Как найти сумму комплексных чисел формула

Как найти сумму комплексных чисел формула

Содержание:

  • Сложение комплексных чисел
  • Вычитание комплексных чисел

Сложение комплексных чисел

Определение

Суммой двух комплексных чисел $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и
$z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется
комплексное число
$z$, которое равно

$z=left(a_{1}+a_{2}right)+left(b_{1}+b_{2}right) i$

То есть суммой двух комплексных чисел есть комплексное число,
действительная и мнимая части
которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

Пример

Задание. Найти сумму
$z_{1}+z_{2}$, если
$z_{1}=5-6 i$,
$z_{2}=-3+2 i$ .

Решение. Искомая сумма равна

$z_{1}+z_{2}=5-6 i+(-3+2 i)=(5+(-3))+(-6+2) i=2-4 i$

Ответ. $z_{1}+z_{2}=2-4 i$

Вычитание комплексных чисел

Определение

Разностью двух комплексных чисел $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и
$z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется комплексное число
$z=z_{1}-z_{2}$, действительная и мнимая части
которого есть разностью действительных и мнимых частей чисел
$z_{1}$ и
$z_{2}$ соответственно:

$z=left(a_{1}-a_{2}right)+left(b_{1}-b_{2}right) i$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти разность
$z_{1}-z_{2}$, если
$z_{1}=5-6 i$,
$z_{2}=-3+2 i$ .

Решение. Действительная часть искомого комплексного числа равна разности действительных частей чисел
$z_{1}$ и
$z_{2}$ , а мнимая – мнимых частей этих чисел, то есть

$z_{1}-z_{2}=5-6 i-(-3+2 i)=(5-(-3))+(-6-2) i=8-8 i$

Ответ. $z_{1}-z_{2}=8-8 i$

Читать дальше: умножение комплексных чисел.

Источник

Алгебраическая формула

Любые два вещественных числа можно сложить, и результатом сложения тоже является вещественное число. Это же верно и для комплексных чисел: любые два комплексных числа можно сложить, и их сумма (результат сложения) — это комплексное число. Причем сложение комплексных чисел сводится к сложению вещественных чисел. А именно: пусть даны два комплексных числа

z1=x1+iy1,z2=x2+iy2.z_1 =x_1 +iy_1, z_2 =x_2 +iy_2.

Их сумма — это комплексное число, определяемое формулой

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).z_1+z_2 = (x_1+x_2) +i(y_1+y_2).

Таким образом, вещественная часть суммы комплексных чисел — это сумма вещественных частей слагаемых, и мнимая часть суммы комплексных чисел — сумма мнимых частей слагаемых. Это тоже можно записать в виде формул:

Re(z1+z2)=Re z1+Re z2,mathrm{Re}left(z_1+z_2right) = mathrm{Re},z_1 + mathrm{Re},z_2, quad

Im(z1+z2)=Im z1+Im z2.mathrm{Im}left(z_1+z_2right) = mathrm{Im},z_1 + mathrm{Im},z_2.

Для комплексных чисел, как и для вещественных, определена операция вычитания. Найти разность z1−z2z_1-z_2 — это все равно что найти сумму z1+(−z2)z_1+(-z_2), где число −z2-z_2 получается из z2z_2 сменой знака вещественной и мнимой частей.

Геометрическая интерпретация сложения

Нам известно, что каждому комплексному числу x+yix+yi соответствует точка плоскости с координатами (x,y)(x,y). Вектор, проведенный от начала координат к точке (x,y)(x,y), называется радиус-вектором этой точки. Радиус-вектор точки (3,2)(3,2), соответствующей комплексному числу 3+2i3+2i, изображен на следующем рисунке:

сложение комплексных чисел2.png

При сложении комплексных чисел соответствующие им радиус-векторы тоже складываются. Изобразить это на рисунке можно с помощью известного правила параллелограмма. На следующем рисунке с помощью векторов проиллюстрировано сложение комплексных чисел (3−i)+2i=3+i(3-i) + 2i = 3+i:

сложение комплексных чисел1.png

Решение примеров на сложение комплексных чисел

Пример 1

Найти сумму комплексных чисел z1+z2z_1+z_2, где:

a) z1=3+2i,z2=5−i;a) z_1 = 3+2i, z_2 = 5-i;

b) z1=−i,z2=4+i;b) z_1 = -i, z_2 = 4+i;

c) z1=−3−4i,z2=3+5i.c) z_1 = -3-4i, z_2 = 3+5i.

Решение
a) z1+z2=(3+2i)+(5−i)=(3+5)+(2−1)i=8+i;a) z_1 + z_2 = (3+2i) + (5-i) = (3+5) + (2-1)i = 8+i;

b) z1+z2=(−i)+(4+i)=(0+4)+(−1+1)i=4+0⋅i=4;b) z_1 + z_2 = (-i) + (4+i) = (0+4) + (-1+1)i = 4 + 0 cdot i = 4;

c) z1+z2=(−3−4i)+(3+5i)=(−3+3)+(−4+5)i=0+i=i.c) z_1 + z_2 = (-3-4i) + (3+5i) = (-3+3) + (-4+5)i = 0+i =i.

Пример 2

Найти разность комплексных чисел z1−z2z_1-z_2, где:

a) z1=3+2i,z2=5−i;a) z_1 = 3+2i, z_2 = 5-i;

b) z1=−i,z2=−3−2i.b) z_1 = -i, z_2 = -3-2i.

