Как найти сумму первого столбца матрицы

Содержание:

Определение: Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В дальнейшем будем писать матрицу в сокращенном видеМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется матрицей-строкой Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матрицей-столбцом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример:

Следующие таблицы являются матрицами

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Матрица, у которой совпадает количество столбцов с количеством строк, называется квадратной.

Всякой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из тех же матричных элементов, который в теории матриц называется детерминантом матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Транспонированной к исходной квадратной матрице называется такая матрица, строки которой заменены на соответствующие столбцы, а столбцы – на соответствующие строки.

Замечание: Согласно свойству 1. для определителей (см. Лекцию № 1) для квадратных матриц детерминант исходной матрицы равен детерминанту транспонированной матрицы.

Определение: Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Действия над матрицами

1. Суммой (разностью) двух матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения одинаковой структуры называется матрица той же размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элементы которой вычисляются по формуле: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример:

Найти сумму (разность) матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Из приведенных матриц складывать (вычитать) можно только матрицы А и С, которые имеют одинаковую структуру. Найдем сумму:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

и разность этих матриц:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

2. При умножении вещественного числа k на матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример:

Умножить (-2) на матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Результат умножения имеет вид Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

3. Произведением матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлементы которой вычисляются по формуле: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для которых количество столбцов первой перемножаемой матрицы совпадает с количеством строк второй перемножаемой матрицы. Матрица, получаемая в результате перемножения, имеет количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.

Пример:

Найти (возможные) произведения матриц

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица А имеет структуру 2×3, матрица В – 2×2, матрица С – 3×2. Согласно определению можно найти произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Не существуют произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Вычислим произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Прежде всего, определим структуру результирующей матрицы: имеем размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения убирая подчеркнутые цифры, получим структуру результирующей матрицы 2×3. Вычислим ее элементы. Для того чтобы найти элементы возможных произведений, надо просуммировать произведения элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Остальные возможные произведения найти самостоятельно.

Замечание: Из приведенного примера видно, что в общем случае произведение матриц некоммутативно (неперестановочно), т. е.Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Обратной матрицей к исходной квадратной матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения той же структуры, произведение которой с матрицей А коммутативно и равно единичной матрице, то есть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Рассмотрим схему построения обратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание: Обращаем внимание на то, что матрица алгебраических дополнений записана в транспонированном виде.

Пример:

Найти обратную матрицу к матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Вычислим детерминант данной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения раскроем этот определитель по элементам первой строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов определителя: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Запишем обратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, для чего воспользуемся ее определением. Умножим найденную матрицу на исходную матрицу, вычислим элементы результирующей матрицы

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Таким образом, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения т.е. найдена верно.

Основные сведения о матрицах

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное — компактной матричной форме.

Матрицей размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — номер строки, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — номер столбца.

Например, матрица

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

или, в сокращенной записи, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения для любых Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.) Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В этой записи, например, матричный элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца — матрицей (вектором)-столбцом: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— матрица-строка;

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— матрица-столбец.

Матрица называется квадратной Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, у которых номер столбца равен номеру строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения—диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, она обозначается буквой Е.

Например,Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые – специфические.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элементы которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решения для Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Сложение матриц

Суммой двух матриц А и В одинакового размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , элементы которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решения для Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(т.е. матрицы складываются поэлементно).

Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения В частном случае A + 0 = A.

Вычитание матриц

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Умножение матриц

Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второйМатрица - виды, операции и действия с примерами решения. Тогда произведением матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется такая матрицаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения, каждый элемент которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решения равен сумме произведений элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки матрицы А на соответствующие элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го столбца матрицы В:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №1

Вычислить произведение матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

1. Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Получаем Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из определений этих операций):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэтом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

а)Если произведение матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения существует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения может и не существовать. Действительно, в примере 1.1 получили произведение матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, а произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения не существует, так как число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй матрицы.

б)Если даже произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Пример №2

Найти произведения матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения ► в) В случае, когда оба произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения существуют и оба — матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е.Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №3

Найти произведения матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-гo порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, не следует, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения или,Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Возведение в степень

Целой положительной степенью Матрица - виды, операции и действия с примерами решения квадратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матриц, равных Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т.е.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

По определению полагают Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Нетрудно показать, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №4

Найти Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Обращаем внимание на то, что из равенства Матрица - виды, операции и действия с примерами решения еще не следует, что матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы — переход от матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения к матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается транспонированной относительно матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Из определения следует, что если матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения имеет размер Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , то транспонированная матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения имеет размер Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Свойства операции транспонирования:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно. Рассмотренные выше операции над матрицами позволяют упростить решения некоторых экономических задач.

Пример №5

Предприятие выпускает продукцию трех видов: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и использует сырье двух типов: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где каждый элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпоказывает, сколько единиц сырья

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го типа расходуется на производство единицы продукции Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) — матрицей-столбцом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Решение:

Затраты 1-го сырья составляют Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения ед. и 2-го — Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияед., поэтому матрица-строка затрат сырья Матрица - виды, операции и действия с примерами решения может быть записана как произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда общая стоимость сырья Матрица - виды, операции и действия с примерами решения ден. ед. может быть записана в матричном виде Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения а затем общую стоимость сырья

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

На данном примере мы убедились в выполнении свойства 7 (см. с. 13) — ассоциативного закона произведения матриц: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определители квадратных матриц

Необходимость введения определителя — числа, характеризующего квадратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, — тесно связана с решением систем линейных уравнений (см. гл. 2). Определитель матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения или Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определителем матрицы первого порядка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, или определителем первого порядка, называется элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения :

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Например, пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определителем матрицы второго порядка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Произведения аМатрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываются членами определителя второго порядка. Например, пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения тогда

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Определителем матрицы третьего порядка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (1.4), легко запомнить, пользуясь схемой (рис. 1.1), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №6

Вычислить определитель третьего порядка

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Для того чтобы ввести понятие определителя более высокого порядка, потребуются некоторые дополнительные понятия. Рассмотрим квадратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-гo порядка: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из общего числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элементов этой матрицы выберем набор, содержащий Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элементов, таким образом, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Например, набор элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияили Матрица - виды, операции и действия с примерами решения соответственно главной и побочной диагоналей матрицы.

Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элемент из 1-й строки, затем из 2-й и т.д., т.е.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Номера столбцов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения образуют при этом перестановку Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияиз Матрица - виды, операции и действия с примерами решения чисел: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Всего существует Матрица - виды, операции и действия с примерами решения различных перестановок из Матрица - виды, операции и действия с примерами решения натуральных чисел.

Введем понятие беспорядка, или инверсии, в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Это наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему. Например, в перестановке из трех чисел Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения имеется одна инверсия (2; 1), а в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — три: (3; 2), (3; 1), (2; 1). Обозначим через Матрица - виды, операции и действия с примерами решения количество инверсий в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Возвращаясь к наборам (1.5) из элементов матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения мы можем каждому такому набору поставить в соответствие произведение его элементов:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

и число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, равное количеству инверсий в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения из номеров соответствующих столбцов.

Определение. Определителем квадратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, или определителем Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме Матрица - виды, операции и действия с примерами решения членов, каждый из которых является произведением Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — число инверсий в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решения из номеров столбцов элементов матрицы, ест при этом номера строк записаны в порядке возрастания:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения где сумма берется по всем перестановкам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Проверим, например, что при Матрица - виды, операции и действия с примерами решения мы получаем введенный ранее определитель третьего порядка (1.4):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

то же число, что и по формуле (1.4).

Заметим, что с ростом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения резко увеличивается число членов определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения поэтому даже для Матрица - виды, операции и действия с примерами решения использование формулы (1.7) весьма трудоемко (получим 24 слагаемых!).

На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка.

Минором Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка называется

определитель матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, полученной из матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решениявычеркиванием Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки и Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияго столбца.

Например, минором элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения третьего порядка будет: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Каждая матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка имеет Матрица - виды, операции и действия с примерами решения миноров Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка.

Алгебраическим дополнением Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка называется его минор, взятый со знаком Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбцаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения — четное число, и отличается от минора знаком, когда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— нечетное число.

Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №7

Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы (из примера 1.6):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(разложение по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки; Матрица - виды, операции и действия с примерами решения);

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(разложение по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го столбца; Матрица - виды, операции и действия с примерами решения).

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияУбедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Точнее данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа.

После преобразований (представляем их сделать читателю) нетрудно убедиться в том, что полученное выражение совпадает с определением (1.4). Аналогичный результат получаем разложением определителя матрицы по любой строке или столбцу.

Пример №8

Вычислить определитель треугольной матрицыМатрица - виды, операции и действия с примерами решения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Раскладывая по первому столбцу, получаем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

На частном примере мы убедились в том, что определитель треугольной (и, очевидно, диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что позволяет свести вычисление определителей Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка к вычислению более простых определителей Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка.

Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то ее определитель умножится на это число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Пусть определитель исходной матрицы равен Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Для определенности первую строку матрицы умножим на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, получим новый определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, который разложим по элементам первой строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех ее элементов. Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, но Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

□ Предположим вначале, что переставлены две соседние строки матрицы:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Разложим определитель исходной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки, а определитель новой матрицы (с переставленными строками) Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки. Разложения будут отличаться только знаком, так как в формуле (1.9) для Матрица - виды, операции и действия с примерами решения каждое алгебраическое дополнение будет иметь противоположный знак (множители Матрица - виды, операции и действия с примерами решения сменятся на множители Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , поэтому Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если переставить не соседние строки, а, скажем, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-ю и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-ю, то такую перестановку можно представить как последовательное смещение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения вверх, что тоже сопровождается Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияизменением знака, т.е. знак поменяется нечетное число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения раз: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Доказательство для столбцов аналогично.Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияКвадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки {столбца), то ее определитель равен 0.

□Действительно, переставим эти строки (столбцы). С одной стороны, определитель не изменится, но, с другой стороны, по свойству 4 поменяет знак, т.е.Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , откуда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

□ Пусть для определенности пропорциональны первая и вторая строки. Тогда, вынося коэффициент пропорциональности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, получаем по свойству Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеет две одинаковые строки и по свойству 5 равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Рассмотрим квадратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и вспомогательную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, полученную из матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения заменой Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-ю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

т.е. матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения имеет две одинаковые строки, поэтому согласно свойству 5 ее определитель равен 0. Вычисляя его разложением по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки, получаем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание. Объединяя результат теоремы Лапласа и свойство 7, получаем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Пусть для определенности к элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-Й строки матрицы прибавим элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки, умноженные на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Тогда первая строка матрицы имеет вид: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияОпределитель полученной матрицы вычислим разложением по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияалгебраические дополнения элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки исходной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Раскроем скобки и получим после преобразования:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Используя формулу (1.12), получаем, что первая сумма равна определителю исходной матрицы, а вторая — 0, т.е.Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

9. Сумма произведений произвольных чисел Матрица - виды, операции и действия с примерами решения на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Свойство вытекает непосредственно из теоремы Лапласа.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения —матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка.

Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисление, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1—9, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

Пример №9

Вычислить определитель четвертого порядка:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Преобразуем матрицу так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого умножим, например, элементы 3-го столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Раскладывая полученный определитель по элементам третьей строки, найдем Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, однако можно продолжить упрощение матрицы. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы 2-й строки (кроме одного). Для этого элементы 3-го столбца матрицы, предварительно умножив на (—13) и на 4, сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Раскладывая по элементам множители, получаем: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Обратная матрица

Для каждого числаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения существует обратное число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения такое, что произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется обратной по отношению к квадратной матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения является необходимым и достаточным условием существования числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения то для существования матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятаким условием является требование Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если определитель матрицы отличен от нуля Матрица - виды, операции и действия с примерами решения то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при Матрица - виды, операции и действия с примерами решения)— вырожденной, или особенной.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Необходимость. Пусть матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения имеет обратную Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т.е Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. По свойству 10 определителей имеем

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Достаточность. Пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Рассмотрим квадратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываемую присоединенной*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, транспонированной к Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияТогда элементы произведения матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения определяются по правилу умножения матриц: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Поэтому матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Аналогично доказывается, что произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения равно той же матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

то произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения равны единичной матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения такие, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения получена по формуле (1.14), и выполняются равенства: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Тогда, умножая наМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияслева первое из них, получаем: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, откуда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Аналогично, умножая второе равенство на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения справа, получаем Матрица - виды, операции и действия с примерами решения . Единственность доказана. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Пример №10

Найти матрицу, обратную к данной:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

1°. Определитель матрицыМатрица - виды, операции и действия с примерами решения (см. пример 1.6), т.е. матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — невырожденная и обратная матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения существует.

2°. Находим матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, транспонированную к Матрица - виды, операции и действия с примерами решения :

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

3°. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и составляем из них присоединенную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, учитывая, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

4° . Вычисляем обратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения 5°. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения (рекомендуем в этом убедиться самому читателю). ►

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

В матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-то порядка, где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Определители таких подматриц называются минорами Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Например, из матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Определение. Рангом матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения обозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения или Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из определения следует: а) ранг матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения;

б) Матрица - виды, операции и действия с примерами решения тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения;

в) для квадратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения тогда и только тогда, когда матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— невырожденная.

Пример №11

Вычислить ранг матрицы

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения имеет четвертый порядок, поэтому Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Однако Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятак как матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения содержит нулевой столбец, поэтому Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевые определители, значит Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвертый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Поскольку матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения содержит ненулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. ►

Пример №12

Вычислить ранг матрицы

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Для матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Проверим, равен ли ранг 3-м, для этого вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы):Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые,Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

  1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).
  2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
  3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
  4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
  5. Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияПри изучении свойств определителей было показано, что при преобразованиях квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы, т.е. ее ранг не изменяется. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется ступенчатой, если она имеет вид: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Замечание. Условие Матрица - виды, операции и действия с примерами решения всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, так как имеется минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, не равный нулю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Покажем на примере алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пример №13

Найти ранг матрицы

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

1°. Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. В данном примере поменяем местами, например, 1-ю и 2-ю строки матрицы (см. ниже).

2°. Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то умножая элементы 2-й, 3-й и 4-й строк на подходящие числа (именно на Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам 2-й1, 3-й и 4-й строк, добьемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кромеМатрица - виды, операции и действия с примерами решения ) равнялись нулю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения 3°. Если в полученной матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(у нас Матрица - виды, операции и действия с примерами решения), то умножая элементы 3-й и 4-й строк на подходящие числа (а именно, на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения), добьемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме Матрица - виды, операции и действия с примерами решения) равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки (или столбцы):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен 2. ►

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

5)Матрица - виды, операции и действия с примерами решения если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— квадратная матрица и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

6) Матрица - виды, операции и действия с примерами решения где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения– число столбцов матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения или строк матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения обозначим ее строки следующим образом:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Строка е называется линейной комбинацией строк Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — любые числа.

Строки матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываются линейно зависимыми, если существуют такие числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.т, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где 0 = (0 0…0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияДействительно, пусть для определенности в формуле (1.17) Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Таким образом, строкаМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияявляется линейной комбинацией остальных строк. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если линейная комбинация строк (1.17) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты Матрица - виды, операции и действия с примерами решения равны нулю, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки {столбцы).

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Пусть матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения имеет Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Это означает, что существует отличный от нуля минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка. Всякий ненулевой минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка будем называть базисным минором. Пусть для определенности это минор

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда строки матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения линейно независимы. Действительно, предположим противное, т.е. одна из этих строк, например Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, является линейной комбинацией остальных:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычтем из элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки элементы 1-й строки, умноженные на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, элементы 2-й строки, умноженные на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , и т.д., наконец, элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки, умноженные на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. На основании свойства 8 (см. § 1.4) при таких преобразованиях матрицы ее определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения не изменится, но так как теперь г-я строка будет состоять из одних нулей, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения — противоречие, и наше предположение о том, что строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы линейно зависимы, неверно.

Строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения назовем базисными.

Покажем, что любые Матрица - виды, операции и действия с примерами решения строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.

Рассмотрим минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, который получается

при дополнении рассматриваемого минора элементами еще одной строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и столбца Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где последнее алгебраическое дополнение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения совпадает с базисным минором Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и поэтому отлично от нуля, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения .

Разделив последнее равенство на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, можем выразить элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения как линейную комбинацию:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Фиксируем значение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и получаем, что для любого Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения линейно выражаются через элементы строк Матрица - виды, операции и действия с примерами решения т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-я строка есть линейная комбинация базисных:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности при исследовании систем линейных уравнений.

Матрицы в линейной алгебре

Прямоугольная таблица:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения (9.1)

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m х n или (n,m)-матрицей.

Матрицу (9.1) будем обозначать А или Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. ЧислаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения называются элементами матрицы, индекс i обозначает номер строки, а индекс j – номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Если m = n, то матрица (9.1) называется квадратной матрицей порядка n.

В квадратной матрице n-го порядка диагональ, состоящая из элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется главной диагональю, состоящая из элементов а,п, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – побочной диагональю.

Квадратная матрица:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица, у которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.

Матрицы А и В называются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.

Операции над матрицами

Суммой двух матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияодинакового размера называется матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

  1. Коммутативность, т.е. А + В = В + А.
  2. Ассоциативность, т.е. (А + B)+ С = А + (В + С).
  3. Для любых двух матриц А и В одинакового размера существует единственная матрица X такая, что А + X = В. Матрица X обозначается X = В-А и называется разностью матриц В и А. Урав-=нение А + Х = 0 имеет решение Х = 0-А, получающаяся при этом матрица называется противоположной А и обозначается – А.

