Как найти сумму момента относительно точки

Рассмотрим решение задачи по составлению и определению суммы моментов внешних сил приложенных к заданной системе относительно её точек.

Задача
К составной планке, показанной на рисунке

Заданная схема для составления суммы моментов

приложены следующие нагрузки:

  1. Внешние сосредоточенные силы F1=10кН и F2=50кН расположенная под углом
  2. Сосредоточенный момент m=70кНм
  3. Равномерно-распределённая нагрузка q интенсивностью 20кН/м

Требуется составить и определить алгебраическую сумму моментов относительно точек A, B и D.

Решение

Обозначим характерные точки системы буквами и покажем систему координат x-y.

Система координат для расчета

Для записи и расчета уравнений суммы моментов надо мысленно закрепить систему в рассматриваемой точке и записать все внешние усилия, которые стремятся повернуть систему.

Момент силы определяется по формуле

Формула для расчета моментов

где h — расстояние от точки до линии действия силы называемое плечом.

Другие видео

При этом, по правилу знаков, нагрузки, поворачивающие систему против хода часовой стрелки записываются положительными и наоборот.

Знаки моментов

При записи уравнений суммы моментов:

  • Силы умножаются на плечо;
  • Равномерно распределенные нагрузки умножаются на длину (получается равнодействующая сила), полученное произведение умножается на плечо, которым служит расстояние от её середины до рассматриваемой точки;
  • Сосредоточенный момент в сумме моментов записывается как есть (с учётом знака).

Примеры составления суммы моментов сил

Определим алгебраические суммы моментов сил относительно произвольных точек системы.

Для некоторого упрощения решения задачи, распределенную нагрузку можно заменить её равнодействующей

Формула для расчета равнодействующей

которая при равномерном распределении приложена посередине:

Положение равнодействующей нагрузки

а сосредоточенную силу F2 можно разложить на составляющие, спроецировав её на оси x и y.

Проекции силы F на оси x и y

Получается упрощенная расчетная схема:

Упрощенная схема для расчета суммы моментов

Расчет суммы моментов относительно точки, к которой приложена сила

Для точки A:
Силы Rq и F2X создают момент, вращающий по ходу часовой стрелки, поэтому будут записаны со знаком минус.
Сила F2Y относительно точки A имеет обратное направление и создает положительный момент.

Определение суммы моментов относительно точки A

Здесь h1, h2 и h3 плечи моментов соответствующих сил и равнодействующей распределенной нагрузки относительно точки A.

Линия действия силы F1 проходит через саму точку A, следовательно, плечо равно нулю, поэтому момент этой силой в данном случае не создается.

Таким образом, относительно точки A уравнение суммы моментов будет иметь вид:

Уравнение суммы моментов относительно точки A

Здесь сумма моментов относительно точки A отрицательна, поэтому, если данную систему закрепить в этой точке, она будет вращаться по ходу часовой стрелки.

Определение суммы моментов относительно точки, в которой приложен момент

Для точки B надо помнить что момент приложенный в точке, относительно которой записывается сумма, в уравнении участвует.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно точки B равна:

Алгебраическая сумма моментов относительно точки B

Знак «-» так же показывает на вращение системы по ХЧС.

Сумма моментов относительно точки, где действует распределенная нагрузка

Для точки D:
Здесь надо смотреть, как расположена равнодействующая нагрузки по отношению к рассматриваемой точке.
В данном случае она находится справа от точки и направлена вниз, следовательно, создает вращение по ходу часовой стрелки.

Плечом момента нагрузки служит расстояние между равнодействующей и точкой.

Уравнение суммы моментов для точки под распределенной нагрузкой (в точке D) запишется в виде:

Определение суммы моментов в точке D

Положительный результат показывает вращение системы против ХЧС.

Направления определенных сумм моментов относительно заданных точек

Направления сумм моментов

При определении суммы моментов следует помнить, что в отличие от сил и распределенных нагрузок, сосредоточенный момент будет иметь один и тот же знак относительно любой точки системы.

Уравнения суммы моментов можно составить относительно любых других точек системы, в том числе точек, которые лежат вне заданной системы. Но, как правило, при решении задач этого не требуется.

Для статичных, геометрически неизменяемых систем сумма моментов всегда равна нулю.

Другие примеры решения задач статики >

iSopromat.ru

Правила знаков для моментов и проекций сил на оси координат:

Правило знаков проекций сил

То есть, для уравнений сумм проекций сил на оси:
Проекции сил и нагрузок на координатную ось имеющие одинаковое направление принимаются положительными, а проекции усилий противоположного направления – отрицательными.

Например, для такой схемы нагружения:

уравнение суммы сил имеет вид

А так как суммы проекций разнонаправленных сил равны, то данное уравнение можно записать и так:

Здесь F(q) – равнодействующая от распределенной нагрузки, определяемая произведением интенсивности нагрузки на ее длину.

Правило знаков для моментов

Сосредоточенные моменты и моменты сил стремящиеся повернуть систему относительно рассматриваемой точки по ходу часовой стрелки записываются в уравнения с одним знаком, и соответственно моменты, имеющие обратное направление с противоположным знаком.


