В данной публикации мы рассмотрим, как можно сложить две матрицы или вычесть одну из другой. Также приведем примеры для лучшего понимания изложенного материала.
-
Сумма матриц
- Свойства сложения матриц
- Разность матриц
-
Примеры задач
Сумма матриц
Если сложить матрицы A и B одинакового размера, то получится матрица C того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц.
Am x n + Bm x n = Cm x n
Примечание: найти можно только сумму матриц одинакового размера.
Свойства сложения матриц
1. Переместительный закон
A + B = B + A
2. Асоциативный закон
(A + B) + C = A + (B + C)
3. Если к матрице прибавить нулевую матрицу, она не изменится.
A + Θ = A, где Θ – нулевая матрица.
4. Если из матрицы вычесть ее же, получится нулевая матрица.
A – A = Θ
Разность матриц
Разность матриц можно представить в виде сложения или умножения матрицы на число.
С = A – B = A + (-B) = A + (-1) ⋅ B
На деле это означает, что мы просто находим разность соответствующих элементов матриц.
Примечание: вычитать также, как и складывать, можно только матрицы одинакового размера.
Примеры задач
Задание 1
Найдем сумму матриц A и B, представленных ниже.
Решение:
Задание 2
Вычислим разность матриц A и B.
Решение:
Действия над матрицами. Сложение и вычитание
Если у матриц совпадает количество столбцов и строк, то, считается, что у таких матриц одинаковая размерность (одинаковый порядок).
А=1-204-21 и В=10-20-4-21
Данные матрицы одинакового порядка, т.к. у них одинаковое количество строк и столбцов (3 строки и 2 столбца).
Сложение матриц
Матрицы одинаковой размерности можно складывать и вычитать.
А=(αij)m×n и B=(bij)m×n – сумма матриц. Сумма этих матриц представлена выражением С=(сij) той же размерности, причем ее элементы вычисляются, как сумма соответствующих элементов исходных матриц:undefined. Сумма матриц имеет обозначение: А+B
Найти сумму матриц:
1). А=2-131, В= 12-1-35;
2). А=2-131, В=-103-1253
Решение:
1). А+В=2-131+12-1-35=2+12-1+(-1)3+(-3)1+5=14-206
2). Сложить данные матрицы нельзя, потому что они разной размерности
Свойства сложения матриц
Исходная матрица А=(aij)m×n. Противоположной матрицей считается выражение -А=(-аij)m×n,где все элементы противоположны исходным.
Свойства сложения матриц:
- А + В = В + А — коммуникативный закон сложения;
- (А + В) + С = А + (В + С) — ассоциативный закон сложения;
- А + 0 = 0 + А = А;
- А + (-А) = -А + А = 0.
Вычитание матриц
Разностью матриц А=(αij)m×n и B=(bij)m×n является матрица С=(сij), у которой такая же размерность. Ее элементы вычисляются как сумма соответствующих элементов матриц:
А=(aij)m×n и -В=(-bij)m×n; cij=(aij)+(-bij)
Разность матриц обозначается как А — В.
Найти разность матриц:
1). А=2-131, В= 12-1-35;
2). А=2-131, В=-103-1253
Решение:
1). А-В=2-131-12-1-35=2+(-12)-1+(-(-1))3+(-(-3))1+(-5)=2-12-1+13+31-5=-1006-4
2).Найти разность во втором варианте невозможно, потому что матрица разно размерные.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Вначале вспомним основные определения темы. Рассмотрим одно из основных действий. Разберемся в том, как проводится данная операция.
Это прямоугольная таблица каких-либо элементов (ими могут быть числа, буквы, другие объекты).
Она состоит из некоторого числа строк и столбцов, которые образуют размер матрицы. При этом сначала указывают на количество строк, а затем на количество столбцов.
A=(2153)A=begin{pmatrix}2&1\5&3end{pmatrix} имеет размер «два на два», поскольку состоит из 2 строк и 2 столбцов.
B=(349279382143)B=begin{pmatrix}3&4&9\2&7&9\3&8&2\1&4&3end{pmatrix} имеет размер «четыре на три», поскольку состоит из 4 строк и 3 столбцов.
Онлайн-калькулятор
Сложение матриц
Складываем только те матрицы, которые имеют одинаковый размер.
Сложить матрицу «семь на пять» можно только с матрицей «семь на пять», а матрицу «шесть на шесть» только с матрицей «шесть на шесть». Поэтому невозможно найти сумму матриц «пять на семь» и «два на три».
При сложении матриц M и N суммируются их соответствующие элементы. Первый элемент новой матрицы получается сложением первого элемента матрицы M с первым элементом матрицы N, второй элемент новой матрицы — сложением второго элемента матрицы M со вторым элементом матрицы N. Также поступаем с остальными элементами.
Найдем сумму M=(m11m12m21m22)M=begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}end{pmatrix} и N=(n11n12n21n22)N=begin{pmatrix}n_{11}&n_{12}\n_{21}&n_{22}end{pmatrix}.
