Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
Определение.
Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.
На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.
 |
| Рис.1 |
Признаки равнобедренной трапеции
Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:
1. Углы при основе равны:
∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC
2. Диагонали равны:
AC = BD
3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:
∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC
4. Сумма противоположных углов равна 180°:
∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°
5. Вокруг трапеции можно описати окружность
Основные свойства равнобедренной трапеции
1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:
∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°
2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:
AB = CD = m
3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность
4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):
h = m
5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:
SABCD = h2
6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:
h2 = BC · AD
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:
AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD
8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:
HF ┴ BC, HF ┴ AD
9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) – равен полуразности оснований:
Стороны равнобедренной трапеции
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:
a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α
b = a – 2h ctg α = a – 2c cos α
| c = | h | = | a – b |
| sin α | 2 cos α |
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
| a = | d12 – c2 | b = | d12 – c2 | c = √d12 – ab |
| b | a |
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
| a = | 2S | – b b = | 2S | – a |
| h | h |
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
Средняя линия равнобедренной трапеции
Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:
m = a – h ctg α = b + h ctg α = a – √c2 – h2 = b + √c2 – h2
2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
Высота равнобедренной трапеции
Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
1. Формула высоты через стороны:
2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:
| h = | a – b | tg β | = c sin β |
| 2 |
Диагонали равнобедренной трапеции
Диагонали равнобедренной трапеции равны:
d1 = d2
Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
1. Формула длины диагонали через стороны:
d1 = √с2 + ab
2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:
d1 = √a2 + c2 – 2ac cos α
d1 = √b2 + c2 – 2bc cos β
3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:
d1 = √h2 + m2
4. Формула длины диагонали через высоту и основания:
Площадь равнобедренной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции:
1. Формула площади через стороны:
| S = | a + b | √4c2 – (a – b)2 |
| 4 |
2. Формула площади через стороны и угол:
S = (b + c cos α) c sin α = (a – c cos α) c sin α
3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:
| S = | 4 r 2 | = | 4 r 2 |
| sin α | sin β |
4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:
5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:
S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m
6. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d12 | · sin γ | = | d12 | · sin δ |
| 2 | 2 |
7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:
S = mc sin α = mc sin β
8. Формула площади через основания и высоту:
Окружность описанная вокруг трапеции
Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d1 |
| 4√p(p – a)(p – c)(p – d1) |
где
a – большее основание
3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Признаки и свойства равнобедренной трапеции
(blacktriangleright) Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойства равнобедренной трапеции:
(blacktriangleright) Углы при каждом основании равны;
(blacktriangleright) Диагонали равны;
(blacktriangleright) Два треугольника, образованные диагоналями и одним из оснований, являются равнобедренными;
(blacktriangleright) Два треугольника, образованные диагоналями и боковой стороной, равны.
Задание
1
#296
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В трапеции (ABCD): (AB = CD), (angle C – angle A = 80^{circ}). Найдите (angle D + angle B – angle C). Ответ дайте в градусах.
У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда (angle B = angle C) и, следовательно, (angle D + angle B – angle C = angle D = angle A).
У равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна (180^{circ}) (так как (angle C = angle B), а (angle A + angle B = 180^{circ}), как сумма односторонних при параллельных прямых и секущей).
(angle A + angle C = 180^{circ}),
(angle C – angle A = 80^{circ})
тогда, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем (2cdot angle A = 100^{circ}). В итоге имеем: (angle D + angle B – angle C = angle A = 50^{circ}).
Ответ: 50
Задание
2
#1699
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Диагонали в равнобедренной трапеции (ABCD) перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если диагональ (AC) равна (2).
В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому (AC = BD = 2). Пускай (O) – точка пересечения диагоналей.
[begin{gathered}
S_{ABCD} = S_{triangle ABC} + S_{triangle CDA} = frac{1}{2}cdot AC cdot BO + frac{1}{2}cdot AC cdot OD =\ =frac{1}{2}cdot AC cdot(BO + OD) = frac{1}{2}cdot AC cdot BD = frac{1}{2} cdot 2 cdot 2 = 2end{gathered}]
Ответ: 2
Задание
3
#1789
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите диагонали равнобедренной трапеции, если они перпендикулярны, а площадь трапеции равна (8).