Решение

a) z1−z2=(3+2i)−(5−i)=(3−5)+(2−(−1))i=−2+3i;a) z_1 – z_2 = (3+2i) – (5-i) = (3-5) + (2-(-1))i = -2+3i;

b) z1−z2=(−i)+(−3−2i)=(0−(−3))+(−1−(−2))i=3+i.b) z_1 – z_2 = (-i) + (-3-2i) = (0-(-3)) + (-1-(-2))i = 3 + i.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти сумму или разность двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

  • Сложение комплексных чисел

  • Вычитание комплексных чисел

Сложение комплексных чисел

Если сложить два комплексных числа x = a1 + b1i и y = a2 + b2i, то получится тоже комплексное число z:

z = x + y = (a1 + a2) + (b1 + b2) ⋅ i

Таким образом, мы отдельно складываем действительные и мнимые части суммируемых чисел.

Пример 1
Найдем сумму комплексных чисел: x = 8 + 3i и y = 5 – i.

Решение:
x + y = (8 + 5) + (3i – i) = 13 + 2i.

Вычитание комплексных чисел

Разность двух комплексных чисел x = a1 + b1i и y = a2 + b2i вычисляется по формуле:

z = x – y = (a1 – a2) + (b1 – b2) ⋅ i

То есть получится комплексное число, действительная и мнимая части которого равны разности соответствующих частей x и y.

Пример 2
Вычтем из x = 12 – 7i число y = -8 + 4i.

Решение:
x – y = (12 – (-8)) + (-7i – 4i) = 20 – 11i.

Источник

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач можно у нас всего за 10 минут.

Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$, тригонометрической форме $z_1 = r_1 (cos varphi_1 + isin varphi_1), z_2 = r_2(cos varphi_2 + isin varphi_2)$ и показательной форме $z_1 = r_1 e^{varphi_1 i} , z_2 = r_2 e^{varphi_2 i}$.

Формула суммы и разности

В алгебраической форме $$z_1 + z_2 = (a+bi) + (c+di) = (a + c) + (b + d)i, $$ $$z_1 – z_2 = (a+bi) – (c+di) = (a-c) + (b – d)i, $$в тригонометрической и показательной форме тоже можно выполнять сложение и вычитание, но удобнее это делать в алгебраической.
Формула произведения

В алгебраической форме $$z_1 cdot z_2 = (a+bi) cdot (c+di) = (ac – bd) + i(ad + bc),$$ в тригонометрической форме $$z_1 cdot z_2 = r_1 r_2 (cos (varphi_1 + varphi_2) + isin (varphi_1 + varphi_2)),$$в показательной форме $$z_1 cdot z_2 = r_1 r_2 e^{(varphi_1+varphi_2)i}.$$
Формула деления
В алгебраической форме $$frac{z_1}{z_2} =frac{z_1 overline{z_2}}{z_2 overline{z_2}} = frac{ac+bd}{c^2+d^2} + frac{bc-ad}{c^2+d^2}i, $$в тригонометрической форме $$frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos(varphi_1 – varphi_2)+isin(varphi_1-varphi_2)),$$в показательной форме $$frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2}e^{(varphi_1 – varphi_2)i}.$$

Введите первое комплексное число

Введите второе комплексное число

 

Пример 1
Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел $$z_1 = 1+2i, z_2 = -2+i.$$
Решение

Сначала находим сумму. Для этого раскрываем скобки и проводим вычисления с подобными $$z_1 + z_2 = (1+2i) + (-2+i) = 1+2i – 2 + i = (1-2) + (2i+i) = -1 + 3i.$$

Тоже самое делаем для того, чтобы найти разность. Раскрываем скобки и вычисляем $$z_1 – z_2 = (1+2i) – (-2+i) = 1+2i + 2 – i = 3 + i.$$

Теперь найдем произведение чисел. Раскрываем скобки попарно перемножая слагаемые в скобках. Но не забываем, что $i = sqrt{-1}$, а это значит, что $i^2 = -1$, получаем $$z_1 cdot z_2 = (1+2i)cdot (-2+i) = -2 + i – 4i + 2i^2 = $$ $$ = -2 – 3i  – 2 = -4-3i.$$

Выполним деление комплексных чисел. Здесь необходимо числитель и знаменатель домножить на комплексно-сопряженное число к знаменателю, чтобы избавиться от дроби $$frac{z_1}{z_2} = frac{1+2i}{-2+i} = frac{(1+2i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)} = $$ В числителе и знаменателе раскрываем скобки, то есть выполняем умножение комплексных чисел по соответствующей формуле. И не забываем про то, что $i^2 = -1$ $$ = frac{-2-i-4i-2i^2}{4+2i-2i-i^2} = frac{-2-5i+2}{4+1} = frac{-5i}{5} = -i.$$
Ответ
$$z_1 + z_2 = -1+3i, z_1 – z_2 = 3+i, z_1 cdot z_2 = -4-3i, frac{z_1}{z_2} = -i$$
Пример 2
Найти произведение и частное комплексных чисел $z_1 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{3})$ и $z_2 = 4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6})$
Решение

Начнем с умножения двух чисел. Вычисляем произведение модулей и складываем аргументы синуса и косинуса $$z_1 cdot z_2 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{3}) cdot  4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}) = $$ $$ = 8 (cos (frac{pi}{3} + frac{pi}{6}) + isin (frac{pi}{3}+frac{pi}{6})) = 8(cosfrac{pi}{2} + isin frac{pi}{2}).$$

