У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.
Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида
то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):
[1]
Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой[2]:
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.
Свойства[править | править код]
Общий член арифметической прогрессии[править | править код]
Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формулам
- где — первый член прогрессии, — её разность, — член арифметической прогрессии с номером .
Доказательство формулы общего члена арифметической прогрессии
Пользуясь соотношением выписываем последовательно несколько членов прогрессии, а именно:
Заметив закономерность, делаем предположение, что . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех :
База индукции :
— утверждение истинно.
Переход индукции:
Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :
Итак, утверждение верно и при . Это значит, что для всех .■
Отметим, что в формулах общего члена -й член прогрессии есть линейная функция. Об этом говорит следующая теорема.
Доказательство
Необходимость. Пусть арифметическая прогрессия. Тогда, как было уже показано, , то есть . Так как есть линейная функция и , это значит, что и , т. е. — линейная функция, где .
Достаточность. Пусть есть линейная функция, т. е. . Так как и , то , тогда .
Рассмотрим .
Отсюда следует, что , где — величина постоянная. Тогда , а это значит по определению, что — арифметическая прогрессия.■
Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны, т. е. .
Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править | править код]
Последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие
Доказательство характеристического свойства арифметической прогрессии
Необходимость.
Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:
.
Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим .
Достаточность.
Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что .
База индукции :
— утверждение истинно.
Переход индукции:
Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :
Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что
Итак, утверждение верно и при . Это значит, что .
Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия.■
Тождество арифметической прогрессии[править | править код]
Доказательство тождества арифметической прогрессии
С помощью формулы общего члена выразим -й, -й, -й члены:
Вычитая почленно из первого равенства второе, а из второго третьего, получим:
Выражая из этих равенств и приравнивая полученные выражения, получим:
По основному свойству пропорции:
Откуда следует доказываемое тождество:
■
Следствие 1. Всякий член арифметической прогрессии вырази́м[5] через любую пару других членов.
Доказательство
Преобразовав тождество арифметической прогрессии
к виду
можно заметить, что -й член есть линейная комбинация двух других членов ( и ), поскольку оно равносильно
■
Следствие 2. Для того, чтобы число являлось членом данной арифметической прогрессии с членами и , необходимо и достаточно, чтобы было натуральным число
Формулировка ещё одного признака арифметической прогрессии.
Следствие 3 [критерий]. Числовая последовательность является арифметической прогрессией в том и только в том случае, если выполняется тождество арифметической прогрессии для всех членов данной последовательности. Другими словами, чтобы каждый член был вырази́м через любую пару остальных членов последовательности.
Доказательство
Необходимость. Утверждение
очевидно (см. доказательство тождества арифметической прогрессии).
Достаточность. Докажем, что
Равенство
можно преобразовать к виду
Если все три номера различны, тогда
Обозначим выражение, например, в левой части равенства за , то есть
Откуда можно прийти к следующему предложению:
Наконец, методом математической индукции, например, по нетрудно убедиться, что данное соотношение описывает именно арифметическую прогрессию.
Действительно, при (база индукции) получаем формулу общего члена арифметической прогрессии:
Предположим истинность утверждения (для ): формула характеризует арифметическую прогрессию. Тогда покажем, что и при формула верна для арифметической прогрессии (переход, или шаг, индукции). Рассмотрим левую часть формулы
По предположению индукции () заменим на выражение . Итак, получим следующее:
Методом тождественных преобразований имеем равносильное предложение
А это, в свою очередь, рекуррентное соотношение для арифметической прогрессии.
Значит, по принципу математической индукции можно утвердать, что для всякого соотношение верно только и только для членов арифметической прогрессии.
Аналогичные рассуждения проводятся для формулы .
Данное следствие целиком и полностью считается доказанным.■
Сумма первых n членов арифметической прогрессии[править | править код]
Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам
- , где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.
- — где — первый член прогрессии, — второй член прогрессии — член с номером .
- , где — первый член прогрессии, — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.
- , если — нечётное натуральное число.
