Как найти сумму квадратов последовательности натуральных чисел

Макеты страниц

Sum of squares refers to the sum of the squares of the given numbers, i.e., it is the addition of squared numbers. The squared terms could be two terms, three terms, or “n” number of terms, the first “n” odd or even terms, a series of natural numbers or consecutive numbers, etc. In statistics, the value of the sum of squares tells the degree of dispersion in a dataset. For this, we need to first find the mean of the given data, then the variation of each data point from the mean, square them, and finally, add them. In algebra, we use the (a + b)² identity to determine the sum of the squares of two numbers. The formula that determines the sum of the squares of the first “n” natural numbers is derived with the help of the sum of the squares of the first “n” natural numbers. We perform these fundamental arithmetic operations, which are necessary for both algebra and statistics. There are various methods to determine the sum of squares of given numbers.

Sum of Squares Formula

The sum of the square formula is appliable for two, three, and up to n terms which are explained below:

Sum of squares for two numbers

Let a and b be two real numbers, then the formula for the addition of squares of the two numbers is given as follows:

 a² + b² = (a + b)² − 2ab

Proof:

From the algebraic identities, we have,

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Now, subtract 2ab on both sides.

(a + b)² − 2ab = a² + 2ab + b² − 2ab

a² + b² = (a + b)² − 2ab

Hence, proved.

Sum of squares for three numbers

Let a, b, and c be three real numbers, then the formula for the addition of squares of the three numbers is given as follows:

a² + b² + c² = (a +b + c)² − 2ab − 2bc − 2ca

Proof:

From the algebraic identities, we have,

(a + b + c)² = a² +  b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

By subtracting 2ab, 2bc, and 2ca on both sides, we get,

a² + b² + c² = (a + b + c)² − 2ab − 2bc − 2ca

Hence, proved

Sum of squares for “n” Natural Numbers

Natural numbers are also known as positive integers and include all the counting numbers, starting from 1 to infinity. If 1, 2, 3, 4,… n are n consecutive natural numbers, then the sum of squares of “n” consecutive natural numbers is represented by 1² + 2² + 3² +… + n² and symbolically represented as Σn².

The formula for the sum of squares of the first “n” natural numbers is given as follows:

∑n² = [n(n+1)(2n+1)]/6

Sum of Squares of First “n” Even Numbers

The formula for the sum of squares of the first “n” even numbers, i.e., 2² + 4² + 6² +… + (2n)² is given as follows:

∑(2n)² = 2² + 4² + 6² +… + (2n)²

∑(2n)² = [2n(n+1)(2n+1)]/3

Sum of Squares of First “n” Odd Numbers

The formula for the sum of squares of the first “n” odd numbers, i.e., 1² + 3² + 5² +… + (2n – 1)², can be derived using the formulas for the sum of the squares of the first “2n” natural numbers and the sum of squares of the first “n” even numbers.

∑(2n-1)² = 1² + 3² + 5² + … + (2n – 1)²

∑(2n-1)² = [n(2n+1)(2n-1)]/3

Proof:

∑(2n –1)² = [1² + 2² + 3² + … + (2n – 1)² + (2n)²] – [2² + 4² + 6² + … + (2n)²]

Now, apply the formula for the addition of squares of “2n” natural numbers and “n” even natural numbers, and we get;

∑(2n–1)² = 2n/6 (2n + 1)(4n + 1) – (2n/3) (n+1)(2n+1)

∑(2n–1)² = n/3 [(2n+1)(4n+1)] – 2n/3 [(n+1)(2n+1)]

Now, take out the common terms.

∑(2n–1)² = n/3 (2n+1) [4n + 1 – 2n – 2]

∑(2n–1)² = [n(2n+1)(2n–1)]/3

Hence, proved.

Sum of Squares in Statistics

Sum of squares of n data points = ∑ⁿ_i=0 (x_i – x̄)²

∑ = represents sum
x_i = each value in the set
x̄ = mean of the values
x_i – x̄ = deviation from the mean value
(x_i – x̄)² = square of the deviation
n = number of terms in the series

In statistics, the value of the sum of squares tells the degree of dispersion in a dataset. It evaluates the variance of the data points from the mean and aids in a better understanding of the data. The large value of the sum of squares indicates that there is a high variation of the data points from the mean value, while the small value indicates that there is a low variation of the data from its mean. Follow the steps given below to find the total sum of squares in statistics.

• Step 1: Count the number of data points in the given dataset.
• Step 2: Now, calculate the mean of the given data.
• Step 3: Subtract each data point from the mean calculated in step 2.
• Step 4: Now, determine the square of the difference obtained in step 3.
• Step 5: Finally, add the squares that we have determined in step 4.

Solved Examples based on Sum of Squares

Example 1: Find the sum of the given series: 1² + 2² + 3² +…+ 55².

Solution:

To find the value of 1² + 2² + 3² +…+ 55².

From the sum of squares formula for n terms, we have

∑n² = 1² + 2² + 3² +…+ n² = [n(n+1)(2n+1)] / 6

Given, n = 55

= [55(55+1)(2×55+1)] / 6

= (55 × 56 × 111) / 6

= 56,980‬

Thus, the sum of the given series is 56,980‬.

Example 2: Find the value of (3² + 8²), using the sum of squares formula.

Solution:

To find the value of 3² + 8²

Given: a = 3 and b = 8.

From the sum of squares formula, we have

a² + b² = (a + b)² − 2ab

⇒ 3² + 8² = (3 + 8)² − 2(3)(8)

= 121 – 2(24)

= 121 − 48

= 73.

Hence, the value of (3² + 8²) is 73.

Example 3: Find the sum of squares of the first 25 even natural numbers.

Solution:

To find the value of 2² + 4² + 6² +… + 48²+ 50².