Произведением матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияна число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В этом случае произведением матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения на матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

т.е. элемент, стоящий в n -той строке и j-том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов n’-той строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

Свойства умножения:

  1. Если матрица А согласована с матрицей В, а матрица В согласована с матрицей С, то А • В• С = (А Матрица - виды, операции и действия с примерами решения В)- С = А Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения С) – ассоциативность умножения;
  2. (А + ВС = АС + ВС, А-(В + С)= АВ + АС – свойство дистрибутивности;
  3. Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило,Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Транспонированием матрицы А называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е. i-я строка матрицы А становится i -тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрице А обозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Свойства транспонирования: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определитель матрицы

Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое определителем матрицы и вычисляемое по определенному правилу.

Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , или в свернутой форме Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.

Возьмем теперь квадратную матрицу n -го порядка

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Для записи определителя n-го порядка матрицы А будем применять обозначения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. При n = 1 матрица A состоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. При n = 2 получаем определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Минором Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы A называют определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемого из матрицы Л вычеркиванием i-той строки и j-го столбца.

Пример №14

Найти минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

По определению, минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияесть определитель матрицы, получаемой из матрицы А вычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Алгебраическим дополнением элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы А называется минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения взятый со знаком Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Алгебраическое дополнение элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения обозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения следовательно, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №15

Найти алгебраическое дополнение элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, матрицы А из примера 7.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется число:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где аиМатрица - виды, операции и действия с примерами решения – элементы первой строки матрицы (9.2), а Матрица - виды, операции и действия с примерами решения их алгебраические дополнения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Запись по формуле (9.3) называется разложением определителя но первой строке.

Рассмотрим свойства определителей.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому определение определителя можно сформулировать так:

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется число:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения (9.4)

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – элементы первого столбца матрицы (9.2), а Матрица - виды, операции и действия с примерами решения их алгебраические дополненияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Свойство 2. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы А, то ее определитель изменит знак на противоположный.

Свойства 1 и 2 позволяют обобщить формулы (9.3) и (9.4) следующим образом:

Определитель квадратной матрицы n-го порядка (будем в дальнейшем говорить определитель n-го порядка) равен сумме попарных произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Свойство 3. Определитель, y которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю.

Действительно, поменяем в определителе Матрица - виды, операции и действия с примерами решения две одинаковые сроки местами. Тогда, по свойству 2 получим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, но с другой стороны, определитель не изменится, т.е.Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. ОтсюдаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Свойство 4. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения умножить на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то определитель умножится на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Умножим элементы i-той строки на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Тогда получим определитель:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Определитель, у которого две строки (два столбца) пронорциональныу равен нулю.

Пусть i-я строка пропорциональна j-ой строке. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения есть сумма двух слагаемых, то определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения равен сумме двух определителей: у одного из них i-той строкой (столбцом) служат первые слагаемые, а у другого – вторые.

Разложив определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения по i -той строке получим:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Прибавив к элементам i-той строки определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения соответствующие элементы j-ой строки, умноженные на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, получим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияОпределитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения равен сумме двух определителей: первый естьМатрица - виды, операции и действия с примерами решения, а второй равен нулю, так как у него i-тая и j-тая строки пропорциональны.

Свойство 8. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим вспомогательный определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, который получается из данного определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения заменой j-той строки i-той строкой. Определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения равен нулю, так как у него две одинаковые строки. Разложив его по j-той строке получим:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Большое значение имеет следующий критерий равенства определителя нулю. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если одна (один) из них является линейной комбинацией с действительными коэффициентами остальных.

Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы А обозначают rankA или rА.

Если все миноры порядка к данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы А) равны нулю, то rankA = 0. Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то rankA = 1. Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка к, окаймляющие ненулевой минор (A-l)-ro порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда rankA = к -1.

Пример №16

Вычислить ранг матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Минор первого порядка (элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения) отличен от нуля. Окаймляющий его минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения тоже не равен нулю.

Далее рассмотрим миноры, окаймляющие минор М :

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Все эти миноры равны нулю, значит rankA = 2. Приведенный алгоритм нахождения ранга матрицы не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого числа определителей. Наиболее удобно пользоваться при вычислении ранга матрицы элементарными преобразованиями, при помощи которых матрица приводится к столь простому виду, что очевидно, чему равен ее ранг.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

  • > умножение какой-нибудь строки (столбца) матрица на число, отличное от нуля;
  • > прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

Полужордановым преобразованием строк матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

с разрешающим элементом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется следующая совокупность преобразований со строками матрицы:

  • > k первой строке прибавить k-ю, умноженную на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и т.д.;

> k последней строке прибавить k — го, умноженную на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения После выполнения этих преобразований получается матрица:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Полужордановым преобразованием столбцов матрицы с разрешающим элементом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется следующая совокупность преобразований со столбцами матрицы:

  • > к первому столбцу прибавить k-й, умноженный на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и т.д.;
  • > к последнему столбцу прибавить k -й, умноженный на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

После выполнения этих преобразований получается матрица:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Полужорданово преобразование строк или столбцов квадратной матрицы не изменяет ее определителя. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Покажем на пример, как вычислить ранг матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями.

Пример №17

Вычислить ранг матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Применим к матрице А элементарные преобразования: первую строку матрицы, умноженную на (-3) прибавим ко второй и третьей и ее же вычтем из последней.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычитая далее вторую строку из третьей и последней, имеем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Последняя матрица содержит отличный от нуля минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятретьего порядка, определитель же самой матрицы А равен нулю. Следовательно, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Отметим два важных свойства ранга матрицы:

  • Ранг матрицы не меняется при ее транспонировании;
  • Если ранг матрицы равен г, то любые ее г + 1 строк (столбцов) линейно зависимы.

Обратная матрица

Пусть А – квадратная матрица порядка n. Матрица В называется обратной матрицей к матрице А, если выполняются равенства А-В = В■ А = Е, где Е – единичная матрица порядка n.

Теорема 1. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственная.

Пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – матрицы, обратные к матрице А. Тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения с другой стороны, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Откуда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Обратную матрицу к матрице А обозначают Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Теорема 2. Матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и, применяя теорему об умножении определителей, получаем Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияили Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Следовательно, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Укажем явное выражение матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения через элементы матрицы А, а именно: если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

здесь Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – алгебраическое дополнение к элементу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Матрица (9.5) получается из матрицы А следующим образом. Сначала вместо каждого элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения пишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Непосредственное умножение А на матрицу (9.5) слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, что (9.5) – матрица, обратная к А.

Пример №18

Найти обратную матрицу к матрице

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Так как Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения находим в два приема, согласно формуле (9.5). Сначала запишем матрицу В, состоящую из алгебраических дополнений элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Затем матрица В транспонируется и умножается на число обратное Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в данном случае – на (-1). Окончательно получаем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Отметим свойства обратных матриц. Если А и В – невырожденные матрицы одинакового порядка, то: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрицы и определители

Определение и типы матриц

Определение 3.1.1. Прямоугольная таблица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(3.1.1) состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размером Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы имеет два индекса, первый индекс i обозначает номер строки, второй индекс j – номер столбца.

Матрицы удобно обозначать в виде Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, при Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Фигурные (круглые) скобки, двойные прямые вертикальные линии показывают, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения– типовой элемент матрицы А, в котором индексы i и j последовательно принимают все значения от 1 до указанных конечных величин.

Превратим в матрице (3.1.1) строки в столбцы, а столбцы в строки, получим матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения которая называется транспонированной по отношению к А. Если размер А Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Повторное транспонирование приводит к исходной матрице: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Пример №19

Рассмотрим матрицу

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

элементы которой характеризуют зависимость средних розничных цен на автомобили от срока их службы в 1998, 1999 и 2000 гг. Строки матрицы соответствуют продолжительности эксплуатации автомобиля, а столбцы – годам. Содержательное значение каждого элемента матрицы определяется его местом в данном массиве чисел. Например, число 3100 во второй строке и втором столбце, элемент с/22> представляет среднюю розничную цену автомобиля прослужившего два года в 1999 г. Следовательно, числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и гот же срок службы в разные годы 1998-2000 гг., а числа в столбце – цены автомобилей различного срока службы в данном году.

В той мере, в какой это связано с характеристикой цен па автомобили, такой выбор строк матрицы полностью произволен, и мы могли бы сразу же поменять местами строки и столбцы без какой-либо потери информации, получив строки для отдельных лет и столбцы для сроков службы, т.е. получили бы транспонированную матрицу по отношению к матрице Р:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Хотя элементы матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения те же, что и матрицы Р, обе матрицы не одинаковые. Взаимосвязь этих матриц проявляется в том, что строки матрицы Р являются столбцами матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Если, элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы А неотрицательные (положительные) действительные числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то матрица А называется неотрицательной (положительной) и записывается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица Р в примере 3.1.1 является положительной матрицей, так как её элементы положительные действительные числа.

