Как найти сумму квадратов всех отклонений - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Такие понятия, как среднее значение и отклонение, относятся к статистике, что тесто, томатный соус и сыр моцарелла относятся к пицце: в принципе, это просто, но при таком разнообразии взаимосвязанных применений легко потерять базовую терминологию и порядок, в котором вы должны выполнить определенные операции.

Вычисление суммы квадратов отклонений от среднего значения выборки является шагом на пути к вычислению двух важных описательных статистических данных: дисперсии и стандартного отклонения.

Шаг 1: Рассчитать среднее значение образца

Чтобы рассчитать среднее значение (часто называемое средним), сложите отдельные значения вашей выборки и разделите на n общее количество элементов в вашей выборке. Например, если ваша выборка включает в себя пять оценок викторины, а отдельные значения – 63, 89, 78, 95 и 90, сумма этих пяти значений – 415, и поэтому среднее значение составляет 415 ÷ 5 = 83.

Шаг 2: вычесть среднее из отдельных значений

В настоящем примере среднее значение составляет 83, поэтому это упражнение на вычитание дает значения (63-83) = -20, (89-83) = 6, (78-83) = -5, (95-83) = 12 и (90-83) = 7. Эти значения называются отклонениями, поскольку они описывают степень отклонения каждого значения от среднего значения по выборке.

Шаг 3: возведите в квадрат индивидуальные вариации

В этом случае квадрат -20 дает 400, квадрат 6 дает 36, квадрат -5 дает 25, квадрат 12 дает 144, а квадрат 7 дает 49. Эти значения, как и следовало ожидать, представляют собой квадраты отклонений, определенных в предыдущем шаг.

Шаг 4: Добавьте квадраты отклонений

Чтобы получить сумму квадратов отклонений от среднего значения и тем самым завершить упражнение, добавьте значения, рассчитанные вами на шаге 3. В этом примере это значение равно 400 + 36 + 25 + 144 + 49 = 654. Сумма из квадратов отклонений часто сокращается SSD на языке статистики.

Бонус Раунд

Это упражнение выполняет основную часть работы по вычислению дисперсии выборки, которая представляет собой SSD, деленную на n-1, и стандартное отклонение выборки, которое является квадратным корнем из дисперсии.

Источник

Сумма квадратов отклонений

(7.10)

в соответствие с
принципом наименьших квадратов для
заданного вида приближающей функции
должна быть наименьшей.

Из
двух разных приближений одной и той же
табличной функции лучшим считается то,
для которого (7.10) имеет наименьшее
значение.

7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена

Ищем приближающую
функцию в виде:

.
(7.11)

Находим частные
производные

.
(7.12)

Составляем систему
вида (7.8)

(Здесь
и далее сумма ведется по переменной
.)

Далее имеем

(7.13)

Разделив
каждое уравнение (7.13) на n,
получаем

Введем обозначения

Тогда последняя
система будет иметь вид

или в матричной
форме

Откуда

.
(7.14)

Вычислив
значения параметров a,
b
в соответствие с (7.14), получаем конкретные
значения и, следовательно, конкретный
вид линейной функции (7.11).

В случае нахождения
приближающей функции в форме квадратного
трехчлена имеем:

.
(7.15)

Находим частные
производные:

Составляем систему
вида (7.8)

Далее имеем

Разделив
каждое уравнение на n
и перенеся члены, не содержащие неизвестные
параметры в правую часть получаем:

,
(7.16)

Решив
систему (7.16) относительно неизвестных
a,
b,
c,
находим значения параметров приближающей
функции.

Рис. 7.2

Для
нахождения решения задачи о нахождении
линейного и квадратичного трехчленов
в пакете MATLAB
необходимо выполнить следующую
последовательность команд:

% задание исходных
данных

>> N=10;

>> i=1:N;

>> Xmin=0;

>> Xmax=10;

>>
x(i)=Xmin+(Xmax-Xmin)/(N-1)*(i-1);

>>
y(i)=0.2*x(i);
% точные
значения функции

% задание шума с
равномерным законом распределения на

%
отрезке
[b,a]

>> a=0.2

>> b=-0.1;

>>
Yrnd=b+(a-b)*rand(N,1);

>>
y1=y+Yrnd‘;
% создание зашумленных данных

>>
plot(x,y,x,y1,’o‘);
% визуализация точной и зашумленной

%
последовательностей (рис. 7.2)

%
вычисление элементов матрицы M
в (7.14)

>> tmp=x(i).^2;

>>
M(1,1)=1/N*sum(tmp);

>>
M(1,2)=1/N*sum(x);

>>
M(2,1)=M(1,2);