Деление выполняется наоборот. Ищем частное модулей и разность аргументов $$frac{z_1}{z_2} = frac{2}{4} (cos (frac{pi}{3} – frac{pi}{6}) +isin (frac{pi}{3}-frac{pi}{6}) = frac{1}{2} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}).$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$z_1 cdot z_2 = 8(cosfrac{pi}{2} + isin frac{pi}{2}), frac{z_1}{z_2} =  frac{1}{2} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6})$$
Пример 3
Найти произведение и частное комплексных чисел $ z_1 = 6e^{frac{pi}{2}i} $ и $ z_2 = 2e^{frac{pi}{4}i} $
Решение

Для умножения двух комплексных чисел необходимо перемножить их аргументы и сложить показатели степеней $$z_1 cdot z_2 = 6e^{frac{pi}{2}i} cdot 2e^{frac{pi}{4}i} = 12e^{(frac{pi}{2}+frac{pi}{4})i} = 12e^{frac{3pi}{4}i}.$$

Для деления нужно найти частное аргументов двух комплексных чисел и вычислить разницу показателей степеней $$frac{z_1}{z_2} = frac{6e^{frac{pi}{2}i}} {2e^{frac{pi}{4}i}} = frac{6}{2} e^{(frac{pi}{2}-frac{pi}{4})i} = 3e^{frac{pi}{4}i}.$$
Ответ
$$z_1 cdot z_2 = 12e^{frac{3pi}{4}i}, frac{z_1}{z_2} = 3e^{frac{pi}{4}i}$$

Источник

Запросы «Re», «Im» и «Мнимая величина» перенаправляются сюда; см. также другие значения терминов Re, Im и Мнимая величина.

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание[1]; о двойном ударении см. примечание[K 1]) — числа вида {displaystyle a+bi,} где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица[2], то есть число, для которого выполняется равенство: {displaystyle i^{2}=-1.} Множество комплексных чисел обычно обозначается символом {displaystyle mathbb {C} .} Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид {displaystyle a+0i.} Главное свойство mathbb {C}  — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен n-й степени (ngeqslant 1) имеет n корней. Доказано[⇨], что система комплексных чисел логически непротиворечива[K 2].

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания[⇨], умножения[⇨] и деления[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше[⇨]. Удобно представлять комплексные числа a+bi точками на комплексной плоскости[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси[⇨]. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе[⇨].

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение i для мнимой единицы, Декарт, Гаусс[⇨]. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году[4].

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других[5][⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы[⇨].

Комплексная арифметика[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

Всякое комплексное число z=a+bi состоит из двух компонентов[6]:

Противоположным для комплексного числа z=a+bi является число {displaystyle -z=-a-bi.} Например, для числа {displaystyle 1-2i} противоположным будет число {displaystyle -1+2i.}

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (чтобы из a<b вытекало {displaystyle a+c<b+c}, а из {displaystyle 0<a} и {displaystyle 0<b} вытекало {displaystyle 0<ab}). Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно[6]:

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.

Сложение и вычитание[править | править код]

Определение сложения и вычитания комплексных чисел[6]:

{displaystyle left(a+biright)+left(c+diright)=left(a+cright)+left(b+dright)i,}
{displaystyle left(a+biright)-left(c+diright)=left(a-cright)+left(b-dright)i.}

Следующая таблица[6] показывает основные свойства сложения для любых комплексных {displaystyle u,v,w.}

Свойство Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность) {displaystyle u+v=v+u}
Ассоциативность (сочетательность) {displaystyle u+left(v+wright)=left(u+vright)+w}
Свойство нуля {displaystyle u+0=u}
Свойство противоположного элемента {displaystyle u+left(-uright)=0}
Выполнение вычитания через сложение {displaystyle u-v=u+left(-vright)}

Умножение[править | править код]

Определение произведения[6] комплексных чисел a+bi и {displaystyle c+dicolon }

{displaystyle left(a+biright)cdot left(c+diright)=ac+bci+adi+bdi^{2}=left(ac+bdi^{2}right)+left(bc+adright)i=left(ac-bdright)+left(bc+adright)i.}

Следующая таблица[6] показывает основные свойства умножения для любых комплексных {displaystyle u,v,w.}

Свойство Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность) {displaystyle ucdot v=vcdot u}
Ассоциативность (сочетательность) {displaystyle ucdot left(vcdot wright)=left(ucdot vright)cdot w}
Свойство единицы {displaystyle ucdot 1=u}
Свойство нуля {displaystyle ucdot 0=0}
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения {displaystyle ucdot left(v+wright)=ucdot v+ucdot w}

Правила для степеней мнимой единицы:

{displaystyle i^{2}=-1;;i^{3}=-i;;i^{4}=1;;i^{5}=i} и т. д.