Пусть (ABCD) — трапеция с диагоналями (AC) и (BD), (O) – точка их пересечения, тогда
(S_{ABCD} = S_{triangle ABC} + S_{triangle CDA} = frac{1}{2}cdot AC cdot BO + frac{1}{2}cdot AC cdot OD = )
(frac{1}{2}cdot AC cdot(BO + OD) = frac{1}{2}cdot AC cdot BD =
frac{1}{2}cdot AC^2 = 8) (Rightarrow) (AC = 4).
Ответ: 4
Задание
4
#1704
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В равнобедренной трапеции (ABCD) основание (AD) вдвое длиннее основания (BC) и боковой стороны. Найдите острый угол трапеции.
Если опустить высоты (BH) и (CK) на основание (AD), то они отсекут равные отрезки (AH) и (KD), причем (AB = BC = HK) (Rightarrow) (AH = frac{AD – HK}{2} = frac{HK}{2} = frac{AB}{2}) (Rightarrow) (angle ABH = 30^circ), как угол в прямоугольном треугольнике, противолежащий катету, равному половине гипотенузы (Rightarrow) (angle BAK = 90^circ – 30^circ = 60^circ).
Ответ: 60
Задание
5
#295
Уровень задания: Равен ЕГЭ
(ABCD) – трапеция с основаниями (AD) и (BC). При этом (AB = CD = 6), (BC = 4), один из углов трапеции (ABCD) равен (60^{circ}). Найдите (AD).
Пусть (angle A = 60^{circ}), (BE) – высота в треугольнике (ABD). (angle ABE = 90^{circ} – 60^{circ} = 30^{circ}). Катет, лежащий против угла в (30^{circ}), равен половине гипотенузы, тогда (AE = 0,5cdot 6 = 3).
У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда (angle D = 60^{circ}). Пусть (CF) – высота в треугольнике (ACD), тогда аналогично тому, как находили (AE), находим, что (FD = 3). (EF = BC), так как (BCFE) – прямоугольник. Тогда (AD = AE + EF + FD = 3 + 4 + 3 = 10).
Ответ: 10
Задание
6
#1700
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Диагонали в равнобедренной трапеции (ABCD) перпендикулярны. (O) – точка пересечения диагоналей, причем (AO:OC = 7:1). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно (1).
(BC) – меньшее основание, треугольники (triangle BOC) и (triangle AOD) подобны и их стороны относятся как (1:7) (Rightarrow) (BC:AD = 1:7) (Rightarrow) (AD = 7); (OB = OC), (OB^2 + OC^2 = 1^2) (Rightarrow) (OB = OC = frac{1}{sqrt2}) (Rightarrow) (AO = frac{7}{sqrt2}). В (triangle ABO): (AO^2 + OB^2 = AB^2) (Rightarrow) (AB = 5). Тогда (P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 1 + 7 + 5 + 5 = 18).
Ответ: 18
Задание
7
#1702
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В равнобедренной трапеции (ABCD) биссектриса (angle ABC) параллельна боковой стороне (CD) и пересекает основание (AD) в точке (K), которая делит (AD) в отношении (AK:KD = 1:2). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно (4).
(BCDK) – параллелограмм, т.к. противоположные стороны попарно параллельны; (angle AKB = angle KBC), т.к. накрест лежащие при параллельных (BC) и (AD); (angle BAK = angle CDK = angle KBC) (Rightarrow) (triangle ABK) – равносторонний треугольник. (BC = KD = 4) (Rightarrow) (AK = 2 = AB = CD) (Rightarrow) (P_{ABCD} = AB + BC + CD + KD + AK = 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 14).
Ответ: 14
Учащимся старших классов, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике, в обязательном порядке стоит повторить тему «Равнобедренная трапеция» и освежить в памяти ее основные свойства и признаки. Многолетняя практика показывает, что подобные задания ежегодно встречаются в программе аттестационного испытания. Поэтому, если вы хотите успешно решить задачи ЕГЭ на применение основных свойств диагоналей или углов равнобедренной трапеции, вам непременно стоит разобраться в этой теме.
Образовательный портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс позволяет учащимся определить наиболее сложные темы и ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и изложили весь материал в максимально доступной форме.
