Как найти сумму длин медиан треугольника

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

• AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
• AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Сумма векторов медиан треугольника равна

Точка O — центр тяжести ( точка пересечения медиан) Доказать что сумма векторов OA + OB + OC равна нулю.

Продлим OC1 через C1 до точки D так что OC1 = C1D.
Тогда OADB — параллелограмм, вектора AD = OB, вектора DO = OC.
В треугольнике OAD имеем: OA + AD + DO = 0,
Эта сумма = OA + OB + OC.

Если подвесить этот треугольник за центр тяжести, его можно будт расположить параллельно земле и он не выйдет из этого состояния. Если представить, что вся масса треугольника сосредоточена в тех трёх векторах, то сумма любых двух должна уравновешивать третий, то есть действительно, сумма всех трёх равна нулю.

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Задачник «Векторный метод решения задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задачник «Векторный метод решения задач»

Составила: Казакова Ольга Сергеевна,

учитель математики МОУ «СОШ № 75» г. Саратова.

Данный задачник предназначен для изучения тем: «Векторы», «Действия с векторами», «Векторный метод решения задач». Инструктивное изложение материала, при постоянной практической пробе, даёт возможность изучить темы самостоятельно.

№ 1.Заполните таблицу. Основные понятия.

Решение и изображение

1)На плоскости отметьте точки A и B , постройте отрезок AB ;

2)На отрезке AB пусть точка A будет началом, а точка B – концом. Укажите стрелкой в конце отрезка направление из начала в конец. Вы получили отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, то есть получили направленный отрезок или вектор .

3)Построен вектор , его можно обозначить и однострочной латинской буквой, например, , которая записывается над изображением вектора.

Сколько векторов можно провести, выбирая начало и конец среди данных на плоскости:

2)трёх точек, не лежащих на одной прямой;

3)четырёх точек, не лежащих на одной прямой?

Отметьте на плоскости любую точку и обозначьте её, например, заглавной буквой M . Вы построили нулевой вектор, его начало и конец совпадают.

Обозначение нулевого вектора: или символом .

1)Постройте отрезок AB , длина которого 4 см;

2)Постройте вектор .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка AB .

Обозначение: = AB = 4.

Чему равна длина нулевого вектора?

3)Постройте вектор , длиной 7 см.

1)Постройте параллельные прямые p и m .

2)На прямой p постройте:

а)вектор , произвольной длины и направления;

б)вектор , произвольной длины и направления;

3)На прямой m постройте: вектор , произвольной длины и направления.

Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

4)Выпишите попарно коллинеарные векторы.

5)Постройте и обозначьте два произвольных вектора, которые являются не коллинеарными вектору . Будут ли они являться коллинеарными векторам , ?

Постройте два коллинеарных вектора.

Полученные векторы направлены одинаково или противоположно?

Если одинаково, то вы построили сонаправленные векторы. Обозначение:

 .

Если противоположно, то вы построили противоположно направленные векторы. Обозначение:  .

Начертите параллелограмм ABCD . Проведите векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя вершинами параллелограмма. Сколько существует пар векторов, которые являются:

1)коллинеарными друг другу;

Постройте векторы и , так, чтобы:

1)  ;

2) .

Вы построили равные векторы.

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.

№ 2.Заполните таблицу. Операции над векторами.

Решение и изображение

На плоскости произвольно выберите точку A , приняв её за начало, проведите вектор , произвольной длины и направления. Таким образом, вы отложили вектор от точки A .

Можно отложить от другой точки плоскости, вектор, равный данному вектору ?

Допустим, что вектор ненулевой, а точки A и B – его начало и конец.

1)Через произвольно взятую точку M плоскости проведите прямую p , параллельную AB (если M – точка прямой AB , то в качестве прямой p возьмём саму прямую AB ).

2)На прямой p отложите два противоположно направленных вектора и , длины которых равны отрезку AB .

Среди построенных векторов выберите тот, что сонаправлен с вектором , он и будет являться искомым вектором, равным вектору . К тому же такой вектор только один, что следует из построения.

А если вектор – нулевой? Ответьте самостоятельно.

Итак, от любой точки M можно отложить вектор, равный данному вектору , и при том только один.

1)Векторы и .

2)Произвольная точка A .

3)От точки A отложите вектор , равный вектору .

4)От точки B отложите вектор , равный вектору .

5)Вектор .

Вы, таким образом, выполнили построение сложения векторов и по правилу треугольника . Вектор называется суммой векторов и .

Докажем, что если и , то .

Рассмотрим случай, когда точки A , B , , точки B , C , и точки A , C , не лежат на одной прямой (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

а) ;

б) ;

в)Соединим точки A и , B и , C и ;

2)  – параллелограмм  ;

3)  – параллелограмм  ;

4)Из 2) и 3)   – параллелограмм;

5)Значит, . Доказано.

Вывод: при необходимости можно работать как с данными векторами, так и с равными им.

Законы сложения векторов.

Для любых векторов , и справедливы равенства:

(переместительный закон)

(сочетательный закон)

Доказательство законов проведите самостоятельно, опираясь на подсказки:

Для доказательства первого закона можете достроить треугольник до параллелограмма и работать как с самими векторами, так и с равными им.

Для доказательства второго закона достаточно несколько раз применить правило треугольника для сложения векторов, последовательно отложенных от концов предыдущих векторов.

1)Произвольная точка A ;

2)Неколлинеарные векторы и ;

3) От точки A отложите вектор , равный вектору .

4)От точки A отложите вектор , равный вектору .

5)Постройте параллелограмм ABCD ;

6) .

Вы построили сложение векторов и по правилу параллелограмма сложения неколлинеарных векторов.

Как сложить несколько векторов?

Последовательное применение правила треугольника для сложения векторов даёт возможность сложить любое количество векторов. Причём порядок сложения не важен. Сложение нескольких векторов производится следующим образом: два вектора складываются, получившаяся сумма складывается с третьим и т.д.

Выполните сложение пяти любых векторов, используя то, что несколько векторов можно расположить таким образом: первый вектор откладывается от любой точки, второй – от конца первого и т.д. Сумма всех векторов – вектор, направленный от начала первого вектора к концу последнего.

Вы выполнили построение сложения нескольких векторов, пользуясь правилом многоугольника .

Подумайте, чему будет равна сумма векторов, если начало первого вектора совпадает с концом последнего?

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены. Обозначение: . .

Докажите, что . Для этого воспользуйтесь определением разности векторов и прибавлением к обеим частям равенства вектора.

На прямой p от любой точки O отложите вектор , от конца вектора отложите вектор . Длина построенного суммарного вектора, равна или .

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при k  0 и противоположно направлены при k .

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Из определения следует:

1)произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2)для любого числа k и любого вектора векторы и коллинеарны.

Свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел k , l и любых векторов , справедливы равенства:

(сочетательный закон)

(первый распределительный закон)

(второй распределительный закон)

На прямой p от произвольно выбранной точки O отложите: вектор , длиной 1 см; вектор , сонаправленный с вектором , длиной 2 см; вектор , противоположно направленный с вектором , длиной 3 см.

Попробуем выразить векторы и через вектор .

Во сколько раз длины этих векторов отличаются от длины вектора ?

; ;

 ,  , т. е. векторы , и коллинеарны друг другу, значит, можно воспользоваться леммой.

Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число k , что .

Итак, можем выразить: , .

От произвольной точки O отложите векторы и , и – произвольные данные векторы. Если и не являются сонаправленными, то лучи OA и OB образуют угол AOB , градусную меру которого обозначьте буквой α. Будем говорить, что угол между векторами и равен α. Обозначение: .

Если  , то

Если , то векторы и называются перпендикулярными.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Напишите формулу скалярного произведения для случаев, когда:

;

;

.

Сделайте вывод, о том, в каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю.

Напишите формулу скалярного произведения для случая, когда вектор скалярно умножается на себя. В этом случае скалярное произведение называется скалярным квадратом . Обозначение: .

Итак, перечислите все операции над векторами.

№ 3.Решая задачи, заполните пустые ячейки в таблице.

k , что ,

точки M и N совпадают

точка C принадлежит прямой AB

, или
, или

точка С – середина отрезка AB

точка D разбивает отрезок AC так, что AD : DC = m : n

Заполняя таблицу, вы пользовались векторным методом решения задач.

Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач.

Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач.

Далее вам необходимо самостоятельно решать задачи. После решения каждой задачи делайте вывод о её значимости. Если результат задачи возможно использовать для решения других, то заносите его в таблицу № 3. Таким образом, вы получите набор базовых задач, на основании которых решаются более сложные.

1)Докажите, что средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна её половине.

2)Докажите, что средняя линия трапеции параллельна её основанию и её длина равна полусумме длин её оснований.

3)Если средняя линия четырёхугольника равна полусумме длин её оснований (сторон, не имеющих общей точки со средней линией), то этот четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.

4)Около окружности описана равнобочная трапеция ABCD . Точки E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами AB и CD . Докажите, что отрезок EK параллелен основаниям трапеции.

5)Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Выразите биссектрису через угол треугольника, который она делит пополам, и через стороны этого угла.

6)Если точки M и N делят отрезки AB и CD соответственно в равных отношениях так, что AM : MB = CN : ND = m : n , то выполняется равенство: .

7)В треугольнике ABC через M обозначена точка пересечения медиан. Докажите, что .

8)Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC , O – произвольная точка. Докажите, что .

9)Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , O – центр описанной окружности. Докажите, что .

