Как найти сумму односторонних углов

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Параллельные прямые
5. Теорема об односторонних углах

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 16,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 17,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 298,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 377,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 390,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 428,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 462,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 710,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 809,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Углы при пересечении двух прямых

• Углы при пересечении параллельных прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

На рисунке изображены две прямые  a  и  b,  пересекаемые прямой  c.  Прямая  c  по отношению к прямым  a  и  b  является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы  (∠1,  ∠2,  ∠7  и  ∠8), а красным — внутренние углы  (∠3,  ∠4,  ∠5  и  ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

• внутренние накрест лежащие углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна  180°;
• соответственные углы равны;
• внешние накрест лежащие углы равны;
• сумма внешних односторонних углов равна  180°.

Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.

Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

Теорема о сумме односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей

§ 15. Свойства параллельных прямых

(обратная теореме 14.1)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

Пусть ∠ 1 ≠ ∠ 2. Тогда через точку K проведём прямую a 1 так, чтобы ∠ 3 = ∠ 2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a 1 и b и секущей c . Тогда по теореме 14.1 a 1 ‖ b . Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

(обратная теореме 14.3)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

(обратная теореме 14.2)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180° .

На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠ 1 + ∠ 3 = 180°. Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой ( рис. 227 ).

Докажите это следствие самостоятельно.

Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a . Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b . Докажем, что MK = NP .

Рассмотрим треугольники MKN и PNK . Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b , то MK ‖ NP , а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN .

Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN . Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.

Тогда MK = NP .

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b .

Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC , MK ‖ AC . Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.

Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC , то ∠ MAK = ∠ KAC .

Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK . Следовательно, ∠ MAK = ∠ MKA .

Тогда треугольник AMK — равнобедренный.

1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
4. Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
5. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

326. На рисунке 230 найдите угол 1.

327. На рисунке 231 найдите угол 2.

328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.

329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

1) один из этих углов равен 48°;

2) отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.

331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.

332. На рисунке 232 m ‖ n , p ‖ k , ∠1 = 50°. Найдите ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4.

333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC , пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.

334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC ( AB = BC ) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB . Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.

335. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , AO = BO , AC ‖ BD . Докажите, что CO = DO .

336. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F , DK ‖ ME , DK = ME . Докажите, что ∆ MEF = ∆ DKF .

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

338. На рисунке 233 AB ‖ CD , BC ‖ AD . Докажите, что BC = AD .

339. На рисунке 233 BC = AD , BC ‖ AD . Докажите, что AB ‖ CD .

340. На рисунке 234 MK ‖ EF , ME = EF , ∠ KMF = 70°. Найдите ∠ MEF .

341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK , параллельную прямой AC , ∠ MBA = 42°, ∠ CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC .

342. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC . Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

343. На рисунке 236 ∠ MAB = 50°, ∠ ABK = 130°, ∠ ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD . Найдите углы треугольника ACE .

344. На рисунке 237 BE ⊥ AK , CF ⊥ AK , CK — биссектриса угла FCD , ∠ ABE = 32°. Найдите ∠ ACK .

345. На рисунке 238 BC ‖ MK , BK = KE , CK = KD . Докажите, что AD ‖ MK .

346. На рисунке 239 AB = AC , AF = FE , AB ‖ EF . Докажите, что AE ⊥ BC .

347. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC . Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF .

348. На рисунке 240 AB ‖ DE . Докажите, что ∠ BCD = ∠ ABC + ∠ CDE .

349. На рисунке 241 AB ‖ DE , ∠ ABC = 120°, ∠ CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD .

350. Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM . Эта прямая пересекает прямую AC в точке K . Докажите, что ∆ BAK — равнобедренный.

351. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC . Эта прямая пересекает сторону AB в точке M , а сторону BC — в точке K . Докажите, что MK = AM + CK .

352. Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O . Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC .

Упражнения для повторения

353. На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB ?

354. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O , AB = BC = CD = AD . Докажите, что AC ⊥ BD .

355. В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A , в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB . Какова градусная мера угла BKP , если MO = TP , ∠ M = ∠ T , ∠ O = ∠ P , ∠ AEO = 17°?

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

Геометрия. Урок 2. Углы

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Углы

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными .

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными .

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными .
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
• Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

[spoiler title=”источники:”]

http://reader.lecta.rosuchebnik.ru/demo/8068/data/Chapter21.xhtml

[/spoiler]

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B  или ∠ B O A ,  но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

Пример:

Пары углов

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

Пары углов

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными.

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов:

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов:

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов:

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
• Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Скачать домашнее задание к уроку 2.