Например, для суммы моментов относительно точки A

или, что одно и то же

Здесь m(F) – моменты сил F относительно точки A.
M(q) – моменты распределенных нагрузок q относительно рассматриваемой точки.

При составлении уравнений статики для систем находящихся в равновесии (например при определении опорных реакций) правила знаков могут быть упрощены до следующего вида:
Нагрузки направленные в одну сторону принимаются положительными, а соответственно, нагрузки обратного направления записываются со знаком минус.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Как определить реакции в опорах?

Привет! В этой статье, предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции в опорах, и этому уделяют особое внимание на термехе. А курс термеха, по традиции, читают до сопромата. Для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.

Что такое реакция опоры?

Реакция опоры – это та сила, которая возникает в опоре от действия внешней нагрузки. В зависимости от конструкции опоры и ее назначения, в ней может появляться разное количество реакций, это может быть как сила, так и момент.

В начале этой статьи, расскажу о том, что должен уже уметь читатель, для успешного освоения данного урока. Если у Вас есть проблемы по поднятым вопросам на старте статьи, переходите по ссылкам на другие материалы на нашем сайте, после чего возвращайтесь к нам на чай реакции. Во второй части статьи, посмотрим, как вычисляются реакции на простейшем примере – балки, загруженной по центру сосредоточенной силой. Тут я покажу, как пользоваться уравнениями равновесия статики, как их правильно составлять. Дальше по плану, научу учитывать распределенную нагрузку, на примере той же балки. И завершать данный урок, будет пример определения реакций для плоской рамы, загруженной всевозможными типами нагрузок. Где применим уже все фишки, о которых я буду рассказывать по ходу урока. Что же, давайте начнем разбираться с реакциями!

Что вы должны уже уметь?

В этом блоке статье, я расскажу, как и обещал, что Вы должны УЖЕ уметь, чтобы понять то, что я буду докладывать дальше, про реакции опор.

Должны уметь находить сумму проекций сил

Да, это то, что Вам когда-то рассказывали на термехе, как собственно, и опорные реакции. Если Вы шарите немного в этих проекциях, то можете смело переходить к следующему пункту. Если же нет, то специально на этот случай, у меня есть другая статья, про проекции сил. Переходите, просвещайтесь, после чего, обязательно, возвращайтесь сюда!

Должны уметь составлять сумму моментов относительно точки

Немного теории! Познакомимся для начала с самим понятием момент силы. Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр. Проиллюстрирую написанное:

На изображении показано, как определить момент силы F, относительно точки O.

Так же, для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Сила относительно точки может поворачивать как по часовой стрелке, так и против нее. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:

  • Если сила относительно точки крутит ПРОТИВ часовой стрелке, то момент положительный.
  • Если она крутит ПО часовой стрелки, то соответственно момент отрицательный.

Причем, это правило условно! Какое правило Вы будете использовать совсем не важно, результат получите тот же самый. В теоретической механике, к примеру, делают также как я рассказываю.

Должны разбираться в основных видах опор

Теперь поговорим о самих опорах. В этой статье, будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.

Шарнирно-подвижная опора препятствует вертикальному перемещению элементу конструкции, в связи с чем, в ней, под действием внешней нагрузки возникает вертикальная реакция. Обозначают ее обычно как Ri, где i — точка крепления опоры.

Шарнирно-неподвижная опора имеет две реакции: вертикальную и горизонтальную. Так как препятствует перемещению в этих двух направлениях.

Вообще-то способов закрепления элементов конструкций и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их рассматривать не будем.

Примеры определения сил реакций опор

Вроде, всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнем с простейшей расчетной схемы балки.

Определение реакций опор для балки

Возьмем балку на двух опорах, длиной 2 метра. Загрузим ее, посередине пролета, сосредоточенной силой:

Для этой расчетной схемы, выгодно записать такое условие равновесия:
То есть, будем составлять две суммы моментов относительно опорных точек, из которых можно сразу выразить реакции в опорах. В шарнирно-неподвижной опоре горизонтальная реакция будет равна нулю, ввиду того, что горизонтальные силы отсутствуют. Последним уравнением, взяв сумму проекций на вертикальную ось, сможем проверить правильность нахождения опорных реакций, это сумма должна быть равна нулю.

Введем систему координат, пустим ось х вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как RA и RB:

Запишем уравнение моментов, относительно точки А. Сила F поворачивает ПО часовой стрелки, записываем ее со знаком МИНУС и умножаем на плечо. Сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем ее со знаком ПЛЮС и умножаем на плечо. Все это приравниваем к нулю:

Из полученного уравнения выражаем реакцию RB.

Первая реакция найдена! Вторая реакция находится аналогично, только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:

После нахождения реакций, делаем проверку:

Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой

Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:


Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно свернуть до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:

Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:

Определение опорных реакций для плоской рамы

Теперь, после освоения азов по расчету реакций, предлагаю выполнить расчет плоской рамы. Для примера, возьмем раму, загруженную всевозможными видами нагрузок:

Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:

  • заменяем опоры на реакции;
  • сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
  • вводим глобальную систему координат x и y.