10)Докажите, что три точки A , B , C ( A ≠ B ) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство, , в котором α+β=1, где O – некоторая точка.

11)Докажите, что центр описанной окружности

12)Докажите, что если точки пересечения диагоналей четырёхугольника и середины двух его противоположных сторон лежат на одной прямой, то этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.

13)Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

14)Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

15)Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

16)Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

17)Докажите, что в произвольном четырёхугольнике средние линии (т. е. отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) точкой их пересечения делятся пополам.

18)Найти косинус угла между диагоналями прямоугольника, стороны которого равны a и b .

19)Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

20)Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.

21)Докажите, что если в треугольнике длины его сторон a , b , c связаны соотношением , то угол этого треугольника, лежащий против стороны длины c , — прямой.

22)Даны стороны a , b , c треугольника. Найдите медианы , , , проведённые к этим сторонам.

23)В треугольнике со сторонами a , b , c найти длину высоты , опущенную на сторону c .

24)В треугольнике со сторонами a , b , c найти длину биссектрисы , проведённой к стороне c .

25)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

26)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин её боковых сторон плюс удвоенное произведение длин оснований.

27)Доказать, что большей медиане треугольника соответствует меньшая сторона и обратно.

28)Докажите, диагонали прямоугольника равны между собой.

29)Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

30)В четырёхугольнике ABCD прямая, проведённая через вершину A параллельна стороне BC , пересекает диагональ BD в точке M , а прямая проведённая через вершину B параллельно стороне AD , пересекает диагональ AC в точке N . Докажите, что MN || DC .

31)Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N , и по две в точках A , B , C , D . Докажите, что ABCD – параллелограмм.

32)Пусть K , L , M , N – середины отрезков AB , BC , CD , DE пятиугольника ABCDE , а точки P и Q – середины отрезков KM и LN соответственно. Докажите, что отрезок PQ в четыре раза меньше стороны AE и параллелен ей.

33)В плоскости даны четырёхугольник ABCD и точка M . Докажите, что точки, симметричные точке M относительно середин сторон этого четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма.

34)На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, такие, что AM : AC = CN : CE = λ. Известно, что точки B , M , N лежат на одной прямой. Найдите λ.

35)Дан параллелограмм ABCD ( AD || BC , AB || CD ). На стороне AD выбрана точка K , а на AC – точка L так, что 5 AK = AD , 6 AL = AC . Докажите, что KL || BL и найдите отношение их длин.

36)Точки M и K на сторонах AB и BC треугольника ABC таковы, что AM : MB =3:4, CK : KB =2:3. Отрезки AK и CM пересекаются в точке N . Найдите отношение AN : NK .

37)Точка K на стороне AC и точки L , M на стороне BC треугольника ABC таковы, что AK : KC = CL : LB = BM : MC =1:2, N – середина стороны AC . Найти отношение, в котором точка пересечения отрезков KL и MN делит отрезок KL .

38)Через середину E медианы треугольника ABC проведена прямая AE , пересекающая сторону BC в точке F . Вычислить: AE : EF и CF : FB .

39)Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит сторону AD в отношении p , т. е. AM : MD = p ; точка N делит сторону DC в отношении q , т. е. DN : NC = q . Прямые BM и AN пересекаются в точке S . Вычислить отношения AS : SN и BS : SM .

40)В параллелограмме ABCD сторона AD разделена на n равных частей и первая точка деления M (считая от A ) соединена с B . В каком отношении делит точка N диагональ AC и отрезок MB ?

41)В треугольнике ABC проведена медиана CM . Прямая l пересекает отрезки CA , CM , CB в точках , , соответственно. Докажите равенство .

42)На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты точки M и D так, что AM = AC , BD = BC , а на прямой AD – точка N так, что AN = AD . Доказать, что точки M , N и B лежат на одной прямой. Какую часть от отрезка MB составляет отрезок MN ?

43)На стороне AD и диагонали AC параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что AM = AD , AN = AC . Доказать, что точки M , N и B лежат на одной прямой. В каком отношении делит точка N отрезок MB ?

44)На стороне AB треугольника ABC дана точка P , через которую проведены прямые параллельно его медианам A и A и пересекающие соответственно стороны треугольника в точках и . Докажите, что середина отрезка (точка E ), а также точка P и точка G пересечения медиан треугольника лежат на одной прямой и найдите отношение длин отрезков EG и EP .

45)Докажите, что точки пересечения диагоналей трапеции, боковых сторон, а также середины оснований лежат на одной прямой.

46)Через точку P – внутреннюю точку параллелограмма ABCD – проведены прямая KM || AD и прямая LN || AB , пересекающие стороны AB , BC , CD , DA параллелограмма в точках K , L , M , N соответственно. Q – точка пересечения средних линий четырёхугольника KLMN , S – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD . Докажите, что Q – середина отрезка PS .

47)Пусть , , – середины сторон BC , AC , AB треугольника ABC . Доказать, что точки пересечения медиан треугольника ABC и треугольника совпадают.

48)Пусть ABCDEF – произвольный шестиугольник и U , V , W , X , Y , Z – середины его сторон. Докажите, что центры тяжести (т. е. точки пересечения медиан) треугольника UWY и треугольника VXZ совпадают.

49)Докажите, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, и продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в одной точке.

50)На сторонах параллелограмма заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры этих параллелограммов совпадают.

51)На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.

52)В треугольнике ABC длины сторон связаны соотношением . Докажите, что медианы, проведённые к сторонам AC и BC , взаимно перпендикулярны.

53)Найдите косинус угла между медианами прямоугольного равнобедренного треугольника, проведёнными к его катетам.

54)Найти косинус угла между медианами равнобедренного треугольника, проведёнными к его боковым сторонам, при условии, что угол при вершине равен α.

55)Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к его боковым сторонам, а) перпендикулярны; б) образую угол .

56)В треугольнике две стороны равны 2 и 4, а угол между ними равен . Найти угол ψ между короткой стороной и медианой, проведённой к третьей стороне.

57)В окружности с центром O радиуса r вписан четырёхугольник ABCD . Доказать, что если , то диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны.

58)В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC . Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно. Докажите, что угол BMN прямой.

59)На стороне AB треугольника ABC с углом ABC , равным α , расположена точка K , причём AK = BC . Пусть P – середина BK , M – середина AC . Найдите угол APM .

60)Точка K – середина стороны AB квадрата ABCD , а точка M лежит на диагонали AC , причём AM : MC = 3 : 1. Докажите, что угол KMD равен .

61)На сторонах AB и AC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты AMNB и CKLA . Докажите, что медиана AP треугольника ABC перпендикулярна прямой ML .

62)На стороне AB треугольника ABC дана точка D . Выразить расстояние CD через длины сторон данного треугольника a , b , c и расстояния AD = m и DB = n .

63)Выразить расстояние от заданной точки O до точки M пересечения медиан треугольника ABC через длины сторон треугольника BC = a , AC = b , AB = c и расстояния от точки O до вершин треугольника OA = , OB = , OC = .

64)В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны BC , а точка M – середина стороны CD . Найдите AD , если AK = 6, AM = 3,  KAM = .

Список использованной литературы

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. – М.: Просвещение, 2009.

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Шестаков С.А., Юдина И.И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач. – Минск: Вышэйш. школа, 1965.

Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.

Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия 7-9 кл. – М.: МЦНМО, 2006.

Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9 и 10 кл. – М.: Просвещение, 1979.

Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. – М.: Просвещение, 1992.

Зеленяк О. П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal. – Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008.

Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7 – 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. – М.: Дрофа, 2001.

Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.

Шестаков С. А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. – М.: МЦНМО, 2005.

[spoiler title=”источники:”]

http://b4.cooksy.ru/articles/summa-vektorov-median-treugolnika-ravna

[/spoiler]

Связь медиан и сторон

Формула длины медианы через три стороны

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними

Формула стороны треугольника через его медианы

Формула суммы квадратов медиан

Перпендикулярные медианы треугольника

Медиана в треугольнике. Признак

Главная » Геометрия – 10 – 11 классы

Ответ №1

Находим основания медиан (точки пересечения медиан со сторонами).      

А₁(Ха1;Уа1) Хв+Хс Ув+Ус   х у

                    2              2         А₁ 4 0

В₁(Хв1;Ув1) Ха+Хс Уа+Ус   х у

                        2              2       В₁ -2 -2

C₁(Хс1;Ус1) Ха+Хв Уа+Ув   х у

                           2              2         С₁ 0 4.

 Длины медиан:

АА₁ = √((Ха1-Ха)²+(Уа1-Уа)²)) = √104 ≈  10,19803903

BB₁ = √((Хв1-Хв)²+(Ув1-Ув)²)) = √128 ≈ 11,3137085

CC₁ = √((Хc1-Хc)²+(Уc1-Уc)²)) = √104 ≈ 10,19803903

Ответ: сумма длин медиан равна 31,70978655.

Как доказать что 3 медианы пересекаются. Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан

Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

• Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c — стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

• Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

• Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
• Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
• Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
• Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
• В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой.
  Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
• Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
• Пусть O — точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

• Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

• Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
• Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.

Урок 1

Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.

Медианой

треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Доказательство:

Точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести

этого треугольника.

Задача 1
Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 4, 6 и 8. Найти длины медиан треугольника.

Решение.
Пусть в треугольнике АВС AM, BE и CD — медианы, К – точка их пересечения, KС=4, KА=6 и КВ=8.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image004_34.gif»>, то есть на отрезок КА приходится 2 части, а на отрезок КМ – одна часть, то вся медиана АМ состоит из трех равных частей и https://pandia. ru/text/78/182/images/image006_24.gif»>.