Чтобы выпускники могли успешно справляться с геометрическими задачами, мы рекомендуем вспомнить определение равнобедренной трапеции, свойства ее сторон, углов и диагоналей, а также формулу для вычисления площади. Эта информация представлена в разделе «Теоретическая справка».
Вспомнив основные свойства углов, диагоналей и сторон равнобедренной трапеции, учащиеся имеют возможность закрепить усвоенный материал, выполнив практические задания. Упражнения различного уровня сложности представлены в разделе «Каталог». В каждом из них вы найдете подробный алгоритм решения и правильный ответ.
Практиковаться в выполнении заданий по теме «Трапеция» при подготовке к ЕГЭ выпускники могут в режиме онлайн, находясь не только в Москве, но и в любом другом городе России. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.
УСТАЛ? Просто отдохни
1. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции через ее стороны
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
d – диагональ трапеции
Формула диагонали трапеции (d ):
2. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции по теореме косинусов
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α, β – углы трапеции
d – диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
3. Формула длины диагонали равнобедренной трапеции
a – нижнее основание
b – верхнее основание
α, β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
m – средняя линия трапеции
S – площадь трапеции
d – диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
Справедливо для данного случая :
4. Формулы длины диагонали трапеции через высоту и стороны
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
h – высота трапеции
α – угол при нижнем основании
d – диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 30 октября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
Виды трапеции
- Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
- Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне
Свойства трапеции
-
Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме
$$
FE = {AB + DC over 2}
$$ -
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD - Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
- Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
-
Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е.
$$
KL = {DC – AB over 2}
$$ - Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
- В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
- Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
- Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
- Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований
Формулы площади произвольной трапеции
Площадь трапеции через основания и высоту
$$
S = {AB + DC over 2} * AG
$$
Площадь трапеции через среднюю линию и высоту
$$
S = FE * AG
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC * BD over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD over 2} * sin(∠AOB)
$$
Площадь трапеции через четыре стороны
$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 – ({(DC – AB)^2 + AD^2 – BC^2 over 2 * (DC – AB)})^2}
$$
Формулы площади равнобедренной трапеции
Площадь трапеции через стороны
$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 – {(DC – AB)^2 over 4}}
$$
Площадь трапеции через стороны и угол
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (DC – AD * cos(∠ADC))
$$
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC))
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC^2 over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2} * sin(∠BOC)
$$
Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
$$
S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB)
$$
Площадь трапеции если в нее вписана окружность
$$
S = {4 * R_В^2 over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 over sin(∠DAB)}
$$
$$
S = {AB * DC over sin(∠ADC)} = {AB * DC over sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон произвольной трапеции
Основание через другое основание и среднюю линию
$$
AB = 2 * FE – DC
$$
$$
DC = 2 * FE – AB
$$
Основание через другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) – AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) – DC
$$
Длины сторон
$$
DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
AB = DC – AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AB = DC – AD * cos(∠ADC) – BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
BC = {AG over sin(∠BCD)}
$$
Формулы сторон равнобедренной трапеции
Длины сторон
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {DC – AB over 2 * cos(∠ADC)}
$$
$$
DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
AB = DC – 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
$$
AB = DC – 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание
$$
DC = {AC^2 – DA^2 over AB}
$$
$$
AB = {AC^2 – DA^2 over DC}
$$
Длина боковой стороны через диагональ и основания
$$
AD = sqrt{AC^2 – AB * DC}
$$
Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) – AB
$$
$$
AB = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) – DC
$$
Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции
$$
DC = {2 * S over AG} – AB
$$
$$
AB = {2 * S over AG} – DC
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании
$$
AD = {S over FE * sin(∠ADC)} = {S over FE * sin(∠DAB)}
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон прямоугольной трапеции
Длины оснований
$$
DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
AB = DC – BC * cos(∠BCD) = DC – AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
DC = AB + sqrt{BC^2 – AD^2}
$$
$$
AB = DC – sqrt{BC^2 – AD^2}
$$
Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) – AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) – DC
$$
Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту
Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG)
$$
DC = {2 * S over AD} – AB
$$
$$
AB = {2 * S over AD} – DC
$$
Формулы диагоналей произвольной трапеции
Длина диагоналей через четыре стороны
$$
BD = sqrt{BC^2 + DC * AB – {DC * (BC^2 – AD^2) over DC – AB}}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + DC * AB – {DC * (AD^2 – BC^2) over DC – AB}}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 – 2 * DC * BC * cos(∠BCD)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 – 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей через высоту
$$
BD = sqrt{AG^2 + (DC – AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
BD = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 – 2 * DC * sqrt{BC^2 – AG^2}}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC – AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 – 2 * DC * sqrt{AD^2 – AG^2}}
$$
Длина диагоналей через стороны и другую диагональ
$$
BD = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB – AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB – BD^2}
$$
Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {AG * (DC + AB) over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {AG * (DC + AB) over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * S over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * S over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * FE * AG over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * FE * AG over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Формулы диагоналей равнобедренной трапеции
Длина диагоналей через стороны
$$
AC = sqrt{AD^2 + AB * DC}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 – 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 – 2 * AB * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей
$$
AC = sqrt{AG^2 + FE^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 over 4 }}
$$
$$
AC = sqrt{{AG * (AB + DC) over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * S over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * FE * AG over sin(∠AOD)}}
$$
Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC – AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
Длина диагоналей через сторону и высоту
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 – 2 * DC * sqrt{AD^2 – AG^2}}
$$
Формулы диагоналей прямоугольной трапеции
$$
BD = sqrt{AD^2 + AB^2}
$$
$$
AC = sqrt{AC^2 + DC^2}
$$
Формулы средней линии произвольной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC – AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и высоту
$$
FE = {S over AG}
$$
Формулы средней линии равнобедренной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC – AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC)
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту
$$
FE = DC – sqrt{AD^2 – AG^2} = AB + sqrt{AD^2 – AG^2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и боковую сторону
$$
FE = {S over AD * sin(∠ADC)}
$$
Формулы средней линии прямоугольной трапеции
Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
$$
FE = DC – AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании
$$
FE = DC – BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через основания и боковые стороны
$$
FE = DC – {sqrt{BC^2 – AD^2} over 2}
$$
$$
FE = AB + {sqrt{BC^2 – AD^2} over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Формулы высоты произвольной трапеции
Длина высоты через четыре стороны
$$
AG = sqrt{AD^2 – ({(DC – AB)^2 + AD^2 – BC^2 over 2 * (DC – AB)})^2}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S over FE}
$$
Формулы высоты равнобедренной трапеции
Длина высоты через по сторонам
$$
AG = sqrt{AD^2 – {(DC – AB)^2 over 4}}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC)
$$
Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию
$$
AG = {DC – AB over 2} * tg(∠ADC)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S over FE}
$$
Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции
Сторона AD
Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.
Сторона BC по трём сторонам
$$
BC = sqrt{AD^2 + (DC – AB)^2}
$$
Сторона BC через основания и угол ∠BCD
$$
BC = {DC – AB over cos(∠BCD)}
$$
Сторона BC через Сторону AD
$$
BC = {AD over sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD
$$
BC = {S over FE * sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD
$$
BC = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠BCD)}
$$
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства равнобедренной трапеции.
Напомним, трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны, т.е. AB = CD.
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Свойство 7
Свойство 1
Углы при любом из оснований равнобедренной трапеции равны.
- ∠DAB = ∠ADC = α
- ∠ABC = ∠DCB = β
Свойство 2
Сумма противоположных углов трапеции равняется 180°.
Для рисунка выше: α + β = 180°.
Свойство 3
Диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.
AC = BD = d
Свойство 4
Высота равнобедренной трапеции BE, опущенная на основание большей длины AD, делит его на два отрезка: первый равняется половине суммы оснований, второй – половине их разности.
Свойство 5
Отрезок MN, соединяющий середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярен этим основаниям.
Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, называется ее осью симметрии.
Свойство 6
Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Свойство 7
Если сумма оснований равнобокой трапеции равно удвоенной длине ее боковой стороны, в нее можно вписать окружность.
Радиус такой окружности равняется половине высоты трапеции, т.е. R = h/2.
Примечание: остальные свойства, которые применимы ко всем видам трапеций, приведены в нашей публикации – “Что такое трапеция: определение, виды, свойства”.
