Как найти сумму квадратов всех сторон параллелограмма - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Пусть ABCD — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 283. Если AD = BC = a, а точка В имеет координаты (b; с), то точка D имеет координаты (а; 0), а точка С — координаты (а + b; с). Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:

АВ² = b² + с², AD² = а², АС2 = (а + b)² + с², BD² = (а – b)² + с². Отсюда получаем:
АВ2 + ВС² + CD² + DA² = 2 (АВ² + AD²) = 2 (а² + b² + с²),
АС² + BD² = (а + b)² + с² + (а – b)² + с² = 2 (а² + b² + с²).
Таким образом,
АВ² + ВС² + CD² + DA² = АС² +BD², что и требовалось доказать.

Источник

Теорема. (Свойства диагоналей параллелограмма).

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

$[A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + A{D^2}]$

Так как противолежащие стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=BC, то сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

$[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})]$

Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC и BD — диагонали.

Доказать:

$[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})]$

Доказательство:

I споссоб.

1) Опустим перпендикуляры BK и CF на прямую, содержащую сторону AD.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDK.

По теореме Пифагора

$[B{D^2} = B{K^2} + K{D^2}.]$

3) Аналогично, из прямоугольного треугольника ACF

$[{A{C^2} = C{F^2} + A{F^2}}]$

4) Сложим почленно полученные равенства:

$[begin{array}{l} B{D^2} = B{K^2} + K{D^2}\ underline {A{C^2} = C{F^2} + A{F^2}} \ A{C^2} + B{D^2} = B{K^2} + C{F^2} + K{D^2} + A{F^2} end{array}]$

BK=CF (как высоты параллелограмма, проведенные к одной стороне), поэтому

$[A{C^2} + B{D^2} = 2B{K^2} + K{D^2} + A{F^2}]$

5) Из прямоугольного треугольника ABK по теореме Пифагора

$[B{K^2} = A{B^2} - A{K^2}.]$

6) KD=AD-AK, AF=AD+FD, поэтому

$[A{C^2} + B{D^2} = ]$

$[ = 2(A{B^2} - A{K^2}) + {(AD - AK)^2} + {(AD + FD)^2}]$

7) BK=CF, AB=CD. Значит, прямоугольные треугольники ABK и DCF равны (по катету и гипотенузе).

Следовательно, их соответствующие стороны равны: AK=DF. Отсюда,

$[A{C^2} + B{D^2} = ]$

$[ = 2(A{B^2} - A{K^2}) + {(AD - AK)^2} + {(AD + AK)^2}]$

Раскрываем скобки:

$[A{C^2} + B{D^2} = 2A{B^2}underline { - 2A{K^2}} + ]$

$[ + A{D^2}underline{underline { - 2 cdot AD cdot AK}} + underline {A{K^2}} + ]$

$[ + A{D^2}underline{underline { + 2 cdot AD cdot AK}} + underline {A{K^2}} ]$

Упрощаем

$[A{C^2} + B{D^2} = 2A{B^2} + 2A{D^2}]$

$[A{C^2} + B{D^2} = 2{(A{B^2} + AD^2}).]$

Что и требовалось доказать.

II способ.

Свойство диагоналей параллелограмма можно рассматривать как следствие из теоремы косинусов.

Этот способ доказательства будет рассмотрен в следующий раз.

Источник

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ параллелограмма делит параллелограмм на два равных треугольника.
Точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма.
Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Биссектрисы параллелограмма, проведенные из противоположных углов, параллельны.
Биссектрисы параллелограмма, проведенные из соседних углов, перпендикулярны.
Угол между высотами, проведенными из тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.
Угол между высотами, проведенными из острого угла параллелограмма, равен тупому углу параллелограмма.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон параллелограмма.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Частные случаи параллелограмма: прямоугольник, квадрат, ромб. Следовательно, все эти фигуры обладают свойствами, присущими параллелограмму.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы равны.

Отличительное свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Отличительное свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат — параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Отличительное свойство квадрата: диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делят углы квадрата пополам.

Площадь параллелограмма:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту, проведенной к этой стороне: S=a·h_a=b·h_b_.
Площадь параллелограмма через стороны и угол между ними: S=a·b·sinφ.
Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними: S=0,5·d₁·d₂·sinφ.
Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и сторону(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность): S=2·a·r.
Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и угол между сторонами(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность): S=4r²/sinφ.