Для такой расчетной схемы, лучше использовать следующую форму условий равновесия:

Составив первое уравнение, относительно точки A, сразу найдем реакцию в опоре B:

Записав второе уравнение, сумму проекций на ось х, найдем горизонтальную реакцию HA:

И, наконец, третье уравнение, позволит найти реакцию RA:

Не пугайтесь отрицательного значения реакции! Это значит, что при отбрасывании опоры, мы не угадали с направлением этой силы.

Расчет же показал, что RA, направленна в другую сторону:

В итоге, получили следующие реакции в опорах рамы:

Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумму будет равна нулю, то расчет выполнен верно:

Как видим, расчет реакций выполнен правильно!

На этом заканчиваю данный урок. Если у Вас остались какие-то вопросы по нахождению опорных реакций, смело задавайте их в комментариях к этой статье. Обязательно на все отвечу!

Спасибо за внимание! Если понравилась данная статья, расскажите о ней своим одногруппникам, не жадничайте 🙂

Также рекомендую подписаться на наши соц. сети, чтобы быть в курсе обновлений материалов проекта.

Момент силы и правило моментов

теория по физике 🧲 статика

Статика — раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Виды равновесия

Устойчивое равновесие


Если тело вывести из устойчивого равновесия, то появляется сила, возвращающая его в положение равновесия. Устойчивому равновесию соответствует минимальное значение потенциальной энергии (Ep min).

Неустойчивое равновесие


Если тело вывести из неустойчивого равновесия, то возникает сила, удаляющая тело от положения равновесия. Неустойчивому равновесию соответствует максимальное значение потенциальной энергии (Ep max).

Безразличное равновесие


При выведении тела из положения безразличного равновесия дополнительных сил не возникает.

Момент силы

Момент силы — векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо силы:

M — момент силы. Единица измерения — Ньютон на метр (Н∙м). Направление вектора момента силы всегда совпадает с направлением вектора силы. d — плечо силы. Единица измерения — метр (м).

Плечо силы — кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.

Пример №1. Стальной шар массой 2 кг колеблется на нити длиной 1 м. Чему равен момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, в состоянии, представленном на рисунке?

Плечом силы тяжести, или кратчайшим путем от прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, до линии действия силы тяжести, будет отрезок, равный максимальному отклонению шара от положения равновесия. Следовательно:

Момент силы может быть положительным и отрицательным.

Если сила вызывает вращение тела по часовой стрелке, то такой момент считают положительным:

Если сила вызывает вращение тела против часовой стрелки, то такой момент считают отрицательным:

Правило моментов

Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

Иначе правило моментов можно сформулировать так:

Сумма моментов сил, вызывающих вращение тела по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки.

∑ M п о ч а с . с т р . = ∑ M п р . ч а с . с т р .

Условия равновесия тел

∑ → F i = 0 ; → v o = 0

∑ → F i = 0 ; → v o = 0 и ∑ → F i = 0 ; → v o = 0

Простые механизмы

Простые механизмы — приспособления, служащие для преобразования силы. К ним относится рычаг, наклонная плоскость, блоки, клин и ворот.

Наклонная плоскость

Тело не участвует в поступательном движении:
Тело не участвует во вращательном движении:
Тело находится в состоянии равновесия (не участвует ни в поступательном, ни во вращательном движении)

Дает выигрыш в силе. Чтобы поднять груз на высоту h, нужно приложить силу, равную силе тяжести этого груза. Но, используя наклонную плоскость, можно приложить силу, равную произведению силы тяжести на синус угла уклона плоскости:

Рычаг

Дает выигрыш в силе, равный отношению плеча второй силы к плечу первой:

F 1 F 2 . . = d 2 d 1 . .

Неподвижный блок

Изменяет направление действия силы. Модули и плечи сил при этом равны:

Подвижный блок

Дает выигрыш в силе в 2 раза:

Делит силу на две равные части, направление которых зависит от формы клина:

Золотое правило механики

При использовании простых механизмов мы выигрываем в силе, но проигрываем в расстоянии. Поэтому выигрыша в работе простые механизмы не дают.

Алгоритм решения

Решение

Известна лишь масса батона: m1 = 0,8 кг. Но мы также можем выразить плечи для силы тяжести батона и хлеба. Для этого длину линейки примем за один. Так как линейка поделена на 10 секций, можем считать, что длина каждой равна 0,1. Тогда плечи сил тяжести батона и рыба соответственно равны:

Запишем правило моментов:

Сила тяжести равна произведению массы на ускорение свободного падения. Поэтому:

Отсюда масса рыбы равна:

m 2 = m 1 d 1 d 2 . . = 0 , 8 · 0 , 3 0 , 4 . . = 0 , 6 ( к г )

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Однородный куб опирается одним ребром на пол, другим на вертикальную стену (см. рисунок). Плечо силы трения F → тр “> F тр относительно оси, проходящей через точку О3 перпендикулярно плоскости чертежа, равно.

Алгоритм решения

  1. Сформулировать определение плеча силы.
  2. Найти плечо силы трения и аргументировать ответ.