= 2²( 1² + 2² + 3² +…+25²)

From the sum of squares formula for n terms, we have

∑n² = [n(n+1)(2n+1)]/6

Here, n = 25

2²( 1² + 2² + 3² +…+25²) = 4[25(25+1)(2(25)+1)/6]

= (2/3) × (25) × (26) × (51)

= 22,100

Hence, the sum of squares of the first 25 even natural numbers is 22,100.

Example 4:  A dataset has points 2, 4, 13, 10, 12, and 7. Find the sum of squares for the given data.

Solution: 

Given: We have 6 data points 2, 4, 13, 10, 12, and 7.

The sum of the given data points = 2 + 4 + 13 + 10 + 12 + 7 = 48. 

The mean of the given data is given by,

Mean, x̄ = Sum / Number of data points

= 48 / 6

= 8

So, the sum of squares is given by,

∑ⁿ_i=0 (x_i – x̄)² = (2 – 8)² + (4 – 8)² + (13 – 8)² + (10 – 8)² + (12 – 8)² + (7 – 8)²

= (–6)² + (–4)² + (5)² + (2)² + (4)² + (–1)²

= 36 + 16 + 25 + 4 + 14 + 1

= 96

Hence, the sum of squares for the given data is 96.

Example 5: Calculate the sum of the squares of 4, 9, and 11 using the sum of squares formula for three numbers.

Solution: 

To find the value of 4, 9, and 11.

Given, a = 4, b = 9, and c = 11.

From the sum of squares formula, we have

a² + b² + c² = (a + b +c)² − 2ab − 2bc − 2ca

4² + 9² + 11² = (4 + 9 + 11)² −(2×4×9) − (2×9×11) − (2×11×4)

= 576 − 72 − 198 − 88

= 218

Hence, the value of (4² + 9² + 11²) is 218.

Example 6: Find the sum of squares of the first 10 odd numbers.

Solution:

The sum of squares of the first 10 odd numbers: 1² + 3² + 5² +… +17² + 19²

We know that,

The sum of squares of first “n” Odd Numbers ∑(2n–1)² = [n(2n+1)(2n–1)]/3

Here, n is 10.

= [10×(2×10 + 1)(2×10 – 1)]/3

= [10 × 21 × 19]/3

= 10 × 7 × 19 = 1,330

Hence, the value of the sum of squares of the first 10 odd numbers is 1330.

FAQs based on Sum of Squares

Question 1: What is the Sum of Squares Error?

Answer:

Sum of squares error, also known as the residual sum of squares, is the difference between the actual value and the predicted value of the data.

Question 2: What Is the Expansion of Sum of Squares Formula?

Answer:

a² + b² formula is known as the sum of squares formula in algebra and it is read as a square plus b square. Its expansion is expressed as a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab.

Question 3: Write the Sum of Squares Formula used in Algebra.

Answer: 

The sum of squares formula used in algebra are:

• a² + b² = (a + b)² − 2ab
• a² + b² + c² = (a +b + c)² − 2ab − 2bc − 2ca

Question 4: Write the sum of squares of the first five even numbers.

Answer:

The sum of squares of the first five even numbers is given by:

∑(2n)² = [2n(n+1)(2n+1)]/3

putting n = 5

∑(2×5)² = [2×5×(5+1)×(2×5+1)]/3

             = 220

Этот вопрос вряд ли имеет какое-то важное практическое значение, однако очень интересен как элемент занимательной математики, в особенности, если для нахождения универсальной формулы использовать графический метод.

Давайте рассмотрим следующее:

Видите здесь какую-нибудь закономерность?

Сходу найти универсальную формулу для n-й суммы квадратов не так-то просто. Есть, кстати алгебраический путь, но он мне сейчас совершенно не интересен. Я бы хотел пойти другим путем – графическим.

Что нам для этого нужно?

Давайте представим сумму квадратов:

В виде пирамидки из 14 кубиков, которая будет выглядеть так:

Пирамидка состоит из 3-х уровней. В сумме кубиков – 14, как и описывает выражение выше.

Теперь, задача состоит в том, чтобы складывая эти пирамидки получить фигуру типа куба или параллелепипеда, т.е объекта который можно легко описать.

Если долго мучиться, то получится такой параллелепипед:

Его ширина та же, что и основание пирамидки, обозначим за “n”. Соответственно его длина 2n+1, а высота n+1.

Чтобы построить такую фигуру нам понадобилось 6 пирамидок.

Далее, составляем неравенство:

В левой его части мы находим объем фигуры (количество кубиков) исходя из того, что знаем какой конфигурации была исходная пирамидка, сколько в ней было кубиков и сколько таких пирамидок нужно, чтобы выстроить параллелепипед.

А в правой части, мы просто нашли объем фигуры умножив длину на высоту, на ширину.

Исходя из этого равенства, можно вывести, что сумма квадратов до любого числа n равна:

Ну вот и все. Делов-то. Надеюсь, было интересно и понятно. Оставляйте комментарии, делитесь публикацией в соцсетях, да и вообще, не забывайте ставить лайк и обязательно подпишитесь, если этого до сих пор не сделали.

Введение: Прогрессия – последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.  

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

 3, 5, 7, 9, 11…

Как вычислить сумму квадратов последовательных, натуральных n чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36,…,n2)? Прибавлением каждого следующего числа к предыдущему? Да, можно и так, но для достаточного большого количества членов n, этот способ занял бы у нас кучу времени! Поэтому, мы будем выводить формулу для более простого способа нахождения суммы квадратов, последовательных, натуральных n чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36,…,n2). Если задать тот же вопрос, но уже для арифметической прогрессии второго порядка (все члены являются натуральными числами),в которой первый член равен 2, и, такой, что каждый (k-1) член, меньше следующего k члена, на разность, между (k-1) и (k-2) членами, и прибавлением к этой разности +2. Пример этой прогрессии: 2, 6, 12, 20, 30, 42, … число 12 представимо как: 6+(6-2) + 2=12; или число 56= 42 + (42-30) +2, то для достаточно большого числа членов n, ответить быстро на поставленный вопрос мы не сможем, так как вычислять сумму прибавлением к k члену, каждого следующего (k+1) члена способ тоже не из быстрых. Поэтому для данной прогрессии, мы также выведем формулу, опираясь на ту формулу, которую мы сначала докажем, для суммы квадратов последовательных, натуральных n чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36,…,n2), которая также упростит вычисления и сэкономит наше время, для ответа на заданный вопрос! В данной работе я приведу свой способ решения – некоторую так называемую мной “Пирамиду”, о которой я расскажу в основной части работы.