То есть для любого целого числа n верна формула {displaystyle i^{n}=i^{n{bmod {4}}}}, где выражение {displaystyle n{bmod {4}}} означает получение остатка от деления n на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение a+bi можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения:

{displaystyle left(a+0iright)+left(b+0iright)cdot left(0+1iright)=left(a+0iright)+left(0+biright)=a+bi.}

Деление[править | править код]

Комплексное число {bar z}=x-iy называется сопряжённым к комплексному числу z=x+iy (подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа {displaystyle a+bi,} кроме нуля, можно найти обратное к нему[10] комплексное число {displaystyle {frac {1}{a+bi}}.} Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число {displaystyle a-bi,} комплексно сопряжённое знаменателю

{displaystyle {frac {1}{a+bi}}={frac {a-bi}{left(a+biright)left(a-biright)}}={frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}

Определим результат деления[6] комплексного числа a+bi на ненулевое число {displaystyle c+dicolon }

{displaystyle {frac {a+bi}{c+di}}={frac {left(a+biright)left(c-diright)}{left(c+diright)left(c-diright)}}={frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i.}

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции[править | править код]

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных[править | править код]

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени n>0 с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры)[11].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень n-й степени из ненулевого числа имеет n различных комплексных значений[12]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного[⇨].

Замечания[править | править код]

Число i не является единственным числом, квадрат которого равен -1. Число -i также обладает этим свойством.

Выражение {sqrt {-1}}, ранее часто использовавшееся вместо i, в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как {displaystyle 5+i{sqrt {3}},} а не {displaystyle 5+{sqrt {-3}},} несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым[13][14].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

{displaystyle {sqrt {-3}}cdot {sqrt {-3}}={sqrt {left(-3right)cdot left(-3right)}}={sqrt {left(-3right)^{2}}}={sqrt {9}}=3.}

Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из -3 определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы[14]:

{displaystyle left(i{sqrt {3}}right)cdot left(i{sqrt {3}}right)=left(icdot {sqrt {3}}right)^{2}=i^{2}cdot left({sqrt {3}}right)^{2}=-3.}

Геометрическое представление[править | править код]

Комплексная плоскость[править | править код]

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу z=x+iy соответствует точка плоскости с координатами {displaystyle left{x,yright}} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями[15].

Модуль r и аргумент varphi комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние r до начала координат (модуль[⇨]) и угол varphi радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент[⇨]).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа[16]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»[17].

Пример: умножение на i поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на -i радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль[править | править код]

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа z=x+iy обозначается {displaystyle left|zright|} (иногда r или rho ) и определяется выражением[16]

{displaystyle left|zright|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Если z является вещественным числом, то {displaystyle left|zright|} совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных {displaystyle z,z_{1},z_{2}} имеют место следующие свойства модуля[16][18]:

1) {displaystyle left|zright|geqslant 0}, причём {displaystyle left|zright|=0} только при {displaystyle z=0;}
2) {displaystyle left|z_{1}+z_{2}right|leqslant left|z_{1}right|+left|z_{2}right|} (неравенство треугольника);
3) {displaystyle left|z_{1}cdot z_{2}right|=left|z_{1}right|cdot left|z_{2}right|;}
4) {displaystyle left|{frac {z_{1}}{z_{2}}}right|={frac {left|z_{1}right|}{left|z_{2}right|}};}
5) для пары комплексных чисел z_{1} и z_{2} модуль их разности {displaystyle left|z_{1}-z_{2}right|} равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;
6) модуль числа z связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

{displaystyle -left|zright|leqslant operatorname {Re} (z)leqslant left|zright|;quad -left|zright|leqslant operatorname {Im} (z)leqslant left|zright|;quad left|zright|leqslant left|operatorname {Re} left(zright)right|+left|operatorname {Im} left(zright)right|.}

Аргумент[править | править код]

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол varphi между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z измеряется в радианах и обозначается {displaystyle operatorname {Arg} left(zright)}. Из этого определения следует, что[16]

{displaystyle operatorname {tg} varphi ={frac {y}{x}};quad cos varphi ={frac {x}{left|zright|}};quad sin varphi ={frac {y}{left|zright|}}.}

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до {displaystyle 2pi k}, где k — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение varphi , что {displaystyle -pi <varphi leqslant pi .} Главное значение может обозначаться {displaystyle operatorname {arg} left(zright)}[19].

Некоторые свойства аргумента[18]:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

{displaystyle operatorname {Arg} left({frac {1}{z}}right)=-operatorname {Arg} left(zright);}
2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

{displaystyle operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=operatorname {Arg} (z_{1})+operatorname {Arg} (z_{2});}
3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

{displaystyle operatorname {Arg} {frac {z_{1}}{z_{2}}}=operatorname {Arg} (z_{1})-operatorname {Arg} (z_{2}).}

Сопряжённые числа[править | править код]

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z равно {displaystyle x+iy,} то число {bar z}=x-iy называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к z (обозначается также z^{*}). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком[20]:

  • {displaystyle left|{bar {z}}right|=left|zright|;quad operatorname {Arg} ({bar {z}})=-operatorname {Arg} (z).}

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию, которая сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства[20]:

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z[18]:

  • {displaystyle zcdot {bar {z}}=left|zright|^{2}=x^{2}+y^{2}.}

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число[18]:

  • {displaystyle z+{bar {z}}=2operatorname {Re} left(zright)=2x.}

Другие соотношения[18]:

  • {displaystyle operatorname {Re} ,z={frac {z+{bar {z}}}{2}};quad operatorname {Im} ,z={frac {z-{bar {z}}}{2i}}.}
  • {displaystyle {overline {z_{1}+z_{2}}}={bar {z}}_{1}+{bar {z}}_{2};}
  • {displaystyle {overline {z_{1}-z_{2}}}={bar {z}}_{1}-{bar {z}}_{2};}
  • {displaystyle {overline {z_{1}cdot z_{2}}}={bar {z}}_{1}cdot {bar {z}}_{2};}
  • {displaystyle {overline {z_{1}/z_{2}}}={bar {z}}_{1}/{bar {z}}_{2};}

Или, в общем виде: {displaystyle {overline {pleft(zright)}}=pleft({bar {z}}right),} где {displaystyle pleft(zright)} — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число z является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число overline{z} тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары[18].