Решение

Плечом силы трения называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Чтобы найти такое расстояние, нужно провести из точки равновесия перпендикуляр к линии действия силы трения. Отрезок, заключенный между этой точкой и линией, будет являться плечом силы трения. На рисунке этому отрезку соответствует отрезок О3В.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

[spoiler title=”источники:”]

http://ssopromat.ru/statika/kak-opredelit-reaktsii-v-oporah-dlya-balki/

[/spoiler]

Содержание:

Моменты силы относительно точки и оси:

Для рассмотрения различных систем сил необходимо ввести понятия алгебраического и векторного моментов силы относительно точки и момента силы относительно оси. Введем эти характеристики действия силы на твердое тело и рассмотрим их свойства.

Алгебраический момент силы относительно точки

При рассмотрении плоской системы сил, приложенных к твердому телу, используется понятие алгебраического момента силы относительно точки.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 19

Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки (рис. 19), взятое со знаком плюс или минус.

Плечом Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т. е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на линию действия силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Обозначим Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике или Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике алгебраический момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Тогда

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке — знак минус.

Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину (в Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике).

Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль ее линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и моментной точке:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Векторный момент силы относительно точки

При рассмотрении пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, применяется понятие векторного момента силы относительно точки.

Векторным моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки. Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки (рис. 20).

Плечом Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике силы относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 20

Условимся векторный момент  силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике обозначать Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, а его числовую величину — Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Тогда, согласно определению,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Как и для алгебраического момента, векторный момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Справедлива формула

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике—радиус-вектор, проведенный из моментной точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике в точку приложения силы или любую другую точку линии действия силы.

Чтобы убедиться в справедливости формулы (3), достаточно показать, чтоМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике по величине и направлению выражает векторный момент силы относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. По определению векторного произведения двух векторов известно, что

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Как показано на рис. 20, Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, причем это равенство справедливо для любой точки линии действия, куда проведен радиус-вектор Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Итак,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

что совпадает с векторным моментом силы относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Вектор Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, как известно, перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, т. е. плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, которой перпендикулярен и векторный момент Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Направление Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике тоже совпадает с направлением Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Заметим, что векторный момент силы относительно точки считается вектором, приложенным к этой точке.

Векторный момент силы относительно точки не изменяется от переноса силы вдоль ее линии действия. Он станет равным

нулю, если линия действия силы пройдет через моментную точку.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 21 

Если сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике дана своими проекциями Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на оси координат и даны координаты Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике точки приложения этой силы (рис. 21), то векторный момент относительно начала координат, согласно формуле (3), после разложения по осям координат вычисляем по формуле

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — единичные векторы, направленные по осям координат.

Используя формулу (4), можно выделить проекции Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на оси координат:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Модуль векторного момента Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

В формулах (6) числовую величину Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике берем со знаком плюс.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 22). Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси (проекция силы на плоскость является вектором), стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по часовой стрелке. Момент силы, например, относительно оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике обозначим Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

 Рис. 22

По определению,   

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — вектор проекции силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на плоскость Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, перпендикулярную оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, а точка Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — точка пересечения оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике с плоскостью Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Из определения момента силы относительно оси следует, что введенный выше алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы  Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и точке пересечения Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике оси с плоскостью:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Из формулы (8) можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси:

  1. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.
  2. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси  с плоскостью и, следовательно, равно нулю плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Объединяя их, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

Используя формулу (8), имеем (рис. 23)

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Векторный момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, взятой на пересечении оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике с перпендикулярной плоскостью Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, выражается в виде

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Векторный момент Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике направлен перпендикулярно плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Аналогично, для другой точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

причем векторный момент Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике направлен перпендикулярно плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Треугольник Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике является проекцией треугольников Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на плоскость Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Перпендикуляром к плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике является ось Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, а перпендикулярами к плоскостям треугольников Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике—соответственно векторные моменты Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Таким образом, Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — угол между вектором Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и осью Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Отсюда по формулам (8′) и (9) имеем

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

причем знак Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике полностью определяется знаком Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Аналогично,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

т. е.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — любая точка на оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Формулы (11) и (12) отражают искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 23

Формулы для моментов силы относительно осей координат

Используя связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси, можно получить формулы для вычисления моментов относительно осей координат, если даны проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы. Для оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике имеем

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Согласно (5),

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Аналогично, для осей Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Окончательно

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

По формулам (13) можно вычислить моменты силы относительно прямоугольных осей координат.

По этим формулам получаются необходимые знаки для  Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, если проекции силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на оси координат и координаты Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.

При решении задач момент силы относительно какой-либо оси часто получают, используя его определение, т. е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этой проекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил

При изучении теоретической механики необходимо совершенно отчетливо уяснить, что в статике рассматриваются два простейших элемента: сила и пара сил. Любые две силы, кроме сил, образующих пару, всегда можно заменить одной —сложить их (найти равнодействующую). Пара сил нс поддается дальнейшему упрощению, она не имеет равнодействующей и является простейшим элементом.

Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом — произведением одной из сил пары на ее плечо (на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару).