Литература:

1. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.
2. http://ru.wikipedia.org (Википедия)
3. http://dic.academic.ru (Академик)
4. http://ru.math.wikia.com (wikia)

1

Основная часть:

Рассмотрим арифметическую прогрессию второго порядка, такую, что каждый следующий член больше предыдущего на 1, и к тому же все эти члены возведены в квадрат (например: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…), и выведем формулу суммы первых n членов для данной прогрессии. Но, сначала, рассмотрим несколько прогрессий, у которых первый член – разный:

1,4,9,16,25,36,…….                                         и                          16,25, 36,49,64,81,……. ..

Пусть, к примеру, таких членов n=5, тогда их сумма (Sn):

Sn=55                                                                и                                  Sn=190

Формулу суммы (Sn) для данной прогрессии можно вывести, опираясь на то, что последовательность разностей двух рядом стоящих членов сама образует простую арифметическую прогрессию:

1+③=4;                                                            и                           16+⑨=25;

4+⑤=9;                                                                                         25+⑪=36;

9+⑦=16;        36+⑬=49;

16+⑨=25;        49+⑮=64;

. . . . . . .                                                                                          . . . . . . .

На основе этого свойства можно получить некоторую «Пирамиду». Рассмотрим прогрессию: 1,4,9,16,25,36, ….  для n=5. Тогда:

                                                n членов

                                                                       ①+ 4+ 9+  16+  25= 55 (Исходная сумма)

                                                    ① +4 +9 +16

                                                       ①+4+  9

                                                         ①+4

                                                          ①+4

                                                                  =3                                                                                2

В  данной «Пирамиде» в 1-ой строчке даны исходные числа, во 2-ой строчке – разность между соседними числами 1 строчки. В 3-ей строчке получена разность чисел 1-ой и 2-ой строчек (т.е.  4-3=1; 9-4=5; 16-7=9; 25-9=16). Таким образом, в 3-ей строчке стоят все те же исходные числа,  но на одно число меньше (в 3-ей строчке нет числа 25). Значит, в конечном итоге, можно свести всю прогрессию к первому члену прогрессии (как показано в «Пирамиде»). Дальше (с 4-ой строчки) всё снова повторяется.

Тогда данную сумму можно представить как: Sn=24+15+8+3=50, но она отличается от исходной (=55) на 5. В самом деле, так как: Sn=25+16+9+4+1=24+15+8+3+5*1=55. Именно, поэтому цифра 1 в данной «Пирамиде» обведена 5 раз в кружок.

Рассмотрим прогрессию: 16, 25, 36, 49, 64,…   ( при n=5):

                                         ⑯+  25+  36+  49+  64=190 (Исходная сумма)

⑯+25+36+49

⑯+25  +36

⑯+25

⑯

Сумма колонок равна: Sn=48+33+20+9=110, которая отличается на 80 от исходной (=190). Sn=64+49+36+25+16=48+33+20+9+5*16

Итак, можно заметить, что сумма, полученная с помощью «Пирамиды» всегда отличается от исходной. Утверждение: Сумма, полученная с помощью «Пирамиды» всегда будет отличаться от исходной, на сумму произведения количества членов прогрессии на первый член прогрессии. (Приведённое мной утверждение, я докажу дальше). А пока будем считать, что данное утверждение верно при любом  значении первого члена и любом значении n(кол-ва членов прогрессии).

Теперь рассмотрим данную прогрессию с первым членом = b1, причём таким, что  є N. Пусть в прогрессии n членов. Примем разность между вторым и первым членом за d=b2– b1.

С учётом того, что b2=(+1)2 получим d=b2-b1=(+1)2-b1=2+1.

Для данной прогрессии также составим «Пирамиду»:

3

               + (+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+(+5)2+. . . . . . . . . . . . . . . +(+n-1)2

           

                              +(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+ . . . . . . . +(+n-2)2

                                   +(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+ . . . +(+n-3)2

         

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 +(+1)2 

Тогда, если считать, что утверждение верно, то данную сумму Sn=b1+(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+(+5)2+. . . . . . . . .+(+n-1)2

можно представить как: Sn= b1*n+[(d+(n-2))*(n-1) + (d+(n-3))*(n-2) + (d+(n-4))*(n-3) +. . . ]=

4                                                                                                          

b1*n+(d*(n-1) + d*(n-2) + d*(n-3)+. . . . . .) + ((n-1)*(n-2) + (n-2)*(n-3) + (n-3)*(n-4) + . . .) =  

= b1*n + (d*n + d*n + d*n +. . . – d – 2d – 3d – 4d – . . .) + ((n-1)*(n-2) + (n-2)*(n-3) + (n-3)*(n-4) +. . .)=

=b1*n+ d*n*(n-1)–d*(1+2+3+4+. . .)+((n2 – 3*n + 2)+(n2 – 5*n + 6)+(n2 – 7*n + 12) + (n2 – 9*n + 20 + . . .)    

Сумму 1+2+3+4+ . . . выражаю как арифметическую прогрессию                                     

Тогда Sn =b1*n + d*n*(n-1) –  + ((n2 – 3*n) + (n2 – 5*n) + (n2 – 7*n) + . . . + (2+6+12+20+ . . . . ))=

= b1*n+ 0,5*d*n*(n-1) + ((n2 – 3*n) + (n2 – 5*n) + (n2 – 7*n) + . . . + (2+6+12+20+ . . . . ))

Так как (n2 – 3*n) + (n2 – 5*n) + (n2 – 7*n) + . . . = , то

Sn= b1*n+ 0,5*d*n*(n-1) – n*(n-1) + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .)= b1*n+  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . .)

