Как найти сумму наращения

Вычисления на
основе сложного (кумулятивного) процента
означают, что начисленные на первоначальную
сумму проценты к ней присоединяются, а
начисление процентов в последующих
периодах производится на уже наращенную
сумму. Сумма, полученная в результате
накопления процента, называется
наращенной, или будущей стоимостью
суммы вклада по истечении периода, за
который осуществляется расчет.
Первоначальная сумма вклада называется
текущей стоимостью.

Механизм наращения
первоначальной суммы (капитала) по
сложным процентам называют капитализацией.

Расчет наращенной
суммы по сложным процентам производиться
по формуле:

, (1.1)

где FV
– наращенная (будущая) сумма;

PV
– первоначальная (текущая) сумма, на
которую начисляется процент;

i
– ставка сложных процентов, выраженная
десятичной дробью;

n
– число лет, в течение которых начисляются
проценты.

ПРИМЕР 1.
Вкладчик внес в банк 500 руб. под 10% годовых.
Определить величину наращенной суммы
через 4 года.

Начисление процентов
может производиться чаще, чем один раз
в год – по полугодиям, кварталам,
помесячно и, наконец, ежедневно. В
подобных случаях для расчета наращенной
суммы можно использовать формулу
наращения (1.1), в которой величина n
будет означать общее число периодов
начисления процентов, а ставка i
– процентную ставку за соответствующий
период.

Однако в большинстве
случаев указывается не квартальная или
месячная ставка, а годовая, которая
называется номинальной. Кроме того,
указывается число периодов (m)
начисления процентов в году. Тогда для
расчета наращенной суммы используется
формула:

(1.2)

где j
– номинальная годовая процентная
ставка;

m
– число периодов начисления процентов
в году;

n
– число лет.

ПРИМЕР 2.
Депозит в размере 500 руб. внесен в банк
на 3 года под 10% годовых; начисление
процентов производится ежеквартально.
Определить наращенную сумму.

При увеличении
числа периодов m начислений процентов
возрастает темп процесса наращения.
Так, например, если исходя из условий
предыдущей задачи начисления процентов
производить ежемесячно, то наращенная
сумма:

Кроме номинальной
ставки существует понятие эффективной,
или действительной, процентной ставки.
Эффективная ставка измеряет тот
относительный доход, который получает
владелец капитала в целом за год. Другими
словами, отвечает на вопрос: какую
годовую ставку процентов необходимо
установить, чтобы получить такой же
финансовый результат, как и при m-разовом
(ежемесячном или ежеквартальном)
начислении процентов в году по ставке
j/m.
Эффективная ставка сложных процентов:

+

ПРИМЕР 3.
Необходимо определить эффективную
ставку сложных процентов с тем, чтобы
получить такую же наращенную сумму, как
и при использовании номинальной ставки
j=18%, при ежеквартальном
начислении процентов.

Начисление процентов
на проценты это эффективное средство
накопления денег. Это становится
очевидным, если рассчитать, как много
времени понадобится для того, чтобы
удвоить сумму инвестиций (табл. 2).

Таблица 2

Расчет времени
удвоения первоначальной суммы, вложенной
в банк

Процентная ставка (i)	Время удвоения первоначальной суммы, лет
0,02 0,05 0,10 0,15 0,20	35,0 14,2 7,3 5,0 3,8

Правило 72
(см. лекции, тема 3) используется для
примерного расчета количества лет,
необходимых для увеличения наличной
суммы в два раза при условии, что весь
процент остается на депозите.

Количество периодов,
необходимое для удвоения первоначальной
суммы вычисляется как

где i
– ставка сложных процентов

Данное правило
рекомендуется применять при ставке,
изменяющейся от 3 до 18%.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задача 1

Через
сколько лет первоначальная сумма увеличится в 1000 раз, если на нее начисляются
сложные годовые проценты по ставке 12% при: а) начислении процентов в конце
года; б) ежемесячном начислении процентов?