Доказательство |
---|
Запишем сумму двумя способами:
— та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:
Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:
Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то
Третья формула для суммы получается подстановкой вместо . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых , так как они все равны между собой. |
Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом выполняется равенство:
Примечание: — сумма первых членов арифметической прогрессии.
Доказательство |
---|
1. Очевидно, что или Прибавим к обеим частям и получим, что 2. Покажем, что Это так, поскольку можно написать верное равенство:
3. Теперь докажем, что Но гораздо лучше представить это равенство в виде Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии. 4. А следовательно, 5. Тем самым, что и требовалось доказать. |
Предыдущее свойство имеет обобщение.
Для любых натуральных , , выполняется комплементарное свойство сумм:
Ещё один признак арифметической прогрессии.
Сумма членов арифметической прогрессии от n-го до m-го[править | править код]
Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от до может быть найдена по формулам
- , где — член с номером , — член с номером , — количество суммируемых членов.
где — член с номером , — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.
Произведение членов арифметической прогрессии[править | править код]
Произведением первых членов арифметической прогрессии называется произведение от до , то есть выражение вида Обозначение: .
Свойство произведения:
Число множителей-скобок равно , а в самом произведении их составляет «штук».[10]
Сходимость арифметической прогрессии[править | править код]
Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причём
Доказательство |
---|
Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат. |
Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править | править код]
Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .
Доказательство |
---|
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения . |
Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.
Арифметические прогрессии высших порядков[править | править код]
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:
- 3, 5, 7, 9, 11, …
Треугольные числа также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию
Тетраэдральные числа образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.
Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.
Если — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен , такой, что для всех выполняется равенство [11]
Примеры[править | править код]
Формула для разности[править | править код]
Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как
- .
Сумма чисел от 1 до 100[править | править код]
Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050.
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле
то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.
См. также[править | править код]
- Геометрическая прогрессия
- Арифметико-геометрическая прогрессия
Примечания[править | править код]
- ↑ Такое соотношение называют рекуррентным соотношением первого порядка. Поэтому арифметическая прогрессия есть множество последовательностей, задающихся именно таким образом.
- ↑ Фильчаков П. Ф. Глава II. Алгебра и элементарные функции. Функции натурального аргумента (§ 75. Арифметическая прогрессия) // Справочник по элементарной математике: для поступающих в вузы : книга / под ред. чл.-кор. АН УССР П. Ф. Фильчакова. — Киев : «Наукова думка», 1972. — С. 303. — 528 с. — 400 000 экз. — УДК 51 (08)(G).
- ↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 135. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
- ↑ Соотношение между любыми тремя членами арифметической прогрессии и их номерами (Мусинов В. А.) // Материалы студенческой научной сессии Института математики и информатики МПГУ. 2021–2022 учебный год : сборник статей / под общ. ред. Е. С. Крупицына. — М.: МПГУ, 2022. — С. 91—93. — 156 с. — ISBN 978-5-4263-1109-1, ББК 22.1я431+32.81я431+22.1р30я431+74.262.21я431+74.263.2я431.
- ↑ Это означает, что выражаемый член есть комбинация любых двух других членов данной последовательности, причём эта комбинация составлена с помощью арифметических операций и конечного набора символов. Для арифметической последовательности такая комбинация будет линейной.
- ↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 141. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
- ↑ Из доказательства необходимости следует, что , поэтому, если , то необходимо сделать проверку. Например, если — сумма первых членов последовательности, то такая последовательность НЕ является арифметической прогрессией. А последовательность, заданная суммой первых членов, будет арифметической прогрессией.
- ↑ При произведение равно , что безусловно верно.
- ↑ Эту формулу удобно использовать для выполнения итераций в программном коде, так как результат зависит от значения только двух величин: постоянного числа — разности, и члена, стоящего ровно по середине между первым и -м членом.
- ↑
Пример применения формулы
.
Пусть , где .
По формуле найдём произведение пяти первых членов. Количество сомножителей должно равняться . Причём первым сомножителем будет .
Далее .