С учётом того, что d=2+1, получим, что Sn = b1*n+  + (2 +6 +12 +20 +. . .)

Следует учесть, что данная формула справедлива лишь только тогда, когда квадратный корень из k члена +1, равен  квадратному корню из (k+1) члена. Первый же член прогрессии может быть любым. Проверим данную формулу для b1=16 и n=5. S5=16*5 +  + (2 + 6 + 12 + 20)=80 + 70 + 40 =190

Но данная формула, возможно, неверна для некоторого значения b1 или некоторого значения n, так как утверждение ещё не доказано. Данное утверждение будет истинным, если доказать, что для любого n формула Sn = b1*n+  + (2 +6 +12 +20 +. . .)

является верной.

Данную формулу можно доказать с помощью математической индукции.

Но, сначала, рассмотрим последовательность чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, . . . . . . .

Итак, в этой последовательности  каждый (k-1) член, меньше следующего k члена, на

5

разность, между (k-1) и (k-2) членами, и прибавлением к этой разности +2. (пример: число 12 представимо как: 6+(6-2) + 2=12; или число 56= 42 + (42-30) +2).

Также можно заметить, что данную последовательность можно представить в виде: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, . . . . . . . = 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6, 6*7, 7*8, . . . . . . . . . , k*(k+1).

В самом деле, если в последовательности k членов, то последний член у этой прогрессии ak=k*(k+1).

 Теперь докажем с помощью математической индукции справедливость формулы Sn, то есть докажем справедливость тождества: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+n-1)2 = b1*n+  + (2 +6 +12 +20 +. . .)

1. Проверим базу (для n=1): b1=b1 (База выполняется верно!)
2. Шаг. Пусть для k членов данное тождество является верным, тогда:

b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2 =

=b1*k+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)).

Проверим является ли наша формула верной для n=k+1: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2  + (+k)2. Считая  формулу –

b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2 =

=b1*k+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)). – верной для k членов, выполним

Подстановку для n членов. Получим: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2  + (+k)2 =

= b1*k+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) + (+k)2 = b1*k+  

+ (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) + b1 + 2*k + k2 = b1*(k+1)+ *[(2*k – k – 2 + 1)

+4 + 2k] + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1))= b1*(k+1)+ *(2*k + k + 2 + 1) +

(2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) = b1*(k+1) +   + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1))

 = b1*(k+1) +   + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) = b1*(k+1) +

 +  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) =

6

= b1*(k+1) +  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1))

Таким образом, для n=k+1 мы получили верное равенство: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2  + (+k)2 = b1*(k+1) +

+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1)). А значит, данное тождество

верно при любых значениях n и b1. ч.т.д.

Данная формула все же является неудобной для подсчёта большого количества членов n, из-за другой прогрессии (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1)). Поэтому рассмотрим      

эту прогрессию более подробно.

2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1) Итак , попробуем упростить формулу суммы для этой прогрессии, нежели складывать каждое слагаемое (это займет много времени, если число членов в прогрессии уже больше 10!). Можно заметить, что сумма двух последовательных чисел образует удвоенный квадрат некоторого числа, например: 2+6 =2*22; 12+20=2*42. Данное утверждение легко доказать, это очевидно, если сложить числа: k*(k-1) + k*(k+1)=2k2  либо (k-1)*(k-2) + k*(k-1) = 2*(k-1)2. Тогда, если Sk  – сумма членов данной прогрессии, в которой k членов, то: Sk= 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + . . . . . . . +(k-5)*(k-4) + (k-4)*(k-3) + (k-3)*(k-2) + (k-2)*(k-1) + k*(k-1) + k*(k+1)

1. Если  k- чётно, то: Sk=2*k2 + 2*(k-2)2 + 2*(k-4)2 + 2*(k-6)2 + 2*(k-8)2 + . . . . . . . . . =

=2*[k2 + (k2 – 4*k + 4) + (k2 – 8*k + 16) + (k2 – 12*k + 36) + (k2 – 16*k + 64) + . . . .]=

=2*[k2 + (k2 – 4*k) + (k2 – 8*k) + (k2 – 12*k) + . . . . + (0 + 4 + 16 + 36 + 64 + 100 + . . . )]=

Так как k2 + (k2 – 4*k) + (k2 – 8*k) + (k2 – 12*k) + . . . .==k2 

(подсчитано, как сумма арифметической прогрессии).

Получим: Sk= 2k2 + 2(0 + 4 + 16 + 36 + 64 + 100 + . . .) = 2*k2 + 8*(0+1+4+9+16+25+. . .)

Сумму 0+1+4+9+16+25+. . . можно представить, благодаря уже доказанной формуле

7

Sn, с первым членом b1= 0 и  количеством членов = .  0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + . . . . . =

0* +  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . .) = –  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . .)  

Тогда Sk= 2*k2 + 8*[-  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . .)] = 2*k2 – k*(k-2) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . .) =

== = k*(k+2) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . ). Данная формула справедлива лишь, если k – чётно!

1. Если k-нечётно: 2 + 6 + 12 +  . . . . . + (k-2)*(k-1) + (k-1)*k + k*(k+1) = k*(k+1) +

+2*(k-1)2  + 2*(k-1)2 + 2*(k-1)2 + 2*(k-1)2 + . . . . . . = k*(k+1) + 2*[(k2-2*k)+(k2-6*k)+

+ (k2-10*k) + (k2-14*k) + . . . . + (1 + 9 + 25 + 49 + 81 + . . . . . .)].