>>
M(2,2)=1;

%
вычисление элементов вектора d

>>
d(1,1)=1/N*dot(x,y1);

>>
d(2,1)=1/N*sum(y1);

% решение системы
линейных уравнений (7.14)

>>
Coeff=A^-1*d;

Coeff
=

0.1941

0.0993

>>
F=inline(‘a*x+b‘,’a‘,’b‘,’x‘);
% задание аппроксимирующей

%
функции

>>
tmp1(i)=feval(F,Coeff(1,1),Coeff(2,1),x(i)); %
вычисление

%
значений

% аппроксимирующей

% функции

% вычисление суммы
квадратов отклонений

% при линейной
аппроксимации

>>
tmp=tmp1-y1;

>>
dot(tmp,tmp)

ans =

0.0685

% аппроксимация
исходных данных полиномом второй степени

% задание матрицы
системы линейных уравнений в (7.16)

>>
A(1,1)=1/N*sum(x.^4);

>>
A(1,2)=1/N*sum(x.^3);

>>
A(1,3)=1/N*sum(x.^2);

>> A(2,1)=A(1,2);

>> A(2,2)=A(1,3);

>> A(2,3)=1/N*sum(x);

>> A(3,1)=A(2,2);

>> A(3,2)=A(2,3);

>>
A(3,3)=1;

% задание вектора
столбца свободных членов

>>
d(1,1)=1/N*dot(x.^2,y1);

>>
d(2,1)=1/N*dot(x,y1);

>>
d(3,1)=1/N*sum(y1);

% решение системы
линейных уравнений (7.16)

>> Coeff=A^-1*d

Coeff =

0.0004

0.1904

0.1049

>>
F=inline(‘a*x.^2+b*x+c’,’a’,’b’,’c’,’x’);
% задание

%
аппроксимирующей

% функции

% вычисление суммы
квадратов отклонений при квадратичной

% интерполяции

>>
tmp2(i)=feval(F,Coeff(1,1),Coeff(2,1),Coeff(3,1),x(i));

>> tmp=tmp2-y1;

dot(tmp,tmp)

ans =

0.0687

Можно
найти решение рассмотренной выше задачи
регрессии в пакете MATLAB
можно другим способом. Для следует
использовать тот факт, что коэффициенты
искомой функции, минимизирующей сумму
квадратов отклонений, являются решением
переопределенной системы уравнений.
Для случая интерполяции полиномом
второй степени данных, приведенных
выше, система уравнений имеет вид:

Решение
данной системы уравнений, удовлетворяющее
методу наименьших квадратов, находится
с помощью оператора :

Coeff
= Ay1,

где

Рис. 7.2

Таким образом,
альтернативный подход к нахождению
коэффициентов аппроксимирующего
полинома реализуются выполнением
следующей последовательности команд:

>> B=[ones(size(x’))
x’ x’.^2]

B =

1.0000 0
0

1.0000 1.1111
1.2346

1.0000 2.2222
4.9383

1.0000 3.3333
11.1111

1.0000 4.4444
19.7531

1.0000 5.5556
30.8642

1.0000 6.6667
44.4444

1.0000 7.7778
60.4938

1.0000 8.8889
79.0123

1.0000 10.0000
100.0000

>> Coeff=By1

ans =

0.1049

0.1904

0.0004

Для
решения системы линейных уравнений
метода наименьших квадратов при
использовании аппроксимации линейной
комбинацией известных функций в пакете
MATLAB
можно использовать метод, описанный в
предыдущем разделе. Ниже представлена
последовательность команд, позволяющая
найти коэффициенты аппроксимирующей
функции вида
.

% Задание исходных
данных

>>
vx=[0;0.2;0.4;0.6;0.8;1]

vx =

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

>>
vy=[0.43;0.22;0.8;0.12;1;2]

vy =

0.4300

0.2200

0.8000

0.1200

1.0000

2.0000

% задание матрицы
переопределенной системы уравнений

>> D=[vx.^2 vx
1./(vx+1)]

>> D

D =

0 0
1.0000

0.0400 0.2000
0.8333

0.1600 0.4000
0.7143

0.3600 0.6000
0.6250

0.6400 0.8000
0.5556

1.0000 1.0000
0.5000

>> Coeff=Dvy

Coeff
=

3.0521

-1.4391

0.5126

% визуализация
исходных данных и аппроксимирующей
функции

>> i=1:length(vx);

>> j=1:length(X);

>>
X=vx(1):0.01:vx(6);

>>
Y=[ones(size(X’)) X’ X’.^2]*Coeff; %
вычисление
значений

%
аппроксимирующей

%
функции

>>
plot(vx(i),vy(i),’o’,X(j),Y(j)) %
(рис.
7.3)

Рис. 7.3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Download Article

The sum of squared errors, or SSE, is a preliminary statistical calculation that leads to other data values. When you have a set of data values, it is useful to be able to find how closely related those values are. You need to get your data organized in a table, and then perform some fairly simple calculations. Once you find the SSE for a data set, you can then go on to find the variance and standard deviation.

