Сумма геометрической прогрессии имеет несколько различных представлений, которые зависят от знаменателя прогрессии. Для возрастающей положительной, отрицательной или знакочередующейся прогрессии имеет место исключительно сумма нескольких первых членов геометрической прогрессии, количество которых должно быть ограничено, так как сама последовательность будет бесконечной.
Для прогрессии, знаменатель которой заключен между нулем и единицей, то есть является правильной дробью (0<к<1), сумма всей последовательности будет вполне однозначным конкретным числом, так как весь числовой ряд будет убывающим. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет свою отдельную формулу, которую можно найти в соответствующем разделе, вместе с калькулятором.
Чтобы найти сумму первых членов геометрической прогрессии, необходимо знать первый член и знаменатель прогрессии. Если по условиям задачи дан какой-либо другой член прогрессии, кроме первого, тогда нужно будет сначала воспользоваться формулой первого члена геометрической прогрессии, чтобы вычислить его, и подставить полученное значение в онлайн калькулятор суммы.
Формула суммы первых трех, четырех или n членов геометрической прогрессии выводится с использованием среднего геометрического, как основного свойства данной прогрессии. Любое из чисел, стоящих в ряду, будет равно среднему геометрическому его соседей:
Если объединить это свойство с отношением двух последовательных членов прогрессии, которые неизменно равно одному и тому же числу – знаменателю, то путем нехитрых сокращений, сумма первых нескольких членов геометрической прогрессии приводится к такому виду:
В некоторых источниках встречается похожий вариант, но с другими знаками в скобках – по сути окончательного значения это не меняет, и для ручного расчета, когда даны первые несколько членов, уместно использовать более удобную на момент формулу.
Калькулятор онлайн.
Сумма геометрической прогрессии.
Дано: b1, q, n
Найти: Sn
Эта математическая программа находит (S_n) – сумму n первых членов геометрической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел
( b_1, q ) и ( n ).
Числа ( b_1 ) и ( q ) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби ( ( 2,5 ) ) и в виде обыкновенной дроби ( ( -5frac{2}{7} ) ).
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа ( b_1 ) и ( q ) можно задать не только целые, но и дробные.
Число ( n ) может быть только целым положительным.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: ( -frac{2}{3} )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: ( -1frac{2}{3} )
Введите числа b1, q, n
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Числовая последовательность
В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например,
дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных
номеров в специальных картотеках.
В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a1, a2, a3, …, aN
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число an.
В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a1, a2, a3, …, an, … .
Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности,
число a3 — третьим членом последовательности и т. д.
Число an называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.
Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, …, n2, (n + 1)2, …
а1 = 1 – первый член последовательности; аn = n2 является n-м членом последовательности;
an+1= (n + 1)2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности.
Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена.
Например, формулой ( a_n=frac{1}{n}, ; n in mathbb{N} ) задана последовательность
( 1, ; frac{1}{2} , ; frac{1}{3} , ; frac{1}{4} , dots,frac{1}{n} , dots )
Геометрическая прогрессия
Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного
треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения,
получим треугольники со сторонами ( 1, ; frac{1}{2}, ; frac{1}{4} ) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих
треугольников: ( 4, ; 2, ; 1, ; frac{1}{2}, ; frac{1}{4}, ; frac{1}{8}, dots )
В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ( frac{1}{2} )
Определение.
Числовая последовательность
b1, b2, b3, …, bn, …
называется геометрической прогрессией если для всех натуральных n выполняется равенство
bn+1 = bnq,
где ( b_n neq 0 ), q — некоторое число, не равное нулю.
Из этой формулы следует, что ( frac{ b_{n+1}}{b_n}=q ). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
По определению геометрической прогрессии
( b_{n+1} = b_n q, quad b_{n-1}=frac{b_n}{q}, )
откуда
( b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}, quad n>1 )
Если все члены геометрической прогрессии положительны, то ( b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}} ), т.е. каждый член прогрессии, начиная
со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.
Отметим, что если b1 и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле
bn+1 = bnq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.
По определению геометрической прогрессии
b2 = b1q,
b3 = b2q = b1q2,
b4 = b3q = b1q3 и т.д.
Вообще,
( b_n = b_1q^{n-1} )
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (n-1) раз на число q.
Эту формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.
Также не сложно получить формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член.
