2n+1}$, тогда $b_{n+1}=frac{-1}{2(n+1)+1}=frac{-1}{2n+3}$. Таким образом, $u_{n}=b_{n+1}-b_{n}$. При этом $lim_{ntoinfty}b_n=0$. Согласно упомянутому свойству, ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится. При этом его сумма равна $S=0-b_1=frac{1}{3}$. Если есть необходимость, можно записать и частичную сумму ряда:

$$
S_n
=b_{n+1}-b_1
=frac{-1}{2n+3}-left(-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Третий способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю большей частью именно этот способ 🙂 Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}.
$$

Мы получили ранее, что $u_k=frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}$, поэтому:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right).
$$

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

$$
S_n
=frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}=\
=frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+1}-left(frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+3}right).
$$

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство оформим более компактно:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}.
$$

Теперь преобразуем выражения $frac{1}{2k+1}$ и $frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Приведём, например, дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$. Выражение в знаменателе дроби $frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:

$$
frac{1}{2k+3}=frac{1}{2k+2+1}=frac{1}{2(k+1)+1}.
$$

И сумму $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2(k+1)+1}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Если равенство $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показатьскрыть

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Заметьте, что суммы $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}$ и $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. Начнём с первой суммы.

Сделаем так, чтобы верхний предел суммирования стал равен $n+1$. Если $k=n+1$, то $frac{1}{2k+1}=frac{1}{2n+3}$. Прибавляя и вычитая из первой суммы $frac{1}{2n+3}$, получим:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}+frac{1}{2n+3}-frac{1}{2n+3}
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}
$$

Для второй суммы $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ сделаем так, чтобы нижний предел суммирования был равен 1. Если $k=1$, то $frac{1}{2k+1}=frac{1}{3}$. Прибавляя и вычитая $frac{1}{3}$, получим:

$$
sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}
=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}+frac{1}{3}-frac{1}{3}
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}
$$

С учётом полученных результатов, выражение для $S_n$ примет такой вид:

$$
S_n
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}-left(sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}
=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=\

=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}=\

=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}-left(sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Напомню, что мы приводили дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $frac{1}{2k+1}$ в виде $frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показатьскрыть

Итак, $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Находим предел $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.
$$

Заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Ответ: $S=frac{1}{3}$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Как сложить целые числа от 1 до N? Целые числа – это числа, не содержащие дробную или десятичную часть. Если в задаче требуется сложить определенное количество целых чисел от 1 до заданного значения N, то их не нужно складывать вручную. Вместо этого воспользуйтесь формулой (N(N+1))/2, где N – наибольшее число ряда. Окончательный ответ есть сумма всех целых чисел от 1 до данного N. Пример: (100(100+1))/2 = 100(101)/2 = (10100)/2 = 5050 Сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим В Рокот­ов [278K] 2 месяца назад  Этот вопрос один из самых популярных в школьном образовании, даже несмотря на то, что сейчас на любое действие имеется онлайн калькулятор или иной электронный ресурс с подстановкой данных. Однако, более пригодится все-таки иметь представление о счете в диапазоне самому. Самая удобная формула нахождения суммы последовательного ряда в диапазоне от 1 до какого-то еще числа, назовем его N, такая: S =(n+1)*n/2; где N – наибольшее число ряда. Математику на пальцах не объяснишь, нужны примеры. Возьмем скажем последовательный ряд от единицы до пятнадцати., где нужно найти сумму диапазона от 1 до 15: (1+15)*15/2=120. Теперь стало более понятно. Удачи в будущих свершениях! -Irink­a- [281K] 2 месяца назад  Для того, чтобы облегчить жизнь – сделать расчеты более быстрыми и легкими, необходимо знать и пользоваться формулами. Для того, чтобы быстро и легко рассчитать сумму чисел, не производить сложение чисел в ручную, стоит воспользоваться формулой. Данная формула проверена ниже в ответе. В данной формуле буквой n обозначено максимальное число в данном ряду. Для того, чтобы понять формулу, можно произвести наглядный рассчет. За n условно возьмём число 6. Теперь подставляем зга, гения в формулу. S = 6×(6+1)/2 = 42/2 = 21. Теперь произведём сложение чисел последовательно без использования формулы. S = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21. Данные расчёты доказывают, что формула рабочая и ч её помощью произвести расчёт быстрее. Extri­mal [148K] 2 месяца назад  В математике данный вопрос можно встретить довольно часто. Многие считают, что это проще сделать вручную, складывая числа друг с другом по очереди. Однако если речь идет о больших числах, например если N=100, то проще воспользоваться формулой. Формула следующая Сумма равна (n+1) умножаем на n и делим на 2. Пробуем вычислить сумму, если n равно 100. 101*100/2 получаем 5050. Корне­тОбол­енски­й [160K] 2 года назад  Имеем ряд натуральных чисел. Первое число в ряду – единица, последнее N. Их сумму можно вычислить по формуле Для примера рассмотри сумму первых 10 натуральных чисел. В формулу вместо N поставим 10. Получим 10*(10+1)/2 = 55. Проверить несложно, посчитав эту сумму вручную. Серге­й1111­0 [19.3K] 3 года назад  На самом деле, можно заметить, что ряд натуральных чисел образует арифметическую прогрессию с шагом 1. Сумма первых n членов арифметической прогрессии определяется формулой: S = (a1+an)*n/2; a1 = 1, а значит S = (n+1)*n/2 Это и есть сумма первых n натуральных чисел. Есть еще много способов ее посчитать, к примеру, написать программу на языке программирования (примерный код прилагаю): program a; var sum, i, n:longint; begin sum = 0; read(n); for i:=1 to n do begin sum:=sum+i; end; writeln(sum); end. Это код на языке программирования “Паскаль”. Думаю, есть еще много способов посчитать сумму n первых натуральных чисел, но основные я перечислил. Просв­ет [4.1K] 7 лет назад  Целые числа – это все числа, которые не дробные и не имеют десятично части, то есть 1, 2, 3, 10, 14, и так далее. Чтобы узнать их сумму, нужно ввести такой процесс с циклом: 1.. Задается N. A=0 S=0 2.. От 1 до N делать A=А+1 S=S+A В результате вы получите окончательный ответ S – сумма. (Вводить можно в паскале) MarkT­olkie­n [85.3K] 6 лет назад  Задача сложить ряд чисел от единицы до N не так сложна, но она требует слишком много времени. Упростить задачу призвана довольно простая формула: (N * (N + 1)) / 2 . Проверить формулу можем на простом примере вычисления суммы чисел от 1 до 5. 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15. По формуле получаем 5 * (5 + 1) / 2 = 15. Чосик [208K] более года назад  В данном примере мы обозначаем сумму чисел как S, а N – будет числом, до которого будет идти счет. То есть, N является самым большим числом среди всех. Рассчитываем сумму по формуле: Проверить правильность решения можно на малом числе. Допустим, N = 7. Можно просчитать сумму от 1 до 7. Выходит S = 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Теперь решим по формуле. S = 7 * (7+1)/ 2 = 7*8/2 = 56/2 = 28 владс­андро­вич [766K] более года назад  Если у нас идут натуральные числа вряд. При этом первым числом будет цифра 1, а последним N, то есть неизвестное. Тогда сумма их вычисляется вот такой вот формулой: (N * (N + 1)) / 2 . К примеру у вас в сумме идут 5  натуральных чисел. В формуле вместо N должна быть цифра 5.  В итоге рассчитываем все так 5*(5+1)/2 =15. Степа­н БВ [41.2K] 2 месяца назад  Сложить целые числа от 1 до N можно по формуле суммы арифметической прогрессии: S = (N * (N + 1)) / 2 где S – сумма чисел от 1 до N, N – последнее число в ряду. Например, если нужно сложить числа от 1 до 10, то S = (10 * (10 + 1)) / 2 = 55 Таким образом, сумма чисел от 1 до 10 равна 55. Natas­ha145 [17K] 7 лет назад  Это арифметическая прогрессия. Формула суммы N – первых членов такава: Знаете ответ?