Аналогично,

,

Ответ:
6, 9 и 12

Задача 2
Медианы AM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 9 . Вычислить длины сторон АВ и ВС.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image010_15.gif»>,

поэтому и

, .

Кроме того

, .

Вычислим по теореме Пифагора длины отрезков AK и СМ, получаем

Теперь вычислим длины сторон АВ и ВС:

АВ=2АК=10, ВС=2СМ=.

Ответ
: 10;.

Тест для самоконтроля.

1.
Медиана треугольника делит пополам (выбрать один из вариантов ответов)

1) угол треугольника

2) сторону треугольника

3) две стороны треугольника

2.
В каком отношении точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан треугольника (выбрать правильные варианты ответов).

1) 2:1 считая от основания треугольника

2) 1:2 считая от вершины треугольника

3) 2:1 считая от вершины треугольника

4) 1:2 считая от основания треугольника

5) на две равные части

3.
Если в треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника, то какую часть медианы АМ составляет отрезок АР? (выбрать один из вариантов ответов)

4.
В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть медианы АМ составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

5.

В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть отрезка АР составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

Посмотреть правильные ответы.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 6 см, 8 см и 12 см. Найдите длины медиан треугольника.

Посмотреть решение.

2. Медианы ВM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 15 и 36 . Найдите длины сторон АВ и АС.

Посмотреть решение.

3. Медианы треугольника равны 6, 9 и 12. На каком расстоянии от вершин находится точка пересечения медиан треугольника?

Посмотреть решение.

4. Медианы треугольника равны 9, 12 и 18. Найдите расстояния от середин сторон треугольника до центра тяжести данного треугольника.

Посмотреть решение.

5. Центр тяжести треугольника отстоит от середин его сторон на расстояния. Равные 5, 6 и 7. Найдите медианы данного треугольника.

Посмотреть решение.

6. Точка пересечения медиан треугольника удалена от середин его сторон на расстояния, равные 2, 3 и 4. На каких расстояниях от вершин треугольника находится эта точка?

Посмотреть решение.

Медиана и высота треугольника – это одна из самых увлекательных и интересных тем геометрии. Термин «Медиана» означает прямую или отрезок, который соединяет вершину треугольника с его противоположной стороной. Другими словами, медиана – это линия, которая проходит из середины одной стороны треугольника в противоположную вершину этого же треугольника. Поскольку у треугольника только три вершины и три стороны, значит и медианы может быть только три.

Свойства медианы треугольника

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и разделяются этой точкой в соотношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, если нарисовать в треугольнике все три медианы, то точка их пересечения будет делить их на две части. Часть, которая располагается ближе в вершине, будет составлять 2/3 всей линии, а часть, которая располагается ближе к стороне треугольника – 1/3 линии. Пересекаются медианы в одной точке.
2. Три медианы, проведенные в одном треугольнике, делят этот треугольник на 6 маленьких треугольников, чья площадь будет равна.
3. Чем больше сторона треугольника, от которой исходит медиана, тем меньше эта медиана. И наоборот, самая короткая сторона имеет самую длинную медиану.
4. Медиана в прямоугольном треугольнике имеет ряд собственных характеристик. Например, если вокруг такого треугольника описать окружность, которая будет проходить через все вершины, то медиана прямого угла, проведенная к гипотенузе, станет радиусом описанной окружности (то есть ее длина будет составлять расстояние от любой точки окружности до ее центра).

Уравнение длины медианы треугольника

Формула медианы исходит из теоремы Стюарта и гласит, что медиана – это квадратный корень из отношения квадратов суммы сторон треугольника, которые образуют вершину, за вычетом квадрата стороны, к которой проведена медиана к четырем. Другими словами, чтобы узнать длину медианы нужно возвести в квадрат показатели длины каждой стороны треугольника, а затем записать это в виде дроби, в числителе которой будет сумма квадратов сторон, которые образуют угол, откуда исходит медиана, минус квадрат третьей стороны. В качестве знаменателя здесь выступает цифра 4. Затем из данной дроби нужно извлечь корень квадратный, и тогда мы получим длину медианы.

Точка пересечения медиан треугольника

Как мы писали выше, всем медианы одного треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром треугольника. Он делит каждую медиану на две части, длина которым соотносится как 2:1. При этом центр треугольника является и центром описанной вокруг него окружности.

А другие геометрические фигуры имеют собственные центры.

Координаты точки пересечения медиан треугольника

Чтобы найти координаты пересечения медиан одного треугольника, воспользуемся свойством центроида, согласно которому он делит каждую медиану на отрезки 2:1. Обозначаем вершины как как A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

и вычисляем координаты центра треугольника по формуле: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3)/3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3.

Площадь треугольника через медиану

Все медианы одного треугольника делят этот треугольник на 6 равных треугольников, а центр треугольника делит каждую медиану в соотношении 2:1. Поэтому если известны параметры каждой медианы, можно вычислить и площадь треугольника через площадь одного из маленьких треугольников, а затем увеличить этот показатель в 6 раз.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию.

Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Медиана треугольника
— это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника (центроидом).

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Длина медианы проведенной к стороне:
(док-во достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме удвоенной суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей )

Т1.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке М, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Дано: ∆ABC,
СС 1 , АА 1 , ВВ
1 — медианы
∆ABC
. Доказать: и

Д-во: Пусть М — точка пересечения медиан СС 1 , АА 1 треугольника ABC. Отметим A 2 — середину отрезка AM и С 2 — середину отрезка СМ. Тогда A 2 C 2 — средняя линия треугольника АМС.
Значит,А 2 С 2
|| АС

и A 2 C 2 = 0,5*АС. С 1
А 1
— средняя линия треугольника ABC. Значит, А 1
С 1
|| АС и А 1
С 1
= 0,5*АС.

Четырехугольник А 2 С 1 А 1 С 2
— параллелограмм, так как его противо­положные стороны А 1
С 1
и А 2 С 2
равны и параллельны. Следовательно, А 2 М =
МА 1
и С 2 М =
МC 1 .
Это означает, что точки А 2
и M
делят медиану АА 2
на три равные части, т. е. AM = 2МА 2 . Аналогично СМ = 2MC 1
. Итак, точка М пересечения двух медиан АА 2
и CC 2
треугольника ABC делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треу­гольника. Совершенно аналогично доказывается, что точка пересечения меди­ан АА 1 и BB 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вер­шин треугольника.

На медиане АА 1 такой точкой является точка М, следовательно, точка М
и есть точка пересечения медиан АА 1 иBB 1.

Таким образом, n

T2.
Докажите, что отрезки, которые соединяют центроид с вер­шинами треугольника, делят его на три равновеликие части. Дано: ∆ABC , — его медианы.

Доказать:S AMB
=S BMC
=S AMC .
Доказательство.
В,
у них общая. т.к. равны их основания и высота, проведенная из вершины М,
у них общая. Тогда

Аналогичным образом доказывается, чтоS AMB = S AMC .
Таким образом,S AMB = S AMC = S CMB .
n

Биссектриса треугольника.Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис

Биссектриса угла
— луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

Свойства

1. Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон

2. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.

3. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).

Вычисление длины биссектрисы

l c — длина биссектрисы, проведённой к стороне c,

a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,

p — полупериметр треугольника,

a l ,b l — длины отрезков, на которые биссектриса l c делит сторону c,

α,β,γ — внутренние углы треугольника при вершинах A,B,C соответственно,

h c — высота треугольника, опущенная на сторону c.

Метод площадей.

Характеристика метода.
Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).

1) Метод сравнения: связан с большим кол-вом формул S одних и тех же фигур

2) Метод отношения S: основан на след опорных задачах:

Теорема Чевы

Пусть точки A»,B»,C» лежат на прямых BC,CA,AB треугольника. Прямые AA»,BB»,CC» пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Обозначим через точку пересечения отрезков и . Опустим из точек С и А перпендикуляры на прямую ВВ 1 до пересечения с ней в точках Kи L соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL иCK:

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.

Аналогично получаем и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы)
. Пусть точки A»,B»,C» лежат на сторонах BC,CA и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение

Тогда отрезки AA»,BB»,CC» и пересекаются в одной точке.

Теорема Менелая

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C 1 – точка ее пересечения со стороной AB, A 1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B 1 – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда

Доказательство

. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B 1 C 1 .

ТреугольникиAC 1 B 1 иCKB 1 подобны (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Следовательно,

ТреугольникиBC 1 A 1 иCKA 1 такжеподобны (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Значит,

Из каждого равенства выразим CK:

Откуда что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая).
Пусть дан треугольник ABC. Пусть точка C 1 лежит на стороне AB, точка A 1 – на стороне BC, а точка B 1 – на продолжении стороны AC, причем выполняется соотношение

Тогда точки A 1 ,B 1 и C 1 лежат на одной прямой.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников

Формулы по геометрии треугольника

Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

Если α > β, тогда a > b

Если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

A + b > c
B + c > a
C + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

A	=	B	=	C	= 2R
Sin α	Sin β	Sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

A 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

B 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

C 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

A = b cos γ + c cos β

B = a cos γ + c cos α

C = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

Mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

Mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — Центре вписанной окружности.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

La = 2√ bcp ( p — a ) b + c

Lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

Lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

Где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

La = 2 bc cos α 2 b + c

Lb = 2 ac cos β 2 a + c

Lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

внутри треугольника — для остроугольного треугольника; совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника; проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

Ha = b sin γ = c sin β

Hb = c sin α = a sin γ

Hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

R = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Определение. Окружность называется Описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

Формула Герона

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Равенство треугольников

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k,

Где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

По величине углов

По числу равных сторон

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол.