Пример[править | править код]

Тот факт, что произведение {displaystyle z{bar {z}}} есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение[21], например:

{displaystyle {frac {2+5i}{3-4i}}={frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}={frac {-14+23i}{25}}=-{frac {14}{25}}+{frac {23}{25}}i.}

Формы представления комплексного числа[править | править код]

Алгебраическая форма[править | править код]

Выше использовалась запись комплексного числа z в виде {displaystyle x+iy;} такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма[править | править код]

Тригонометрическое представление

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль {displaystyle r=left|zright|} и аргумент varphi (то есть x=rcos varphi , y=rsin varphi ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме[16]:

{displaystyle z=rleft(cos varphi +isin varphi right)}

Как уже сказано выше, для нуля аргумент varphi не определён; для ненулевого числа varphi определяется с точностью до целого кратного 2pi .

Показательная форма[править | править код]

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера[21]:

{displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi ,}

где e — число Эйлера, cos, sin — косинус и синус, e^{{ivarphi }} — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа[21]:

{displaystyle z=re^{ivarphi }.}

Следствия

(1) Модуль выражения {displaystyle e^{ivarphi },} где число varphi вещественно, равен 1.
(2) {displaystyle cos varphi ={frac {e^{ivarphi }+e^{-ivarphi }}{2}};quad sin varphi ={frac {e^{ivarphi }-e^{-ivarphi }}{2i}}} — при существенно комплексном аргументе varphi эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса и синуса.

Пример[22]. Представим в тригонометрической и показательной форме число {displaystyle z=-1-{sqrt {3}}icolon }

{displaystyle |z|={sqrt {(-1)^{2}+(-{sqrt {3}})^{2}}}={sqrt {1+3}}=2;}
{displaystyle varphi =-pi +operatorname {arctg} {Bigl (}{frac {-{sqrt {3}}}{-1}}{Bigr )}=-pi +operatorname {arctg} ({sqrt {3}})=-{frac {2pi }{3}}} (поскольку z находится в III координатной четверти).

Отсюда:

{displaystyle z=2left(cos {frac {-2pi }{3}}+isin {frac {-2pi }{3}}right)=2e^{i{frac {-2pi }{3}}}.}

Формула Муавра и извлечение корней[править | править код]

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид[12]:

{displaystyle z^{n}=left[rleft(cos varphi +isin varphi right)right]^{n}=r^{n}left(cos nvarphi +isin nvarphi right),}

где r — модуль, а varphi  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа[21]:

{displaystyle {begin{alignedat}{2}z^{1/n}&=left[rleft(cos left(varphi +2pi kright)+isin left(varphi +2pi kright)right)right]^{1/n}=\&={sqrt[{n}]{r}}left(cos {frac {varphi +2pi k}{n}}+isin {frac {varphi +2pi k}{n}}right),\end{alignedat}}}

где k принимает все целые значения от k=0 до {displaystyle k=n-1}. Это значит, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального n, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса {sqrt[ {n}]{r}} с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня[править | править код]

Если в формуле Муавра в качестве аргумента varphi выбрано его главное значение, то значение корня при k=0 называется главным значением корня[23]. Например, главное значение числа {displaystyle {sqrt[{3}]{2+11i}}} равно {displaystyle 2+i.}

Квадратный корень[править | править код]

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для {displaystyle n=2.} Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При bneq 0 корнями из числа a+bi является пара чисел: {displaystyle pm (c+di),} где[24]:

{displaystyle c={sqrt {frac {a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}
{displaystyle d=operatorname {sgn}(b){sqrt {frac {-a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}.}

Здесь operatorname{sgn}  — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением {displaystyle c+di} в квадрат. Число {displaystyle c+di} является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из {displaystyle 3+4i} формулы дают два значения: {displaystyle 2+i;;-2-i.}

История[править | править код]

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: 5+{sqrt {-15}} и {displaystyle 5-{sqrt {-15}}.} В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»[25].

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение x^{3}=15x+4 имеет вещественный корень {displaystyle x=4,} однако по формулам Кардано получаем: {displaystyle x={sqrt[{3}]{2+11i}}+{sqrt[{3}]{2-11i}}.} Бомбелли обнаружил, что {displaystyle {sqrt[{3}]{2pm 11i}}=2pm i,} так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел[26][25].

Выражения, представимые в виде {displaystyle a+b{sqrt {-1}},} появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где {displaystyle bneq 0,} стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты[25].

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)[27].

Символ i для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)[28]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)[26]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)[29].

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс[30]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного[2][31].

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения[2].

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексные функции[править | править код]

Аналитические функции[править | править код]

Комплексная функция одной переменной — это функция w=f(z), которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам z этой области комплексные значения w[32]. Примеры:

{displaystyle w=z^{2}+z+1;quad w=z+{frac {1}{z}}.}

Каждая комплексная функция w=f(z)=f(x+iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: {displaystyle f(z)=u(x,;y)+iv(x,;y),} определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u, v называются компонентами комплексной функции {displaystyle f(z).} Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных[32].