Наконец, . - ↑ Бронштейн, 1986, с. 139.
Литература[править | править код]
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.
Ссылки[править | править код]
- Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.
Когда речь идет о таком параметре, как сумма арифметической прогрессии, подразумевается всегда сумма первых членов арифметической прогрессии или сумма членов прогрессии с k по n, то есть количество членов, которые берутся для суммы, строго ограничено в заданных условием пределах. В противном случае задание не будет иметь решения, так как вся числовая последовательность именно арифметической прогрессии начинается с конкретного числа – первого члена a1, и продолжается бесконечно.
Бытует мнение, что формула суммы арифметической прогрессии была открыта еще Гауссом, как быстрый и точный способ расчета суммы чисел в определенной последовательности. Он заметил, что такая прогрессия является симметричной, то есть сумма симметрично расположенных с начала и конца членов прогрессии является постоянной для данного ряда.
a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2)=⋯
Соответственно, он нашел данную сумму и умножил ее на половину от общего количества чисел в последовательности, участвующих в расчете суммы. Таким образом, была выведена формула суммы арифметической прогрессии
Пример. Предположим, задано условие: “Найдите сумму первых десяти (10) членов арифметической прогрессии”. Для этого понадобится следующие данные: разность прогрессии и первый ее член. Если в задаче дан какой-либо n член арифметической прогрессии вместо первого, тогда сначала нужно воспользоваться разделом, где представлена формула нахождения первого члена прогрессии, и найти его. Затем исходные данные вбиваются в калькулятор и он производит расчеты, складывая первый и десятый члены, и умножая полученную сумму на половину от общего количества складываемых членов – на 5. Аналогично происходит, если нужно найти сумму первых шести членов или любого другого количества.
В случае, когда необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии, начинающихся не с первого, а с пятого члена, к примеру, тогда среднее арифметическое остается тем же, а общее количество членов берется как увеличенная на единицу разность между порядковыми номерами взятых членов.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Смотрите также
Определение
Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из первого добавлением к нему постоянного числа. Данное постоянное число называют разностью арифметической прогрессии.
-ый элемент арифметической прогрессии
Чтобы найти -ый элемент, нужно к элементу прибавить разность арифметической прогрессии.
где — разность арифметической прогрессии, — -ый элемент арифметической прогрессии.
Выразим -ый элемент арифметической прогрессии через первый член и разность прогрессии.
Получаем, что
Пример 1. Найти -ый элемент арифметической прогрессии, если её первый элемент равен , а разность .
Решение.
Ответ: .
Пример 2. Найти разность арифметической прогрессии, если пятый элемент прогрессии равен , а -ый — -ти.
Решение.
Вычтем из второго уравнения первое:
Ответ: .
Сумма арифметической прогрессии
Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:
Докажем первую формулу.
Сложим почленно два последних равенства.
Получаем,
Так как, то
Следовательно,
Пример 3. Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.
Решение.
Ответ: .
Пример 4. Первый элемент арифметической прогрессии равен , а разность арифметической прогрессии равна . Найдите сумму первых элементов данной арифметической прогрессии.
Решение.
Ответ: .
Пример 5. Арине надо решить задач по геометрии. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что в первый день она решила задач, а в последний она запланировала решить задач. Определите за сколько дней она решит все задачи.
Решение. Для решения задачи мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
По условии задачи: Надо найти
Ответ:
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Доказательство основывается на том, что
Пример 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
Найдите .
Решение.
Ответ: .
Сумма членов арифметической прогрессии
Сумма всех членов арифметической прогрессии равна половине произведения суммы её крайних членов на количество всех её членов.
где S — это сумма всех членов, a1 — первый член прогрессии, an — последний член, а n — количество членов в данной прогрессии.