Ru. onlinemschool. com

21.06.2019 2:57:30

2019-06-21 02:57:30

Источники:

Https://ru. onlinemschool. com/math/formula/triangle/

Все формулы для треугольника » /> » /> .keyword { color: red; }

Формулы по геометрии треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

A , B , C — стороны произвольного треугольника

Α , Β , Γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( A ):

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( Α >90), cos Α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( A):

2.

Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

A , B — катеты

C — гипотенуза

Α , Β — острые углы

Формулы для катета, ( A ):

Формулы для катета, ( B ):

Формулы для гипотенузы, ( C ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( A, b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

B — сторона (основание)

A — равные стороны

Α — углы при основании

Β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (B ):

Формулы длины равных сторон, (A):

4.

Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — Ортоцентр.

H — высота треугольника

A — сторона, основание

B, c — стороны

Β , Γ — углы при основании

P — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

5.

Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

A, b — катеты

С — гипотенуза

C 1 , C 2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

Α , Β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):

Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы, ( H ):

6. Найти длину биссектрисы в треугольнике

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

A, b — стороны треугольника

С — сторона на которую опущена биссектриса

D, e — отрезки полученные делением биссектрисы

Γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

P — полупериметр, P =(A+b+ c )/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки D , E , ( L ):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

7. Биссектриса прямоугольного треугольника

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

L — биссектриса, отрезок ME, исходящий из прямого угла (90 град)

A, b — катеты прямоугольного треугольника

С — гипотенуза

Α — угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L ):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L ):

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

L — биссектриса, отрезок ME, исходящий из острого угла

A, b — катеты прямоугольного треугольника

С — гипотенуза

Α, β — углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, ( L ):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, ( L ):

8.

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

L — высота = биссектриса = медиана

A — одинаковые стороны треугольника

B — основание

Α — равные углы при основании

Β — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, ( L ):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, ( L ):

9. Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника

Формула для вычисления Высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все Высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

L — высота=биссектриса=медиана

A — сторона треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, ( L ):

10.

Найти длину медианы треугольника по формулам

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону C пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

C — сторона на которую ложится медиана

A, b — стороны треугольника

Γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

11. Длина медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу C , пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике ( M ), равна, радиусу описанной окружности ( R ).

H — высота из прямого угла

Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

A , B — катеты

C — гипотенуза

Α , Β — острые углы

Формулы для катета, ( A ):

Формулы для катета, ( B ):

Формулы для гипотенузы, ( C ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( A, b ):

H — высота треугольника

Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

Www-formula. ru

12.06.2020 1:15:09

2020-06-12 01:15:09

Источники:

Https://www-formula. ru/2011-10-09-11-08-41

Формулы треугольника, с примерами » /> » /> .keyword { color: red; }

Формулы по геометрии треугольника

Здесь – радиус описанной окружности.

Теоремы треугольника

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Теорема тангенсов. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

Равносторонний треугольник со стороной :

– радиус описанной окружности,

– радиус вписанной окружности,

– высота, совпадающая с медианой и биссектрисой,

– площадь треугольника.

Формулы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике с, гипотенузой и катетами и

Примеры решения задач

Задание	В равностороннем треугольнике со стороной см найти площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.
Решение	Площадь равностороннего треугольника найдем по формуле, подставив :

Тогда искомые радиусы вписанной и описанной окружностей

Задание	В треугольнике стороны см см, а. Найти все стороны и все углы треугольника.
Решение	Сделаем рисунок.

Воспользуемся теоремой синусов и найдем угол :

Откуда, т. е. . Следовательно, треугольник является прямоугольным. Значит,

Найдем сторону по теореме Пифагора:

см

см

Здесь – радиус описанной окружности.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Теорема тангенсов. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

Равносторонний треугольник со стороной :

– радиус описанной окружности,

– радиус вписанной окружности,

– высота, совпадающая с медианой и биссектрисой,

– площадь треугольника.

Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов.

Ru. solverbook. com

19.06.2018 16:06:54

2018-06-19 16:06:54

Источники:

Http://ru. solverbook. com/spravochnik/formuly-po-geometrii/treugolnik/formuly-treugolnika/

Вычисление медиан и биссектрис 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Введение

Наверняка за то время, что вы изучаете геометрию, вы решили множество задач, в условии которых встречались медианы или биссектрисы. Обычно наличие таких слов предполагало лишь формальное использование определения медианы или биссектрисы, то есть то, что какая-то сторона либо какой-то угол разделены пополам.

Чуть реже мы использовали специфические свойства медиан и биссектрис. Но что делать, если нужно найти длину самой медианы или биссектрисы? Сейчас мы об этом и поговорим.

[00:0:54/Теорема о сторонах и диагоналях параллелограмма]

Докажем сначала полезную вспомогательную теорему о параллелограмме.

Теорема

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: .

Доказательство

Рассмотрим треугольники  и  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству теоремы

По теореме косинусов для треугольника  имеем .

По теореме косинусов для треугольника  имеем .

Теперь заметим, что  и  – секущая, то есть углы  и  – внутренние односторонние, а значит, их сумма равна . Следовательно, их косинусы равны по модулю и противоположны по знаку: . Учитывая это, сложим два равенства, получаем: .

Теорема доказана.

Длина медианы

Эта теорема и сама по себе довольно полезна, потому что с ее помощью можно быстро найти недостающую сторону или диагональ параллелограмма. Но для нас сейчас особенно важно, что именно с помощью этой теоремы мы получим формулу для вычисления длины медианы треугольника. Для этого воспользуемся одним полезным стандартным приёмом при решении геометрических задач – удвоением медианы.

Теорема

Длину медианы треугольника можно вычислить по формуле:  (Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме о длине медианы треугольника

Доказательство

Продлим медиану  на ее длину за точку  – получим точку . Заметим, что  – параллелограмм по признаку: диагонали делятся точкой пересечения пополам (Рис. 3).

Рис. 3. Удвоение медианы

Значит, к нему можно применить доказанную нами теорему о сторонах и диагоналях параллелограмма:

Теорема доказана.

Итак, теперь мы умеем находить медиану треугольника, зная длины трёх его сторон. Воспользуемся этим для решения различных задач.

Примеры

Пример 1

Стороны треугольника равны  и . Найти медиану, проведенную к большей стороне.

Решение

Воспользуемся формулой для длины медианы: .

Подставляем в неё известные из условия длины сторон:

Ответ: .

Пример 2

В треугольнике : , , медиана . Найти .

Решение

Воспользуемся формулой для длины медианы и подставим в неё данные из условия:

Ответ: .

Формула длины медианы применяется и для доказательства теорем.

---

Доказательство теоремы

Теорема

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный.

Доказательство

Пусть  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

Выразим длины обеих медиан через длины сторон треугольника и приравняем полученные формулы:

.

Получаем, что треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.

---

Длина биссектрисы

Длину биссектрисы ищут гораздо реже. Однако формула для вычисления её длины может быть полезна для решения некоторых задач.

Теорема

Длину биссектрисы треугольника можно вычислить по формуле:  (Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Доказательство

Воспользуемся методом площадей. Запишем формулы для вычисления площади некоторых треугольников:

С другой стороны, площадь треугольника равна сумме площадей двух непересекающихся треугольников, из которых он состоит: . Тогда

Теорема доказана.

Пример

Рассмотрим задачу, которую можно решить, используя полученную формулу.

Задача

Пусть в треугольнике , , . Требуется найти биссектрису  (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Решение

Воспользуемся полученной формулой для длины биссектрисы:

Нахождение биссектрисы по трём сторонам

Можно ли найти длину биссектрисы, если известны только длины трёх сторон треугольника? Конечно, можно по теореме косинусов найти косинус соответствующего угла треугольника, а затем по формуле косинуса двойного угла найти косинус половины угла и применить доказанную нами формулу длины биссектрисы. Но есть и другой алгоритм.

---

Пример

Пусть в треугольнике :  и . Найти биссектрису  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

1. Первым делом найдем . Заметим, что по свойству биссектрисы , значит, .

2. Далее по теореме косинусов для треугольника  находим косинус угла :

3. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику :

Если этот метод вам понравился больше, то можно использовать для нахождения длины биссектрисы и его. Впрочем, в формулу подставлять гораздо проще.

---

Кстати, если даны три стороны, то есть еще одна формула, позволяющая найти длину биссектрисы:  где  и  – отрезки, на которые сторона  делится биссектрисой (Рис. 6).

Рис. 6. Нахождение биссектрисы по трем сторонам

---

Доказательство

Пусть  – точка пересечения продолжения биссектрисы  и окружности, описанной около  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству

Тогда треугольники  и  подобны (одна пара углов равна по определению биссектрисы, а углы  и  – вписанные и опираются на одну дугу).

Значит, , то есть .

Осталось заметить, что по теореме о пересекающихся хордах: , подставив это в полученное равенство, получим требуемое:

---

Заключение

На этом уроке мы познакомились с формулами для вычисления длины медианы и биссектрисы в треугольнике. Помимо этого, доказали важную теорему о сторонах и диагоналях параллелограмма и решили несколько задач на применение выведенных формул.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009.
2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов. М.: Просвещение, 2002.
3. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «syl.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «www-formula.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «zdesformula.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Вычислите длину биссектрисы треугольника , проведённую из вершины , если .
2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны  и . Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна . Медиана, проведённая к боковой стороне, равна . Найдите длину основания треугольника.