Матрица, состоящая из одной строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

называется матрицей-столбцом. Транспонированием переводят матрицу-строку в матрицу-столбец, и наоборот.

Если m=n, то матрица называется квадратной, при этом число строк (столбцов) называется порядком квадратной матрицы.

Рассмотрим некоторые виды квадратных матриц.

Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Она обозначается символомМатрица - виды, операции и действия с примерами решения:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если в диагональной матрицеМатрица - виды, операции и действия с примерами решения то она называется скалярной. Скалярная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, называется единичной:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, называется верхнетреугольной (“матрица А). Аналогично, если в квадратной матрице нулю равны все элементы, стоящие выше главной диагонали, то она называется нижнетреугольной (матрица В).

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица A – верхнеугольная, а В – нижнетреугольная. Квадратная матрица называется ленточной, если все её элементы, не стоящие на главной диагонали и в соседних с ней косых строках, равны нулю. Например,Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В ленточной матрице не равные нулю элементы заполняют «ленту», осью которой служит главная диагональ. Ленточная матрица называется модулированной, если в каждой косой строке стоят одинаковые элементы:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Квадратная матрица называется симметрической, если её элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, одинаковы: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения; если жеМатрица - виды, операции и действия с примерами решения, то матрица А называется кососимметрической. Симметрическая матрица совпадает с транспонированной матрицей, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Например, матрица, характеризующая влияние факторов на инвестиции и запасы, является симметрической матрицей вида:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,29, характеризующий зависимость использования мощностей и изменения объёмов запасов, совпадает с элементом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,29, характеризующим зависимость между изменением объёмов запасов и использованием мощностей; элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,15, характеризующий зависимость между изменением общей величины хозяйственных запасов и суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность, совпадает с элементом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,15, характеризующим зависимость между суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность и изменением общей величины хозяйственных запасов; элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,71, характеризующий зависимость между степенью использования производственных мощностей и суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность, совпадает с элементом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,71, характеризующим зависимость между суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность и степенью использования производственных мощностей.

Очевидно, что транспонированная симметричная матрица равна самой матрице.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоит одно и го же число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и все элементы одного ряда выше диагонали равны единице, а все другие элементы равны нулю, называется клеткой Жордана:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица, у которой на главной диагонали стоят любые клетки Жордана, а все элементы вне этих клеток равны нулю, называется Жордаповой матрицей. Например, матрица является Жордановой.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Она содержит четыре клетки Жордана: две клетки второго порядка с числом 3 на диагонали, одну клетку третьего порядка с числом нуль на диагонали и одну клетку первого порядка с числом нуль на диагонали.

Из приведенных примеров следует, что понятие матрицы широко используется в экономике. Кроме того, можно подчеркнуть, что планирование производства должно основываться на надлежащим образом упорядоченной системе информации, записанной в виде матрицы, с помощью которой просто и сжато описываются зависимости, имеющие место в материальном производстве. Так, например, планирование на предприятии основывают, пользуясь нормами как системой информации. Если на предприятии производится четыре продукта Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи для их производства используются материалы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то система норм материальных затрат, которая представляет собой основу плана снабжения, может быть представлена в виде таблицы (матрицы):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения есть норма расхода Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияi-го материала на производство единицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияj-го продукта. Так норма расхода материала Матрица - виды, операции и действия с примерами решения на производство единицы продукта Матрица - виды, операции и действия с примерами решения соответственно равна Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и т.д.

Можно привести следующий пример использования матриц: два предприятия передают свою продукцию на три оптовых склада, причём расходы на перевозку единицы продукции с предприятия 1 на отдельные склады соответственно равняются 2,3,4; а с предприятия 2 они составляют 1,5,2. Тогда матрицаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

есть матрица удельных транспортных расходов.

Следует отметить использование матриц в межотраслевом балансе производства (матрица технологических коэффициентов производства), в определении совокупных затрат труда (матрица коэффициентов материальных затрат) и т.д.

Пример №20

Продавец мороженого решает вопрос о том, сколько пакетов мороженого ему следует закупить. К покупке пакетов мороженого он может прибегнуть один раз. Каждый пакет стоит 10 ден.ед. и может быть продан за 12 ден.ед. Пакеты мороженого, оставшиеся не распроданными, никакой стоимости не представляют. Известно, что количество пакетов мороженого, которое он сможет продать, колеблется от 1 до 5. Составим матрицу денежных сумм, выручаемых в зависимости от его решения и от результатов продажи. По строкам расположим результаты того или иного решения продавца мороженого, а по столбцам – возможный исход продаж.

Решение:

Предположим, что продавец мороженого закупает один пакет. Тогда он его продаст и получает прибыль в 2 ден.ед.

Следовательно, первая строка матрицы будет иметь вид: 2 2 2 2 2. Сели он закупит 2 пакета, то продав один, он потеряет 8 ден.ед.; продав 2 пакета, он получит прибыль 4 ден.ед. Следовательно, вторая строка примет вид: -8 4 4 4 4. Рассуждая аналогичным образом, получаем матрицу:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Арифметические операции над матрицами

Матрицы А и В считаются равными, если они одинаковой размерности и всс элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы А совпадают с соответствующими элементамиМатрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы В, т.е. выполняются Матрица - виды, операции и действия с примерами решения скалярные равенства Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, которые равносильны равенству А=В.

Определение 3.2.1. Суммой матриц А а В размерностиМатрица - виды, операции и действия с примерами решения называется матрица S=A+B той же размерности, элементы которой Sik равны суммам соответствующих элементов матриц А и В: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из определения следует, что складывают матрицы с одинаковыми размерами, при этом сумма будет матрицей с теми же размерами.

Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение 3.2.2. Произведением матрицы А на скаляр Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения той же размерности, что и А, элементы которой получены из элементов матрицы А умножением на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица (-1)A записывается -А и называется матрицей, противоположной матрице А. Если все элементы матрицы равны нулю, го она называется нуль-матрицей и обозначается 0.

Введенные операции сложения матриц и умножения матрицы на скаляр Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобладают свойствами:

  1. А + В = В + А – (перемсстительный) коммутативный закон.
  2. (А + В) + С = А + (B + C);
  3. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.
  4. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.
  5. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.
  6. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Определение 3.2.3. Разностью матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, её элементы равны разностям соответствующих элементов матриц А и В: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения .

Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Как и при операции сложения, можно вычитать друг из друга только те матрицы, которые имеют одинаковую размерность.

Прежде чем вводить произведение матриц, рассмотрим произведение векторов. И для пояснения общего метода воспользуемся числовыми примерами.

Предположим, что объем различных продаж за месяц некоторого товара некоторой компании «а» составил 58, 26, 12, 25 единиц за первую, вторую, третью и четвертую недели соответственно, и что цена этого товара по неделям соответственно равна 3, 5, 10, 4 ден.ед. Следовательно, общий доход за месяц от продажи товара равен 58-3 + 26-5+ 12-10 + 25-4 = 524ден.ед. Представим данные

о продажах при помощи матрицы-строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

а соответствующие цены с помощью матрицы-столбца:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда общий доход от продажи товара, равный 524 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов матрицы-строки A (количество проданного товара по неделям) на соответствующие элементы матрицы-столбца В (цены по неделям на товар): Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Приведенный пример помогает уяснить общую методику вычисления произведения матрицы-строки на матрицу-столбец: для этого каждый элемент матрицы-строки А нужно умножить на соответствующий элемент матрицы-столбца В и сложить полученные произведения.

Предположим теперь, что компания «а» имеет отделения в трёх различных регионах. Данные о количестве проданного товара по регионам запишем в виде матрицы С:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Цена по неделям за месяц была такой же. Доход от розничной продажи в первом регионе был вычислен; аналогичные расчёты могут быть произведены и по двум другим регионам:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Представим итоговые данные по выручке в виде матрицы-столбца:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Взглянув на вычисления, можно убедиться в том, что элементы этой матрицы-столбца получаются так же, как и описанное ранее произведение матрицы-строки А на матрицу-столбец В, причем в качестве матрицы-строки А в каждом случае взята последующая строка матрицы С. Полученный результат представляет произведение СВ:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В общем случае произведение матрицы С на матрицу-столбец В, это вектор-столбец,i-Й элемент которого представляет сумму произведений каждого из элементов i-й строки матрицы С на соответствующие элементы вектора-столбца В.