Рассмотрим, почему именно с помощью данной формулы можно найти сумму всех членов арифметической прогрессии:
Если взять любую конечную арифметическую прогрессию, например:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30;
то не трудно будет посчитать (складывая числа друг за другом), что сумма всех её членов равна 165. В то же время, если сгруппировать попарно все члены, равноудалённые от концов:
(3 + 30), (6 + 27), (9 + 24), (12 + 21) и (15 + 18);
то можно увидеть, что суммы таких групп равны (в данном случае сумма чисел каждой группы равна 33). Значит, вместо того, чтобы последовательно складывать все члены прогрессии, достаточно узнать сумму двух её членов — первого и последнего. Так как таких сумм получится ровно в 2 раза меньше, чем всех членов в прогрессии, то для вычисления суммы всех членов, надо умножить сумму первого и последнего члена на общее количество членов прогрессии, разделённое на два:
(3 + 30) · | 10 | = | (3 + 30) · 10 | = 165. |
2 | 2 |
Исходя из данного примера, можно вывести общую формулу нахождения суммы всех членов прогрессии, если известен первый и последний её члены, а также количество членов:
S = | (a1 + an) · | n | = | (a1 + an)n | . |
2 | 2 |
Если в формулу для суммы вместо an вставить равное ему выражение: a1 + (n – 1)d, то получится:
S = | (2a1 + d(n – 1))n | . |
2 |
По этой формуле можно определить сумму в зависимости от первого члена, разности и количества членов данной прогрессии.
Пример. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:
1, 3, 5, 7, … .
Решение: В данной прогрессии первый член равен 1, а разность — 2, значит, сумма первых 10 членов равна:
(2 · 1 + 2(10 – 1)) · 10 | = 100. |
2 |
Сумма n первых членов арифметической прогрессии — штука довольно простая и понятная. Как по смыслу, так и по формуле. Но задания на эту тему встречаются самые разные. От примитивных до вполне себе серьёзных. Имеет смысл разобраться, правда?)
Очень часто во всевозможных задачках на арифметическую прогрессию требуется найти сумму некоторого количества её членов. Если этих самых членов мало, то складывать, конечно, и безо всяких формул можно. А вот если много, то сложение “вручную” уже напрягает, да… В этих случаях и выручает формула.)
Итак, вот она, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Для начала, как водится, разберёмся с названием и со смыслом формулы суммы. А потом и задачки порешаем. В своё удовольствие.)
Ключевыми словами в названии формулы являются слова “n первых членов”. Эти слова всего лишь означают, что берётся последовательность
(an): a1, a2, a3, a4, a5, …, an
и аккуратно суммируются (т.е. складываются) все её члены. С первого члена (a1) по последний (an). Причём складываются именно все члены подряд, без пропусков! Это важно.
Смысл формулы суммы прост до неприличия. Эта формула позволяет легко и быстро находить сумму любого количества членов любой арифметической прогрессии с первого по n-й. Не складывая все числа по порядочку.)
А теперь, традиционно, разбираемся со всеми буковками и символами, сидящими в формуле. Это очень многое прояснит.
Sn — та самая сумма n первых членов, которую мы ищем. Результат сложения всех членов арифметической прогрессии с первого по последний. Ещё раз напоминаю, что сумма считается именно (и только) с первого члена. Дело всё в том, что частенько встречаются задачки типа: “найти сумму пятого и восьмого членов”. Или: “найти сумму всех членов с десятого по тридцатый”. В таких задачках прямое применение формулы суммы не катит, да…)
a1 — первый член прогрессии. Здесь, думаю, комментарии излишни.)
an — последний член прогрессии. Под номером n. Да, не очень привычное название, но для работы с суммой — очень удобное.) Что это такое — об этом ниже.
n — номер последнего члена.
Вот и всё. Все обозначения расшифрованы. Осталось лишь разобраться, что же такое последний член.
Для начала задам такой хитрый вопрос: как вы думаете, какой член будет последним, если нам дана бесконечная арифметическая прогрессия? Ответ очевиден: никакой.) Какой бы член an и с каким бы номером n мы ни взяли, для него всегда найдётся следующий, (n+1)-й член.