1

Create a three column table. The clearest way to calculate the sum of squared errors is begin with a three column table. Label the three columns as , , and ${text{Deviation}}^{2}$ .^[1]
2
Fill in the data. The first column will hold the values of your measurements. Fill in the column with the values of your measurements. These may be the results of some experiment, a statistical study, or just data provided for a math problem.^[2]
- In this case, suppose you are working with some medical data and you have a list of the body temperatures of ten patients. The normal body temperature expected is 98.6 degrees. The temperatures of ten patients are measured and give the values 99.0, 98.6, 98.5, 101.1, 98.3, 98.6, 97.9, 98.4, 99.2, and 99.1. Write these values in the first column.
Advertisement
3

Calculate the mean. Before you can calculate the error for each measurement, you must calculate the mean of the full data set.^[3]
4

Calculate the individual error measurements. In the second column of your table, you need to fill in the error measurements for each data value. The error is the difference between the measurement and the mean.^[4]
5

Calculate the squares of the errors. In the third column of the table, find the square of each of the resulting values in the middle column. These represent the squares of the deviation from the mean for each measured value of data.^[5]
6
Add the squares of errors together. The final step is to find the sum of the values in the third column. The desired result is the SSE, or the sum of squared errors.^[6]
- For this data set, the SSE is calculated by adding together the ten values in the third column:

1
Label the columns of the spreadsheet. You will create a three column table in Excel, with the same three headings as above.
- In cell A1, type in the heading “Value.”
- In cell B1, enter the heading “Deviation.”
- In cell C1, enter the heading “Deviation squared.”
2

Enter your data. In the first column, you need to type in the values of your measurements. If the set is small, you can simply type them in by hand. If you have a large data set, you may need to copy and paste the data into the column.
3
Find the mean of the data points. Excel has a function that will calculate the mean for you. In some vacant cell underneath your data table (it really doesn’t matter what cell you choose), enter the following:^[7]
- =Average(A2:___)
- Do not actually type a blank space. Fill in that blank with the cell name of your last data point. For example, if you have 100 points of data, you will use the function:
  - =Average(A2:A101)
  - This function includes data from A2 through A101 because the top row contains the headings of the columns.
- When you press Enter or when you click away to any other cell on the table, the mean of your data values will automatically fill the cell that you just programmed.
4
Enter the function for the error measurements. In the first empty cell in the “Deviation” column, you need to enter a function to calculate the difference between each data point and the mean. To do this, you need to use the cell name where the mean resides. Let’s assume for now that you used cell A104.^[8]
- The function for the error calculation, which you enter into cell B2, will be:
  - =A2-$A$104. The dollar signs are necessary to make sure that you lock in cell A104 for each calculation.
5
Enter the function for the error squares. In the third column, you can direct Excel to calculate the square that you need.^[9]
- In cell C2, enter the function
  - =B2^2
6
Copy the functions to fill the entire table. After you have entered the functions in the top cell of each column, B2 and C2 respectively, you need to fill in the full table. You could retype the function in every line of the table, but this would take far too long. Use your mouse, highlight cells B2 and C2 together, and without letting go of the mouse button, drag down to the bottom cell of each column.
- If we are assuming that you have 100 data points in your table, you will drag your mouse down to cells B101 and C101.
- When you then release the mouse button, the formulas will be copied into all the cells of the table. The table should be automatically populated with the calculated values.
7
Find the SSE. Column C of your table contains all the square-error values. The final step is to have Excel calculate the sum of these values.^[10]
- In a cell below the table, probably C102 for this example, enter the function:
  - =Sum(C2:C101)
- When you click Enter or click away into any other cell of the table, you should have the SSE value for your data.