Как найти сторону треугольника если известны 2 его стороны

Обновлено: 28.09.2022

Вычисление длины стороны треугольника по двум другим и углу между ними согласно теореме косинусов.

После написания калькулятора Длина стороны прямоугольного треугольника по запросу пользователя вдруг вспомнил, что теорема Пифагора есть частный случай теоремы косинусов:

Воистину, тема треугольника неисчерпаема, как атом. На сайте уже был один калькулятор, который использовал теорему косинусов — Нахождение углов треугольника по заданным сторонам, а вот и второй, который просто находит длину противолежащей стороны.

Примеры решения задач

После того как изучены и рассмотрены основные понятия, свойства и теоремы для различного рода треугольников, можно переходить к решению геометрических задач. 0,5 ≈ 15,556 см.

Поскольку половина диагонали в два раза меньше гипотенузы, то искомым ответом на задачу будет число c/2 ≈ 7,778 см.

Две высоты и угол

Дан треугольник ABC. Известно, что при вершине C угол составляет 37 °. Из вершин A и B проведены высоты к сторонам этого треугольника, их длины составляют h2 = 10 см и h3 = 8 см, соответственно. Необходимо узнать длину стороны фигуры, которая лежит против угла C.

Из условия задачи можно найти длины сторон AC и BC. Для этого следует увидеть, что каждая из высот с двумя другими сторонами треугольника образует прямоугольную фигуру. Воспользовавшись тригонометрическими равенствами, можно получить следующие результаты:

• AC = h2/sinC = 10/sin (37 °) ≈ 16,616 см;
• BC = h3/sinC = 8/sin (37 °) ≈ 13,293 см.

Против угла C лежит сторона AB, которую следует найти. Получается, что известны две стороны треугольника (AC и BC) и угол между ними. Остается применить теорему косинусов, чтобы получить ответ:

AB = (AC 2 + BC 2 — 2*AC*BC*cosC)^0,5 = (16,616 2 + 13,293 2 — 2* 16,616 * 13,293 *cos (37 °))^0,5 ≈ 10 см.

Полученный результат свидетельствует о том, что высота h2 совпадает со стороной AB с рассчитанной точностью, то есть исходный треугольник являлся прямоугольным.

Таким образом, для нахождения стороны треугольника, если известны две другие его стороны или иные отрезки, следует воспользоваться теоремами. Основными из них являются теорема косинусов и синусов, а также Пифагора и Аполлония.

4. Найти длину высоты треугольника

Высота- перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

5.

Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c ₁ , c ₂ — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α , β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):

Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , ( H ):

10. Найти длину медианы треугольника по формулам

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

7.

Биссектриса прямоугольного треугольника

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α — угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L ):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L ):

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α , β — углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, ( L ):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, ( L ):

Все формулы для треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

11. Длина медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c , пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике ( M ), равна, радиусу описанной окружности ( R ).

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

9.

Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

L — высота=биссектриса=медиана

a — сторона треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, ( L ):

6. Найти длину биссектрисы в треугольнике

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p =(a+b+ c )/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e , ( L ):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Важные теоремы

Знание теорем для рассматриваемой фигуры позволяет понять, как найти сторону, зная 2 стороны треугольника. Прежде всего применяются две базовые теоремы:

К этим двум теоремам следует добавить еще два важных равенства, которые связаны с именами древнегреческих философов.

Первое выражение базируется на знаменитой теореме Пифагора, которая устанавливает связь между длинами двух катетов (меньшие стороны) и гипотенузы (большая сторона) в треугольнике с прямым углом. Если гипотенузу обозначить буквой c, тогда будет выполняться следующее равенство:

Если известные любые две стороны, то для определения третьей достаточно взять под квадратный корень соответствующую сумму или разницу квадратов.

Вторая из дополнительных теорем носит название философа Аполлония Пергского. Соответствующее ей математическое выражение выглядит так:

a 2 + b 2 = ½*c 2 + 2*Mc 2 .

Здесь Mc — это медиана, проведенная к стороне c из вершины C. Это равенство также называют в математике теоремой медианы.

Как определить вид треугольника

Онлайн калькулятор поможет узнать по сторонам, является ли треугольник прямоугольным, равнобедренным, равносторонним или разносторонним.

Как определить, что треугольник прямоугольный: по Теорема Пифагора — сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы c 2 = a 2 + b 2
Как определить, что треугольник равнобедренный: один из признаков равнобедренного треугольника — две стороны равны.
Как определить, что треугольник равносторонний: все стороны равны.

Принято выделять три типа треугольников:
тупоугольные — один из углов более 90 градусов,
прямоугольные — один из угол равен 90 градусов,
остроугольные — все углы менее 90 градусов.
Это классификация по типу углов.

В геометрии первая фигура, которую школьники начинают изучать, это треугольник. Он является одним из самых распространенных и простых замкнутых объектов. Знание свойств фигуры и необходимых теорем позволяет решать разные задачи о том, как найти третью сторону треугольника на плоскости.

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

8. Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

L — высота = биссектриса = медиана

a — одинаковые стороны треугольника

b — основание

α — равные углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, ( L ):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, ( L ):

Фигура из шести элементов

Под геометрическим элементом полагают какой-либо объект, который имеет определенную меру и является составляющей частью некоторой фигуры. Например, для сферы основными образующими элементами являются радиус и центр.

Как известно, треугольник — это фигура, которая состоит из трех отрезков и такого же количества вершин. При этом все отрезки попарно пересекаются. Из определения фигуры следует, что ее образуют два типа элементов, общее количество которых составляет 6:

Обычно треугольник обозначают большими латинскими буквами, например, ABC, PQM и так далее. Каждая буква — это название вершины (точка пересечения двух отрезков). AB, BC и CA, которые являются длинами сторон, принято обозначать маленькими латинскими буквами по названию противоположных им вершин, то есть c, a и b, соответственно.

Дополнительные отрезки

Несмотря на всю простоту построения фигуры, она обладает большим количеством дополнительных элементов, которые ее могут определять. Среди них самыми важными являются следующие:

Виды треугольников

Разработана достаточно развитая классификация рассматриваемых фигур. Главными ее пунктами являются значения углов треугольника и взаимоотношение между его отрезками. Так, если в фигуре все углы острые, то она называется остроугольной. Если же один из углов больше 90 °, то треугольник полагается тупоугольным. Чаще всего в задачах рассматривают следующие виды:

Основные свойства и понятия

Треугольник является одной из самых изученных фигур в геометрии. Для него известны многие теоремы, которые с успехом используются при решении задач. Существует два основных свойства фигуры, которые следуют из характеристик евклидового пространства:

Помимо названных свойств, следует знать о треугольнике еще такое понятие, как подобие. Его суть состоит в том, что одна из рассматриваемых фигур является точной копией в миниатюре другой. Для подобных треугольников все углы равны попарно, а все три стороны относятся соответственно попарно друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия.

Еще одной полезной характеристикой рассматриваемой фигуры является ее качество (CT). Вычисляется оно по следующей формуле:

CT = (a + b — c)*(b + c — a)*(c + a — b)/(a*b*c).

Величина CT лежит в пределах от 0 до 1. Она показывает степень близости фигуры к равностороннему, то есть к наиболее симметричному объекту. Если CT < 0,5, то треугольник считается вырожденным (один из его углов будет тупым, причем чем меньше CT, тем больше величина этого угла), если же CT > 0,5, то фигура характеризуется, как имеющая хорошее качество.

Величина CT применяется для алгоритмов, которые разделяют какую-либо изучаемую геометрическую поверхность на сетку треугольников. Если в этой сетке генерируется много низкокачественных фигур, то будет велика ошибка аппроксимации рассматриваемой величины.

Читайте также:

  

• Сколько по времени устанавливается симс 4

  

• Как устроиться в ib

  

• Виталий пропионат в реальной жизни кто это

  

• Сталкер как вступить в долг вертолет узнать судьбу военных

  

• Кожа боевого медведя wow где собирать

Как найти вершину треугольника формула

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool. 2) ) перпендикулярен AB и имеет длину 1, а вектор (-q/l*L, p/l*L) (где L — рассчитанная раньше длина CM ) перпендикулярен AB и имеет длину, равную длине MC .

Таким образом, у нас есть вектор MC . Прибавляя его координаты к координатам точки M , мы получаем точку C .

Заметьте, что у нас возможно 2 решения, отличающиеся знаком вектора MC : для получения второго решения поменяйте знак у MC из первого решения.

Эта и другие подобные задачи будут кодироваться очень легко, если в вашем арсенале есть классы, представляющие точку, вектор, и определены операции над ними. Например, в моём коде обычно решение выглядит так (C#):

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2.

Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4.

Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Подготовка к ЕГЭ по математике

Статистика Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0

Все формулы для треугольника, как найти сторону, биссектрису, медиану, высоту, угол. .. Найти длину биссектрисы в треугольнике L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам a, b — стороны треугольника с — сторона на которую опущена биссектриса d, e — отрезки полученные делением биссектрисы γ — угол ABC, разделенный биссектрисой пополам p — полупериметр, p=(a+b+c)/2 Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L): Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L): Длина биссектрисы через три стороны, (L): Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L): Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности. Биссектриса прямоугольного треугольника 1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу: L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град) a, b — катеты прямоугольного треугольника с — гипотенуза α — угол прилежащий к гипотенузе Формула длины биссектрисы через катеты, ( L): Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L): 2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет: L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла a, b — катеты прямоугольного треугольника с — гипотенуза α, β — углы прилежащие к гипотенузе Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L): Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L): Длина биссектрисы равнобедренного треугольника Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы. В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок. L — высота=биссектриса=медиана a — одинаковые стороны треугольника b — основание α — равные углы при основании β — угол вершины Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L): Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L): Найти медиану=биссектрису=высоту равностороннего треугольника Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы. В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности. L — высота=биссектриса=медиана a —  стороны треугольника Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L): Найти длину медианы треугольника по формулам Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO. M — медиана, отрезок |AO| c — сторона на которую ложится медиана a , b — стороны треугольника γ — угол CAB Формула длины медианы через три стороны, (M): Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M): Длина медианы прямоугольного треугольника Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R). M — медиана R — радиус описанной окружности O — центр описанной окружности с — гипотенуза a, b — катеты α — острый угол CAB Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M): Формула длины через катеты, (M): Формула длины через катет и острый угол, (M): Найти длину высоты треугольника Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр. H — высота треугольника a — сторона, основание b. c — стороны β, γ — углы при основании p — полупериметр, p=(a+b+c)/2 R — радиус описанной окружности S — площадь треугольника Формула длины высоты через стороны, (H): Формула длины высоты через сторону и угол, (H): Формула длины высоты через сторону и площадь, (H): Формула длины высоты через стороны и радиус, (H): Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла. H — высота из прямого угла a, b — катеты с — гипотенуза c1 , c2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой α, β — углы при гипотенузе Формула длины высоты через стороны, (H): Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H): Формула длины высоты через катет и угол, (H): Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H): Как найти неизвестную сторону треугольника Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу. a, b, c — стороны произвольного треугольника α, β, γ — противоположные углы Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a): *Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α>90), сosα, принимает отрицательное значение Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a): Формулы сторон равнобедренного треугольника Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы b — сторона (основание) a — равные стороны α — углы при основании β — угол образованный равными сторонами Формулы длины стороны (основания), (b): Формулы длины равных сторон , (a): Как узнать сторону прямоугольного треугольника Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы a, b — катеты c — гипотенуза α, β — острые углы Формулы для катета, (a): Формулы для катета, (b): Формулы для гипотенузы, (c): Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a, b):

Друзья сайта Онлайн тесты по математике Официальный блог Сообщество uCoz FAQ по системе Инструкции для uCoz

Отношение между медианой и сторонами треугольника

Содержание:

1. Первое отношение между медианой и сторонами треугольника: Сумма двух сторон больше медианы из общей вершины.
   
2. Второе соотношение между медианой и сторонами треугольника: Трижды сумма квадратов длин сторон равна четырехкратному квадрату медиан треугольника.
3. Коэффициент сегментации медиан в центре тяжести: Каждая медиана сегментирована по центроиду в соотношении 2 : 1 большим сегментом по направлению к вершине.
4. Свойства центроида: Три медианы треугольника всегда пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка пересечения медиан является центроидом.

Медианы образуют один из наиболее важных наборов компонентов в треугольнике, тесно связанном с треугольником независимо от любой другой геометрической формы.

Например, другая пара важных компонентов, центр и радиус внутри, наследуют все свойства окружности, чтобы обогатить концепцию треугольника, в то время как медианы и точка их пересечения, центроид, проливают больше света на треугольник, не зависящий от любая другая геометрическая форма.

На этом занятии мы рассмотрим важные понятия, связанные с медианами, а также механизмы или доказательства, лежащие в основе этих понятий.

Что такое медианы и центр тяжести

При любом обсуждении геометрии первое, что нам нужно, это геометрическая фигура. На следующем рисунке показаны интересующие нас объекты, медианы.

Медиана определяется следующим образом:

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Другими словами, медиана — это биссектриса стороны, проходящая через вершину. На приведенном выше рисунке медианы трех вершин A, B и C равны соответственно AD, BE и CF, где D, E и F — середины сторон BC, CA и AB соответственно.

Три медианы проходят или пересекаются друг с другом в одной точке внутри треугольника G (на нашем рисунке). Эта точка пересечения медиан лежит внутри треугольника и называется центроидом.

Понятия о медианах и центроиде

Важными понятиями о медианах и центроидах являются:

1. Медиана — это отрезок , проходящий от вершины треугольника до середины противоположной стороны. Это по определению.
2. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется Центроидом. Имя точки пересечения — центроид по определению, но концепция пересечения одной точки нуждается в доказательстве, которое мы обсудим здесь.
3. Центроид всегда будет лежать внутри треугольника, никогда не будет за его пределами. Это свойство центроида требует доказательства, которое мы обсудим здесь.
4. Центроид называется центром тяжести треугольника. Вкратце это означает, что если вы рассматриваете треугольник как тонкую металлическую пластину абсолютно одинаковой толщины и плотности, вы можете сбалансировать треугольную металлическую пластину горизонтально на вертикальном карандаше с центром тяжести, расположенным на кончике карандаша, по крайней мере, теоретически .
5. Центроид делит каждую медиану на два сегмента с соотношением длины 2 : 1, более длинная сторона обращена к вершине. Это свойство нуждается в доказательстве, которое мы обсудим здесь.
6. Сумма длин двух смежных сторон треугольника всегда больше длины медианы из общей вершины двух сторон. Это требует доказательств, и мы их покажем.
7. Периметр треугольника всегда будет больше, чем сумма длин трех медиан. Это следует из предыдущего свойства, и его доказательство последует автоматически.
8. Трижды сумма квадратов трех сторон треугольника равна четырехкратной сумме квадратов длин медиан. Обсудим его доказательство.

Три медианы пересекаются в одной внутренней точке, которая делит каждую медиану на сегменты в отношении длины 2 : 1, механизм и доказательство

Мы будем использовать следующий рисунок для объяснения этих основных понятий о медианах и центроиде.

Здесь мы докажем три концепции:

1. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1, причем больший сегмент лежит к вершине, а меньший — к основанию,
2. Три медианы пересекаются в одной точке, центроиде и
3. Центроид всегда лежит внутри треугольника.

Первый этап решения

В $треугольнике ABC$ рассмотрим две медианы AD и CF, пересекающие друг друга в точке G. Поскольку F и D являются серединами двух сторон треугольника, отрезок, соединяющий их две точки FD в этом случае всегда будут параллельны основанию AC. Следовательно, два треугольника $треугольник BAC$ и $треугольник BFD$ будут подобны друг другу. Это богатая концепция, для доказательства которой вы можете обратиться к нашему обсуждению 9.0055 Базовые и расширенные понятия геометрии, часть 1, точки, линии и треугольники.

Поскольку эти два треугольника подобны, отношения соответствующих сторон равны между собой. То есть

$displaystylefrac{BF}{BA}=frac{BD}{BC}=frac{FD}{AC}=frac{1}{2}$.

Нам нужна была в первую очередь информация о том, что FD является половиной AC , и мы ее получили.

Второй этап решения

Теперь сосредоточим внимание на двух треугольниках $triangle FDG$ и $triangle ACG$. АС ФД || AC противоположные внутренние углы равны,

$angle DFG=angle ACG$,

$angle FDG = angle CAG$,

так что третьи углы тоже равны,

$angle DGF = angle CGA$.

Таким образом, два треугольника также подобны (три угла равны, удовлетворяет критерию подобия ААА). Мы воспользовались свойством FD || АС с первой стадии решения. Это использование более общего принципа передачи геометрических свойств. Параллелизм между двумя прямыми FD и AC возникает в треугольниках $треугольник BAC$ и $треугольник BFD$ и передается второй паре треугольников $треугольник FDG$ и $треугольник ACG$. В геометрии частое использование этого принципа быстро приводит нас к решению.

Из-за подобия двух треугольников, $triangle FDG$ и $triangle ACG$, отношения соответствующих сторон равны, то есть

$displaystylefrac{GF}{CG}=frac{ GD}{AG}=frac{FD}{AC}=frac{1}{2}$.

Значит, каждая из двух медиан AD и CF делится на два отрезка в отношении 2 : 1 в точке их пересечения G, причем больший отрезок направлен к вершине.

Третий этап решения

На этом заключительном этапе мы рассмотрим теперь пару медиан AD и BE и таким же образом можем доказать, что их точка пересечения, скажем, $G_1$ делит две медианы на отрезки соотношение 2 : 1 с большим сегментом, лежащим к вершине. Но поскольку и $G$, и $G_1$ находятся на расстоянии, равном одной трети расстояния AD от точки A до точки D, эти две точки совпадают. Эта единственная точка пересечения трех медиан называется центроидом.

Поскольку центроид всегда лежит на медиане между вершиной и серединой противоположной стороны, он всегда будет лежать внутри треугольника.

Подобно понятию центра окружности как центра тяжести окружности, центроид также может рассматриваться как центр тяжести асимметричной формы треугольника. Мы не будем обсуждать этот момент здесь и рассмотрим следующую концепцию, чтобы показать вам механизм, стоящий за ним.

Первое соотношение между медианой и сторонами треугольника: сумма двух сторон больше медианы из общей вершины

Это богатая концепция, связывающая сумму длин двух сторон с длиной медианы общей точки. Мы будем использовать следующий рисунок, чтобы показать механизм этой богатой концепции.

В единственном порядке степенного единства длины сторон треугольника связаны с длинами медиан двумя способами, которые сами по себе являются взаимозависимыми. Один порядок означает степень длины сторон и медиан в отношении 1.