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль {displaystyle |w|=|f(z)|,} то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции[33].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала[32], например:

{displaystyle sin ^{2}z+cos ^{2}z=1;qquad e^{u}cdot e^{v}=e^{u+v}.}

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль[32].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными[34].

  • Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
  • Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути[35].

Преобразования комплексной плоскости[править | править код]

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции {displaystyle w=uz+c} и {displaystyle w=u{bar {z}}+c} дают общее выражение для движения на комплексной плоскости[36].

Другие линейные преобразования[36]:

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования[37]:

{displaystyle w={frac {az+b}{cz+d}}.}

При этом {displaystyle adneq bc} (иначе функция w(z) вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности[38][39], в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот[37].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия {displaystyle w=1/{bar {z}},} функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости[править | править код]

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например[40]:

  • Три (различные) точки {displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:
{displaystyle {frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}} является вещественным числом.
  • Четыре (различные) точки {displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}} лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:
отношение {displaystyle {frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}} является вещественным числом.

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид[42]:

{displaystyle z=ut+v,} где u,v — комплексные числа, {displaystyle uneq 0,t} — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми {displaystyle z=ut+v} и {displaystyle z=u't+v'} равен {displaystyle operatorname {arg} (u'/u).} В частности, прямые перпендикулярны, только когда {displaystyle u'/u} — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда {displaystyle u'/u} есть вещественное число; если при этом {displaystyle (v'-v)/u} также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая {displaystyle z=ut+v} рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение {displaystyle t=operatorname {Im} {frac {z-v}{u}}} положительно, на другой — отрицательно[42].

Уравнение окружности с центром c и радиусом r имеет чрезвычайно простой вид: {displaystyle |z-c|=r.} Неравенство {displaystyle |z-c|<r} описывает внутренность окружности (открытый круг)[42]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности[43]: {displaystyle z=c+e^{ivarphi }.}

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств[править | править код]

Множество комплексных чисел mathbb {C} образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел mathbb{R}. Основное алгебраическое свойство mathbb {C}  — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что mathbb {C} есть алгебраическое замыкание[44] поля mathbb{R}.

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность mathbb {C} как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями mathbb {R}  — поле комплексных чисел и тело кватернионов[45].

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем mathbb{R}.

Поле mathbb {C} допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте[46].

Поля mathbb {R} и mathbb {C}  — единственные связные локально компактные топологические поля[47].

Некоторые практические применения[править | править код]

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика[править | править код]

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение[48][49].

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида {displaystyle a+bi,} где a,b — целые числа[50]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана[51].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

{frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+ldots

Этот ряд сходится только в интервале (-1;;1), хотя точки pm 1 не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного {displaystyle f(z)={frac {1}{1+z^{2}}},} у которой обнаруживаются две особые точки: полюса {displaystyle pm i.} Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиуса[52].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент[53]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений[54]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам[55]..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа[56].

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных.

Конформное отображение[править | править код]

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)[57]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии[58][59] и гидродинамике[60].

Квантовая механика[править | править код]

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты {hat {x}} и импульса {displaystyle {hat {p}}_{x}} представляет собой мнимое число:

{displaystyle left[{hat {x}},{hat {p}}_{x}right]={hat {x}}{hat {p}}_{x}-{hat {p}}_{x}{hat {x}}=ihbar }

Здесь hbar  — редуцированная постоянная Планка h, то есть h/2pi (постоянная Дирака)[61].

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения[61]. Ю. Вигнер уточнял, что «…использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики.»[62].

Электротехника[править | править код]

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепи[63]. Ввиду того, что традиционно символ i в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой j,[64]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из {displaystyle (t,x)}– в {displaystyle (omega ,k)}-пространство (где t — время, omega  — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных[65].

Логические основания[править | править код]

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чисел[править | править код]

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел mathbb {C} , если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел mathbb {R} . А именно, определим mathbb {C} как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — мнимую единицу. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующие[66][67].

С1: Для всяких комплексных чисел u,v определена их сумма {displaystyle u+v.}
С2: Сложение коммутативно: {displaystyle u+v=v+u.} Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких u,v,w».
С3: Сложение ассоциативно: {displaystyle (u+v)+w=u+(v+w).}
С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что {displaystyle u+0=u.}
С5: Для всякого комплексного числа u существует противоположный ему элемент {displaystyle -u} такой, что {displaystyle u+(-u)=0.}
С6: Для всяких комплексных чисел u,v определено их произведение {displaystyle uv.}
С7: Умножение коммутативно: {displaystyle uv=vu.}
С8: Умножение ассоциативно: {displaystyle (uv)w=u(vw).}
С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: {displaystyle (u+v)w=uw+vw.}
С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что {displaystyle ucdot 1=u.}
С11: Для всякого ненулевого числа u существует обратное ему число {displaystyle u'} такое, что {displaystyle ucdot u'=1.}
С12: Множество комплексных чисел mathbb {C} содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел mathbb{R}. Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой mathbb{R}.
С13: Существует элемент i (мнимая единица) такой, что {displaystyle i^{2}+1=0.}
С14 (аксиома минимальности): Пусть M — подмножество {displaystyle mathbb {C} ,} которое: содержит mathbb {R} и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда M совпадает со всем {displaystyle mathbb {C} .}

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что mathbb {C} образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением mathbb{R}. Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны[68].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств[69].

Непротиворечивость и модели[править | править код]

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел[70].