Так как (k2-2*k) + (k2-6*k) + (k2-10*k) + (k2-14*k) + . . . =  =  ,

то Sk= k*(k+1) + k*(k-1) + (1 + 9 + 25 + 49 + 81 + . . . . . .) = 2*k2 + 2* (1+9+25+49+81+. . . . .)

Сделаем такое преобразование над скобкой: (1 + 9 + 25 + 49 + 81 +. . . . .) = (1 + 4 – 4 + 9 + + 16 – 16 + 25 + 36 – 36 + 49 + 64 – 64 + 81 + 100 – 100. . . . .). Подсчитаем количество членов в скобке: допустим мы имели последовательность 1 + 9 + 25 + 49 , тогда после

преобразования получим: 1 + 4 – 4 + 9 + 16 – 16 + 25 + 36 – 36 + 49

Тогда, если исходное количество членов у нас равно , то число добавочных членов будет равно: 2*( – 1) = k-3. Сумма положительных добавочных членов, с исходными, равна:  +  -1 = k-2. Общее число членов с скобке равно:  + k-3 = . Получим , что Sk= 2*k2 + 2*(1 + 4 – 4 + 9 + + 16 – 16 + 25 + 36 – 36 + 49 + 64 – 64 + 81 + . . . . . .) =

2*k2 + 2*(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + . . . . . . . .) – 2*(4 + 16 + 36 + 64 + 100 + . . . . .  . . .)=  

8

=2*k2 + 2*(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + . . . . . . . .) – 8*(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + . . . . . . . . .)

Применим, доказанную формулу (Sn) для обеих скобок: 1 + 4 +9 +16 + 25 + 36 + 49 + . . . =

= 1*(k-2) +  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .) =  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .)

1 + 4 +9 +16 + 25 + 36 + 49 + . . .=1* +  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .)=

= + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .). Получим Sk= 2*k2 + 2*  +(2+6+12+20+ . . .) –

  8* – 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . .). Так как k- нечётно, то (k-3) является числом чётным, к которому можно применить предыдущую формулу (Sk – для суммы чётных членов данной прогрессии).  (2+6+12+20+ . . .) = (k-1)(k-3) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . .)

Тогда Sk= 2*k2 + (k-2)*(k-1) – (k-1)*(k-3) + 2*(k-1)*(k-3) + 16*(2 + 6 + 12 + 20 + . .  . . .) –                          

8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . .)= (4k2 – 7*k + 5) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . .).

Данная формула справедлива лишь при k- нечётном!

Таким образом, для достаточно больших значений n сумму квадратов последовательных чисел можно сосчитать намного проще, нежели их складывать.

Подсчитаем, к примеру, сумму квадратов первых, натуральных 50 чисел:

12+22+32+42+52+. . . . . . . . .+492+502=42925

Подсчитаем эту же сумму, используя полученные формулы:

12+22+32+42+52+. . . . . . . . .+492+502= 50*1 +  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . . .)  

Так как 49 –нечётно, то используем формулу (Sk) для нечётной суммы:

2+6+12+20+. . . . .=4*492 – 7*49 + 5 +8*(2+6+12+20+. . .) = 9266 + 8*(2+6+12+ 20 +  . . . . .)

9

Так как 22- чётно, то 2+6+12+20+. . .= 22*24+8*(2+6+12+20+. . .) =528+8*(2+6+12+20+. . .)

Так как 10 –чётно, то  2+6+12+20+. . .=10*12+8*(2+6+12+20)=440

Имеем: 2+6+12+20+. . .= 528 + 8*440= 4048;  2+6+12+20+. . .=9266 + 8*4048=41650

В конечном итоге, получим: Sn= 50 + 25*49 +41650= 42925.

Для больших n пользоваться данными формулами гораздо удобнее. Причём, первый член прогрессии может быть любым!

Подсчитаем сумму квадратов 50-ти последовательных чисел, в которой первый член равен 51.

512+ 522+532+542+ . . . . . .+992+1002 = 512*50 +  + (2+6+12+20+ . . . . . .)

Значение (2+6+12+20+ . . . . . .) = 41650 – подсчитано выше. Тогда 512+ 522+532+542+ . . . . .

+992+1002 =130050+123725+41650= 295425

Данные формулы можно использовать не только для нахождения сумм квадратов натуральных последовательных чисел, но и решать с помощью них различные задачи:

Задача 1. Какое количество натуральных членов (n) находится в прогрессии (1, 4, 9, 16, 25, . . . . n2) , если сумма этих n членов равна 338350?

Решение: Запишем формулу для суммы квадратов последовательных чисел, Sn= b1*n+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+n*(n-1)) = 338350 (по условию). Так как по условию

 b1=1, то перепишем в таком виде Sn= n +   + (2 +6 +12 +20 +. . .+n*(n-1)) = 338350

тогда n +  =2*(169175 – (1 +3 +6 +10 +. . .+)). Так как правая часть уравнения

делится 2, то и левая часть уравнения тоже должна делится 2, т.е. выражение n+ =  делится 2 →  ∈ N(натуральному числу). Но это возможно только тогда, когда либо n ⋮ 4, либо (n+1) ⋮ 4, значит n можно представить как: n=4*f, либо n=4*f-1, где f ∈ N.