M+N=(m11m12m21m22)+(n11n12n21n22)=(m11+n11m12+n12m21+n21m22+n22)M+N=begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}end{pmatrix}+begin{pmatrix}n_{11}&n_{12}\n_{21}&n_{22}end{pmatrix}=begin{pmatrix}m_{11}+n_{11}&m_{12}+n_{12}\m_{21}+n_{21}&m_{22}+n_{22}end{pmatrix}.
Пример 1
Найдем сумму C=(1375)C=begin{pmatrix}1&3\7&5end{pmatrix} и D=(2698)D=begin{pmatrix}2&6\9&8end{pmatrix}.
C+D=(1375)+(2698)=(1+23+67+95+8)=(391613)C+D=begin{pmatrix}1&3\7&5end{pmatrix}+begin{pmatrix}2&6\9&8end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+2&3+6\7+9&5+8end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&9\16&13end{pmatrix}.
Пример 2
Найдем сумму E=(105974)E=begin{pmatrix}1&0\5&9\7&4end{pmatrix} и F=(35−4108)F=begin{pmatrix}3&5\-4&1\0&8end{pmatrix}.
E+F=(105974)+(35−4108)=(1+30+55+(−4)9+17+04+8)=(1+30+55−49+17+04+8)=(45110712)E+F=begin{pmatrix}1&0\5&9\7&4end{pmatrix}+begin{pmatrix}3&5\-4&1\0&8end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+3&0+5\5+(-4)&9+1\7+0&4+8end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+3&0+5\5-4&9+1\7+0&4+8end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&5\1&10\7&12end{pmatrix}.
Так выполняется сложение матриц любого размера.
Помощь с выполнением контрольной работы по алгебре и другим предметам от профильных экспертов!
Тест по теме “Сложение матриц”
Что такое сложение матриц? Как находить сумму двух и более матриц? Все это вы узнаете прочитав данную статью.
Определение: Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица того же размера, определяемая равенством:
Таким образом, сложение 2 и более матриц, сводиться к сложению их элементов.
Примеры с решением на нахождение суммы матриц
Рассмотрим несколько примеров на поиск суммы матриц.
Пример: Найти сумму двух матриц A и B, если
Таким образом, чтобы найти сумму двух матриц A и B нам нужно найти сумму элементов матриц.
В следующем примере найдем сумму матриц размерность 4 на 2.
В следующем примере нам нужно найти сумму матриц A, B и C.
Свойства операции сложения матриц
- Сложение матриц коммутативно, то есть A+B=B+A
- Сложение матриц ассоциативно, то есть (A+B)+C=A+(B+C)
Мы уже знаем, что матрица – это объект, который представляет собой совокупность взаимосвязанных строк (m) и столбцов (n). С ней можно проводить различные действия, от обычного вычитания до транспортирования. Разберёмся с самой простой матричной операцией – сложением.
Сложение матриц — теория
Сложение матриц – это алгоритм вычисления новой матрицы С при помощи попарного суммирования соответствующих элементов матриц А и В.
Формула:
(с_{ij} = a_{ij} + b_{ij})
где i – номер строки, а j – номер столбца.
То есть, чтобы получить, например, элемент (с_{11}), нужно сложить (а_{11}) и (b_{11}).
Когда это возможно, можно ли складывать матрицы разной размерности
Как сложение, так и вычитание матриц возможно только в том случае, когда они равны по размеру.
Также подметим, что нельзя складывать матрицы с обычными целыми числами и дробями. Порядок элементов в таблице менять нельзя.
Экономический смысл сложения матриц
Матрица имеет прикладное значение, так как часто используется в экономике для систематизации информации и облегчения вычислений. К примеру, с помощью неё можно предоставить отчёт о продажах:
Пусть (х_{ij}) – это количество определённого товара, проданного в определённом магазине за первый год. Матрица У – отчёт о продажах за второй год. Тогда, чтобы посчитать сумму продаж за оба года, нужно сложить отчёты Х и У.
Свойства операции сложения матриц
Свойств немного, и все они легки для запоминания:
- Свойство коммутативности: A+ B = B + A.
- Свойство ассоциативности: (A+ B) + C= A + (B + C).
- Свойство дистрибутивности: (A+ B) * C= AC + BC.
При сложении А с нулевой матрицей 0, у которой все элементы равны нулю, исходная матрица не меняется:
А + О = А
При сложении А с противоположной матрицей (-А) сумма равна нулю:
А + (-А) = О
Примеры с решением на нахождение суммы матриц
Задача №1
Даны слагаемые:
Найти: С
Решение
(с_{11} = а_{11} + б_{11} = 2 + 1 = 3)
(с_{12} = а_{12} + б_{12} = 3 + (-3) = 0)
(с_{21} = а_{21} + б_{21} = (-1) + 2 = 1)
(с_{22} = а_{22} + б_{22} = 4 + 5 = 9)
Ответ:
Задача №2
Даны слагаемые:
Найти: С
Решение: так как матрицы разного размера (А = 2 × 3; В = 3 × 2), данная операция невозможна.
Ответ: нет решения.
Не справляетесь с заданиями по учебе? Обращайтесь в ФениксХелп за помощью!