1

Calculate variance from SSE. Finding the SSE for a data set is generally a building block to finding other, more useful, values. The first of these is variance. The variance is a measurement that indicates how much the measured data varies from the mean. It is actually the average of the squared differences from the mean.^[11]
2

Calculate standard deviation from SSE. The standard deviation is a commonly used value that indicates how much the values of any data set deviate from the mean. The standard deviation is the square root of the variance. Recall that the variance is the average of the square error measurements.^[12]
3
Use SSE to measure covariance. This article has focused on data sets that measure only a single value at a time. However, in many studies, you may be comparing two separate values. You would want to know how those two values relate to each other, not only to the mean of the data set. This value is the covariance.^[13]
- The calculations for covariance are too involved to detail here, other than to note that you will use the SSE for each data type and then compare them. For a more detailed description of covariance and the calculations involved, see Calculate Covariance.
- As an example of the use of covariance, you might want to compare the ages of the patients in a medical study to the effectiveness of a drug in lowering fever temperatures. Then you would have one data set of ages and a second data set of temperatures. You would find the SSE for each data set, and then from there find the variance, standard deviations and covariance.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate the sum of squares for error, start by finding the mean of the data set by adding all of the values together and dividing by the total number of values. Then, subtract the mean from each value to find the deviation for each value. Next, square the deviation for each value. Finally, add all of the squared deviations together to get the sum of squares for error. To learn how to calculate the sum of squares for error using Microsoft Excel, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 504,636 times.

Did this article help you?

Источник

Что такое сумма квадратов?

Сумма квадратов (СС) в статистике относится к методу измерения отклонения набора данных от его среднего значения. Другими словами, его выходные данные указывают на интенсивность отклонения наблюдений или измерений от его среднего значения.

В статистике метод SS применяется для оценки соответствия модели. Если значение SS равно нулю, модель идеально подходит. Чем меньше значение SS, тем меньше вариация и тем лучше модель соответствует данным. Чем больше значение SS, тем больше вариация и тем хуже модель соответствует вашим данным.

Оглавление

Что такое сумма квадратов?
- Объяснение суммы квадратов
- Формула
- Пример расчета
- Часто задаваемые вопросы (FAQ)
- Рекомендуемые статьи

Сумма квадратов (SS) — это статистический метод, используемый для измерения отклонения набора данных от его среднего значения.
Его вычисление включает в себя вычисление среднего значения наблюдений, нахождение разницы между каждым наблюдением и средним значением, вычисление квадрата каждой разницы и суммы всех полученных квадратов.
Более высокое значение SS означает более высокую изменчивость данных по сравнению со средним значением; аналогично низкое значение SS указывает на то, что данные не далеко от среднего значения. Если значение SS равно нулю, модель идеально подходит.
Он широко используется в различных областях, таких как бизнес, финансы и инвестиции.

Объяснение суммы квадратов

Метод суммы квадратов (SS) раскрывает общую дисперсию наблюдений или значений зависимой переменной в выборке от среднего значения выборки. Концепция дисперсии важна в статистических методах, анализе и моделировании, особенно в регрессионном анализе. Этот метод широко используется статистиками, учеными, бизнес-аналитиками, финансистами, трейдерами и т. д. Например, трейдеры могут использовать этот метод для оценки движения цены акций вокруг средней цены.

SS включает в себя вычисление среднего значения, вариаций и суммы квадратов вариаций. Всякий раз, когда набор данных берется для изучения, его среднее или среднее значение является обычно вычисляемым элементом, который дополнительно помогает в определении других значений, связанных с данными. Например, среднее значение важно для расчета SS, а усреднение SS дает дисперсию, а стандартное отклонение можно получить, вычислив квадратный корень из дисперсии. Все эти значения полезны для понимания того, насколько динамичен набор данных или насколько он далек или близок к среднему значению.

Во многих статистических моделях необходимо знать изменчивость, чтобы оценить колебания между зарегистрированными частотами или значениями и прогнозируемыми значениями. Кроме того, изменчивость дает аналитику представление о том, насколько данные могут измениться в любом направлении от своего среднего значения. Следовательно, дальнейшие решения принимаются на основе этого.

Существуют разные типы СС. Некоторые из важных типов следующие:

Общая сумма квадратов: TSS объясняет разницу между наблюдениями или значениями зависимой переменной и их средним значением.
Сумма квадратов регрессии: Это объясняет, насколько хорошо регрессионная модель представляет данные. Более высокое значение указывает на то, что модель плохо соответствует данным, и наоборот.
Остаточная сумма квадратов: Он измеряет уровень вариации ошибок моделирования, которые модель не может объяснить. Как правило, более низкое значение указывает на то, что модель регрессии может лучше соответствовать и объяснять данные, и наоборот.

Формула

Формула суммы квадратов в статистике выглядит следующим образом:

В приведенной выше формуле

n = количество наблюдений
yi= i-е значение в выборке
ȳ = среднее значение образца

Он включает в себя вычисление среднего значения наблюдений в выборке, затем нахождение разницы между каждым наблюдением от среднего значения и возведение разницы в квадрат. Затем подсчитывается сумма квадратов.