Из этого примера следует, что произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения существует только в том случае, когда число элементов в строках матрицы С (т.е. число столбцов) равно числу элементов, составляющих вектор-столбец В (т.е. числу строк). При соблюдении этого равенства, произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения образует вектор-столбец, содержащий столько элементов, сколько строк насчитывается в матрице С. Следовательно, если в матрице С содержится т строк и q столбцов и порядок матрицы-столбца В равен q, тогда произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения представляет собой матрицу-столбец порядка т, причем i-й элемент этого вектора равен

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Аналогичным образом определяется произведение матрицы-строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения на матрицу Р. Оно существует в том случае,

если число элементов матрицы-строки D равно числу элементов в столбцах матрицы Р (т.е. равно числу строк этой матрицы). В этом случае произведении Матрица - виды, операции и действия с примерами решения образует матрицу-строку, содержащую столько же элементов, сколько столбцов насчитывается в матрице Р. При этом произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения равно Матрица - виды, операции и действия с примерами решения , произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения может к не существовать, несмотря на то что, существует произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, и наоборот.

Пример №21

Пусть матрица

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

характеризует переход подписчика от одной газеты к другой в зависимости от продолжительности подписки. В этой матрице перехода данные сгруппированы по строкам и столбцам в соответствии с продолжительностью подписки: до одного года, от одного года до двух лет, более двух лет и, наконец, аннулирование подписки. Элементы первой строки характеризуют состояние подписчиков газет с продолжительностью подписки до одного года; второй строки – с продолжительностью подписки от одного года до двух лет; третья строка – с продолжительностью подписки более двух лет; элементы четвертой строки характеризуют аннулирование подписки. Элементы первого столбца характеризуют возможность остаться в категории подписчиков до одного года; элементы второго столбца – возможность продолжить подписку от одного до двух лет, если подписчик имеет продолжительность подписки до одного года; элементы третьего столбца- возможность продолжить подписку более двух лет: элементы четвертого столбца – возможность аннулировать подписку.

Предположим, что известно распределение 5000 подписчиков по продолжительности подписки на газеты: 3000 имеют продолжительность подписки до одного года (категория 1), 800 – имеют продолжительность подписки от одного до двух лет (категория 2), 1200 подписчиков имеют, продолжительность подписки более двух лет (категория 3). Представим эти данные в виде матрицы-строки Q =Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Для того чтобы определить возможное количество подписчиков в каждой из этих категорий через год, умножим матрицу-строку Q на матрицу Р:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица-строка, полученная в результате умножения, показывает, что из I категории через год возможно 2100 подписчиков будут принадлежать к категории II, 1720- к категории III, и 1180 возможно аннулируют подписку.

Учитывая введенные операции, умножение двух матриц А и В можно представить как многократное умножение матрицы А на матрицы-столбцы, рассматривая вторую матрицу В как набор мат-риц-столбцов. При этом произведение матриц А и В может иметь смысл только в том случае, когда j-й столбец матрицы В (а, следовательно, и все ее столбцы) насчитывают тоже число элементов, что и i-я строка матрицы А (а, следовательно, и все ее строки). Поскольку количество элементов в столбце матрицы равно числу строк в ней (а количество элементов в строке равно количеству столбцов) это означает, что в матрице В должно быть столько же строк, сколько столбцов содержит матрица А.

Таким образом, произведение матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения определено, когда число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения содержит то же количество строк, что и матрица А, и то же количество столбцов, что и матрица В.

Если число столбцов в А равно числу строк в В, то матрицы называются согласованными для умножения А на В. При этом если А размерности т * п, а В размерность Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения является матрицей размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т. е.:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение 3.2.4. Произведением матрицы А размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения на матрицу В размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Р размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, элементы которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияопределяется формулами:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

, при Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №22

Пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица А содержит три столбца, а В содержит три строки. Следовательно, матрицы А и В согласованные для умножения. Тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т.е. А В не всегда равно Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из приведенного примера следует, что, перемножая матрицы А и В, можно получить два произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения к Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Если размеры матрицы A равны Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то оба произведения существуют только в том случае, когда размеры матрицы В равны Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Тогда произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения образует квадратную матрицу порядка m, а произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – квадратную матрицу n. Поэтому размеры АВ могут быть равны ВА в том случае, когда m = n, т.е. когда обе матрицы квадратные и имеют один и тот же порядок равный m. При этом указанные произведения матриц могут не иметь ни одного одинакового элемента, полученного в результате суммирования произведений соотвстствующих элементов исходных матриц. Поэтому, если даже существуют оба произведения АВ и ВА и оба они имеют одинаковый порядок, вообще говоря, они не обязательно должны быть равны между собой, что и показывает приведенный выше пример.

Из сказанного не следует, что АВ и ВА всегда должны различаться между собой, в отдельных случаях они могут быть равны. Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В двух случаях, имеющих особо важное значение, произведение матриц обладает свойством коммутативности:

1) в случае умножения на нулевую матрицу: если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения представляет собой квадратную матрицу п-ого порядка, а Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – аналогичную матрицу, все элементы которой составляют нули, тогда

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Нулевая матрица выполняет роль нуля в матричной алгебре;

2) в случае умножения на единичную матрицу: если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения представляет собой квадратную матрицу n-ого порядка, а Матрица - виды, операции и действия с примерами решения– аналогичную единичную матрицу, то

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Единичная матрица того же порядка служит единицей в матричной алгебре. Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Отметим, что произведение матрицы на скалярную величину так же коммутативно: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрицу А можно умножить саму на себя тогда и только тогда, когда она квадратная. Если n – натуральное число, больше единицы, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения есть произведение n матриц равных А. Для действий со степенями матриц справедливы следующие правила: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения ,если АВ = ВА.

Значением многочлена

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

с числовыми коэффициентами Матрица - виды, операции и действия с примерами решения от матрицы А или значением многочлена Матрица - виды, операции и действия с примерами решения при х = А называется матрицаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Е- единичная матрица.

Многочленной матрицей называется прямоугольная (в частности квадратная) матрица А, элементы которой являются многочленами от одной переменной х с числовыми коэффициентами. Матричным многочленом называется выражение вида

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где х- переменное и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения– квадратные матрицы с числовыми элементами одного и того же порядка n. Число n называется порядком многочлена F(x). Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то число m называется степенью матричного многочлена F{x). Если матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения не вырождена, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то матричный многочлен F(x) называется регулярным.

Два матричных многочлена одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами, с той разницей, что умножение числовых матриц, а потому и матричных многочленов не обязательно коммутативно.

Операцию умножения для матриц можно ввести иначе. Пусть задана матрица размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Обозначим столбцы матрицы А следующим образом: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

их называют векторами-столбцами; а строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

которые называют векторами-строками.

Пример №23

Пусть число трёх типов игрушек, которые нужно изготовить, равно соответственно 20, 30, 40. Определим число деталей каждого вида, необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа на них.

Решение:

Составим матрицу А, в которой по строкам укажем число деталей одного вида, необходимых для производства трёх типов игрушек, а по столбцам – число деталей трех видов, необходимых для производства одной игрушки трёх типов:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Число деталей каждого вида, необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа определим умножением матрицы А на матрицу-столбец, характеризующую число игрушек:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Зная количество деталей, необходимых для производства одной игрушки, можно определить потребность в сырье для производства одной игрушки, если известны нормы расхода сырья для производства одной детали, которые приведены в таблице 3.2.2.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Эти потребности в сырье определяются умножением матриц

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Умножив результат произведения матриц на количество игрушек, определим потребности в сырье для выполнения заказа

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Приведенный пример иллюстрирует простоту решения задачи при помощи умножения матриц.

Пример №24

Предположим, что затраты рабочего времени в часах на каждом рабочем месте и на каждое изделие заданы в таблице 3.2.3. Количество изделий (в штуках) в каждом заказе задано в таблице 3.2.4. Часовая заработная плата (в рублях) на каждом рабочем месте задана в таблице 3.2.5

Решение:

Рассчитаем заработную плату, приходящуюся при производстве различных изделий на каждый заказ. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение. Введем в рассмотрение следующие матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения где А – матрица затрат, В – матрица спроса, С – матрица почасовой зарплаты.

Так как матрица С задает зависимость между величиной заработной платы и затратами рабочего времени на каждом рабочем месте, а матрица А – между затратами времени на каждом рабочем месте и выпуском изделий, то произведение АС задает линейную зависимость между выпуском одного изделия и величиной заработной платы. Поскольку матрица В определяет количество изделий в каждом заказе, то произведение В(АС) определяет выполнение каждого заказа. Поэтому, вычислив произведение В (АС):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения находим заработную плату, приходящуюся на заказ Матрица - виды, операции и действия с примерами решения равную 23920 руб., на заказ Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – 23640 руб. и на заказ Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – 24850 руб.

Блочные матрицы и действия над ними

Для упрощения действий над матрицами больших размеров выполняют переход к матрицам меньших размеров путём разбиения их на клетки горизонтальными и вертикальными прямыми, пересекающими всю матрицу.