10

Пусть n=4*f  , тогда f*(4*f+1) = 169175 – *(1 +3 +6 +10 +. . .+). Так как (4f-1) –

нечётно, то 4*f2+f=169175 – *[4*(4*f-1)2 – 7*(4*f-1) +5 +8(2+6+12+20+ . . .)] ⇔

36*f2 – 29*f= 169167 – 4*(2+6+12+20+ . . .) → 9*f2+(2+6+12+20+ . . .) =

С учётом того, что левая часть уравнения ∈ N, то и правая должна ∈ N. Это значит, что (169167+29f) ⋮ 4, но это возможно только тогда, когда число f представимо в виде: f=4q+1 , где q ∈ N. В самом деле, так как  =  = 42299 + 29q. Тогда имеем:

36*f2–29*f=169167–4*(2+6+12+20+…)⇔36*(4q+1)2–29*(4q+1)=169167 – 4*(2+6+12+20+…)

Так как 8*q-1 нечётно, то 576q2+172q+7=169167 – 1024q2+480q – 64 – 32*(2+6+12 + 20 +…)

1600*q2 – 308*q=169096  – 32*(2+6+12 + 20 +. . .). Так как 4*q-3 нечётно, то получим:

1600*q2 – 308*q=169096  – 32*[64*q2 – 124*q + 62 + 8*(2+6+12 + 20 +. . .)] ⇔

3648*q2 –4276*q=167112 – 256*(2+6+12 + 20 +. . .). Так как 2*q-4 чётно, то:

3648*q2 –4276*q=167112 – 256*(2+6+12 + 20 +. . .) ⇔ 3648*q2 –4276*q=167112 – 256*[4q2-12q + 8 + 8*(2+6+12 + 20 +. . .)] ⇔

4672*q2 –7348*q=165064 – 2048*(2+6+12 + 20 +. . .). Далее, можно проверить, что уже для

q=10,  левая часть уравнения больше правой (393720>-179000), а это значит, что q<10.

Поэтому перебираем все возможные значения q:

1. при q=9 имеем: (312300>-64312)  – неверно.

11

1. при q=8 имеем: (2400224>21704)  – неверно.
2. при q=7 имеем: (177492>83144)  – неверно.
3. при q=6 имеем: (124104=124104)  –  верно.

Значит, при q=6 наше уравнение является верным! Тогда f=4q+1=25;  n=4f=4*25=100

Действительно, если проверить сумму 100 членов у этой прогрессии с помощью формул, то ответы совпадаются. Значит, n=100

Ответ: 100.

Задача 2. Найти 10 член прогрессии (b1, (+1)2, (+2)2, (+3)2, (+4)2, (+5)2, . .  . , (+n-1)2, причём  ∈ N), если число членов n = 50 , а их сумма (Sn) равна 295425?

Решение: Запишем формулу для суммы данной прогрессии: Sn= 50*b1+25*49*(2 – 1) + (2+6+12+20+  . . . .). Сумма (2+6+12+20+ . . . .) = 41650 подсчитана выше (см. стр. 9-10)

Тогда Sn= 50*b1+25*49*(2 – 1) + 41650 = 295425 ⇔ 50*b1+2450*  = 255000

b1+49* -5100 = 0

( -51)( +100) = 0 → b1=512  

Выполним проверку: при b1=512 имеем: (295425=295425) – верно.

Проверкой убеждаемся, что b1=51. Тогда b10=(+9)2=602=3600

Ответ: 3600.

12

Формула

b1+(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+(+5)2+. . . . . . . . . . . . . . . +(+n-1)2= b1*n+

 + (2 +6 +12 +20 +. . .) все же является частным случаем нахождения суммы,

квадратов последовательных членов, поскольку разность между  и все же постоянна и равна 1. Теперь рассмотрим общий случай, когда разность между  и

равна d, количество членов n, а первый член прогрессии равен . Но сначала, рассмотрим  «Пирамиду» , на примерах нескольких чисел, при n =5, у данной прогрессии:

   + 42 + 72 + 102 + 132 =335  (Исходная сумма)

                                              + 42 + 72 + 102

                                                 + 42 + 72

                                                     +  42

В данной прогрессии разность d= – =3, также можно заметить, что в арифметической прогрессии 15+  33+  51+   69 шаг прогрессии равен 18, т.е. 2*d2

   + 52 + 92 + 132 + 172 =565  (Исходная сумма)

                                              + 52 + 92 + 132

                                                 + 52 + 92

                                                     +  52

13

В данной прогрессии разность d= – =4, также можно заметить, что в арифметической прогрессии 24+  56+  88+   120  шаг прогрессии равен 32, т.е. 2*d2       

   + 62 + 112 + 162 + 212 =855  (Исходная сумма)

                                              + 62 + 112 + 162

                                                 + 62 + 112

                                                     +  62

В данной прогрессии разность d= – =5, также можно заметить, что в арифметической прогрессии  35+  85+  135+   185  шаг прогрессии равен 32, т.е. 2*d2       

   + 72 + 122 + 172 + 222 =855  (Исходная сумма)

                                              + 72 + 122 + 172

                                                 + 72 + 122

                                                     +  72

В данной прогрессии так же, как и в предыдущей, разность d= – =5, также можно заметить, что в арифметической прогрессии  45+  95+  145+   195  шаг прогрессии равен 32, т.е. 2*d2

Итак, в данных примерах можно заметить, что шаг арифметической прогрессии равен 2*d2

Утверждение 2: В арифметической прогрессии первого порядка,  полученной с помощью последовательности разностей двух рядом стоящих членов прогрессии вида: b1+ (+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+. . . . . . . . . . +(+(n-1)*d)2, шаг прогрессии будет равен 2*d2.                                                                                                     14

Данное утверждение, я так же докажу позже, с помощью математической индукции, а пока будем считать, что данное утверждение верно!

Теперь рассмотрим «Пирамиду» для первого члена =b1, разности d= –   и количеством членов n. Тогда в арифметической прогрессии первого порядка,  первый член будет равен = b2 – b1 = (+d)2 – b1= 2*d* + d2. Получим «Пирамиду»:

               + (+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+. . . . . . . .  . . . . . .+(+(n-1)*d)2

           

                            + (+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+. . . . . . . . . . . . . . . . . . .+(+(n-1)*d)2

                                   +(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+ . . . +(+n-3)2

         

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 +(+d)2 

15

Тогда, если считать, что утверждение 2 верно, и используя уже доказанное утверждение 1 , то данную сумму: Sn=b1+(+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+(+5*d)2+. . . . . .+(+(n-1)*d)2

Можно представить как: Sn= b1*n + [(d*(2+d*n) – d2)*(n-1) + (d*(2+d*n) – 2*d2)*(n-2) + d*(2+d*n) – 3*d2)*(n-3) + . . . . . . . .] =

= b1*n+ [d*(2+d*n)*n+ d*(2+d*n)*n+ d*(2+d*n)*n+ . . . .] – d*(2+d*n)*[1  + 2 + 3 +  4 + 5 + . . . . . . . ] –

-d2*n*[1+2+3+4+5+ . . . . . .] + d2*[1+4+9+16+25+ . . . . . . .]