Стандартная модель[править | править код]

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара (a,b) будет соответствовать комплексному числу {displaystyle a+bi.}[71]

Далее определим[70]:

  1. пары (a,b) и {displaystyle (c,d)} считаются равными, если a=c и {displaystyle b=d;}
  2. сложение: сумма пар (a,b) и {displaystyle (c,d)} определяется как пара {displaystyle (a+c,b+d);}
  3. умножение: произведение пар (a,b) и {displaystyle (c,d)} определяется как пара {displaystyle (ac-bd,ad+bc).}

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения {displaystyle i^{2}=-1colon }

{displaystyle (a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc).}

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами {displaystyle (a,0)}, образующими подполе mathbb {R} , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары (0,0) и (1,0) соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара {displaystyle (0,1),} Квадрат её равен {displaystyle left(-1,;0right),} то есть -1. Любое комплексное число можно записать в виде {displaystyle (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.}

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой[70].

Матричная модель[править | править код]

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

{displaystyle {begin{pmatrix}x&-y\y&xend{pmatrix}}}

с обычным матричным сложением и умножением[2]. Вещественной единице будет соответствовать

{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}},

мнимой единице —

{displaystyle {begin{pmatrix}0&-1\1&0end{pmatrix}}}.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число x+iy является линейным оператором. В базисе {displaystyle e_{1}=1,e_{2}=i} линейный оператор умножения на x+iy представляется указанной выше матрицей, так как[2]:

{displaystyle (x+iy)cdot 1=xcdot 1+ycdot i;}
{displaystyle (x+iy)cdot i=(-y)cdot 1+xcdot i.}

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа.
А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число[72].

Модель факторкольца многочленов[править | править код]

Рассмотрим кольцо многочленов mathbb{R}[x] с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена x^{2}+1 (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из mathbb{R}[x] мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен x^{2}+1 они дают одинаковые остатки. Например, многочлен x^{2} будет эквивалентен константе {displaystyle -1,} многочлен x^{3} будет эквивалентен -x и т. д.[73]

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен x^{2}+1 неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен {displaystyle i(x)=x,} поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен -1. Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида {displaystyle a+bx} (от деления на x^{2}+1), который в силу сказанного можно записать как {displaystyle a+bi.} Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел[73].

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда[74].

Расширенное комплексное поле как фактор-поле рациональных дробей полиномов с вещественными коэффициентами[править | править код]

Нетривиальная факторизация поля в поле невозможна, но поля, расширенные бесконечностью, могут нетривиально факторизоваться. Более того, возможны нетривиальные факторизации обычных полей в расширенные. В частности, обычное или расширенное поле рациональных дробей полиномов одной переменной с вещественными коэффициентами факторизуется в расширенное поле комплексных чисел (сферу Римана) путём отождествления полинома x^{2}+1 с нулём. Каждая дробь при этом заменяется на частное остатков от деления числителя и знаменателя своего несократимого представления на x^{2}+1. В силу несократимости, при этом не может образоваться неопределённость 0/0, в остальных случаях знаменатель, равный нулю, означает бесконечность, случай знаменателя, не равного нулю, рассматриваются в стандартной технике (домножением на сопряжённый знаменателю). Другим способом получения того же результата является параметризация полиномов числителя и знаменателя несократимого представления дроби мнимой единицей.

Параметризуя рациональные дроби полиномов различными числами, можно получать различные факторизации: при параметризации вещественным числом — расширенное поле вещественных, комплексным (не вещественным) — комплексных чисел. Число, используемое для параметризации, есть корень простого (над вещественным полем) полинома, отождествляемого с нулём, т. е. по модулю которого берутся числители и знаменатели (в случае вещественного числа — первой степени, комплексного — квадратный с отрицательным дискриминантом и, соответственно, двумя сопряжёнными комплексными корнями).

Алгебраическая характеризация[править | править код]

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел mathbb {Q} ). Кроме того, любой базис трансцендентности mathbb {C} над mathbb {Q} имеет мощность континуум[K 3]. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей[75][76][K 4].

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание {displaystyle {overline {mathbb {Q} }}_{p}} поля p-адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако p-адическая норма не является архимедовой[en] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма[77]. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в p-адическом[77].

Вариации и обобщения[править | править код]

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые {displaystyle i,j,k.} Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»[78].

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют[78].

Другие типы расширений комплексных чисел (гиперкомплексные числа):

  • Бикватернионы
  • Комплексные числа гиперболического типа (двойные)
  • Комплексные числа параболического типа (дуальные)

Примечания[править | править код]

Комментарии
  1. ↑ Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа.
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ Архивная копия от 2 июля 2019 на Wayback Machine (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка).
    • Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).