два отношения мы докажем теперь по отношению к приведенной выше фигуре,

1. $AB + AC gt 2AD$, и то же самое для двух других медиан и соответствующих пар сторон. В описательной форме это означает, что сумма смежных сторон больше, чем удвоенная длина медианы от вершины, общей для двух сторон.
2. $AB + BC + CA > AD + BE + CF$. В описательных терминах это означает, что сумма длин сторон больше суммы длин медиан.

Давайте возьмем первое соотношение, чтобы увидеть, как эта концепция оказывается истинной.

Решение первого этапа

На приведенном выше рисунке $треугольник BPC$ является зеркальным отражением $треугольника ABC$, образованного сближением сторон BP || АС и КП || AB образует параллелограмм ABPC с двумя диагоналями AP и BC, которые делятся пополам в точке пересечения D (из свойств параллелограмма).

н.э. является здесь медианой интереса.

Согласно основным свойствам треугольника, в $triangle ABP$ сумма любых двух сторон больше третьей,

$AB + BP gt AP$.

Но, во-первых, поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны по длине,

$BP = AC$.

А также, поскольку диагонали делятся пополам в точке их пересечения,

$DP = AD$,

Или, $AP = 2AD$.

Таким образом, объединив эти результаты, мы получим

$AB + AC gt 2AD$.

Решение второго этапа

Аналогично,

$BC + BA gt 2BE$, и

$CB + CA gt 2CF$.

Суммируя три неравенства,

$2(AB + BC + CA) gt 2(AD + BE + CF)$,

Или $AB + BC + CA gt AD + BE + CF$.

Таковы механизмы двух отношений первого порядка между сторонами треугольника и медианами.

Второе соотношение между медианой и сторонами треугольника: суммы квадратов медиан и квадратов сторон

Медианы и стороны треугольника связаны уравнением квадратов второго порядка, что является неожиданностью и немного продвинутой концепцией. Тем не менее мы постараемся максимально упростить доказательство этой важной богатой концепции, полагаясь только на самые основные геометрические концепции.

В описательных терминах соотношение второго порядка между сторонами и медианами треугольника:

Трижды сумма квадратов длин сторон равна четырехкратному квадрату медиан треугольника.

Мы покажем, как это происходит, используя следующий рисунок:

С помощью отношения второго порядка относительно приведенного выше рисунка, где D, E и F — середины трех сторон BC, CA и AB $треугольника ABC$ и медианы AD, BE и CF, 92)$.

Решение основано на очень простых концепциях, а сам процесс достаточно прост, чтобы любой мог его понять и поверить. Вера в новую концепцию жизненно важна для полезного знания.

Вы можете обратиться к другим доказательствам теоремы Аполлония, чтобы иметь сравнительное представление о различных подходах к проблеме.

Мы закончим это обсуждение проблемой на уровне экзамена SSC ​​CGL.

Задача о соотношении медианных сторон

В $треугольнике ABC$ с медианами AD, BE и CF (D, E и F — середины сторон BC, CA и AB соответственно) верно следующее, 92)$

Анализ проблемы и решение.

Рисунок, изображающий проблему, показан ниже.

Богатая концепция отношения медианы к длине стороны в треугольнике утверждает, что

Трижды сумма квадратов трех сторон треугольника равна четырехкратной сумме квадратов его медиан.

Чтобы сформулировать концепцию в терминах алгебраического соотношения, по отношению к рисунку выше верно следующее соотношение между суммой сторон и суммой медиан, 92)$.

Ключевые используемые концепции: Расширенная концепция Отношение медианы к длине стороны второго порядка — Анализ неравенства.

Примечание: Будучи ПОЛЬЗОВАТЕЛЯМИ знаний для наилучшего решения проблем, мы должны как можно более ясно знать механизм, стоящий за концепцией. Ясность понимания понятия имеет большое значение для укрепления нашей веры в понятие и, следовательно, нашей способности использовать понятие, когда оно действительно необходимо.

---

Пошаговая справка по геометрии в Suresolv

Чтобы получить наилучшие результаты из широкого спектра статей учебных пособий , вопросов и решений по Геометрия в Suresolv, 9,0950 следуйте инструкциям

Suresolv Geometry Reading and Practice Guide for SSC CHSL, SSC CGL, SSC CGL Tier II и других конкурсных экзаменов.

Список статей включает ВСЕ статьи по геометрии и соответствующие темы в Suresolv и обновлены.

---

←   →

Теорема Аполлония – формула, доказательство, приложения, примеры

Теорема Аполлония – важная теорема в геометрии . Он соединяет длин сторон треугольника с длинами медиан .

Что такое Теорема Аполлония?

медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершина треугольника к середине противоположной стороны. Теорема Аполлония связывает длину медианы с длинами стороны, разделенной пополам, и двух других сторон.

Это эквивалентно закону параллелограмма элементарной геометрии.

Теорема Аполлония Формула

Пусть (a), (b) и (c) — длины трех сторон треугольника, а (d) — длина медианы, которая делит сторону пополам. (а). Пусть (m = frac{a}{2}) будет длиной половины, разделенной пополам. 92))

Это называется формулой теоремы Аполлония .

Другими словами, Сумма квадратов двух сторон равна два раза T Сумма квадратов Медиана между ними и Полово .

Вывод теоремы Аполлония

Мы можем вывести и дать доказательство теоремы Аполлония, используя Закон косинусов 2))

Что доказывает Теорема Аполлония Формула .

Приложения

Теорема Аполлония — теорема элементарной геометрии, аналогичная Теореме Пифагора . Полезно вычислить длину медианы треугольника.

Эквивалентно Закону о параллелограмме , как указано выше. Это означает, что его можно использовать для нахождения длины одной диагонали параллелограмма, если другой диагонали и двух сторон .

Это также частный случай теоремы Стюарта , которая имеет дело с более общей ситуацией чевиан . Чевиана, как и медиана, представляет собой отрезок, соединяющий одну вершину и противоположную сторону треугольника. Однако, в отличие от медианы, ей не нужно делить пополам другую сторону.

Решенные примеры

Вопрос 1. Стороны треугольника 7, 6 и 10 см. Найдите длину медианы стороны, длина которой 10 см. 92 = 35 \
d = sqrt{frac{35}{2}} \
d = 4,183 text{см} \
)

Таким образом, длина медианы равна (d = 4,183 text{ см}).

Вопрос 2. Параллелограмм имеет стороны 6 см и 4 см. Найдите длину другой диагонали, если длина одной диагонали равна 8 см.

Раствор. Эта ситуация очень похожа на случай с треугольником. Две стороны и одна диагональ образуют три стороны треугольника . Другая диагональ равна 9.prime = 2d = 6,32 text{см}).

Часто задаваемые вопросы

Что такое теорема Аполлония?

Теорема Аполлония связывает длины сторон треугольника с длинами медианы.
Прописью утверждает, что сумма квадратов двух сторон равна дважды t сумма квадратов медианы между ними и половина третьей стороны . 92))
Это Теорема Аполлония.

Почему важна теорема Аполлония?

Теорема Аполлония дает нам способ вычисления медианных длин в треугольниках , если мы знаем их стороны. Это поможет нам решить треугольник.

Как теорема Пифагора связана с теоремой Аполлония?

Теорему Пифагора можно рассматривать как частный случай теоремы Аполлония, когда у нас есть 92)
Это просто теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике (ADB).

Чем медиана отличается от биссектрисы угла?

Медиана — это отрезок прямой от одной вершины до противоположной стороны, который делит противоположную сторону пополам.
Биссектриса угла — это отрезок от одной вершины до противоположной стороны, который делит пополам угол при вершине.  
В общем случае они не совпадают с , если только вершина не находится между равными сторонами, т.е. в равнобедренный треугольник.

Калькулятор медианы стороны C треугольника

✖Сторона треугольника A — это длина стороны A трех сторон треугольника. Другими словами, сторона A треугольника — это сторона, противоположная углу A. of LengthAlnAngstromArpentAstronomical UnitAttometerBarleycornBillion Light YearBohr RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth-Moon DistanceEarth’s Distance from SunEarth’s Equatorial RadiusEarth’s Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Cloth)FingerbreadthFootFoot (US Survey)FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMilMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light YearNail (Cloth)NanometerNautical League (int)Nautical League UKNautical Mile (International)Nautical Mile (UK)ParsecPerchPetameterPicaPicometerPlanck LengthPointPoleQuarterReedRodRoman ActusRopeRussian ArchinSpan (Cloth)Sun’s RadiusTerameterTwipVara CastellanaVara ConuqueraVara De TareaYardYoctometerYottameterZeptometerZettameter	+10% -10%
✖Сторона B треугольника – это длина стороны B трех сторон. Другими словами, сторона треугольника B — это сторона, противоположная углу B. of LengthAlnAngstromArpentAstronomical UnitAttometerBarleycornBillion Light YearBohr RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth-Moon DistanceEarth’s Distance from SunEarth’s Equatorial RadiusEarth’s Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Cloth)FingerbreadthFootFoot (US Survey)FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMilMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light YearNail (Cloth)NanometerNautical League (int)Nautical League UKNautical Mile (International)Nautical Mile (UK)ParsecPerchPetameterPicaPicometerPlanck LengthPointPoleQuarterReedRodRoman ActusRopeRussian ArchinSpan (Cloth)Sun’s RadiusTerameterTwipVara CastellanaVara ConuqueraVara De TareaYardYoctometerYottameterZeptometerZettameter	+10% -10%
✖Сторона C треугольника равна длине стороны C трех сторон. Другими словами, сторона C треугольника — это сторона, противоположная углу C. of LengthAlnAngstromArpentAstronomical UnitAttometerBarleycornBillion Light YearBohr RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth-Moon DistanceEarth’s Distance from SunEarth’s Equatorial RadiusEarth’s Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Cloth)FingerbreadthFootFoot (US Survey)FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMilMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light YearNail (Cloth)NanometerNautical League (int)Nautical League UKNautical Mile (International)Nautical Mile (UK)ParsecPerchPetameterPicaPicometerPlanck LengthPointPoleQuarterReedRodRoman ActusRopeRussian ArchinSpan (Cloth)Sun’s RadiusTerameterTwipVara CastellanaVara ConuqueraVara De TareaYardYoctometerYottameterZeptometerZettameter	+10% -10%