Единицей момента пары сил в Международной системе служит 1 нм (ньютон-метр = 1 н-1ж), а в системе МКГСС (технической)— 1 кГ-м.

Несколько пар сил, действующих на тело в одной плоскости, можно заменить одной парой сил (равнодействующей парой), момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

При равновесии пар сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
Если пары сил действуют в одной плоскости, то при решении задач достаточно рассматривать моменты пар как алгебраические величины. Причем знак момента определяется в зависимости от направления вращающего действия пары сил.

Дальнейшее изложение основано на правиле, т. е. считается момент положительным, если пара сил действует против хода часовой стрелки, если же пара сил действует на тело но ходу часовой стрелки, то момент считается отрицательным.

В том случае когда пары сил действуют на тело будучи расположенными в различных плоскостях, гораздо удобнее рассматривать пару сил как вектор, направленный перпендикулярно
Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

к плоскости действия пары сил (рис. 62). Направление вектора в зависимости от направления вращательного действия пары определяется по направлению движения винта с правой нарезкой.

Задача 1.

Определить момент пары сил (рис. 63), если Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикен, АВ — 0,5 м и а = 30°.

Решение.

1.    При определении момента пары сил нужно прежде всего правильно определить плечо пары. При этом необходимо различать следующие понятия: плечо пары сил и расстояние между точками приложения сил нары.

Так как в механике твердого тела сила—скользящий вектор, то действие силы не изменяется при переносе точки ее приложения вдоль линии ее действия. Значит расстояние между точками приложения сил, образующих пару, можно изменять неограниченно. Но плечо пары при этом переносе остается неизменным.

В частном случае расстояние между точками приложения сил, образующих пару, может быть равно плечу.

Чтобы определить плечо данной пары из точки приложения одной из сил, например из точки В, восставим перпендикуляр ВС к линии действия другой силы. Расстояние ВС и есть плечо данной пары сил. Расстояние между точками приложения сил, образующих пару, АВ=0,5 м.

Легко видеть, что

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
2.    Найдем момент пары сил:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Задача 2.

Как изменится момент пары сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике показанной на рис. 64, а (P = 50 н, AВ=0,4 м и а=135), если

повернуть силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике так, чтобы они стали перпендикулярными АВ? Решение.

1.    Найдем момент пары при заданном положении ее сил (рис. 64, а).

Из точки В восставим перпендикуляр ВС к линиям действия сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и найдем его длину:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Момент пары при заданном положении сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
2. Повернем силыМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике из заданного положения на угол Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике=а°— 90э в направлении против хода часовой стрелки (рис. 64, б). При таком положении сил относительно АВ плечом пары сил является расстояние между точками их приложения, поэтому

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
3.    Сравнивая полученные результаты, видим, что после поворота сил момент пары увеличивается на 20—14,5 = 5,85 н-м.

4.    Легко заметить, что силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикемогут достичь перпендикулярного положения к АВ после их поворота на угол у в направлении по ходу часовой стрелки (рис. 64, в). В том случае плечом пары является тот же отрезок АВ, но момент пары

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
Момент пары сил изменяет свой знак.

Задача 3.

К точкам А, С и В, D, образующим вершины квадрата со стороной 0,5 м (рис. 65, а), приложены равные по модулю силы (Р = 12н) таким образом, что они образуют две пары сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Определить момент равнодействующей пары сил

Решение 1.

Плечи у обеих пар сил равны стороне квадрата поэтому

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 2.
1.    Перенесем силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике из точек Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикев точки В и D (рис. 65, б). В точках В и D получаются системы сходящихся сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике иМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике одинаковыми модулями.

2.    Сложим попарно эти силы у каждой из точек В и D. В обоих случаях

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

3.    Силы R, модули которых теперь известны, направлены перпендикулярно к диагонали BD квадрата. Значит эта диагональ является плечом вновь образовавшейся пары сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике заменяющей собой две данные.

4.    Найдем момент пары Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

и, следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Эту пару в соответствии со вторым решением можно представить в виде пары Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике с плечом BD (диагональю данного квадрата).

Но можно равнодействующую пару представить и в любом другом виде, например в виде сил Q = 24 и, приложенных к двум любым вершинам квадрата ABCD (рис. 65, в)

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Задача 4.

На прямоугольник ABCD (рис. 67) вдоль его длинных сторон действует пара сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Какую пару сил нужно приложить к прямоугольнику, направив силы вдоль его коротких сторон, чтобы уравновесить пару Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение.

1.    Момент данной пары сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

необходимо уравновесить парой, момент которой обозначим Л1м. Тогда, согласно условию равновесия,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Откуда

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

2.    Обозначив силы, образующие искомую пару Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике замечая, что ее плечо равно ВС, получим
ОтсюдаМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

•Значит к прямоугольнику необходимо приложить пару сил с положительным (направленным против хода часовой стрелки) моментом, равным 48 н м. Силы, образующие эту пару, равняются

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

20 н каждая и одна из них должна действовать вдоль стороны АВ от А к В, вторая — вдоль стороны CD от С к D.