  2. ↑ При условии непротиворечивости системы вещественных чисел.
  3. ↑ То есть отличается от {displaystyle mathbb {Q} (x_{i}),iin mathbb {R} } (поля рациональных функций для набора переменных x_{i} мощности континуум) на алгебраическое расширение
  4. ↑ Поскольку отображение в алгебраически замкнутое поле всегда может быть продлено на алгебраическое расширение, для установления изоморфизма между алгебраическими замкнутыми полями достаточно установить изоморфизм между их простыми подполями и биекцию между базисами трансцендентности.
Использованная литература
  1. ↑ Краткий словарь иностранных слов. — 7-е изд. — М.: Русский язык, 1984. — С. 121. — 312 с.
  2. ↑ 1 2 3 4 5 Комплексное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 1007.
  3. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227.
  4. ↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 211, подстрочное примечание.
  5. ↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 222.
  6. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 180—181.
  7. ↑ Real Part. Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.
  8. ↑ Мнимое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 708.
  9. ↑ Imaginary Part. Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.
  10. ↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 2.
  11. ↑ История математики, том III, 1972, с. 72.
  12. ↑ 1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 237—239.
  13. ↑ История математики, том III, 1972, с. 61—66.
  14. ↑ 1 2 Bunch, Bryan. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Chapter «Eliminating paradox by definition». — Dover Publications, 1997. — 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647.
  15. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 233—234.
  16. ↑ 1 2 3 4 5 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 234—235, 239—240.
  17. ↑ ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.
  18. ↑ 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979, с. 6—10.
  19. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 14—15.
  20. ↑ 1 2 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 183—1851.
  21. ↑ 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979, с. 15—16.
  22. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 7.
  23. ↑ Weisstein, Eric W. nth Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  24. ↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 3—4.
  25. ↑ 1 2 3 Клайн Моррис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.
  26. ↑ 1 2 Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 258—266. — 530 с.
  27. ↑ История математики, том III, 1972, с. 57—61.
  28. ↑ Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7. — С. 15—47.
  29. ↑ Острая О. Теория функций комплексного переменного. Дата обращения: 30 ноября 2017.
  30. ↑ Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 233. — 297 с. — (Классики естествознания).
  31. ↑ Глейзер Г. И. История математики в школе. IX—X классы. — М.: Просвещение, 1983. — С. 193. — 351 с.
  32. ↑ 1 2 3 4 Смирнов В. И., 2010, с. 7—15.
  33. ↑ Бронштейн, Семендяев, 1985, с. 360.
  34. ↑ Смирнов В. И., 2010, с. 15—22.
  35. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 44.
  36. ↑ 1 2 Заславский А. А. Геометрические преобразования. — 2-е изд.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 58. — 86 с. — ISBN 5-94057-094-1.
  37. ↑ 1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 180—186.
  38. ↑ MAXimal :: algo :: Преобразование геометрической инверсии. e-maxx.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 7 мая 2021 года.
  39. ↑ Е. А. Морозов, “Обобщённая задача Аполлония”, Матем. просв., сер. 3, 23, Изд-во МЦНМО, М., 2019, 80–111. www.mathnet.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 9 мая 2021 года.
  40. ↑ Привалов И. И., 1984, с. 43.
  41. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 10.
  42. ↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979, с. 17—18.
  43. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 12.
  44. ↑ Числовые системы, 1975, с. 165.
  45. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 249—251.
  46. ↑ Числовые системы, 1975, с. 167.
  47. ↑ Топологическое поле // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 386.
  48. ↑ Комплексные числа. 9—11 классы, 2012, Глава 5.
  49. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 78.
  50. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 114—124.
  51. ↑ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
  52. ↑ Привалов И. И., 1984, с. 14.
  53. ↑ Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Эдиториал УРСС, 2004. — 240 с. — ISBN 5354004160.
  54. ↑ Разностное уравнение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 838. Архивировано 21 января 2022 года.
  55. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 5.
  56. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 8.
  57. ↑ Смирнов В. И., 2010, с. 22—25.
  58. ↑ Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — М.: Гостехиздат, 1954. — 52 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 13). Архивировано 28 января 2018 года.
  59. ↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System. Дата обращения: 28 января 2018. Архивировано 29 января 2018 года.
  60. ↑ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.
  61. ↑ 1 2 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
  62. ↑ Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // УФН. — 1968. — Т. 93. — С. 535—546. — doi:10.3367/UFNr.0094.196803f.0535.
  63. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 132—144.
  64. ↑ Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи». — BH V. — 608 с. — ISBN 978-5-9775-0544-4.
  65. ↑ Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
  66. ↑ Числовые системы, 1975, с. 164—165.
  67. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227—233.
  68. ↑ Числовые системы, 1975, с. 166.
  69. ↑ Real and Complex Numbers. Дата обращения: 13 февраля 2018. Архивировано 6 февраля 2021 года.
  70. ↑ 1 2 3 Числовые системы, 1975, с. 167—168.
  71. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 230—233.
  72. ↑ John Stillwell. The Four Pillars of Geometry. — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. — С. 84—86. — 240 с. — ISBN 9780387290522.
  73. ↑ 1 2 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — С. 200—201. — 416 с.
  74. ↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference held at Deinze, Belgium, 1993. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — С. 33. — 405 с. — ISBN 9789401120067.
  75. ↑ David Marker. Model Theory: An Introduction, ISBN 978-0-387-22734-4. Proposition 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. См. также некоторые пояснения Архивная копия от 14 мая 2018 на Wayback Machine.
  76. ↑ William Weiss and Cherie D’Mello. Fundamentals of Model Theory Архивная копия от 13 апреля 2018 на Wayback Machine. Lemma 7: Any two algebraically closed fields of characteristic 0 and cardinality aleph_1 are isomorphic и комментарий после неё.
  77. ↑ 1 2 p-адическое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 100.: «Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования… Поле Q_p локально компактно».
  78. ↑ 1 2 Dickson, L. E. (1919), On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem, Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865

Литература[править | править код]

  • Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.
  • Бурбаки, Н. Очерки по истории математики. — М., 1963.
  • Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
  • Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
  • Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
  • Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
  • Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
  • Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.

Ссылки[править | править код]

Источник

Добавить комментарий