✖Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны и делящий эту сторону пополам. ⓘ Медиана стороны C треугольника [M]

А.У. of LengthAlnAngstromArpentAstronomical UnitAttometerBarleycornBillion Light YearBohr RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth-Moon DistanceEarth’s Distance from SunEarth’s Equatorial RadiusEarth’s Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Cloth)FingerbreadthFootFoot (US Survey)FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMilMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light YearNail (Cloth)NanometerNautical League (int)Nautical League UKNautical Mile (International)Nautical Mile (UK)ParsecPerchPetameterPicaPicometerPlanck LengthPointPoleQuarterReedRodRoman ActusRopeRussian ArchinSpan (Cloth)Sun’s RadiusTerameterTwipVara CastellanaVara ConuqueraVara De TareaYardYoctometerYottameterZeptometerZettameter

⎘ Копировать

👎

Формула

Перезагрузить

👍

Медиана на стороне C решения треугольника

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1: Преобразование входных данных в базовую единицу

Сторона A треугольника: 9 метров —> 9 метров Преобразование не требуется
Сторона B треугольника: 13 метров —> 13 метров Преобразование не требуется
Сторона C треугольника: 14 метров —> 14 метров Преобразование не требуется

ШАГ 2: вычисление формулы

ШАГ 3: преобразование результата в единицу измерения

8. 7177978000308135 Преобразование требуется —> нет

<
8 Калькуляторы стороны, высоты и периметра треугольника
92)/2

Что такое треугольник?

Треугольник — это тип многоугольника, который имеет три стороны и три вершины. Это двухмерная фигура с тремя прямыми сторонами. Треугольник считается трехсторонним многоугольником. Сумма всех трех углов треугольника равна 180°. Треугольник содержится в одной плоскости. Основываясь на сторонах и измерении углов, треугольник имеет шесть типов.

92)/2 для вычисления медианы треугольника. Медиана на стороне C треугольника определяется как длина отрезка, соединяющего вершину, содержащую угол C, с серединой стороны C, противоположной этой вершине. Медиана треугольника обозначается символом M .

Как рассчитать медиану стороны C треугольника с помощью этого онлайн-калькулятора? Чтобы использовать этот онлайн-калькулятор для расчета медианы на стороне C треугольника, введите Сторона A треугольника (S _a ) , Сторона B треугольника 92)/2 . Сторона А треугольника — это длина стороны А трех сторон треугольника. Другими словами, сторона треугольника А — это сторона, противоположная углу А. Сторона треугольника В — это длина стороны В трех сторон. Другими словами, сторона треугольника B — это сторона, противоположная углу B, а сторона C треугольника — это длина стороны C трех сторон. Другими словами, сторона C треугольника — это сторона, противоположная углу C.

Как вычислить медиану на стороне C треугольника? 92)/2 . Чтобы вычислить медиану на стороне C треугольника, вам понадобится сторона A треугольника (S _a ) , сторона B треугольника (S _b ) и сторона C треугольника (S _c ) . С помощью нашего инструмента вам нужно ввести соответствующее значение для стороны A треугольника, стороны B треугольника и стороны C треугольника и нажать кнопку расчета. Вы также можете выбрать единицы измерения (если есть) для ввода (ов) и вывода.

Доля

Скопировано!

Создание пользовательских рабочих листов по предварительной алгебре, алгебре 1, геометрии, алгебре 2, предварительному исчислению и математическому анализу

Неограниченное количество вопросов

Создав задание, вы можете повторно сгенерировать все его вопросы одним щелчком мыши.
Новые вопросы будут соответствовать тем же параметрам, что и исходные вопросы, но они будут
совершенно новый. Эта функция лежит в основе нашего программного обеспечения и делает его таким мощным: вы
выбирайте свойства вопросов, а не сами вопросы. Когда вопрос заменяется,
вы получаете новый, похожий на исходный вопрос. Как это
работает. Вы можете регенерировать целые задания, определенные группы вопросов или отдельные
вопросы.

Easy Spacing

Изменить интервал всего назначения до нужной длины одним щелчком мыши. Легко дайте своим ученикам
достаточно места, чтобы показать свою работу, увеличив интервал. Или вы можете сэкономить бумагу, уменьшив
интервал.

Расстояние также можно регулировать вручную.

Режим презентации

Очень полезен в качестве учебного пособия при использовании в сочетании с ЖК-проектором или другим дисплеем
система. На экране одновременно отображаются от одного до четырех вопросов.

Используйте эту функцию во время обучения. Подготовьте свои примеры с помощью программного обеспечения, а затем используйте
проектор для отображения вопросов на доске. Это экономит время при планировании и во время
урок, и это позволяет очень легко представить длинные вопросы или вопросы с графиками и диаграммами.
С одним отображаемым вопросом вы можете:

• Изменить уровень масштабирования, чтобы учащиеся сзади могли его прочитать
• Нарисуйте линии рядом с вопросом, чтобы помочь вам организовать свою работу, если вы решите вопрос
• Перейти к другому вопросу — полезно при просмотре домашнего задания
• Раскройте ответ
• Показать/скрыть номер вопроса и указания.

Печать нескольких версий

Печать нескольких версий задания. Вы контролируете, как создается каждая новая версия: скремблировать
варианты, перепутать вопросы или составить совершенно новые вопросы. Вы также можете сохранять каждый новый
версию после ее создания.

Масштаб задания

Пропорционально увеличить или уменьшить количество вопросов в задании. это очень полезно
при планировании урока. Вы можете создать несколько вопросов для использования в качестве примеров, а затем масштабировать
номер вопроса для создания домашнего задания. Вопросы по домашнему заданию будут полностью
новые, но точно вытекающие из урока — и вам не нужно заново составлять вопросы.

Экспорт вопросов

Экспорт вопросов в виде растровых изображений и вставка их в ваш любимый текстовый редактор.
Вопросы, созданные с помощью наших продуктов, можно добавлять к существующим заданиям, которые вы создали с помощью других
программы. Или вы можете освежить старые задания, заменив старые вопросы новыми.

Все вопросы доступны для экспорта.

Хорошие вопросы с несколькими вариантами ответов

Каждый вопрос, который вы создаете, можно переключать между форматом свободного ответа и множественным выбором.
Вопросы с несколькими вариантами ответов содержат умные, потенциально вводящие в заблуждение варианты. Некоторые из них основаны на общих
ошибки, которые допускают учащиеся, в то время как другие случайны, но близки к правильному ответу.

Вы управляете количеством вариантов ответа на каждый вопрос, от двух до пяти.

Объединить задания

Объединить два или более заданий в одно. Легко создавайте викторины, тесты и обзоры, объединяя
назначения из единицы, а затем масштабирование общей суммы до соответствующей длины. Вопросы будут
новое, точно следуя тому, чему вы учили.

Диаграммы, нарисованные в масштабе

Все диаграммы нарисованы точно, за исключением случаев, когда ответ будет выдан. Если угол
помечены как 30°, тогда это действительно 30°. Если стороны треугольника обозначены цифрами 3, 4 и 5, то его
длины действительно находятся в соотношении 3:4:5. Наблюдение за точными диаграммами помогает учащимся интуитивно понять
понимание углов и измерений.

Формат ответа

При печати задания вы выбираете, как будут представлены ответы:

• На листе ответов
• На листе ответов только шансы
• В контексте (рядом с вопросом или внутри вопроса)
• Нет листа ответов

Утилита для работы с графиками и миллиметровой бумагой

Дополните свои уроки высококачественными графиками и миллиметровой бумагой любого размера. Каждый граф может иметь
от нуля до двух функций, изображенных на нем. Графики могут быть любого логического и физического размера. Вы также можете
Мозаичные графики по всей странице, чтобы максимально использовать бумагу.

Пользовательские направления и пользовательские вопросы

Введите свои собственные направления для создания новых типов задач. Слева показан стандартный заказ
вопрос операций, который был изменен, чтобы быть более аналитическим. Вы можете изменить направление на
любой тип вопроса.

Время от времени вам нужно будет ввести свой вопрос. Вот для чего нужны пользовательские вопросы.
Они могут быть как со свободным ответом, так и с несколькими вариантами ответов и могут содержать текст в математическом формате (уравнения,
выражения и др.).

Изменить автоматически сгенерированные вопросы

Большинство автоматически сгенерированных вопросов можно изменить вручную. Если есть выбор, ты не
вроде можно поменять. Если вы хотите, чтобы вопрос был немного другим, вы можете изменить его.

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

• типы треугольников
• вершины углы и стороны треугольника
• медианы треугольника
• биссектрисы треугольника
• высоты треугольника
• окружность вписанная в треугольник
• окружность описанная вокруг треугольника
• связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
• средняя линия треугольника
• периметр треугольника
• формулы площади треугольника
• равенство треугольников
• подобие треугольников
• прямоугольные треугольники