Поэтому говорить о конкретной конечной сумме для бесконечной арифметической прогрессии (с бесконечным числом членов) попросту нету никакого смысла. Не существует такой суммы. Бесконечная она… Кстати, в отличие от геометрической прогрессии, сумму бесконечного числа членов которой, в некоторых случаях, найти… можно.) Но о геометрической прогрессии и о такой интересной бесконечной сумме — в соответствующих уроках.)
Короче говоря, когда мы имеем дело с суммой арифметической прогрессии, то нам всегда требуется некоторый конечный член. Тот член, на котором следует остановиться. Которым следует ограничиться. Чтобы не складывать все члены до бесконечности.) Вот именно этот граничный член an — и есть последний член прогрессии. И все дела.)
Номер этого самого последнего члена (т.е. n) определяется исключительно заданием. Либо он указан в условии прямым текстом, либо же косвенно, в зашифрованном виде.) А составители заданий, порой, шифруют эту ценную информацию (последний член и номер последнего члена) с безграничной фантазией, да…) Для грамотной расшифровки надо, во-первых, понимать смысл арифметической прогрессии, во-вторых, не бояться и думать головой и… внимательно читать задание.) Иначе — никак. Чуть ниже, в конкретных задачках мы все эти секреты пораскрываем.
Как выводится формула суммы?
Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии хоть и прост, но весьма оригинален по сравнению с выводом формулы n-го члена.) Для этого придётся нам запустить машину времени и плавно переместиться… нет, не в будущее.) Мы переместимся в Германию конца XVIII века. Жил-был в то время великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Король математики! Одарённость его просто не знала границ!
Так вот, согласно легенде, когда Гаусс был ещё школьником, учитель дал детям задание. Скучно им, видите ли, было на уроке… А именно — посчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Для всего класса это задание и впрямь оказалось работёнкой не из лёгких. На целый урок.) Но… только не для юного вундеркинда Гаусса с его нестандартным мышлением.) Как он выкрутился? Он заметил, что попарные суммы чисел с противоположных концов всегда одинаковы: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 и так далее.) Всего таких попарных сумм, очевидно, будет 50. Рассуждая таким образом, Гаусс, к удивлению учителя, дал верный ответ за полминуты:
1+2+3+…+100 = 50·101 = 5050
И всё! Здорово, правда?)
Для вывода нашей формулы, мы поступим так же мудро, как и Гаусс. По такому же принципу. Смотрите, сейчас интересно будет! Запишем сначала нашу прогрессию (an) в виде прямой последовательности:
a1, a2, a3, …, an-2, an-1, an.
А теперь запишем эту же прогрессию, но в виде обратной последовательности. Член an будет на первом месте, а a1 — на последнем.
Вот так:
an, an-1, an-2, …, a3, a2, a1.
А теперь (внимание!) берём и попарно складываем между собой члены обеих последовательностей — прямой и обратной.
Вот так:
Получаем ровно “n” попарных сумм. Как вы думаете, что в итоге мы получим, если сложим между собой все эти n сумм? Очевидно, нужную нам сумму n первых членов арифметической прогрессии Sn, но… удвоенную. Что правда то правда: сначала мы складываем все члены с 1-го по n-й, а затем — наоборот. И, если сложить оба результата, то получим, как раз, удвоенную сумму членов с 1-го по n-й. То есть, 2Sn.
Можно смело записать:
2Sn = (а1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)
А теперь разберёмся со всеми “лишними” скобочками и буковками. Сейчас будет ещё интереснее!