Например, проведём в матрице А две горизонтальные и две вертикальные прямые: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Получим 9 клеток, каждая из которых будет некоторой матрицей. Введём для них обозначения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда матрицу А можно записать в виде:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Полученную матрицу называют блочной, или клеточной. Любую матрицу множеством способов можно представить в блочной форме. Особый интерес представляют блочные матрицы, имеющие квадратные диагональные клетки. Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В матрице В клетки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – квадратные матрицы третьего, второго и первого порядка соответственно.

Если у блочных матриц число диагональных клеток одинаково, причём соответственные диагональные клетки имеют один и тот же порядок, то такие матрицы называются конформными.

Блочная матрица, у которой все клетки, кроме стоящих на главной диагонали, являются нуль-матрицами, называется квазидиагональной. Примером квазидиагональной матрицы является матрица

вида: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Квазидиагональная матрица обозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – её диагональные квадратные клетки.

Если к квадратной матрице а добавить снизу матрицу-строку, справа – матрицу-столбец и в правом нижнем углу добавить элемент, то полученная блочная матрица называется окаймлённой.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Арифметические операции над блочными матрицами выражаются через операции над клетками матриц. Такое выражение возможно для конформных матриц.

1) Сложение блочных матриц производится аналогично правилу сложения обычных матриц: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Подчеркнем, что можно складывать только конформные матрицы. В противном случае равенство не имеет смысла.

2) При умножении блочной матрицы на скаляр все клетки блочной матрицы умножаются на этот скаляр: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

3) Произведение конформных блочных матриц формально совпадает с правилом умножения обычных матриц:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

При умножении матриц соответственные диагональные клетки умножаемых матриц должны иметь одинаковый порядок. В противном случае блочные матрицы не будут конформными и их умножать нельзя.

Произведением конформных квазидиагональных матриц является квазидиагональная матрица с той же структурой, причём каждая диагональная клетка произведения является произведением соответствующих диагональных клеток сомножителей:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

При транспонировании квазидиагональной матрицы получаем квазидиагональную матрицу, диагональные клетки которой являются транспонированными матрицами:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица А, которую одновременной перестановкой строк и столбцов можно привести к блочному виду

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения – квадратные блоки, включающие ненулевые элементы; О – блок, состоящий только из нулей; В – блок, элементы которого могут принимать любые значения, называется разложимой матрицей.

Матрица неразложима если для неё не существует таких одновременных перестановок строк и столбцов, которые приводили бы сё к разложимой форме.

Оператор суммирования и его свойства

В экономических исследованиях часто употребляются переменные, определенные на дискретных множествах Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

илиМатрица - виды, операции и действия с примерами решения и рассматриваются их суммы. Символом операции

суммирования служит заглавная греческая буква Матрица - виды, операции и действия с примерами решения (сигма). Тогда,

например, сумму Матрица - виды, операции и действия с примерами решения можно записать в видехМатрица - виды, операции и действия с примерами решения . Числа сточщие под знаком Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и над ним, называются пределами суммирования и указывают наибольшие и наименьшие значения индекса суммирования, между которыми расположены его промежуточные значения.

Для оператора суммирования справедливы следующие тождества:

  • 1. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения
  • 2. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения
  • 3.Матрица - виды, операции и действия с примерами решения ;
  • 5. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Существует также способ записи операции умножения с помощью прописной греческой буквы «пи» – П : Так, например, произ-ведение пяти множителей можно сокращенно записать:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Перестановки

Рассмотрим n целых чисел (элементов) Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Их можно располагать в различном порядке. Всевозможные расположения этих чисел называются перестановками. Перестановка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в которой числа идут в порядке возрастания, называется натуральной. Например, из трех чисел можно составить 6 перестановок: (123), (132), (213), (231), (312), (321). Справедливо следующее утверждение: «Из n чисел можно составить n! перестановок». Символ n! читается юн факториал» и обозначает произведение последовательных натуральных чисел: 0!=1; 1!=1; Матрица - виды, операции и действия с примерами решения; Матрица - виды, операции и действия с примерами решения; … Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Назовем беспорядком (или инверсией) в перестановке тот факт, что большее число стоит перед меньшим. Если перестановка имеет четное число инверсий, то она называется четной, в противном случае – нечетной. Обмен местами двух элементов в перестановке называется транспозицией. Например:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Транспозиция переводит одну перестановку в другую и меняет четность перестановки.

Определение определителя

Рассмотрим квадратную матрицу размерности п и составим из ее элементов таблицу вида

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

или более компактно: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Каждый элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения имеет два индекса, первый из которых указывает, какой строке принадлежит элемент, а второй – какому столбцу.

Этой таблице соотнесем число, называемое определителем, вычисляемое по правилу, сформулированному в следующем определении.

Определение 3.6.1. Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых представляет собой произведение n элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, взятых по одному из каждой

строки и каждого столбца; при этом член определителя берется со знаком «+», если вторые индексы его элементов образуют чётную перестановку, и со знаком «—», если эта перестановка нечетная, а первые индексы образуют натуральную перестановку.

Определитель n-то порядка обозначается в виде таблицы (3.6.1), где горизонтали – строки, а вертикали – столбцы.

Введем величину:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда в силу определения 3.6.1 определитель n-то порядка запишется в виде:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Суммирование распространяется на все перестановки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения из n чисел 1,2,…,n, что условно обозначили символом n!

В частности, определителем второго порядкаМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается алгебраическая сумма двух слагаемых Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, каждое из которых равно произведению двух элементов. Согласно определению 3.6.1, первое слагаемое имеет знак «+», а второе – знак «-». Следовательно, для нахождения определителя второго порядка, нужно из произведения элементов, стоящих на главной диагонали вычесть произведение элементов стоящих на побочной диагонали:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Таким образом, каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Свойства определителя n-го порядка

Свойствами, сформулированными ниже, обладают определители любого порядка, в частности второго и третьего порядков.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Величина определителя при его транспонировании (т. е. при замене его строк соответствующими столбцами) не меняется.

Доказательство. Рассмотрим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения . Протранспонируем его; получим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т. е. элементы строки и i-го столбца определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения совпадают с элементами из i-й строки и k-го столбца определителя D. Тогда по определению

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В каждом слагаемом формулы (4.1) переставим сомножители таким образом, чтобы их первые индексы составили натуральную перестановку; вторые индексы образуют произвольную перестановку:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Перестановки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения иМатрица - виды, операции и действия с примерами решения разные, но обладают одинаковой четностью, так как одним и тем же числом транспозиций перестановка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения переводится в натуральную, а перестановку Матрица - виды, операции и действия с примерами решения получаем из натуральной. Поэтому Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, и равенство (3.7.1) принимает вид:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Так как Матрица - виды, операции и действия с примерами решения то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения чтo и требовалось доказать.

Из свойства Матрица - виды, операции и действия с примерами решения вытекает, что строки и столбцы определителя равноправны. Поэтому любое свойство доказанное для строк, справедливо и для столбцов.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то у него изменится только знак, а абсолютная величина останется прежней.

Доказательство. Рассмотрим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в котором переставим l-ую и m-ую строки. При этом считаем, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Получим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, элементы которого связаны с элементами определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения соотношениями

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В силу равенств (3.7.2) преобразуем определитель

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

к виду

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Выполним в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решения одну транспозицию Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в результате четность перестановки изменится на противоположную:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Затем поменяем местами сомножители Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения в произведении Матрица - виды, операции и действия с примерами решения . Произведение при этом не изменится, а равенство (3.7.3) примет вид

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В равенстве (3.7.4) первые индексы элементов образуют натуральную перестановку Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т. к. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, а перестановка из

вторых индексов такая же, как и в выраженииМатрица - виды, операции и действия с примерами решения . Поэтому сумма правой части формулы (3.7.4) равна определителю Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т. е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. что и требовалось доказать.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Так как по условию две строки одинаковы, то их перестановка не меняет величины Матрица - виды, операции и действия с примерами решения определителя. С другой стороны, по свойству Матрица - виды, операции и действия с примерами решения в результате перестановки знак определителя изменится, т. с. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Следовательно, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Если все элементы строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Пусть в определителе Матрица - виды, операции и действия с примерами решения l-тая строка содержит общий множитель, тогда по определению его можно записать в виде:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из (3.7.5) следует, что каждое слагаемое содержит множителем число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, его можно вынести за знак суммы, т. с. преобразовать

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из свойства Матрица - виды, операции и действия с примерами решения вытекает:

Следствие 3.7.1. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Действительно, по свойству Матрица - виды, операции и действия с примерами решения общий множитель у одной из строк, пропорциональной другой, можно вынести за знак определителя. Получим определитель с двумя одинаковыми строками, а в силу свойства Матрица - виды, операции и действия с примерами решения он равен нулю.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Если все элементы строки (столбца) являются суммами из одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, у которых элементами этой строки (столбца) служат отдельные слагаемые.

Доказательство. Пусть все элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения i-той строки определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения являются суммами из одинакового числа слагаемых: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Тогда определитель имеет вид:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В силу определения его можно записать:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

но так как Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

то

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

что и требовалось доказать.