---

Задача 2

Господин
Н поместил в банк 50 тыс. руб. на условиях начисления каждый квартал сложных
процентов по годовой ставке 12%. Через полтора года он снял со счета 20 тыс.
руб., а через 2 года после этого закрыл счет. Определить сумму, полученную им
при закрытии счета.

---

Задача 3

Два
денежных взноса, один из которых на 30 000 руб. больше другого, вырастут за 15
лет с процентной ставкой 6% так, что вместе составят 100 000 руб. Капитализация
полугодовая. Чему равны эти два денежных взноса?

---

Задача 4

Необходимо
инвестировать 350 000 руб. сроком на три года. Есть два варианта: вклад с
простой процентной ставкой 15% и вклад с ежедневным начислением сложных
процентов по годовой ставке 14%. Определите наиболее выгодный для инвестора
вариант расчета процентов и вложения средств.

---

Задача 5

10 млн.
руб. инвестированы на два года по ставке 30% годовых. Требуется найти
наращенную сумму за два года, если начисление процентов производится: а) по
полугодиям; в) ежеквартально.

---

Задача 6

11 лет
назад в банк было вложено 34560 руб., а 5 лет назад – 45000 руб. Какой капитал
нужно вложить сегодня, чтобы сумма всех вложений через 16 лет была равна 835000
руб. Процентная ставка равно 10%, а капитализация годовая.

---

Задача 7

Первоначальный
долг в размере 10000 руб. через 180 дней вырос до 20000 руб. Определить годовую
процентную ставку, по которой начислялись проценты:

а)
простые проценты;

б)
сложные проценты один раз в год;

---

Задача 8

На вклад
в размере 15000 руб. ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой
процентной ставке 12%. Какой будет величина вклада через 1,5 года?

---

Задача 9

Определить
ставку начисления сложных процентов, если известно, что по истечении 3 лет было
получено 240 000 руб., при этом начальная сумма вклада составляла 180 000 руб.

---

Задача 10

Вклад в
размере 20000 руб. под 10% годовых сроком на 2 года предусматривает начисление
и капитализацию процентов по полугодиям. Рассчитать величину вклада в конце
каждого квартала в течение срока вклада. Повторить расчет для случая начисления
простых процентов по той же ставке и сравнить полученные результаты.

---

Задача 11

На
начальную сумму в 1000$ в течение 4 лет начисляются каждые полгода сложные
проценты по номинальной ставке 5%. На сколько увеличится или уменьшиться
наращённая сумма, если номинальная ставка и число периодов капитализации процентов
возрастут вдвое?

---

Задача 12

Сумма
18000 руб. выплачивается через 3,8 года. Номинальная ставка процентов – 18,5%
годовых. Определить современную стоимость при ежемесячном начислении процентов.

---

Задача 13

Остров
Манхэттен был куплен в 1624 г. у индейского вождя за 24$. Стоимость земли этого
острова 350 лет спустя оценивалась в 40 млрд.$. При какой ставке годовых
процентов возможен такой рост?

---

Задача 14

Вы
делаете вклад в банк в размере 100 тыс. руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 8
% годовых. Какая сумма будет на счете к концу срока, если начисление процентов
производится по схеме простых и сложных процентов: а) ежегодно б) каждые
полгода?

---

Задача 15

Кредит в
сумме 2500$ выдан на 8 лет. Сложная ставка годовых процентов менялась от
периода к периоду: на протяжении первых 3 лет действовала ставка 7,5%, в
следующие 3 года – 8%, в последнем периоде – 8,2%. Какую сумму нужно вернуть в
конце восьмого года?

---

Задача 16

Каково
минимально приемлемое значение годовой ставки сложных процентов, если ссуда
должна быть удвоена в течение 3-х лет.

---

Задача 17

Первоначальная
сумма ссуды 20,0 тыс. руб. срок ссуды 3 года, проценты начисляются в конце
каждого квартала по номинальной ставке 8 % годовых. Определить множитель
наращения и погашаемую сумму.