Как вы уже, возможно, заметили, скобки, стоящие в сумме на одинаковых местах с начала и с конца, совершенно одинаковые! Только слагаемые переставлены местами.) Первые и последние скобки мы трогать не будем. Посмотрим, что получается во вторых и предпоследних скобках. Для этого представим a2 как a1+d, а an-1 представим как an–d. Прямо по смыслу арифметической прогрессии:
a2 = a1 + d
an-1 = an — d
Подставим это добро во вторую (и предпоследнюю) скобки. Что получим:
(a2+an-1) = (an-1+a2) = a1 + d + an — d = a1 + an
Рассуждая аналогичным образом, для третьих скобок с начала и с конца мы получим:
(a3+an-2) = (an-2+a3) = a1 + 2d + an — 2d = a1 + an
Ну как? Улавливаете идею? Да! Каждая из попарных сумм членов, стоящих на одинаковых местах с начала и с конца в нашей общей сумме 2Sn, всегда будет одна и та же. И равна a1 + an. То есть, сумме первого и последнего членов. А всего таких попарных сумм у нас сколько? Правильно, “n” штук! Столько же, сколько и членов в прогрессии, да…) Не зря же я картинки рисую иногда.
Вот и пишем:
2Sn = (а1+an)·n
Выражая из этого равенства Sn, получаем требуемую формулу:
Вот и всё.)
Ну что, со смыслом формулы разобрались. С выводом — тоже. Я вижу, вам уже не терпится начать решать задачки. Что ж, поехали!
Решение задач на сумму арифметической прогрессии.
Начнём с несложной задачки. Безо всяких фокусов.)
1. Дана арифметическая прогрессия:
24; 23,2; 22,4; 21,6; …
Найти сумму первых ста её членов.
Прогрессия нам задана в виде последовательности. Можно, конечно, уловить закономерность, продлить эту последовательность, выписать первые сто её членов, сложить их да посчитать, но… как-то тупо и долго получается, не находите? Но мы же с вами народ учёный. Формулу суммы знаем.) Вот и запустим её в дело.
Сразу пишем формулу суммы:
А теперь смотрим на формулу и соображаем, какие элементы формулы нам даны, а чего не хватает.
Первый член a1 известен? Да! Это 24. А последний член an? Пока нет… Но… зато нам известен его номер n! Это 100 (n = 100). В задании прямым текстом сказано: найти сумму первых ста членов. Стало быть, последним членом прогрессии будет сотый член a100. И как его отыскать? Считать и выписывать сто членов? Зачем!?) Ведь мы же не слепые, глазками последовательность видим, а смысл арифметической прогрессии – понимаем.
Стало быть, можем посчитать разность прогрессии и затем найти интересующий нас сотый член по формуле n-го члена:
an = a1 + (n-1)·d
Вот и трудимся. Для разности d берём любой член последовательности (кроме первого) и отнимаем предыдущий.
ЕЩЁ РАЗ ВНИМАНИЕ!!! Не просто считаем разницу между большим и меньшим соседними членами (типа 23,2-22,4), а именно от выбранного члена (23,2) отнимаем предыдущий (24)!
Почему ругаюсь? Потому что это весьма и весьма распространённые грабли, на которые наступает значительная часть учеников, теряя драгоценные баллы на контрольных и экзаменах и получая заслуженные минусы. Особенно часто этот косяк встречается в убывающих прогрессиях и в прогрессиях с отрицательными членами.
Вот и считаем правильно. Например, так:
d = 23,2 — 24 = -0,8
Вот так. Разность — отрицательна. Прогрессия — убывает. Как и в задании.)
Считаем сотый член по формуле n-го члена:
a100 = a1 + (-0,8)·(100-1) = 24-0,8·99 = -55,2
Есть. Мы выяснили все интересующие нас параметры в формуле суммы. Осталось подставить их да посчитать:
Ответ: -1560
Кстати сказать, если подставить в формулу суммы вместо an его выражение через формулу n-го члена, то получим:
Или, если привести подобные в числителе:
Эта формула — тоже формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Только записанная в другом виде — через первый член и разность прогрессии. В некоторых задачках эта модифицированная формула здорово выручает, да.) Имеет смысл запомнить. Или, в случае чего, уметь вывести, как здесь. Ведь формулу n-го члена в любом случае надо помнить.)
Следующая задачка. На основе реального варианта ОГЭ:
2. Арифметическая прогрессия задана условием: an = -3 + 5n. Найдите сумму первых двадцати её членов.