Сумму 1+2+3+4+5+  . . . . . . .= подсчитываю, как

арифметическую прогрессию. Сумму 1+4+9+16+25+ . . . . . . . можно подсчитать,

благодаря уже доказанной формуле (Sn) для частного случая: 1+4+9+16+25+. . . =1*(n-1) +  + (2 + 6 + 12 + 20+. . . . . .) =

= + (2 + 6 + 12 + 20+. . . . . .)

Тогда получим, что Sn=b1*n+  – ++d2*(2+6+12+ 20+. . .)

= b1*n+  – +d2*(2+6+12+ 20+. . .) = b1*n+  + d2*(2+6+12+ 20+. . .)

Таким образом, я получил формулу Sn= b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 + (+5*d)2 + . . . . . . . + (+(n-1)*d)2  = b1*n+  + d2*(2+6+12+

20+.  . . . . . . . .)

Данная формула, возможно является неверной для некоторого значения b1, n, или d, так как утверждение 2 ещё не доказано!

Доказать утверждение можно, если доказать что для любого n формула Sn является верной. Докажем справедливость данной формулы с помощью математической индукции.

Сделаем такое преобразование над формулой Sn:

16

b1*n+  + d2*(2+6+12+20+.  . . . . . . . .)= b1*n+  + d2*(2+6+12+

20+.  . . . . . . . .) – n*(n-1)

1. Проверим базу (для n=1): b1=b1 (База выполняется верно!)
2. Шаг. Пусть для k членов данное тождество является верным, тогда:

b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 + (+5*d)2 + . . . . . . . + (+(k-1)*d)2  = b1*k+  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .)

Проверим, является ли наша формула верной для n=k+1: b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 + (+5*d)2 + . . . . . . . + (+(k-1)*d)2+ (+k*d)2 =

= b1*k+  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) + (+k*d)2= b1*(k+1)  +

 + d*k*(2 + k*d) + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = b1*(k+1)  +

  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = b1*(k+1)  +  +

+ d2*k*(k-1) + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = b1*(k+1)  +  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .)

Таким образом, для n=k+1 мы получили верное равенство: b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 +. . . . . + (+(k-1)*d)2+ (+k*d)2 = b1*(k+1) +  

+ d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) . А значит, данное тождество верно при любых значениях n

и b1 ч.т.д.

17

Задача 3. Найти разность между десятым и девятым членом прогрессии вида: 72 , (7+d)2, (7+ 2*d)2, (7+3*d)2, . . . . . . . . . (7+(n-1)*d)2, если при n=40 сумма данной прогрессии равна 570060?

Решение:

Запишем формулу для суммы квадратов данной прогрессии Sn = b1*n+  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .). Подставляем значения b1 и n в формулу, получим:

Sn =1960 + 780*d*(14+d) + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = 570060

т.к. 38 число – чётное, то (2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = 38*40 + 8*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .)

т.к. 18 – чётно, то (2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = 18*20 +  8*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .)

т.к. 8 – чётно, то (2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = 8*10 + 8*20 = 240

(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = 360 + 1920 = 2280; (2+6+12+ 20+.  . . . . . .)=1520+18240 = 19760

Тогда получим, что 20540d2+10920d – 568100= 0 ⇔ d = 5 или d= –  (не подходит условию, что d>0)

Значит b10 – b9=(7+9*5)2  – (7+8*5)2 = 2704 – 2209 = 495

Ответ: 495.

18

Заключение: Итак, я доказал справедливость формул:  b1+(+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+(+5*d)2+. . . . . . . . . . . . . . . +(+(n-1)*d)2=

b1*n+ + (2 +6 +12 +20 +. . .). А также, формулу для суммы другой

арифметической прогрессии второго порядка  (2 +6 +12 +20 +. . .). При k- чётном, я

получил формулу суммы Sk= k*(k+2) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . ), при k – нечётном,

другая формула суммы  Sk=(4k2 – 7*k + 5) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . .  . .)

Благодаря этим формулам, я показал, как гораздо быстрее найти сумму квадратов последовательных, натуральных n членов; как быстро найти сумму другой арифметической прогрессии второго порядка (2 +6 +12 +20 +. . .).  Привёл довольно интересные  и занимательные задачи, связанные с этими прогрессиями.

19

Список литературы:

1. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.
2. http://ru.wikipedia.org (Википедия)
3. http://dic.academic.ru (Академик)
4. http://ru.math.wikia.com (wikia)

20

Видимо наиболее наглядный способ вычислить сумму (1+2+ldots+n) — геометрический: об этой сумме можно думать как о треугольном числе, то есть площади «пиксельного» (составленного из единичных квадратиков) равнобедренного прямоугольного «треугольника» со стороной (n). Из двух таких треугольников легко составить прямоугольник размера (ntimes(n+1)), откуда и получается ответ (n(n+1)/2) (половина площади прямоугольника).

Подобным образом можно вычислить и сумму (1^2+2^2+ldots+n^2): ее можно проинтерпретировать как объем пирамиды из кубиков (нижний слой которой состоит из (n^2) кубиков, следующий — из ((n-1)^2) кубиков и т. д.), после чего сложить из шести таких пирамид параллелепипед (ntimes(n+1)times(2n+1)). Как это сделать, можно посмотреть на сайте «Математические этюды».

Есть геометрические доказательства и у позволяющего вычислить сумму кубов замечательного равенства (1^3+2^3+ldots+n^3=(1+2+ldots+n)^2). Одно из них можно посмотреть на youtube-канале Think Twice, см. также подборку «доказательств без слов» в «Кванте» №11 за 2017 год.