---

Задача 18

Первоначальная
сумма ссуды 50 тыс. руб. выдана на 2 года. Проценты начисляются по годовой
номинальной ставке 12%. Чему равна конечная сумма долга, если:

– проценты начисляются один раз в конце года,

– проценты начисляются четыре раза в год (в конце
каждого квартала).

Результаты
сравнить и сделать выводы.

---

Задача 19

Какова
ставка сложных процентов, если сумма долга удвоилась за 5 лет?

---

Задача 20

Вкладчик намерен положить деньги в
банк под 15% годовых. Определить сумму вклада, необходимую для накопления через
2 года 50 тыс. руб. в случае простых и сложных процентов.

---

Задача 21

На 1 марта 2011 г. принято
обязательство выплатить 1 млн. руб. (с процентами) к сроку 1 марта 2013 г. При
расчетах принять ставку (схема сложных процентов) 15% годовых. Требуется: найти
наращенную сумму долга к сроку выплаты.

---

Задача 22

За какой период первоначальный
капитал в размере 40000 руб. вырастет до 75000 руб. при простой (сложной)
ставке 15% годовых?

---

Задача 23

Сравнить сроки удвоения суммы 1000
руб. при начислении сложных процентов:

а) по полугодиям;

б) ежеквартально;

в) непрерывно.

---

Задача 24

 Банк ежегодно начисляет сложные проценты на
вклады по ставке 25% годовых. Определить сумму, которую надо положить в банк,
чтобы через 3 года накопить 100 млн. руб.

---

Задача 25

Вкладчик закрывает в банке
двухгодичный депозит и получает сумму 124 тыс.р. Какую сумму он внес на депозит
два года назад, если сложная процентная ставка 11% с полугодовым начислением
процентов?

---

Задача 26

Промышленное предприятие вносит на
счет в банке некоторую сумму, чтобы через пять лет обновить оборудование в
цехе. Сколько денег необходимо внести предприятию, если обновление цеха
обойдется 10.5 млн.р., а сложная ставка процента 10%, при ежеквартальном
начислении процентов.

---

Задача 27

Сравните скорость наращения суммы в 1000
руб. по простым и сложным процентам, если годовая ставка равна 20%, для сроков
в полгода, год, два года, три года. Сравните результаты, сделайте выводы.

---

Задача 28

Банк выдает ссуду на 10 лет или под
процент 7 % годовых (сложных), или под простые проценты. Какую ставку простых
процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?

---

Задача 29

Банк предоставил ссуду в размере
9000 рублей на 3.5 года под 20% годовых на условиях полугодового начисления
процентов. Определить возвращаемую сумму при различных схемах начисления
процентов: простых и сложных.

---

Задача 30

Банк начисляет проценты на вклады до
востребования по сложной ставке 9% годовых. Определить сумму вклада для
накопления через 1.5 года 50 тыс. рублей

---

Задача 31

Рассчитайте, какая сумма будет на
счете, если вклад 10000 руб. положен на 2,5 года по 9 процентов годовых. Решите
задачу для простых и сложных процентов, которые начисляются:

а) раз в год;

б) раз в полугодие;

в) ежеквартально;

г) ежемесячно;

д) ежедневно;

е) непрерывно.

---

Задача 32

Рассчитайте, какая сумма будет через
4 года на счете, если в конце каждого месяца вносится по 1000 руб. Проценты
сложные, начисление ежемесячное, годовая ставка 9%.

---

Задача 33

Фермер взял в банке кредит на сумму
5 млн. руб. под 8 % годовых (сложных). Через год он вернул банку 3 млн. руб., а
еще через год взял кредит на сумму 2 млн. руб. Через 2 года после этого фермер
вернул полученные кредиты полностью. Какую сумму он при этом выплатил банку?

---

Задача 34

Кредит в размере 910 000 руб.
выдан на два года и 80 дней под 16% годовых по сложной ставке. Найти сумму
долга на конец кредита.