Задача 5.

Прямолинейный стержень АВ должен находиться в равновесии в положении, показанном на рис. 68, а (угол а = Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике При этом в точках А и В на стержень действуют вертикальные силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеобразующие пару Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеКакие две равные силы нужно приложить к стержню в точках С и D, направив их перпендикулярно к стержню, чтобы обеспечить равновесие. АВ = 3 м, CD— 1 м, Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение.

1. Пару сил можно уравновесить только парой сил. Поэтому в точках С и D к стержню необходимо приложить две равные силы так, чтобы они образовали пару сил с моментом, равным моменту пары Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике но имеющим противоположный знак.

Так как пара Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике поворачивает стержень на ходу часовой стрелки, искомые силы должны поворачивать его против хода часовой стрелки (рис. 68, б).

2. Применяем условие равновесия:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Или, подставив значения моментов,
 гдеМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

ОтсюдаМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Следовательно, в точках С и D необходимо приложить силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике по 150 н каждая, как показано на рис. 68, б.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки при решении задач по статике, а затем и по динамике имеет не менее важное значение, чем проекции сил. Поэтому нужно уметь определять эту величину безошибочно. Обычно его числовое значение находят неправильно из-за ошибок, допускаемых при определении плеча.

Чтобы не допускать ошибок при определении моментов сил относительно точки, рекомендуется придерживаться следующего порядка:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

  1. Прежде всего нужно научиться «видеть» силу, момент которой определяем, и центр моментов – точку, относительно которой определяем момент (рис. 70 – сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и центр моментов – точка В).
  2. Затем из центра момента проводим прямую ВЬ перпендикулярно к линии действия силы DF. Длина перпендикуляра ВС от центра момента до линии действия силы и есть плечо.
  3. Потом находим знак момента. При этом если сила стремится повернуть плечо вокруг центра момента против хода часовой стрелки, то считаем момент положительным; если по ходу часовой стрелки, то отрицательным (тоже правило, что и при определении знака момента пары сил).
  4. Находим числовое значение момента силы относительно точки, умножив модуль силы на плечо.

По рис. 70

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

В частном случае момент силы может равняться нулю. Это происходит тогда, когда центр моментов лежит на линии действия силы, при этом плечо равняется нулю. По рис. 70 момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки А (или С) равен нулю.

Задача 6.

Определить моменты шести заданных сил (рис. 71) относительно точек А, В и С, еслиМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 1 — определение моментов гнести заданных сил относительно точки А (рис. 71, а).

1.    Центр моментов в точке А. Через точку А проходят линии действия трех сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеЗначит для этих сил плечи равны нулю. Следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

2.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Опустив из точки А на линию действия

силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике перпендикуляр AD, получим плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеДлину AD легко найти, так как это катет треугольника ABD:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

3.    Величина момента отрицательная (сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеповорачивает плечо AD вокруг точки А но ходу часовой стрелки), следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

4.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечом силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике является перпендикуляр АЕ к СЕ – линии действия силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеИз треугольника АСЕ

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Величина момента положительная (плечо АЕ поворачивается около точки А силой Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике против хода часовой стрелки). Следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

5.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеПлечом силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки А является отрезок АС, так как сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике направлена к АС перпендикулярно. Величина момента отрицательная:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 2 — определение моментов сил относительно точки В (рис. 71, б).

1.    Центр моментов в точке В.

2.    Через точку В проходят линии действия двух сил: Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

3.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Величина момента отрицательная:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

4.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Момент отрицательный:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

5.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Величина момента положительная:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

6.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечом силыМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеявляется отрезок ВС. Момент положительный:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 3 — определение моментов сил относительно точки С (рис. 71, в) рекомендуется выполнить самостоятельно.
 

Ответ. Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

В задаче  силы расположены так, что либо их плечи определяются очень просто – как катеты прямоугольных треугольников, в которых даны гипотенузы, либо плечи заданы в условии задачи (ВС и АС).

Но иногда некоторые силы заданной системы оказываются расположенными относительно выбранного центра моментов так, что определить длину плеча трудно и требуется, например, предварительно вычислить длины еще одного-двух отрезков. В таких случаях целесообразно силу разложить на две составляющие и применить для определения ее момента теорему Вариньона.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Задача 7.

Определить моменты относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механикея, приложенных в точках А, В и С, как показано на рис. 72, а. УглыМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике ВС =1,5 м.

Решение.

1.    Относительно точки А моменты силМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике определяются аналогично
Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
2. Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеВариант 1-й (рис. 72, а). Плечо АЕ силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике в данном случае определяем из Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикев котором известен только Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Значит нужно предварительно определить одну из сторон. Найдем AF:

AF = AB – FB.
Величину FB находим из Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике в котором Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

И теперь можем определить плечо АЕ:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Раскрываем скобки и заменяем Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Момент положительный, следовательно:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Вариант 2-й. Чтобы избежать определения плеча АЕ, которое в данном случае находится после предварительного вычисления двух отрезков (FB и AF), необходимо момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки А найти по теореме Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в той же плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Разложим силу Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на две составляющие: одну, направленную вдоль отрезка ВС, и другую — перпендикулярно к нему (рис. 72, б).