Содержание:

1. Понятие суммы ряда
2. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
3. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

Понятие суммы ряда

Постановка задачи. Найти сумму ряда

где — целые числа.

План решения. Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм , т.е.

где

1. По условию задачи

Если корни знаменателя различаются на целое число, т.е. где — натуральное число, то члены последовательности частичных сумм ряда легко найти, так как в выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби:

и выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какие слагаемые сокращаются при вычислении частичных сумм ряда.

3. Находим -ю частичную сумму ряда:

,

сократив соответствующие слагаемые.

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1)

и записываем ответ.

Пример:

Найти сумму ряда

Решение:

1. Корни знаменателя и различаются на целое число, т.е. Следовательно, члены последовательности частичных сумм ряда легко найти, так как в выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби

и выписываем несколько членов ряда:

3. Сокращая все слагаемые, какие возможно, находим -ю частичную сумму ряда:

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1):

Ответ:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

План решения.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Если , ряд расходится. Если , ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами

2. Делаем в исходном ряде замену , получим степенной ряд

с областью сходимости .

3. Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (2), получаем

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке , то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа). Следовательно,

6. Вычисляем интеграл, делаем замену на и записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание. Если ряд имеет вид

то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды или разлагаем дробь на элементарные:

и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.

Пример:

Найти сумму ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

В граничных точках при ряд расходится, при ряд сходится условно.

Следовательно, данный ряд сходится при всех .

2. Сделаем замену Получим геометрический ряд (1) с областью сходимости

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (4), получаем

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке , то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, формула (5) справедлива при всех .

6. Заменяя на , получаем при

Ответ.

Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

План решения.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Если , ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами .

2. Делаем в исходном ряде замену и записываем его в виде суммы двух рядов

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

и

3. Известна формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (1), получаем

6. Вычисляем производную и делаем замену на . Записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание. Если ряд имеет вид

то вычисляем сумму трех рядов, причем при вычислении суммы ряда

применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ряда дважды.

Пример:

Найти сумму ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством . Отсюда . В граничных точках ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Следовательно, ряд сходится в интервале .

2. Делаем в исходном ряде замену и записываем его в виде суммы двух рядов

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Следовательно, при всех .

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (2), получаем

Таким образом,

Заменяя на , получим

Ответ.

Пуская задано числовую последовательность $a_1, a_2,dots {,a}_n,dots ,$ тогда выражение:

$a_1+ a_2+dots {+a}_n+dots =sumlimits^{infty }_{n=1}{a_n}$называется числовым рядом.

Введем понятия частичных сумм ряда: $S_1= a_1, S_2=a_1+a_2, S_3=a_1+a_2+a_3,dots ,S_n=a_1+a_2+a_3+dots + a_n, dots .$ Эти частичные суммы образуют некоторую числовую последовательность $left(S_nright).$

«Сумма ряда» 👇