---

Задача 35

За сколько лет долг возрастет с
750 000 руб. до 1 200 000 руб., если ставка сложная годовая 25%.

---

Задача 36

Кредит в размере 2.350.000 рублей
выдан на 4 года и 30 дней под 21% годовых по сложной ставке. Найти сумму долга
на конец срока кредита.

---

Задача 37

За сколько лет долг возрастет с
830.000 рублей до 1.220.000 рублей, если ставка сложная годовая 18%.

---

Задача 38

 Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий
проценты по ставке j6 = 10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить
20000 руб. (е) через 3 года 3 месяца?

---

Задача 39

Банк выплачивает на вложенные в него
деньги 8% годовых (сложных). Какую ставку j_m должен установить банк,
чтобы доходы клиентов не изменились, если (е) m = 4?

---

Задача 40

Определите время, за которое
происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных
процентов, если процентная ставка равна: а) 5 %; б) 10 %; в) 15 %; г) 25 %; д)
50 %; е) 75 %; ж) 100 %

---

Задача 41

Сумма выплаченных процентов
составляет 570 тыс. руб. Ссуда выдана сроком на 2 года. Ставка сложных
процентов составляет 10% годовых.

Определить:

1. Первоначальную сумму долга.

2. Величину наращенной суммы.

---

Задача 42

Банк на денежный вклад начисляет
проценты в размере 20%. Определить число лет, необходимое для увеличения
первоначального капитала в 3 раза при начислении простых и сложных процентов.

---

Задача 43

Определить число дней, за которое
начальный банковский депозит в 2174.03 руб. рублей достигнет величины 2775,64
руб.  при сложной ставке наращения i_c=11.43%.

---

Задача 44

Найдите период времени, за который
сумма, положенная на депозит, возрастет в 2 раза при начислении процентов:

а) По простой ставке 16%;

б) По сложной ставке 18%.

---

Задача 45

За сколько лет сумма в 1000 у.е.
достигнет 25000 у.е. при начислении % по сложной ставке в 16%:

а) Раз в год;

б) Поквартально

---

Задача 46

Ссуда в размере $100000 выдана на
пять с половиной лет под 6% годовых. Проценты начисляются в конце каждого
квартала. Найти сумму процентов к выплате.

---

Задача 47

Облигация стоит 18,75 тысяч рублей,
по ней выплачивается 25 тысяч рублей через 10 лет, какая процентная ставка j₂
обеспечит этот рост?

---

Задача 48

Депозит
рассчитывается по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой 10%. За
какое время первоначальная сумма увеличивается в 5 раз?

---

Задача 49

Определить
более выгодный вариант вложения денежных средств в объеме 200 тыс. руб.:

а) сроком
на 1 год, получая доход в виде простой процентной ставки 10% годовых;

б) по
сложной ставке 8% с поквартальной капитализацией.

---

Задача 50

Вы имеете
10 млн. р. и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально
приемлемое значение процентной ставки?

---

Задача 51

На счете
в банке 1,2 млн. р. Банк платит 12,5% годовых. Предлагается войти всем
капиталом в совместное предприятие, при этом прогнозируется удвоение капитала
через 5 лет. Принимать ли это предложение?

---

Задача 52

Рассчитайте
наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. р. при размещении ее в банке при условиях
начисления: а) простых б) сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды
начисления 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.

---

Задача 53

Владелец
80 тыс. руб. положил эту сумму в Сбербанк сроком на три года из расчета
процентной ставки, равной 10% годовых. Вычислите размер дохода по этому вкладу
за три года, исходя из того, что владелец денег не снимал проценты по
завершению первого и второго годов.

---

Задача 54

Рассчитать
сумму начисленных % (сложные %)

Период 5
лет

Годовая
процентная ставка 24%

Капитализация
– ежеквартальная

Вклад –
6000 руб.

---

Задача 55

Вклад в размере 8 тыс. руб. хранился
2 года под 7% годовых, 1 год – под 8% и 3 года – под 9% с полугодовой
капитализацией процентов. Определить сумму начисленных процентов.