Заметим, однако, что формула для суммы четвертых степеней не раскладывается (в отличие от предыдущих) на простые линейные множители. Видимо из-за этого ее не получается найти методами геометрического суммирования и открыта она была примерно на 1000 лет позже, чем формула для суммы кубов (известная уже в античности).

Чтобы продвинуться дальше, полезно задуматься, что мы вообще надеемся увидеть в качестве ответа. Не любое алгебраическое выражение можно разложить на достаточно простые множители, но всегда можно, наоборот, раскрыть все скобки и привести подобные. В изученных нами случаях получаются следующие многочлены от (n):

[begin{eqnarray}1^{phantom1}+2^{phantom1}+ldots+n^{phantom1}&=&frac12n^2+frac12n;\ 1^2+2^2+ldots+n^2&=&frac13n^3+frac12n^2+frac16n;\ 1^3+2^3+ldots+n^3&=&frac14n^4+frac12n^3+frac14n^2;\ 1^4+2^4+ldots+n^4&=&frac15n^5+frac12n^4+frac13n^3-frac1{30}n.\ end{eqnarray}]

Практически сразу возникает гипотеза, что вообще для любого (k) сумма (1^k+2^k+ldots+n^k) равна многочлену от (n), который начинается с (frac1{k+1}n^{k+1}) (в этом выражении изучавшие математический анализ сразу узнают первообразную того, что мы суммируем), дальше идет (frac12n^k) и члены еще меньших степеней.

С алгебраической точки зрения это очень естественный переход — но самого языка алгебры, «выражений с буквами» и преобразования таких выражений, не существовало до работ Франсуа Виета (конца XVI века)! А до появления такого языка описанную выше гипотезу практически невозможно не то что доказать — сформулировать.

В первой половине XVII века Иоганн Фаульхабер смог найти формулы для сумм (1^k+2^k+ldots+n^k) до (k=17) (интересную попытку реконструкции рассуждений Фаульхабера опубликовал Дональд Кнут). Вот несколько из таких формул:

[begin{eqnarray} S_2(n)&=&frac13n^3+frac12n^2+frac16n;\ S_3(n)&=&frac14n^4+frac12n^3+frac14n^2;\ S_4(n)&=&frac15n^5+frac12n^4+frac13n^3&-&frac1{30}n;\ S_5(n)&=&frac16n^6+frac12n^5+frac5{12}n^4&-&frac1{12}n^2;\ S_6(n)&=&frac17n^7+frac12n^6+frac12n^5&-&frac16n^3&+&frac1{42}n;\ S_7(n)&=&frac18n^8+frac12n^7+frac7{12}n^6&-&frac7{24}n^4&+&frac1{12}n^2. end{eqnarray} ]

Коэффициенты при (n^{k+1}) и при (n^{k}) обсуждались выше. Подумав некоторое время вы наверняка угадаете формулу для коэффициентов при (n^{k-1}) и (n^{k-2}), а быть может, — и для коэффициента при (n^{k-3})…

Возникает надежда на общую (работающую для произвольного (k)) формулу для (S_k(n)). И такую формулу нашел в конце XVII века Якоб Бернулли. В нее входит последовательность так называемых чисел Бернулли ((B^0=1), (B^1=1/2), (B^2=1/6), …), а саму формулу можно записать символически очень коротко:

[S_k(n)=frac{(n+B)^{k+1}-B^{k+1}}{k+1}.]

Понимать эту запись следует следующим образом. Нужно раскрыть формально в выражении ((n+B)^{k+1}) скобки, после чего начать воспринимать (B^m) не как степень переменной (B), а как (m)-е число Бернулли. Например:

[begin{eqnarray} S_2(n)&=&frac{(n+B)^3-B^3}3=\ &=&frac{n^3+3B^1n^2+3B^2n}3= frac13left(n^3+frac32n^2+frac36nright). end{eqnarray} ]

Если поверить в эту (крайне странную, на первый взгляд) процедуру, то будет ясно и как вычислять числа Бернулли: при подстановке (n=1) получается равенство (1=frac{(1+B)^{k+1}-B^{k+1}}{k+1}), позволяющее найти (B^k), если числа Бернулли с меньшими номерами уже известны. В таблице ниже приведены несколько первых чисел Бернулли.

Замечательным образом те же самые числа Бернулли возникают и в квадратурных формулах для вычисления приближенных значений интегралов, и при вычислении бесконечных сумм типа (1+frac14+frac19+frac1{16}+ldots=frac{pi^2}6) (то есть значений знаменитой дзета-функции), и в комбинаторике, и в теории чисел, и в топологии…

Литература по теме:

1) Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (М.: Наука, 1975). — Мало где можно прочитать не о конкретной области математики, а о том, как вообще решать новую для себя математическую задачу. Подсказки и решение выше по существу следуют главе 7 этой замечательной книги.

2) Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант, 1989, № 1, стр. 3–12. — В приведенном выше решении сделана попытка объяснить, как некоторые формулы для сумм степеней мог бы искать любой человек. Интересующимся математикой может быть интересно прочитать, как такую задачу решал в школьные годы один из выдающихся математиков XX века (собственно про это — небольшой фрагмент на стр. 8–9, но все интервью интересное).

3) В. С. Абрамович. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел // Квант, 1973, № 5, стр. 22–25. — Можно прочитать доказательство формулы для суммы степеней (из конца послесловия), использующее, по сути, только бином Ньютона.

4) Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел // Математическое просвещение, сер. 3, вып. 21 (2017), стр. 104–118. — Подробная статья о разных взглядах на задачу о суммировании степеней.

5) Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика (М.: Мир, 1998). — В учебнике, написанном по лекциям знаменитого Дональда Кнута, обсуждается и задача о суммировании степеней, и числа Бернулли.