Как найти сумму единиц

Сложение и вычитание величин

При сложении или вычитании однородных величин единицы измерения величин не меняются.

Чтобы найти сумму или разность однородных величин, надо произвести действия над их численными значениями и, к полученному результату, приписать единицу измерения величины.

Если величины состоят из двух единиц измерения, то можно либо сразу произвести действия над их численными значениями, по необходимости переводя промежуточный результат из одной единицы измерения в другую. Либо сначала привести их к одной единице измерения, а потом произвести нужные вычисления.

#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳

СУММА ЦИФР ВСЕХ ЧИСЕЛ от 1 до 1 000 000

Здравствуйте, уважаемые читатели канала Хакнем Школа!

Эта статья появилась в ответ на предложение Михаила ЛЕВИ, сделанное им в комментарии к статье: «Необычный способ решения задач “короля математиков” Карла Гаусса, который он придумал в 7 лет».

Мне думается, что нахождение суммы цифр всех чисел от 1 до 1 000 000 будет интересно многим школьникам (и, надеюсь, не только им) — это, во-первых, ну а, во-вторых — само нахождение этой суммы при подробном изложении не укладывается в объём комментария, хотя надо отметить, что автор нередко «грешит» объёмностью своих ответов на комментарии к его статьям.

Однако, пора приступить к нахождению нужной суммы…

Для начала отметим, что натуральные числа обладают некоторой особенностью — каждое число совпадает по своему значению с номером его позиции в ряду ℕ (в последовательности натуральных чисел).

Заметим, что сумма цифр в записи числа 1 000 000 (миллион) равна 1 (единице). Поэтому рассмотрим для начала сумму цифр всех чисел от 0 до 999 999.

Разместим (фрагментарно) миллион первых чисел, включая и число 0 (ноль)в следующей таблице — это поможет нам разобраться в последующих рассуждениях.

РЕШЕНИЕ

способ I

Сумма десяти первых цифр в разряде единиц составляет 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, и число таких десятков среди миллиона чисел равно 1 000 000 : 10 = 100 000 (деление «по»), ну а сумма всех цифр, стоящих в разряде единиц всех этих чисел равна

45 × 100 000 = 4 500 000. (1)

В разряде десятков каждая цифра в каждой сотне чисел повторяется 10 раз, а число таких сотен среди миллиона чисел равно

1 000 000: 100= 10 000. Значит, сумма всех цифр и в этом случае равна

45 × 10 000 × 10 = 4 500 000. (2)

Далее аналогично (не повторяя рассуждений и промежуточных вычислений) находим:

Сумма цифр в разрядах сотен равна

45 × 1000 × 100 = 4 500 000 (3)

Сумма цифр в разрядах тысяч равна

45 × 100 × 1000 = 4 500 000 . (4)

Сумма цифр в разрядах десятков тысяч равна

45 × 10 × 10 000 = 4 500 000. (5)

Сумма цифр в разрядах сотен тысяч равна

45 × 100 000 – 99 999 = 4 500 000 (6)

Найдём заданную сумму как сумму цифры 1 из разряда миллионов с суммой одинаковых слагаемых от (1) до (6), выраженную соответствующим произведением:

1 + 4500000*6 = 1 + 27 000 000 = 27 000 001.

ОТВЕТ. 27 000 001

Отметим, что существуют по крайней мере два способа упростить вычисления: идею одного из них предложил в своём ответе на предложение Михаила Леви — Николай Нагибин, ну а другой основан на идее Карла Гаусса.

РЕШЕНИЕ

способ II («по Гауссу»)

Найдём сумму цифр всех целых чисел от 0 до 999 999, к которой впоследствии прибавим сумму цифр в числе 1 000 000 (миллион).

Сложим сумму цифр первого числа 0 с суммой цифр последнего 999 999, сумму цифр второго числа 1 с суммой предпоследнего 999 998, сумму цифр третьего числа 2 с суммой цифр предпредпоследнего 999997 и так далее, вплоть до суммы цифр пары 499 999 и 500 000:

0 + 54 = 1 + 53 = 2 + 52 = … = 49 + 5 = 54.

Всего таких пар 500 000, поэтому (вспомним про число миллион):

1 + 54 × 500 000 = 1 + 27 000 000 = 27 000 001.

РЕШЕНИЕ

способ III (по идее Н. Нагибина)

В вышеприведённой таблице размещено 6 000 000 (шесть миллионов цифр, среди которых каждая из 10 (десяти) цифр встречается одинаковое число (6 000 000:10 = 600 000) раз, поэтому их сумма равна (поскольку

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45)

45 × 600 000 = 27 000 000, Вспомним про число миллион,

сумма цифр которого равна 1. Значит, сумма цифр всех чисел

1 до 1 000 000 равна 27 000 000 + 1 = 27 000 001.

Если вам было интересно, не забудьте подписаться на наш канал и хэштег #хакнем_математика

Читайте наш канал в телеграм – по этой ссылке

Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.

Другие статьи автора:

Партнёрский материал от “Tinkoff Junior” для подписчиков канала “Хакнем Школа” 👇:

Карта, обучающая ребёнка финансовой грамотности!

🆓 Бесплатное обслуживание на всё время (при оформлении по этой ссылке);
🧮 Обучает ребёнка копить деньги и анализировать траты;
Приложение позволяет:
💸 Проверить, на что ребёнок тратит деньги;
🏆 Назначить награду, например, за уборку в комнате;
🛍 Установить лимиты на покупки;
👨‍💻 Читать интересные истории о финансовой грамотности.

Родителям:

Если вы не являетесь клиентом Тинькофф, то вместе с детской картой Junior, вам привезут дебетовую карту Tinkoff Black.

Бонус для подписчиков «Хакнем Школа»:
При оформлении детской карты — карта Tinkoff Black будет с бесплатным обслуживанием (стандартная стоимость обслуживания – 99 руб./мес.)

👉 Оформление по этой ссылке 👈

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$ frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = frac{A}{2n+1} + frac{B}{2n+3} = frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

$$ begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \ n^1: &3A+B=1 end{cases}Rightarrow begin{cases} A=frac{1}{2} \ B=-frac{1}{2} end{cases} $$

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

$$ a_n =frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2} frac{1}{2n+1} – frac{1}{2} frac{1}{2n+3} $$

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + … + a_n $$

$$ a_1 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) $$

$$ a_2 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) $$

$$ a_3 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) $$

$$ …………………………………. $$

$$ a_{n-1}=frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) $$

$$ a_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Итого, получаем:

$$ S_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) + … $$

$$ … + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

Выносим дробь одну вторую $ frac{1}{2} $ за скобки:

$$ = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9} … + $$

$$ + … frac{1}{2n-1} – frac{1}{2n+1} + frac{1}{2n+1} – frac{1}{2n+3} bigg) = $$

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

$$ S_n = frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

$$ S=lim_{ntoinfty} S_n = lim_{ntoinfty} frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

$$ = frac{1}{2} lim_{ntoinfty} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = frac{1}{2} cdot frac{1}{3} = frac{1}{6} $$

Онлайн калькулятор поможет найти сумму чисел от одного до N, вычислит сумму натуральных чисел от единицы до указанного числа включительно.

Для сложения определенного количества целых чисел в диапазоне от 1 до заданного значения N используется формула:
(N×(N+1))/2
Где N – наибольшее число ряда.