Следствие 3.7.2. Величина определителя не изменится, если /с элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умножив их предварительно на один и тот же множитель.

Действительно, если мы рассмотрим определитель

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения полученный из Матрица - виды, операции и действия с примерами решения прибавляем к элементам l строки соответствующие элементы m строки, то в силу свойства Матрица - виды, операции и действия с примерами решения его можно представить в виде суммы двух определителей, т. е.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

так как второе слагаемое равно 0 как определитель с двумя пропорциональными строками.

Миноры и алгебраические дополнения

Определение 3.8.1. Если в определителе n-го порядка вычеркнем i-ую строку и k-ый столбец, на пересечении которых находится элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то полученный определитель (n-1)-го порядка называется минором исходного определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, соответствующего элементу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, и обозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Например, если

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение 3.8.1. Минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения с определенным знаком, зависящим от четности суммы i+k номеров строки и столбца, на пересечении которых находится элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется алгебраическим дополнением элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения в определителе Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и обозначается

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

С помощью алгебраических дополнений определитель порядка п может быть выражен через определители порядка n-1. Этот факт справедлив для определителей имеющих специальную структуру, т. е. имеют место

Лемма 3.8.1. Если в определителе порядка n все элементы последней строки (столбца), кроме элемента, стоящего в правом нижнем углу, равны нулю, то определитель равен произведению этого элемента на соответствующий ему минор.

Лемма 3.8.2. Если в определителе порядка n все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.

Из сформулированных лемм вытекают следующие теоремы:

Теорема 3.8.1. (теорема разложения). Определитель порядка п равен сумме парных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения .

Доказательство. Так как строки и столбцы равносильны, то достаточно проверить справедливость равенства: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Представим каждый элемент i-й строки определителяМатрица - виды, операции и действия с примерами решения в виде суммы n слагаемых, из которых n-1 слагаемое равно нулю

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

тогда его можно представить в виде суммы определителей (по свойству Матрица - виды, операции и действия с примерами решения):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения по лемме 2 равен произведению элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения на его алгебраическое дополнение в этом определителе. Но так как определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения отличается от Матрица - виды, операции и действия с примерами решения лишь элементами i-й строки, го это алгебраическое дополнение совпадает с алгебраическим дополнением Матрица - виды, операции и действия с примерами решения элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, так как эта строка и столбец будут вычеркнуты, а все остальные элементы определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения совпадают.

Следовательно,Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Аналогично Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и поэтому (т. к. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Теорема 3.8.2. (теорема аннулирования). Сумма парных произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения параллельной строки (столбца) равна нулю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где i, j – строки определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Вычисление определителей

Укажем некоторые способы вычисления определителей.

1) По теореме 3.8.1 определитель любого порядка п выражается через n определителей (n-1)-го порядка. Применяя эту теорему несколько раз, можно преобразовать исходный определитель к некоторому числу определителей третьего порядка, вычисление которых не представляет труда. Однако для упрощения вычислений целесообразно предварительно преобразовать определитель так, чтобы в одном из его рядов все элементы, кроме одного, обратились в нуль. Тогда данный определитель сведется к определителю более низкого порядка, и т. д.

2) Пользуясь свойствами определителя, приводят его к треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали, т. е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если удобнее получить нули по одну сторону от побочной диагонали, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решениягде Матрица - виды, операции и действия с примерами решения приведен уже к треугольному виду.

3) Если определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения порядка n после разложения по строке или столбцу и после преобразования, выражается через определители того же вида, но более низких порядков, то полученное равенство называется рекуррентным. Вычисляют столько определителей данного вида начальных порядков, сколько их входит в правую часть рекуррентного соотношения. Далее вычисляют определители высших порядков, используя рекуррентные соотношения, до тех пор, пока не удастся заметить общую закономерность для получаемых выражений. Для общего случая доказывают индукцией по п эту закономерность.

Определитель квазидиагональной матрицы равен произведению определителей её диагональных клеток:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Определитель второго порядка, согласно определению 3.6.1 равен произведению диагональных элементов минус произведение элементов побочной диагонали. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Определитель третьего порядка по определению 3.6.1. равен алгебраической сумме шести слагаемых. Построение этой суммы можно выполнить по правилу Саррюса. Со знаком “+” и рассматривая произведение элементов определителя, обозначенных на схеме точками

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Hстример,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определители выше третьего порядков вычисляются либо сведением к треугольному виду, либо используя теорему разложения или используя рекуррентную формулу. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(последовательно умножим первую строку на 2; 4; 3 и вычтем получающиеся при этом строки из второй, третьей и четвертой строк)

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(умножим третью строку на 20/34 и вычтем из четвертой строки; сомножитель четвертой строки 1/34 вынесем за знак определителя; в результате получим определитель верхнетреуголыюго вида, который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали) .

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрицы и операции над матрицами

Матрицей размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется прямоугольная таблица чисел Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решениявида Матрица - виды, операции и действия с примерами решения состоящая из m строк и n столбцов. Числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называются элементами матрицы, где i – индекс строки, j – индекс столбца. Обозначение: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(читается «а три пять») в таблице будет расположен в третьей строке и пятом столбце.

Суммой двух матриц одинакового размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения называется матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например,Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Произведением матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения на действительное число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. называется такая матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Если количество столбцов первой матрицы (множимой) равно количеству строк второй матрица (множителя), то матрицы называются согласованными.

Внимание! Умножаются только согласованные матрицы.

Произведением матрицы А размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения (n столбцов) на матрицу В размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(n строк) называется матрица С размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения каждый элемент которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ro столбца матрицы В, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения («i-ю строку первой матрицы умножаем на j-й столбец второй матрицы»). Число строк матрицы произведения С равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В.

Пример:

Даны матрицы

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Найти то из произведений АВ, В А, которое существует.

Решение:

Найдем произведение матриц АВ. Оно существует, т.к. количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В и равно двум.

Например, элемент произведения матриц с индексом 12 равен по определению сумме произведений элементов 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы 2-го столбца матрицы В:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Рассмотрим произведение матриц ВА. Число столбцов матрицы В (n=3) не совпадает с числом строк матрицы А (m=2). Произведение матриц ВА не существует.

Вывод. В общем случае произведение матриц не коммутативно, т.е. не всегда АВ=ВА.

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Обозначение: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения или Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

  • Линейный оператор – свойства и определение
  • Многочлен – виды, определение с примерами
  • Квадратичные формы – определение и понятие
  • Системы линейных уравнений с примерами
  • Прямая – понятие, виды и её свойства
  • Плоскость – определение, виды и правила
  • Кривые второго порядка
  • Евклидово пространство

Содержание:

  • Матрицы: основные определения и понятия
  • Умножение матрицы на число
  • Сложение и вычитание матриц
  • Умножение матриц
  • Транспонирование матрицы
  • Минор и алгебраическое дополнение
  • Вычисление определителя
  • Нахождение обратной матрицы
  • Нахождение ранга матрицы

Матрицы широко применяются в математике для
компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество
строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный
аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным
операциям над матрицами.

На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.
Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать
все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Примеры по темам:

  • Матрицы: основные определения и понятия
  • Умножение матрицы на число
  • Сложение и вычитание матриц
  • Умножение матриц
  • Транспонирование матрицы
  • Минор и алгебраическое дополнение
  • Вычисление определителя
  • Нахождение обратной матрицы
  • Нахождение ранга матрицы

Матрицы: основные определения и понятия

Теоретический материал по теме – основные определения и понятия матриц.

Пример

Задание. Чему равен элемент $ a_{23} $
матрицы $ A=left( begin{array}{rrr}{1} & {4} & {0} \ {-1} & {3} & {7}end{array}right) $ ?

Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

Таким образом, $a_{23}=7$.

Ответ. $a_{23}=7$

Умножение матрицы на число

Теоретический материал по теме – умножение матрицы на число.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Пусть $A=left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)$ .
Найти матрицу 2$A$.

Решение. $2 A=2 cdot left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)=left( begin{array}{c}{2 cdot 3} \ {2 cdot(-1)}end{array}right)=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$

Ответ. $2 A=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$

Сложение и вычитание матриц

Теоретический материал по теме – сложение и вычитание матриц.

Пример

Задание. Найти $A+B$, если
$A=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)$,
$B=left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)$

Решение. $C=A+B=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)+left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)=$

$=left( begin{array}{rrr}{1+5} & {-2+2} & {4+3} \ {2+4} & {0+6} & {-1+2}end{array}right)=left( begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$

Ответ. $C=left( begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$

Пример

Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$,
если $A=left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right), B=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {1} & {2} \ {0} & {0}end{array}right)$

Решение. $C=A-3 B=left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right)-3 cdot left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {1} & {2} \ {0} & {0}end{array}right)=$

$left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right)-left( begin{array}{rr}{-3} & {3} \ {3} & {6} \ {0} & {0}end{array}right)=left( begin{array}{cc}{1-(-3)} & {2-3} \ {2-3} & {-1-6} \ {3-0} & {0-0}end{array}right)=left( begin{array}{rr}{4} & {-1} \ {-1} & {-7} \ {3} & {0}end{array}right)$

Ответ. $C=left( begin{array}{rr}{4} & {-1} \ {-1} & {-7} \ {3} & {0}end{array}right)$

Умножение матриц

Теоретический материал по теме – умножение матриц.