---

Задача 56

Найти
срок долга, при котором сумма вклада удвоится, если процентная ставка сложных
процентов j=0,22
. Проценты начисляются 4
раза в год.

---

Задача 57

Клиент
желает накопить 20 000 руб. через три года 5 месяцев. Банк начисляет проценты
по сложной номинально процентной ставки 12 % годовых с ежеквартальным
начисление процентов. Какую сумму должен вложить клиент?

---

Задача 58

Определить
минимальную годовую ставку сложных процентов, необходимую для удвоения
банковского вклада в течение 4 лет.

---

Задача 59

Банк
начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через
3 года иметь на счете 4 млн. р., если проценты начисляются ежеквартально.

---

Задача 60

Банк
начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через
3 года иметь на счете 15 млн. р., если проценты начисляются ежеквартально.

---

Задача 61

Найдите
период времени, за который сумма, положенная на депозит, возрастет в 2 раза при
начислении процентов:

а) По
простой ставке 17%;

б) По
сложной ставке 18%.

---

Задача 62

За
сколько лет сумма в 1000 у.е. достигнет 25000 у.е. при начислении % по сложной
ставке в 17%:

а) Раз в
год;

б)
Поквартально

---

Задача 63

Гражданин
решил купить легковой автомобиль за 595 тыс. руб. Какая годовая ставка сложных
процентов по депозиту в банке обеспечит накопление необходимо суммы через 4
года, если сейчас у гражданина имеется всего 265 тыс. руб.?

---

Задача 64

Сколько
времени потребуется для того, чтобы начисленные проценты сравнялись с
первоначальной вложенной суммой, если сложная годовая учетная ставка составляет
9,5%? Дробную часть года перевести в дни, используя временную базу в 365 дней.

---

Задача 65

В долг
предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. через 28
месяцев. Найдите доходность данной финансовой операции в виде сложной процентной
ставки. Временная база 360 дней.

---

Задача 66

Годовая ставка сложных процентов
равна 8 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

---

Задача 67

Банк
предоставил ссуду в размере 150 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку
30% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и
начисленных сложных процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку при
различных вариантах начисления сложных процентов: а) годовом; б) полугодовом;
в) ежеквартальном.

---

Задача 68

Клиенту
требуется через полгода иметь на счете 10 млн. рублей. На какую процентную
ставку рассчитывает вкладчик, если собирается положить в банк 9,8 млн. рублей
(проценты начисляются ежеквартально).

---

Задача 69

Стоимость
нового автомобиля составляет 15000 долларов. Если процентная ставка в банке на
вклады сроком более года равна 6%, на какую сумму следует открыть депозит,
чтобы собрать в течение двух лет 15000 долларов? Проценты по вкладу начисляются
ежеквартально.

---

Задача 70

Рассчитайте,
какая сумма окажется на счете, если 28 тыс. денежных единиц размещены на 33
года под 13,5% годовых. Проценты начисляются каждые полгода.

---

Задача 71

Господин
Филиппов хочет вложить 5 тыс. руб., чтобы через 2 года получить 7 тыс. руб. Под
какую процентную ставку

 он должен вложить свои деньги?

---

Задача 72

Сумма
размером 5 тысяч рублей инвестирована на 1 год по ставке 15% годовых. Найдите
наращенную за это время сумму и ее приращение при начислении процентов: а)
ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно.

---

Задача 73

В течение
семи лет на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по ставке 13%.
Определите современную величину суммы в 330 млн.р., если проценты начислялись:

а) один
раз в год;

б) один
раз в полгода.

---

Задача 74

Кредит
получен в сумме 5000000 руб. В конце срока долга уплатили 12000000 руб.
Определить срок долга, если начисляются сложные проценты ежемесячно по годовой
процентной ставке 0,13.