Модуль первой составляющей Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике а ее плечо — отрезок АВ, длина которого задана. Модуль второй составляющей Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике а ее плечо АК = ВС =1,5 м.

Применяя теорему Вариньона, получаем

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Как видно, получено точно такое же значение момента, что и в первом варианте решения:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

  • Теория пар сил
  • Приведение системы сил к простейшей системе
  • Условия равновесия системы сил
  • Плоская система сил
  • Аксиомы и теоремы статики
  • Система сходящихся сил
  • Плоское движение тела
  • Принцип виртуальных перемещений

Момент силы относительно точки.

Момент силы относительно точки
характеризует стремление силы повернуть
тело относительно этой точки.

Алгебраический момент силы относительно
точки
– взятое с соответствующим
знаком произведение модуля силы на
плечо силы.

,
гдеF– модуль силы,

h– плечо силы.

Векторный
момент силы относительно точки.

1)– приложен в точке О;

2)
– перпендикулярен плоскости треугольника
ОАВ;

3) С конца вектора
наблюдается стремление силы повернуть
тело вокруг точки О против хода часовой
стрелки.

4)

Момент силы
относительно оси.

Момент силы относительно осихарактеризует стремление тела повернуться
вокруг данной оси.

Порядок
определения момента силы относительно
оси.

1. Провести плоскость, перпендикулярную
оси.

2. Спроецировать силу на эту плоскость.

3. Определить алгебраический момент
проекций силы относительно точки
пересечения оси и плоскости.

В случае равенства нулю момента силы
относительно оси:

1) ().
Ось и сила параллельны.

2) (h =
0). Линия действия силы пересекается с
осью.

Связь между
моментами силы относительно точки и
оси, проходящей через эту точку.

Проекция векторного момента силы
относительно точки на ось, проходящей
через эту точку равна моменту силы
относительно этой оси.

Пара сил.

Пара сил– совокупность двух
равных по величине параллельных сил,
направленных в противоположные стороны.

= Пара сил не имеет равнодействующей.

= Пару сил можно заменить только парой
сил.

Действие пары сил на тело определяется
следующими параметрами:

1) плоскость действия пары,

2) направление вращения пары,

3) моментом пары.

(,)
– пара сил.

=

Алгебраический
момент пары сил.

Алгебраический момент пары сил– взятое с противоположным знаком
произведение модуля силы пары на плечо
пары.

Обозначается: mилиm(,).

,
гдеF1,F2– модули сил пары,

d – плечо
пары.

Теорема о сумме
моментов сил пары относительно точки.

(смотри рис. 1)

Алгебраическая сумма моментов сил
пары
относительно любой точки,
лежащей в плоскости действия пары, равна
алгебраическому моменту пары сил.

Теорема об
эквивалентных парах.

Эквивалентные пары– две пары,
лежащие в одной плоскости и имеющие
равные алгебраические моменты.

Дано:

(,)
и (,)
– пары сил.

Если

,
то

Следствия:

1. Пару сил можно как угодно перемещать
и поворачивать в плоскости действия
пары.

2. У пары сил можно изменять плечо и силы
пары, но так, чтобы алгебраический момент
пары оставался неизменным.

Пример:

Теорема о
параллельном переносе пары.

Действие
пары сил на тело не изменится, если пару
сил перенести в плоскость, параллельную
плоскости действия пары.

Плоскость I ׀׀Плоскости II

Векторный
момент пары сил.

Обозначается:
или(,).

1)
Векторперпендикулярен плоскости действия
пары.

2) С конца вектора
наблюдается стремление пары повернуть
тела против хода часовой стрелки.

3)

Векторный момент пары – есть вектор
свободный.

Теорема о
сложении двух пар, лежащих в пересекающихся
плоскостях.

Дано:

и– векторные моменты пар

(,)
– пара сил

Две пары, лежащие в пересекающихся
плоскостях эквивалентны одной паре,
векторный момент которой равен
геометрической сумме векторных моментов
слагаемых пар.

Сложение пар
сил как угодно расположенных в
пространстве.

Дано:

,,
.. ,– векторные моменты пар сил.

(1) –векторный момент эквивалентной
пары сил
.

Спроецировав (1) на оси координат, получим:

– проекции векторного момента эквивалентной
пары на оси координат.

Условие
равновесия тела под действием системы
пар.

=0
или
=0
(2)

Спроецировав (2) на оси координат, получим:

Произвольная
пространственная система сил.

Произвольная пространственная
система сил
– линия действия сил
как угодно расположенных в пространстве.

Теорема о
параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой либо точке
твердого тела эквивалентна такой же
силе, приложенной к любой другой точке
тела и паре сил, векторный момент которой
равен векторному моменту силы, приложенному
к начальной точке относительно новой
точки приложения силы.

(,)равносильны 0,=

(,)
– пара сил

Приведение
произвольной пространственной системы
сил к заданному центру.

Цель приведения: замена данной
системы сил другой, ей эквивалентной,
но более простой.