Запишем формулы n-го члена геометрической прогрессии и m-го члена:
( b_n = b_1q^{n-1} )
$$ b_m = b_1q^{m-1} Rightarrow b_1 = frac{b_m}{q^{m-1}} $$
Подставляя b1 в первое равенство получим:
$$ b_n = frac{b_m}{q^{m-1}} cdot q^{n-1} = b_m cdot q^{n-1-(m-1)} = b_m cdot q^{n-m} $$
Таким образом мы получили формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член:
( b_n = b_m cdot q^{n-m} )
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
Найдем сумму
S = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35.
Умножим обе части равенства на 3:
3S = 3 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36.
Перепишем эти два равенства так:
S = 1 + (3 + 32 + 33 + 34 + 35),
3S = (3 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35) + 36.
Выражения, стоящие в скобках, одинаковы. Поэтому, вычитая из нижнего равенства верхнее, получаем:
3S – S = 36 – 1, 2S = 36 – 1,
$$ S=frac{3^6 – 1}{2} = frac{729 – 1}{2} = 364 $$
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию ( b_1, ; b_1q, ; dots, ; b_1q^n, ; dots ) знаменатель
которой ( q neq 1 ).
Пусть Sn – сумма n первых членов этой прогрессии:
( S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + … + b_1q^{n-1} )
Тогда сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем ( q neq 1 ) равна
$$ S_n = frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$
Можно получить ещё одну формулу для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_n = frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = frac{b_1q^n – b_1}{q-1} = frac{b_1q^{n-1} cdot q – b_1}{q-1} $$
Так как ( b_n=b_1q^{n-1} ), то можно подставить ( b_n ) в предыдущее выражение:
$$ S_n = frac{b_n q – b_1}{q-1} $$
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остается неизменным. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии.
Геометрическая прогрессия называется возрастающей, когда абсолютная величина ее знаменателя больше единицы, и убывающей, когда она меньше единицы.
Знаменатель прогрессии может быть и отрицательным числом, но прогрессии с отрицательным знаменателем практического значения не имеют.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле
Сумма первых n членов геометрической прогрессии (знаменатель которой не равен единице) выражается формулой
первое из выражений удобнее брать, когда прогрессия возрастающая, второе — когда она убывающая
Если же q = 1, то сумма прогрессии равна
Суммой бесконечно убывающей прогрессии называется число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов убывающей прогрессии при неограниченном возрастании числа n.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии прогрессии выражается формулой
Калькулятор
Геометрическая прогрессия
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Сумма геометрической прогрессии Sn
Сумма бесконечно убывающей прогрессии
Сумма членов геометрической прогрессии находится по одной из формул:
Формулы суммы членов геометрической прогрессии
1) {S_n= frac{b_1-b_1 cdot q^n}{1-q}},
2) {S_n= frac{b_1 cdot (1-q^n)}{1-q}}
b1 – первый член прогрессии,
q – знаменатель прогрессии,
n – номер члена
Для нахождения суммы членов геометрической прогрессии вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Просто введите данные и получите результат. А узнать больше про геометрическую прогрессию можно на странице.
Пример нахождения суммы арифметической прогрессии
Задача 1
Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 9; … Найдите сумму первых восьми ее членов.
Решение
Первый член прогрессии b1 = 1.
Чтобы найти знаменатель прогрессии, нужно разделить ее второй член на первый. В нашем случае q = b2 / b1 = 3 / 1 = 3.
Количество суммируемых членов равно 8, т. е. n = 8. Подставим значения в формулу и получим результат:
S_n= dfrac{b_1 cdot (1-q^n)}{1-q} = dfrac{1 cdot (1-3^8)}{1-3} = dfrac{1 cdot (1-6561)}{-2} = dfrac{-6560}{-2} = 3280
Ответ: 3280
Используем калькулятор для проверки.
Сумма геометрической прогрессии
Решение прогрессии
Сумму первых n членов геометрической прогрессии определяем по формуле: Sn = bnq — b1 / (q — 1)
Можно также использовать вторую формулу: Sn = b1(qn — 1) / (q — 1)
где q — знаменатель, не равный 1;
n — количество членов последовательности;
b1 — первый член последовательности;
bn — n-й член последовательности.
Если знаменатель (q) равен 1, сумму n первых членов геометрической прогрессии (bn) находим по формуле: Sn = n × bn
С помощью онлайн калькулятора можно легко рассчитать сумму первых n членов геометрической прогрессии. Для этого необходимо указать первый член последовательности, знаменатель и количество ее членов.