---

Задача 75

За какой срок первоначальный капитал
в 58 млн. д.е. увеличивается до 180 млн. д.е. если:

А) на него будут начисляться сложные
проценты по ставке 24% годовых;

Б) проценты будут начисляться
ежеквартально?

---

Задача 76

Вкладчик
положил в банк под сложную ставку 18% годовых 3000 руб. Какая сумма будет на
счете вкладчика а) через 3 месяца; б) через год; в) через 3,5 года?

---

Задача 77

Депозит
рассчитывается по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой 10%. За
какое время первоначальная сумма увеличивается в 5 раз?

Простые и сложные проценты

С помощью калькулятора вычисляются параметры финансовых операций по простой и сложной банковской ставке (см. также вычисления при учетной ставке).

• Ввод данных
• Решение

Здесь будет показано решение

Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала (процентная ставка называется учётной).

Простые проценты

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

• точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Обозначается как 365/365 или АТС/АТС.
• обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Обозначается как 365/360 или АТС/360.
• обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). Обозначается как 360/360.
  
  По схеме 360 количество дней к году принимается равным 360 (в каждом месяце по 30 дней).
  
  Пример. Определить приближённое число дней между 12.02.2019 и 27.08.2020.
  
  Если год рассматривается как промежуток, содержащий 12 месяцев продолжительностью 30 дней (дивизор равен 360 дней), то приближённое число дней рассчитывается следующим образом:
  
  n = 360*(y2-y1)+30*(m2-m1)+(d2-d1)
  
  где y – номер года, m – номер месяца в году, d – номер дня в месяце.
  
  n = 360*(2020-2019)+30*(8-2)+(27-12) = 555 дней

Наращение основной суммы: S = P(1+i*n)

где P – исходная сумма, i – проценты, n – количество лет.

Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет:
S=P·(1+tT​·i)

где t – срок в днях, T – временная база (365 или 360)

Примеры задач на простые проценты

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.

1. Ссуда в размере P = 1 млн.руб. выдана d1 = 20.01 до d2 = 05.10 включительно под i = 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода расчёта срока ссуды.
   
   Решить аналогичную
   
   Начальная дата: 20.01, конечная дата: 05.10, количество дней между датами: 258
   
   Январь, 11 дней: с 21.01 по 31.01
   
   Февраль, 28 дней: с 01.02 по 28.02
   
   Март, 31 день: с 01.03 по 31.03
   
   Апрель, 30 дней: с 01.04 по 30.04
   
   Май, 31 день: с 01.05 по 31.05
   
   Июнь, 30 дней: с 01.06 по 30.06
   
   Июль, 31 день: с 01.07 по 31.07
   
   Август, 31 день: с 01.08 по 31.08
   
   Сентябрь, 30 дней: с 01.09 по 30.09
   
   Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
   
   Итого: 11 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 5 = 258
   
   S=P·(1+tT​·i)
   
   1) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
   
   S=1 000 000·(1+258365​·0.18)=1 127 232.88 руб.
   
   2) Обыкновенные проценты с точным числом дней (365/360)
   
   S=1 000 000·(1+258360​·0.18)=1 129 000 руб.
   
   3) Обыкновенные проценты с приближённым числом дней (360/360)
   
   Количество дней между датами: 255
   
   Январь, 10 дней: с 21.01 по 30.01
   
   Февраль, Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь по 30 дней
   
   Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
   
   Итого: 10 + 30*8 + 5 = 255
   
   S=1 000 000·(1+255360​·0.18)=1 127 500 руб.
2. Через d = 180 дней после подписания договора должник уплатит S = 310 тыс.руб. Кредит выдан под i = 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?
   
   Решить аналогичную
   
   P=S(1+tT​·i)​
   
   Находим современную стоимость P=310 000(1+180365​·0.16)​ = 287 328.59 руб.

Сложные проценты

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.