Хорошая задачка. Лёгкая.) Настолько лёгкая, что народ тут же косячит… НЕ НАДО писать сразу, что первый член — минус три! Это фатальное заблуждение, да… Ибо прогрессия нам задана видоизменённой формулой n-го члена. Как работать с такой формулой, подробно рассказано по ссылке. Кто не в курсе — кликаем и читаем.) Кто в курсе, делаем всё как положено. А именно — подставляем в формулу вместо n единичку и считаем:
a1 = -3+5·1 = 2
Вот так вот. Первый член — двойка, а не минус три…
Что там нам ещё нужно для суммы? Последний член и номер последнего члена? Пожалуйста! Нас спрашивают про сумму двадцати первых членов. Стало быть, в качестве последнего члена у нас будет выступать a20, а номером n последнего члена будет, знамо дело, двадцатка.
Вот и считаем a20 подставляя n = 20 в формулу n-го члена:
a20 = -3+5·20 = 97
А теперь уже считаем нужную нам сумму:
Ответ: 990
А теперь задачка более творческая. 🙂
3. Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных четырём.
Во! Ни первого члена нет, ни последнего, ни номера n, ни прогрессии вообще… Что делать?!
Что-что… Головой думать, да.) И вытаскивать из условия задачи все элементы формулы суммы арифметической прогрессии. Ибо здесь, как раз, тот самый случай, когда ключевые параметры прогрессии в условии ловко зашифрованы.
Вот и начинаем расшифровку. Что такое натуральные числа — знаем. То есть, целые положительные. Что такое двузначные числа — тоже знаем. Ну, те, что из двух циферок состоят.) Какое же двузначное число будет первым? 10, ясное дело.) А последнее двузначное число? Очевидно, 99. За ним уже трёхзначные числа пойдут…
Идём дальше. Кратные четырём… Это что значит? Это значит, делящиеся на четыре нацело! Десятка делится на четыре? Не делится! 11 — тоже не делится. 12… делится! Если ещё немного подумать, то можно сообразить, что последнее такое число будет 96. Отлично! Очень многое проясняется! Теперь уже можно записать последовательность по условию задачки:
12, 16, 20, …, 92, 96.
Будет эта последовательность арифметической прогрессией? А как же! Каждый член отличается от предыдущего строго на четвёрку. Если к члену прибавить, скажем, 3 или 5, то новое число уже не поделится нацело на 4.
Сразу же можем и разность прогрессии посчитать:
d = 4
Пригодится.)
Ну вот. Теперь мы уже с вами знаем кое-какие параметры прогрессии:
a1 = 12
d = 4
an = 96
А каков будет номер n последнего члена 96? А вот тут два пути решения. Первый путь — для сверхтрудолюбивых, но некультурных. Можно расписать всю прогрессию да посчитать пальчиком количество членов. А второй путь — для ленивых, зато культурных.) Я отношусь к ленивым, поэтому выберу второе. А именно — распишу последний член прогрессии (т.е. 96) по формуле n-го члена, подставляя уже известные нам данные:
96 = a1 + d(n-1)
96 = 12 + 4(n-1)
4(n-1) = 84
n-1 = 21
n = 22
Вот так. Значит, число 96 — это двадцать второй член нашей прогрессии.
А теперь смотрим на формулу суммы:
Смотрим и… прыгаем от радости!) Ибо мы вытащили из условия задачи все необходимые данные для подсчёта требуемой суммы. Незаметно для себя. Вот они:
a1 = 12
a22 = 96
n = 22
Sn = S22
Осталось лишь подставить да посчитать:
Ответ: 1188
Рассмотрим теперь ещё один тип популярных задачек. На первый взгляд, всё очень похоже, да не совсем…)
4. Дана арифметическая прогрессия:
-30; -29,3; -28,6; …
Найдите сумму членов с 42-го по 101-й.
И как вам? Прямое применение формулы суммы разочарует. Напоминаю, что формула считает сумму только с первого члена. А в нашей задаче надо считать сумму с сорок второго… Тупик? Ну да, щас!)