Дано: (,,…,)
– произвольная пространственная система
сил

Точка О – центр приведения.

=

=

=

главный вектор системы сил
геометрическая сумма сил системы.

главный момент системы сил
относительно центра приведения

геометрическая сумма векторных моментов
системы сил относительно центра
приведения.

Произвольная пространственная система
сил эквивалентна одной силе, приложенной
в центре приведения (главному вектору
)
и паре сил, векторный момент которой
называется главным моментом системы
сил относительно центра приведения.

(,,…,)~(,)

! Главный
вектор системы сил не зависит от центра
приведения, а главный момент системы
сил зависит от центра приведения.

Момент силы — онлайн калькулятор. Как найти и в чем измеряется момент силы, формулы

момент силы - онлайн калькулятор

Момент силы — это векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. По другому можно сказать, что момент силы – это произведение силы на плечо этой силы.

В данном обзоре приведен онлайн калькулятор момента силы, теоретические основы и формулы расчета момента силы.

Калькулятор момента силы

Для расчета момента силы (M) необходимо ввести в калькуляторе значения силы (F) и радиус-вектор (r). Также имеется возможность определять силу по известному моменту силы и радиус-вектору, и соответственно радиус-вектор по известной силе и моменту силы. Определившись с неизвестной величиной, введя известные значения и нажав кнопку «Вычислить», вы получите нужный результат.

Момент силы — определения и формулы

При вращательном движении линейные кинематические характеристики (пройденный путь s, линейная скорость υ, тангенциальное ускорение aτ) пропорциональны соответствующим угловым характеристикам. При этом коэффициентом пропорциональности является радиус вращения r. В качестве силовой характеристики вращательного движения вводится понятие момента силы. Следует отличать моменты силы относительно оси и относительно точки.

Момент силы относительно точки O

Моментом силы относительно точки O называется векторное произведение M = [r, F], где r — радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы. Вектор M перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы r и F, и численно равен площади параллелограмма, сторонами которого являются данные векторы M = rFsinφ.

момент силы - онлайн калькулятор
Направление вектора M определяется по правилу векторного произведения: если совместить точки приложения векторов r и F, то кратчайший поворот от радиус-вектора r к силе F будет происходить против часовой стрелки, если
смотреть с вершины вектора M.
Иногда удобнее смотреть вслед вектору M, тогда кратчайший поворот от радиус-вектора r к силе F будет происходить по часовой стрелке. На практике удобно определять направление вектора M по правилу правого винта: если вращать головку винта в направлении действия силы, то его поступательное движение покажет направление момента силы M.

Момент силы равен нулю, если равна нулю сила или линия действия силы проходит через точку O.

момент силы - онлайн калькулятор
Момент силы M не изменяется, если вектор F (точку приложения силы) переносить вдоль линии действия. Наглядно видно, что площади параллелограммов OABC и OA′B′C равны, поскольку они имеют общее основание OC и высоту d. Геометрическая сумма моментов нескольких сил, действующих на материальную точку A относительно некоторой точки O, равна моменту суммы этих сил относительно той же точки M = [r, F] = [r,(F→1+F→2 +…)] = [r,F→1]+[r,F→2]+…

Момент силы относительно некоторой оси

Моментом силы относительно некоторой оси называют проекцию Mz на данную ось вектора момента этой силы M относительно любой точки, лежащей на оси.

Величина Mz не зависит от выбора точки O‘ на оси, поскольку момент силы M при переносе точки приложения силы вдоль линии ее действия не изменяется. Момент силы относительно точки O численно равен моменту этой силы относительно оси OZ, перпендикулярной плоскости, в которой лежат векторы r и F (а значит и точка O).

Плечо силы — это кратчайшее расстояние между осью и линией действия силы d = r sinφ. В таком случае момент силы относительно этой оси может быть определен как произведение силы и плеча M = Fd. Такое определение момента силы дается в элементарной физике. При этом положительными считаются те моменты сил, которые вызывают вращение по часовой стрелке, а отрицательными — вызывающие вращение против часовой стрелки.

Рассмотрим действие сил на тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси OO′:
момент силы - онлайн калькулятор
Сила Fa, параллельная оси, может только деформировать эту ось. Не вызовет вращения и сила Fb, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения, если линия, вдоль которой она действует, проходит через эту ось, то есть совпадает по направлению с радиус-вектором rb, проведенным в точку ее приложения B.

Вызвать вращение тела вокруг неподвижной оси может только сила или ее составляющая, которая лежит в плоскости, перпендикулярной данной оси, и не совпадает по направлению с радиус-вектором, проведенным в этой плоскости к точке ее приложения. Силу, образующую произвольный угол с осью вращения, можно спроецировать на перпендикулярную плоскость, а затем разложить на тангенциальную Fτ и радиальную Fr составляющие. Именно тангенциальная составляющая силы создает момент относительно оси M = Fτr и является причиной тангенциального ускорения точки тела, к которой она приложена, то есть вызывает изменение модуля линейной скорости этой точки при вращательном движении.

Добавить комментарий