Как найти сумму координат окружности

Как найти сумму координат окружности

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде

Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности — это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности — это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:

Это — уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

Перегруппируем слагаемые уравнения

  • Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут — Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида на выражение вида . С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.
  • Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число — значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

    Для решения обратной задачи — нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу — можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

    Найти центр и радиус окружности

    Если окружность задана уравнением вида

    найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

    Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

    Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

    a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

    Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

    Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

    Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

    Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

    нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

    Для этого сначала сгруппируем слагаемые

    затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

    При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

    При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

    При a²+b²-c

    Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

    Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

    Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

    Окружность на координатной плоскости

    Окружность на плоскости — это множество точек на плоскости равноудаленных от точки центра. На рисунке данная точка обозначена C.

    Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:


    Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:



    Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия ).
    Это уравнение можно записать в виде:

    Если уравнение помножить на любое число A, то получим

    Примечание
    Окружность относится к линии второго порядка, так как представляется уравнением второй степени.

    Необходимые условия для этого:
    1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
    2. Коэффициенты при x 2 и y 2 были равны в уравнение вида:

    3. Если выполняется неравенство

    Как найти радиус и центр окружности

    Уравнение Ax 2 +Bx+Ay 2 +Cy+D=0 если оно удовлетворяет примечаниям (1, 2 и 3), то тогда (a;b) и радиус R окружности можно найти по формулам:

    Пример 1
    Уравнение 5x 2 -10x+5y 2 +20y-20=0
    Здесь
    A=5, B=-10, C=20, D=-20
    Оно удовлетворяет примечаниям 1, 2 и выполняется неравенство


    Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3

    Анимационный график окружности

    Пример 2
    Уравнение второй степени x 2 +4xy+y 2 =1 не является окружностью, так как в нём есть член 4xy.

    Пример 3
    Уравнение второй степени 4x 2 +9y 2 =36 не представляет окружность, так как в нём коэффициенты при x 2 и y 2 не равны.

    Насколько публикация полезна?

    Нажмите на звезду, чтобы оценить!

    Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 4

    Найти центр и радиус окружности

    Если окружность задана уравнением вида

    найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

    Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

    Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

    a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

    Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

    Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

    Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

    Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

    нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

    Для этого сначала сгруппируем слагаемые

    затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

    При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

    При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

    При a²+b²-c

    Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

    Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

    Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

    Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

    Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

    Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

    Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

    Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

    Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде

    Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности – это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности – это будет квадратный корень из правой части уравнения.

    Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:

    Это – уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

    Способ решения такого рода задач следующий:

    Перегруппируем слагаемые уравнения

  • Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут – Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида на выражение вида . С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.
  • Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число – значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

    Для решения обратной задачи – нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу – можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

    [spoiler title=”источники:”]

    http://planetcalc.ru/9507/

    [/spoiler]

    Уравнение окружности.

    Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

    В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

    Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

    Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

    Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

    Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

    Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

    Уравнение окружности в декартовых координатах, когда центр окружности не совпадает с точкой начала координат. Рівняння кола в декартових координатах, коли центр кола не збігається з точкою початку координат.

    Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

    Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

    Уравнение окружности в декартовых координатах. Рівняння кола в декартових координатах.
    Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

    Примеры решения задач про уравнение окружности

    Задача. Составить уравнение заданной окружности

    Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

    Решение.
    Обратимся к формуле уравнения окружности:
    R2 = (x-a)2 + (y-b)2

    Подставим значения в формулу.
    Радиус окружности R = 4
    Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
    a = 2
    b = -3

    Получаем:
    (x – 2)2 + (y – (-3))2 = 42
    или
    (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16.

    Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

    Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16.

    Решение.
    Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
    Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

    В уравнение (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
    подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
    x = 2
    y = 3

    Проверим истинность полученного равенства
    (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
    (2 – 2)2 + (3 + 3)2 = 16
    0 + 36 = 16 равенство неверно

    Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.


    0
     

     Площадь геометрической фигуры |

    Описание курса

    | Задачи про окружность 

    PLANETCALC, Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

    Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

    Коэффициенты a, b, c, d, e уравнения

    Введите коэффициенты a, b, c, d, e в указанном порядке ax² + by² + cx + dy + e = 0

    Точность вычисления

    Знаков после запятой: 2

    Уравнение после выделения полного квадрата

    Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

    Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

    Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде
    (x-a)^2+(y-b)^2=R^2
    Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности – это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности – это будет квадратный корень из правой части уравнения.

    Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:
    x^2+y^2+cx+dy+e=0
    Это – уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

    Способ решения такого рода задач следующий:

    1. Перегруппируем слагаемые уравнения
      (x^2+cx) + (y^2+dy)+e=0

    2. Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут – Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида ax^2+bx+c на выражение вида a(x-h)^2+k. С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.

    Для x^2+cx:
    h_x=-frac{c}{2}\k_x=-frac{c^2}{4}

    Для y^2+dy:
    h_y=-frac{d}{2}\k_y=-frac{d^2}{4}

    Тогда
    (x^2+cx) + (y^2+dy)+e=0 \ to (x-h_x)^2+k_x + (y-h_y)^2+k_y + e=0 \ to (x-h_x)^2 + (y-h_y)^2=-e - k_x - k_y

    Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число – значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

    Для решения обратной задачи – нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу – можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

    Если окружность задана уравнением вида

        [{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},]

    найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

    Примеры.

    Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

        [1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;]

        [2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;]

        [3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;]

        [4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;]

        [5){x^2} + {y^2} = 11.]

    Решение:

        [1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;]

    a=3, b=7, R²=4.

    Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

        [2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;]

    a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

        [3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;]

    a=0, b=-3, R²=9.

    Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

        [4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;]

    a=6, b=0, R²=5.

    Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

        [5){x^2} + {y^2} = 11.]

    Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

    Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

        [{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0,]

    нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

    Для этого сначала сгруппируем слагаемые

        [({x^2} - 2ax) + ({y^2} - 2by) + c = 0,]

    затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

        [({x^2} - 2ax + {a^2}) - {a^2} + ({y^2} - 2by + {b^2}) - {b^2} + c = 0.]

    Отсюда

        [{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + c - {a^2} - {b^2} = 0,]

        [{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2} + {b^2} - c.]

    При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

        [R = sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .]

    При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

    При a²+b²-c<0 нет ни одной точки, удовлетворяющей этому уравнению.

    Примеры.

    Найти координаты центра и радиус окружности:

        [1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0;]

        [2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0;]

        [3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0.]

    Решение:

        [1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0]

    Группируем слагаемые

        [({x^2} + 10x) + ({y^2} - 6y) - 15 = 0]

    Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

        [{x^2} + 10x = ({x^2} + 2 cdot x cdot 5 + {5^2}) - {5^2}.]

    Аналогично

        [{y^2} - 6y = ({y^2} - 2 cdot y cdot 3 + {3^2}) - {3^2}.]

    Таким образом,

        [({x^2} + 2 cdot x cdot 5 + {5^2}) - {5^2} + ({y^2} - 2 cdot y cdot 3 + {3^2}) - {3^2} - 15 = 0]

        [{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} - 25 - 9 - 15 = 0]

        [{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} = 49]

    Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

        [2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0]

        [({x^2} - 5x) + {y^2} + 4 = 0]

        [({x^2} - 2 cdot x cdot 2,5 + {2,5^2}) - {2,5^2} + {y^2} + 4 = 0]

        [{(x - 2,5)^2} + {y^2} + 4 - 6,25 = 0]

        [{(x - 2,5)^2} + {y^2} = 2,25]

    Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

        [3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0]

    Разделим обе части уравнения на 3:

        [{x^2} + {y^2} - frac{4}{3}x - 3y + frac{4}{3} = 0]

    Далее — аналогично

        [({x^2} - frac{4}{3}x) + ({y^2} - 3y) + frac{4}{3} = 0]

        [({x^2} - 2 cdot x cdot frac{2}{3} + {(frac{2}{3})^2}) - {(frac{2}{3})^2} + ({y^2} - 2 cdot y cdot frac{3}{2} + {(frac{3}{2})^2}) - ]

        [ - {(frac{3}{2})^2} + frac{4}{3} = 0]

        [{(x - frac{2}{3})^2} + {(y - frac{3}{2})^2} - frac{{{4^{backslash 4}}}}{9} - frac{{{9^{backslash 9}}}}{4} + frac{{{4^{backslash 12}}}}{3} = 0]

        [{(x - frac{2}{3})^2} + {(y - frac{3}{2})^2} = frac{{49}}{{36}}]

    Центр этой окружности лежит в точке

        [(frac{2}{3};frac{3}{2}),R = frac{7}{6}.]

    Как найти сумму координат

    Каждый материальный объект занимает в пространстве свое место. Координаты физического тела – это числовые характеристики его размещения, определяющие взаимное положение предметов.

    Как найти сумму координат

    Инструкция

    Уточните, сумму координат каких объектов необходимо найти и количество координат. Объект может быть точкой, которая перемещается вдоль одной координатной оси. Возможно, требуется суммировать координаты точек на плоскости или в пространстве.

    Если точки перемещаются только по прямой, то такие точки имеют лишь одну координату. Совместите числовую ось с прямой, по которой движутся рассматриваемые объекты.

    Теперь задача нахождения суммы координат двух или нескольких точек сводится к операции сложения положительных и отрицательных чисел. Основополагающим моментом является определение нуля отсчета и указание на то, какое направление от нуля считать положительным, а какое — отрицательным.

    Точка на плоскости задается двумя параметрами. Для нахождения суммы координат точки на плоскости сложите два числа — координаты точки по оси ОХ и по оси ОY.

    При определении суммы координат вектора на плоскости XOY сначала найдите координаты начала и конца вектора. От значения Х конца вектора отнимите значение Х начала вектора. Полученное число является абсциссой вектора. Разность между величиной Y конца и начала вектора — ордината вектора. Сложите абсциссу и ординату вектора и получите сумму координат вектора.

    Для нахождения суммы координат точки пересечения двух прямых или кривых необходимо сначала найти эти точки. Задача заключается в решении системы уравнений, описывающих пересекающиеся прямые (кривые). Общие корни уравнений – искомые точки пресечения.

    При рассмотрении точки в пространстве сумма координат определяется путем сложения трех чисел — величин ОХ, ОY и OZ.

    Видео по теме

    Источники:

    • сумма координат вектора

    Войти на сайт

    или

    Забыли пароль?
    Еще не зарегистрированы?

    This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

    Добавить комментарий