Можно, конечно, расписать всю прогрессию до 101-го члена и посчитать столбиком на бумажке все члены с 42-го по 101-й. Но возьмутся за это увлекательное занятие только откровенные мазохисты, да…)
Мы же поступим просто и элегантно.) А именно – разобьём нашу прогрессию на две части. Первая часть будет с первого члена по 41-й. А вторая часть — с 42-го члена по 101-й. Ясно, что если мы посчитаем сумму членов первой части S1-41 и сложим её с суммой членов второй части S42-101, то получим сумму членов прогрессии с первого по сто первый S1-101.
В математической записи:
S1-41 + S42-101 = S1-101
Из этого равенства видно, что найти нужную нам сумму S42-101 можно простым вычитанием:
S42-101 = S1-101 – S1-41
Вот теперь всё встало на свои места! Обе суммы справа считаются с первого члена. Стало быть, к ним уже применима наша стандартная формула суммы. Ну что, начнём?
Первым делом вытаскиваем из условия задачи ключевые параметры прогрессии:
a1 = -30
d = 0,7
Кроме того, для расчёта сумм S1-41 и S1-101 нам понадобятся 41-й и 101-й члены. Считаем их по формуле n-го члена:
a41 = a1+40d = -30+40·0,7 = -30+28 = -2
a101 = a1+100d = -30+100·0,7 = -30+70 = 40
Теперь считаем суммы S1-41 и S1-101 по формуле:
Остались сущие пустяки. От суммы 101 члена отнять сумму 41 члена:
S42-101 = S1-101 – S1-41 = 505 — (-656) = 1161
Ответ: 1161
Вот и всё.) Обратите внимание на одну очень полезную фишку. Вместо прямого расчёта того что нам нужно (S42-101), мы вычислили то, что, казалось бы, совершенно не нужно (S1-41). А уже потом посчитали и S42-101, отбросив от полного результата ненужное. В злых задачках такой искусный манёвр очень часто спасает.)
В этом небольшом уроке мы рассмотрели задачки, для успешного решения которых достаточно понимать смысл суммы n первых членов арифметической. Ну и парочку формул знать надо, да.)
Подытожим наш урок практическим советом:
При решении любой задачи на сумму членов арифметической прогрессии настоятельно рекомендую выписать две ключевые формулы.
Формулу n-го члена:
an = a1 + (n-1)·d
Формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Эти две формулы обязательно подскажут, что именно надо делать, в каком направлении двигаться, чтобы справиться с задачей. Проверено! Помогает.
А теперь решаем самостоятельно.
1. Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, которые не делятся нацело на четыре.
Что, круто, да?) Подсказка спрятана в комментарии к последней разобранной задаче №4. Ну и результат предпоследней задачки №3 поможет.)
2. Арифметическая прогрессия задана условиями:
a1 = -3,1
an+1 = an+0,9
Найдите сумму первых 19 её членов.
Да-да, это рекуррентная формула, которую многие так не любят. Задачки с такой формулой мы в этом уроке не рассматривали. А чего их рассматривать? Их решать надо.) Материала этого урока вполне достаточно, чтобы справиться с заданием. Про рекуррентную формулу и как именно с ней работать можно прочитать в предыдущем уроке. Не пренебрегайте этой задачкой, такие частенько встречаются в ОГЭ!
3. Марфуша была сладкоежкой и очень любила пирожные с кремом и шоколадной глазурью. Каждое пирожное стоит 60 рублей. Накопив 2700 рублей, Марфуша решила устроить себе сладкую жизнь: в первый день купить и съесть всего одно пирожное, а в каждый последующий день покупать и съедать на одно пирожное больше. Пока не истратит всю накопленную заначку.
а) сколько пирожных в итоге купила и съела Марфуша?
б) сколько дней сладкой жизни получилось у Марфуши?
Сложно? Поможет дополнительная формула суммы из разобранной задачи №1. Ну и решение квадратных уравнений тоже надо вспомнить, да.)
Ответы (в беспорядке): 9; 95; 45; 3717.