Сложная процентная ставка наращения – это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты. Формула наращения для сложных процентов имеет вид:

S=P·(1+i)n

Если в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц (m=12), квартал (m=4) или другой период, то наращенная сумма определяется по формуле:

S=P·(1+im​)m·n

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти смешанным методом:

S = P·(1+i)[n]·(1+{n}·i)

где [n] – целая часть числа; {n} – дробная часть числа n.

Современная стоимость Р величины S находится в случае сложной процентной ставки по формуле:

P=S(1+i)n​

Примеры задач на сложные проценты

1. Какой величины достигнет долг, равный P = 1 млн.руб., через n = 5 лет при росте по сложной ставке i = 15,5% годовых, если проценты начисляются раз в год, ежемесячно, поквартально и два раза в год?
   
   Решить аналогичную
   
   1) Сложные проценты начисляются раз в год: S = 1 000 000·(1+0.155)5 = 2 055 464,22 руб
   
   2) Сложные проценты начисляются два раза в год:
   
   S=1 000 000·(1+0,1552​)2·5 = 2 109 467,26 руб.
   
   3) Сложные проценты начисляются 4 раза в год (поквартально):
   
   S=1 000 000·(1+0,1554​)4·5 = 2 139 049,01 руб.
   
   4) Сложные проценты начисляются ежемесячно (12 раз в год):
   
   S=1 000 000·(1+0,15512​)12·5 = 2 159 847,20 руб.
2. Через n = 5 лет предприятию будет выплачена сумма S = 1 млн.руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов i = 10% годовых.
   
   Решить аналогичную
   
   P=S(1+i)n​
   
   P=1 000 000(1+0,1)5​ = 620 921,32 руб.
   
   Если проценты начислялись ежеквартально.
   
   P=S(1+im​)m·n​
   
   P=1 000 000(1+0,14​)4·5​ = 610 270,94 руб.
3. Определить современную стоимость S = 20 тыс.руб., которые должны быть выплачены через четыре года (n = 4). В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по i = 8 %годовых: а)ежегодно; б)ежеквартально.
   
   Решить аналогичную
   
   P=S(1+i)n​
   
   P=20 000(1+0,08)4​ = 14 568,92 руб.
   
   Если проценты начислялись ежеквартально.
   
   P=S(1+im​)m·n​
   
   P=20 000(1+0,084​)4·4​ = 14 570 руб.
4. За взятые в долг деньги под сложную процентную ставку i=35% годовых должник обязан уплатить кредитору 30 тыс. руб. 1 июля 1997 г. Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вернет долг: а) 1 января 1997 г.; б) 1 января 1998 г.; в) 1 июля 1999 г.?
   
   Количество дней в 1997 году: T=365.
   
   а) 1 января 1997 г.;
   
   Эта дата ранее 1 июля 1997 г., поэтому речь идет о поиске исходной суммы P (S=30000). Количество дней между 1 января 1997 г. и 1 июля 1997 г. составляет d=181 дн..
   
   б) 1 января 1998 г.;
   
   Эта дата позже 1 июля 1997 г., поэтому находим наращенную сумму S (P=30000). d1=01.07.1997 и d2=01.01.1998.
   
   в) 1 июля 1999 г.
   
   Количество лет между 1 июля 1997 г. и 1 июля 1999 г. составляет n=2 года.
   
   S=P·(1+i)ⁿ=30000·(1+0.35)² = 54 675 руб.

Список источников

• Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций/Н.А.Шиловская.-Архангельск:Сев. (Аркт.) фед.ун-т, 2011. -104с.
• Ширшов Е.В. Финансовая математика: учебное пособие / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. – 5-е перераб. и доп. – М.: КНОРУС, 2010. – 144 с.

Стоимость подключения зависит от срока использования:

• 1 месяц: 100 руб.
• 3 месяца: 200 руб.
• 6 месяцев: 300 руб.
• 1 год: 600 руб.

Возможности:

• Скачивать решение в формате Word (форматы rtf, docx, xlsx).
• Использовать калькуляторы без рекламы.

Оплата осуществляется в Личном кабинете в разделе Платные услуги.

Наращенная сумма