Как найти сумму двух векторов параллелепипеда

Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов а ₁, а ₂, а ₃, … , а _n, это вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а ₁ прибавляется вектор а ₂, к полученному вектору прибавляется вектор а ₃ и т.д.

Из определения вытекает такое построение

Правило многоугольника или правило цепи

Из произвольного начала О строим вектор ОА ₁ = а ₁, из точки А ₁, как из начала, строим вектор А ₁ А ₂ = а ₂, из точки А ₂ строим вектор А ₂ А ₃ = а ₃ и т.д. Вектор ОА _n (на рисунке n = 6) есть сумма векторов а ₁, а ₂, … , а _n.

Свойство сочетательности

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

Так, если найти сначала сумму векторов

и к ней прибавить вектор а ₁ ( ОА ₁), то получим то же вектор:

Правило параллелепипеда

Если три вектора а , b , с после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то сумму а + b + c можно найти таким построением:

Из любого начала О строим векторы ОА = а , ОВ = b , ОС = с , на отрезках ОА , ОВ , ОС , как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диагонали OD есть сумма векторов a , b , и c (так как ОА = а , АК = ОВ = b , KD = OC = c и OD = OA + AK + KD ).

К векторам, которые (после приведения к общему началу) лежат в одной плоскости, это построение неприменимо.

Правило параллелепипеда. Разложение вектора

Вы будете перенаправлены на Автор24

Правило параллелепипеда

Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов а₁, а₂, а₃, … , а_n, это вектор, получающийся после ряда последовательных сложений:
к вектору а₁ прибавляется вектор а₂, к полученному вектору прибавляется вектор а₃ и т.д.

Из определения вытекает такое построение

Правило многоугольника или правило цепи

Из произвольного начала О строим вектор ОА₁ = а₁,
из точки А₁, как из начала, строим вектор А₁А₂ = а₂,
из точки А₂ строим вектор А₂А₃ = а₃ и т.д.
Вектор ОА_n (на рисунке n = 6) есть сумма векторов а₁, а₂, … , а_n.

Сумма векторов а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆ обозначается

[ vector{a_1}+vector{a_2}+vector{a_3}+vector{a_4}+vector{a_5}+vector{a_6} ]

Свойство сочетательности

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

Так, если найти сначала сумму векторов

[ vector{a_2}+vector{a_3}+vector{a_4}+vector{a_5}+vector{a_6} = vector{A_1 A_6} ]

и к ней прибавить вектор а₁ (ОА₁), то получим то же вектор:

[ vector{a_1}+(vector{a_2}+vector{a_3}+vector{a_4}+vector{a_5}+vector{a_6}) = \ = vector{a_1}+vector{a_2}+vector{a_3}+vector{a_4}+vector{a_5}+vector{a_6} ]

Правило параллелепипеда

Если три вектора а, b, с после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то сумму а+b+c можно найти таким построением:

Из любого начала О строим векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = с,
на отрезках ОА, ОВ, ОС, как на ребрах, строим параллелепипед.
Вектор диагонали OD есть сумма векторов a, b, и c
(так как ОА = а, АК = ОВ = b, KD = OC = c и OD = OA + AK + KD).

Правило параллелепипеда

Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow{a},overrightarrow{b} и overrightarrow{c}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow{AB}=overrightarrow{a}$, $overrightarrow{AC}=overrightarrow{b}$ и $overrightarrow{AA_1}=overrightarrow{c}$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow{AC_1}$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.

Пример задачи

1.
Правилом
треугольника
Суммой двух векторов
иназывается третий вектор,
соединяющий начало векторас концом вектора,
при условии, что начало векторапомещено в конец вектора.

2
Правило
параллелограмм.
Если векторы
ипривести к общему началу и построить
на векторахипараллелограмм, то диагональ
параллелограмма, выходящая из общего
начала, называется суммой векторови.

3
Правило
многоугольника. Если
векторы расположить так, чтобы начало
каждого следующего вектора поместить
в конец предыдущего, то суммой нескольких
векторов называется вектор, соединяющий
начало самого первого вектора с концом
последнего

Число слагаемых
векторов может быть любое конечное,
многоугольник в результате сложения
может быть выпуклым, а может и нет .

4.Правило
параллелепипеда. Сумма
трех некомпланарных векторов, приведенных
к общему началу, равна диагонали
параллелепипеда, построенного на этих
векторах, выходящая из общего начала.

.

Если
обозначить
,
тогда получим:

Вычитание

Правило
5 Разностью
двух векторов
иназывается третий вектор,который
в сумме с векторомдаёт вектор.

т.е.
.

Если
привести векторы к общему началу и
построить на них параллелограмм, то
диагональ параллелограмма, не выходящая
из общего начала, является разностью
векторов, т.е. разность векторов –
вектор, проведённый из конца вычитаемого
в конец уменьшаемого.

Свойства
(суммы и разности векторов)

Относительно
сложения имеют место законы:

1)
– коммутативный
(переместительный);

2)
– ассоциативный
(сочетательный);

3)
для любого вектора
существует нулевой вектор,
такой,

что;

4)
для каждого вектора существует вектор
такой, чтовекторназывается противоположным векторуи обозначается,
т.е.=-.

Умножение вектора на число

Правило
6.Произведением
вектора
на числоназывается вектор,
коллинеарный вектору,
длина которого равна,
а направление совпадает с вектором,
если,
и противоположное, если.

.

Относительно
умножения на число имеют место законы:

а)
–распределительный;

б)
–сочетательный
;

в)
–коммутативный.

3. Проекция вектора на ось

Пусть
в пространстве задана ось l.

Опр.10
Проекцией точки М на ось l
называется
основание М₁

перпендикуляра
ММ₁,
опущенного из точки на ось.

Опр.11.Проекцией
вектора

на ось l
называется длина отрезка,
взятая со знаком «+», если направление
его совпадает с направлением оси и со
знаком «-», если направлениепротивоположно направлению оси.

Обозначается
.

Проекция
вектора на ось равна произведению его
модуля на косинус угла
,
который вектор образует с осью.

При
этом углом
между вектором и осью называется угол,
на который нужно повернуть ось до
совмещения с вектором против хода
часовой стрелки.

4.Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Проекции
вектора на оси координат называются
его координатами. В этом заключается
их геометрический смысл.

Если
задана система координат на плоскости
и в пространстве, то начало вектора
можно всегда совместить с началом
координат, не меняя при этом длину и
направление. Выделим на координатных
осях единичные векторы и обозначим
.Выберем
произвольный вектор.
Найдем проекции вектора на координатные
оси.

Проведем
через конец вектора плоскости, параллельные
координатным плоскостям. Точки пересечения
с осями обозначим соответственно через
М₁,М₂,М₃.
Получили прямоугольный параллелепипед,
одной диагональю которого является
.

Тогда
;;

.
По определению суммы получим, что
,
но т.к.,то

.

Но
,,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Skip to content