Другие основные формулы включают:

В алгебре СС двух значений: a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
СС из n натуральных чисел: 12 + 22 + 32 ……. п2 = [n(n + 1)(2n + 1)] / 6

Пример расчета

Биржевые трейдеры и финансовые аналитики часто используют метод SS для изучения изменчивости цен на акции. Чтобы понять пример с суммой квадратов, предположим, что есть акция с ценой закрытия за последние девять дней: 40,50, 41,40, 42,30, 43,20, 41,40, 45,45, 43,20, 40,41, 45,54.

Шаг 1: Рассчитать среднее значение

Среднее значение цен акций = сумма цен акций / общее количество цен акций.

= (40,50 долл. США + 41,40 долл. США + 42,30 долл. США + 43,20 долл. США + 41,40 долл. США + 45,45 долл. США + 43,20 долл. США + 40,41 долл. США + 45,54 долл. США)/9

= 42,6

Шаг 2: Рассчитать отклонение от среднего

40,50 – 42,6 = -2,1

41,40 – 42,6 = -1,2

42,30 – 42,6 = -0,3

43,20 – 42,6 = 0,6

41,40 – 42,6 = -1,2

45,45 – 42,6 = 2,85

43,20 – 42,6 = 0,6

40,41 – 42,6 = -2,19

45,54 – 42,6 = 2,94

Шаг 3: Возведите в квадрат все разности, полученные на шаге 2.

(-2,1)2 = 4,41

(-1,2)2 = 1,44

(-0,3)2 = 0,09

(0,6)2 = 0,36

(-1,2)2 = 1,44

(2,85)2 = 8,12

(0,6)2 = 0,36

(-2,19)2 = 4,79

(2,94)2 = 8,64

Шаг 4: Добавьте квадраты

4,41 + 1,44 + 0,09 + 0,36 + 1,44 + 8,12 + 0,36 + 4,79 + 8,64 = 29,66

Сумма квадратов = 29,66

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Чему равна остаточная сумма квадратов?

RSS – это сумма квадратов остатков. Остатки указывают на разницу между фактическим или измеренным значением и прогнозируемым значением. Он используется для оценки уровня дисперсии остатков регрессионной модели и проверки соответствия модели данным. Он также известен как сумма квадратов невязок (SSR) или сумма квадратов оценок ошибок (SSE).

Какова общая сумма квадратов?

TSS или SST — это сумма квадратов разностей между наблюдениями и средним значением наблюдений.

Как посчитать сумму квадратов?

Этапы расчета следующие:
– Определить количество измерений или наблюдений
— Рассчитать среднее
– Найдите разницу между каждым измерением или наблюдением и средним значением
— Вычислить квадрат каждой разности
— Найдите сумму всех полученных квадратов

Ответы на вопрос

Ответил mrg2375

Ответ:0

Пошаговое объяснение:

Сначала находим среднее арифметическое, затем вычитаем его из всех чисел числового ряда, и в итоге складываем результат.

Приложения:

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Українська література,
8 месяцев назад

Хто любить піч, тому ворог Січ. Написати риса вдачі…

Литература,
8 месяцев назад

мерзлый пар, стеклянная волна – какое средство выразительности…

Химия,
5 лет назад

Приведён ряд веществ: H2SO4, NH3, NaCl, H2S, HNO3, H3PO4, Al2O3. Укажи кислоту, которая относится к двухосновным кислородсодержащим.
В ответе напиши название кислоты по международной номенклатуре.

История,
5 лет назад

тема ранние этапы развития древнейшего человека Расскажите о первых художниках…

Физика,
6 лет назад

Температура твёрдого тела понизилась на 10 градусов по Цельсию . По абсолютной шкале температур это изменение составило …
1)283К
2)263К
3)10К
4)0К
Помогите , пожалуйста…

Обществознание,
6 лет назад

Пожалуйста помогите с сочинением по теме “Отношение к моему классу”, очень надо.

Источник

Шаг 1: Рассчитать среднее значение образца

Шаг 2: вычесть среднее из отдельных значений

Шаг 3: возведите в квадрат индивидуальные вариации

Шаг 4: Добавьте квадраты отклонений

Бонус Раунд

Сумма квадратов отклонений

7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена

References

About This Article

Did this article help you?

Что такое сумма квадратов?

Объяснение суммы квадратов

Формула

Пример расчета

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Рекомендуемые статьи

Ответы на вопрос

Вам также может понравиться

Как найти бота в контакте

Как найти автобус в гта онлайн

Как найти квартиру посуточно в ярославле

Добавить комментарий Отменить ответ