Как найти сумму острого угла

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 20 марта 2023 года; проверки требуют 6 правок.

Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии.

Формулировка[править | править код]

Сумма углов любого треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.^[1]

Доказательство[править | править код]

Пусть  — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

Следствия[править | править код]

• В треугольнике не может быть двух тупых или двух прямых углов, потому что тогда сумма углов была бы больше 180°. По той же причине треугольник не может содержать тупой и прямой углы одновременно.
• У любого треугольника не меньше двух острых углов. Действительно, случай, когда у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов, противоречит предыдущему следствию.
• В прямоугольном треугольнике оба угла при гипотенузе — острые.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому тупым может быть только угол, противолежащий основанию.
• В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны (180° — 90°) /2 = 45°.
• В равностороннем треугольнике все три угла совпадают и поэтому равны 180° / 3 = 60°.
• (Теорема о внешнем угле треугольника) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним^[2].

Вариации и обобщения[править | править код]

Многоугольники[править | править код]

Обобщение для симплексов[править | править код]

Существует более сложное соотношение между двугранными углами произвольного симплекса. А именно, если  — угол между i и j гранями симплекса, то определитель следующей матрицы (являющейся циркулянтом) равен 0:

.

Это следует из того, что этот определитель является определителем Грама нормалей к граням симплекса, а определитель Грама линейно зависимых векторов равен 0, и вектор в -мерном пространстве всегда линейно зависимы.

В неевклидовых геометриях[править | править код]

Приведённое в этой статье доказательство опирается на определённое свойство параллельных прямых, а именно — утверждение о том, что внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Доказательство этого утверждения, в свою очередь, использует аксиому параллельности евклидовой геометрии. Можно показать, что любое доказательство теоремы о сумме углов треугольника будет использовать аксиому параллельности, и наоборот — из утверждения, что сумма углов треугольника равна 180°, можно вывести аксиому параллельности, если даны остальные аксиомы классической геометрии (абсолютная геометрия)^[3].

Таким образом, равенство суммы углов треугольника 180° является одним из основных признаков именно евклидовой геометрии, отличающих её от неевклидовых, в которых аксиома параллельности не выполняется:

• На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.

Пример. Одна вершина треугольника на сфере — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.

• В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: АВС (рис. 220).

Доказать: A+B +C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда KBA =A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aMBC =C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

KBA +ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1.    Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

2.    Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).    

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, то1 =2.

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Решение:

Пусть  ( — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Тогда  

Ответ:

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° – 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Из треугольника АОС находим:

Ответ: 125°.

Замечание. Если  то, рассуждая аналогично, получим формулу: Если, например,

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана,  (рис. 226).

Докажем, чтоACB = 90°. Обозначим A = ,В = . Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как АМС — равнобедренный, тоA =ACM = как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, СМВ — равнобедренный и B =BCM = . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 + 2, с другой — равна 180°. Отсюда 2 + 2 = 180°, 2( + ) = 180°, + = 90°. НоACB = + , поэтому

ACB = 90°. 

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой». 

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=,B=.

Проведем отрезок СМ так, чтоACM=, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aBCM дополняетACM до 90°. Поскольку ACM =A = , тоBCM =. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = АВ.