Как найти сумму координат точки касания

Задача 15214 В точке A графика функции y=x^3+4x+1.

Условие

В точке A графика функции y=x^3+4x+1 проведена касательная к нему, параллельная прямой y=4x+3. Найдите сумму координат точки A.

Решение

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
Угловой коэффициент k прямой у=4х+3 равен 4.
k=4.
Геометрический смыл производной в точке:
f`(x_(o))=k
f`(x)=3x^2+4
Приравниваем к найденному значению k=4.

А(0;1)
сумма координат точки А
0+1=1
О т в е т. 1

Решение №919 Задание 7. В точке А графика функции y = x3 + 4x +2 проведена касательная к нему, параллельная прямой y = 4x + 5.

В точке А графика функции y = x 3 + 4 x +2 проведена касательная к нему, параллельная прямой y = 4 x + 5. Найдите сумму координат точки А.

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
Угловой коэффициент k прямой у = 4х + 5 равен 4.
Геометрический смыл производной в точке:

Приравниваем к найденному значению k = 4.

Сумма координат точки А(0;2):

0 + 2 = 2

Ответ: 2.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 3.8 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_<=k>x+underbrace_ <=b>$$

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)

Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1).

(f(x_0)=1^2+3=4 )
(f'(x)=2x )
(f'(x_0)=2cdot 1=2)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)

п.3. Вертикальная касательная

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).

Пусть (f(x)=sqrt[5]+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1).

(f(x_0)=sqrt[5]<1-1>+1=1)
(f'(x)=frac15(x-1)^<frac15-1>+0=frac15(x-1)^<-frac45>=frac<1><5(x-1)^<frac45>> )
(f'(x_0)=frac<1><5(1-1)^<frac45>>=frac10=+infty)
В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: (x=1)
Ответ: (y=2x+2)

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac<15> <8>end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac<15><8>=x-frac98 end

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end

Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac<1>=-frac<1><11>) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac<2x(x+3)-(x^2+2)cdot 1><(x+3)^2>-1=frac<2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2><(x+3)^2>=\ =frac<(x+3)^2>=- frac<11> <(x+3)^2>end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac<11><(x+3)^2>=-frac<1><11>Rightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac<(-14)^2+2><-14+3>+14=frac<198><-11>+14=-18+14=-4\ y=-frac<1><11>(x+14)-4=-frac <11>end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac<8^2+2><8+3>-8=frac<66><11>-8=-2\ y=-frac<1><11>(x-8)-2=-frac <11>end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac<11>)
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac<11>)

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.

Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b – для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac<49><9>=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$
Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac<49><9>-frac<35><3>+6=frac<49-105+54><9>=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac<4-6+9><9>=frac79 end
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))

Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt<5>> <2>end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) – решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0).

Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac<0,4><2>=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2sqrt<2^2+1^2>=frac<sqrt<5>><5>)
Ответ: (frac<sqrt<5>><5>)

[spoiler title=”источники:”]

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-funkcii/

[/spoiler]

Навигация 4. Основы математического анализа Affiliations Template tips

4. Основы математического анализа google.com/+ВикторЦекунов Репетитор по математике, физике (Минск): Виктор Иванович. Математика, физика. Профессиональный репетитор (стаж более 20 лет + 6 лет курсы в БГУ). Подготовка к ЦТ, экзаменам. Бесплатно – проверка знаний. 1-й цикл занятий – ликвидация пробелов. 2-й цикл – решение тестов ЦТ. Занятия в Серебрянке, 1-2 чел. (90 мин) = 30 руб. Тел:  +375(29) 127 61 86._______________________________________________________________________________________________ Оказываю платные услуги: решение задач по математике. Оплата WebMoney. Заказы направляйте сюда: Платные услуги _______________________________________________________________________________________________       4.1. Производная. Касательная к графику функции.       4.2. Исследование функции с помощью производной. ________________________________________________________________________________________________      4.1. Производная. Касательная к графику функции. 4.1-1. Через точку (2;-50) проведены две касательные к графику функции f(x) = 7x²-7x-1. Найдите сумму абсцисс точек касания. Решение: A(2;-50) f(x) = 7x²-7x-1 x₀₁ + x₀₂ − ? Уравнение касательной: y = f(x₀)+fʹ(x₀)(x–x₀), где x₀ − абсцисса точки касания, fʹ(x₀) – производная в точке x₀. Подставим сюда координаты точки А (т.к. касательная проходит через эту точку) -50 = f(x₀)+fʹ(x₀)(2-x₀).                                          (1) Имеем f(x₀) = 7x₀² – 7x₀ – 1, fʹ(x₀) = 14x₀ – 7. Тогда (1) примет вид -50 = 7x₀²-7x₀-1+(14x₀-7)(2-x₀) или, после упрощения, x₀² – 4x₀ – 5 = 0. Корни этого квадратного уравнения x₀₁ = -1 и x₀₂ = 5. x₀₁ + x₀₂ = -1+5 = 4. Ответ: 4.4.1-2. Написать уравнение прямой, которая касается графика функции f(x) = x²-|5x-6|-3 в двух точках. В ответе указать ее угловой коэффициент. Решение: График функции f(x) состоит из “кусков” графиков двух парабол f₁(x) и f₂(x)                              |‾   f₁(x) = x²-5x+3,   при x ≥ 1,2.           (*) f(x)=x²-|5x-6|-3 = |                              |_   f₂(x) = x²+5x-9,   при x < 1,2.         (**) Касательная к первой и второй параболе соответственно y = f₁(x₁)+f₁ʹ(x₁)(x–x₁) y = f₂(x₂)+f₂ʹ(x₂)(x–x₂) где x₁, x₂ – абсциссы точек касания;  f₁ʹ(x₁),  f₂ʹ(x₂) – производные. Тогда эти касательные примут вид y = x₁²-5x₁+3+(2x₁-5)(x–x₁) y = x₂²+5x₂-9+(2x₂+5)(x–x₂) или y = (2x₁ – 5)x + (3 – x₁²)                                                        (1) y = (2x₂ + 5)x + (-9 – x₂²).                                                     (2) Чтобы эти касательные стали одной прямой, приравняем коэффициенты при x, а также свободные члены в (1) и (2). Получим систему двух уравнений {2x₁ – 5 = 2x₂ + 5 {3 – x₁² = -9 – x₂². Решая эту систему, получим, x₁ = 3,7;   x₂ = -1,3. Найдём ординаты точек касания y₁ и y2 y₁ = f₁(3,7) = 3,7²-5·3,7+3 = -1,81. y₂ = f₂(-1,3) = (-1,3)²+5·(-1,3)-9 = -13,81. Получили A₁ (3,7; -1,81) и A₂ (-1,3; -13,81) – точки касания касательной соответственно к параболам f₁(x) и f₂(x). Абсциссы этих точек удовлетворяют соответственно условиям (*) и (**). Чтобы найти уравнение касательной, подставим x₁ = 3,7 в (1)  (или x₂ = -1,3 в (2) ) y = (2·3,7 – 5)x + (3 – 3,7²) или y = 2,4x – 10,69 – уравнение касательной. Угловой коэффициент k = 2,4. Ответ: 2,4. ________________________________________________________________________________________________