Пример

Задание. Вычислить $A B$ и $B A$,
если $A=left( begin{array}{rr}{1} & {-1} \ {2} & {0} \ {3} & {0}end{array}right), B=left( begin{array}{ll}{1} & {1} \ {2} & {0}end{array}right)$

Решение. Так как $A=A_{3 times 2}$ , а
$B=B_{2 times 2}$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица
$C=C_{3 times 2}$ , а это матрица вида $C=left( begin{array}{cc}{c_{11}} & {c_{12}} \ {c_{21}} & {c_{22}} \ {c_{31}} & {c_{32}}end{array}right)$ .

Вычисли элементы матрицы $C$ :

$ c_{11}=a_{11} cdot b_{11}+a_{12} cdot b_{21}=1 cdot 1+(-1) cdot 2=-1 $

$ c_{12}=a_{11} cdot b_{12}+a_{12} cdot b_{22}=1 cdot 1+(-1) cdot 0=1 $

$ c_{21}=a_{21} cdot b_{11}+a_{22} cdot b_{21}=2 cdot 1+0 cdot 2=2 $

$ c_{22}=a_{21} cdot b_{12}+a_{22} cdot b_{22}=2 cdot 1+0 cdot 0=2 $

$ c_{31}=a_{31} cdot b_{11}+a_{32} cdot b_{21}=3 cdot 1+0 cdot 2=3 $

$ c_{31}=a_{31} cdot b_{12}+a_{32} cdot b_{22}=3 cdot 1+0 cdot 0=3 $

Итак, $C=A B=left( begin{array}{rl}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$ .

Выполним произведения в более компактном виде:

$=left( begin{array}{rrr}{1 cdot 1+(-1) cdot 2} & {1 cdot 1+(-1) cdot 0} \ {2 cdot 1+0 cdot 2} & {2 cdot 1+0 cdot 0} \ {3 cdot 1+0 cdot 2} & {3 cdot 1+0 cdot 0}end{array}right)=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$

Найдем теперь произведение $D=B A=B_{2 times 2} cdot A_{3 times 2}$. Так как
количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение
неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $A B=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$ .
В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы
$B$ не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ .

Транспонирование матрицы

Теоретический материал по теме – транспонирование матрицы.

Пример

Задание. Найти матрицу $A^{T}$, если
$A=left( begin{array}{rl}{1} & {0} \ {-2} & {3}end{array}right)$

Решение. $A^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {0} \ {-2} & {3}end{array}right)^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {-2} \ {0} & {3}end{array}right)$

Ответ. $A^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {-2} \ {0} & {3}end{array}right)$

Минор и алгебраическое дополнение

Теоретический материал по теме – минор и алгебраическое дополнение.

Пример

Задание. Найти минор
$M_{23}$ к элементу
$a_{23}$ определителя
$left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {1} & {0} & {3} \ {7} & {8} & {4}end{array}right|$ .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

тогда $M_{23}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$

Ответ. $M_{23}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$

Пример

Задание. Найти алгебраическое дополнение
$A_{23}$ к элементу
$a_{23}$ определителя
$left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {1} & {0} & {3} \ {7} & {8} & {4}end{array}right|$ .

Решение. $A_{23}=(-1)^{2+3} cdot M_{23}=(-1)^{5} cdot left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|=-left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$

Ответ. $A_{23}=-left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$

Вычисление определителя

Теоретический материал по теме – методы вычисления определителей.

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$

Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.

Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$

Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.

$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$

$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$

Пример

Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):

$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой – две вторых строки, получаем:

$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$

$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$

Ответ. $Delta=-80$

Нахождение обратной матрицы

Теоретический материал по теме – нахождение обратной матрицы.

Пример

Задание. Для матрицы $A=left( begin{array}{ll}{7} & {4} \ {5} & {3}end{array}right)$
найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице
$A$ справа единичную матрицу второго порядка:

$Aleft|E=left( begin{array}{ll|ll}{7} & {4} & {1} & {0} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right.$

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right.$

От второй строки отнимаем две первых:

$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {1} & {1} & {-2} & {3}end{array}right)right.$

Первую и вторую строки меняем местами:

$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|r|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {2} & {1} & {1} & {-1}end{array}right)right.$

От второй строки отнимаем две первых:

$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {0} & {-1} & {5} & {-7}end{array}right)right.$

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {0} & {3} & {-4} \ {0} & {1} & {-5} & {7}end{array}right)right.$

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в
правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right)$

Ответ. $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right)$

Пример

Задание. Найти обратную матрицу для $A=left( begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right)$

Решение. Шаг 1. Находим определитель: $Delta=left| begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right|=2-1=1 neq 0$

Шаг 2. $A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$

Шаг 3. $A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$

Ответ. $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$

Пример

Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=left( begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right)$

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

$Delta=left| begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1) cdot(-1)+2 cdot 3 cdot 2+0 cdot 1 cdot 1-$

$-1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 neq 0$

Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную.
Обратная матрица $A^{-1}$ к матрице
$A$ находится по формуле:

$A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot widetilde{A}^{T}$

Найдем союзную матрицу $check{A}$ , для этого вычислим алгебраические
дополнения к элементам матрицы $A$ :

$A_{11}=(-1)^{1+1} left| begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {3} & {-1}end{array}right|=(-1) cdot(-1)-3 cdot 1=1-3=-2$

$A_{12}=(-1)^{1+2} left| begin{array}{rr}{2} & {1} \ {1} & {-1}end{array}right|=-[2 cdot(-1)-1 cdot 1]=-(-2-1)=3$

$A_{13}=(-1)^{1+3} left| begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {1} & {3}end{array}right|=2 cdot 3-1 cdot(-1)=6+1=7$

$A_{21}=(-1)^{2+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {3} & {-1}end{array}right|=-[0 cdot(-1)-3 cdot 2]=-(0-6)=6$

$A_{22}=(-1)^{2+2} left| begin{array}{rr}{1} & {2} \ {1} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-1 cdot 2=-1-2=-3$

$A_{23}=(-1)^{2+3} left| begin{array}{cc}{1} & {0} \ {1} & {3}end{array}right|=-[1 cdot 3-1 cdot 0]=-(3-0)=-3$

$A_{31}=(-1)^{3+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {-1} & {1}end{array}right|=0 cdot 1-(-1) cdot 2=0+2=2$

$A_{32}=(-1)^{3+2} left| begin{array}{cc}{1} & {2} \ {2} & {1}end{array}right|=-[1 cdot 1-2 cdot 2]=-(1-4)=3$

$A_{33}=(-1)^{3+3} left| begin{array}{rr}{1} & {0} \ {2} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-2 cdot 0=-1-0=-1$

Таким образом, $tilde{A}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {3} & {7} \ {6} & {-3} & {-3} \ {2} & {3} & {-1}end{array}right)$

Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

$widetilde{A}^{T}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$

Итак, $A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$

Ответ. $A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$

Нахождение ранга матрицы

Теоретический материал по теме – нахождение ранга матрицы.

Пример

Задание. Найти ранг матрицы $A=left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {4} & {8} & {18} & {7} \ {10} & {18} & {40} & {17} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$

Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к
ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {4} & {8} & {18} & {7} \ {2} & {2} & {4} & {3} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей – две четвертых:

$A sim left( begin{array}{rrrr}{0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {-20} & {-50} & {-5} \ {0} & {-12} & {-30} & {-3} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$

Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей – три третьих:

$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$

Меняем местами первую и вторую строчки:

$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$

Далее четвертую и первую строки:

$A sim left( begin{array}{cccc}{1} & {7} & {17} & {3} \ {0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array}right) Rightarrow r a n g A=2$

Ответ. $operatorname{rang} A=2$

Пример

Задание. Найти ранг матрицы $A=left( begin{array}{rrrr}{1} & {2} & {-1} & {-2} \ {2} & {4} & {3} & {0} \ {-1} & {-2} & {6} & {6}end{array}right)$ ,
используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам
матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор
$M_{1}=1 neq 0$ . расположенный в первой строке и первом
столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор
$M_{2}^{1}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {2} & {4}end{array}right|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго
порядка, для этого минор $M_{1}$ окаймляем при
помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_{2}^{2}=left| begin{array}{rr}{1} & {-1} \ {2} & {3}end{array}right|=5 neq 0$ ,
то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор
$M_{2}^{2}$ . Таких миноров два: комбинация
третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

$M_{3}^{1}=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {2} & {4} & {3} \ {-1} & {-2} & {6}end{array}right|=0$

так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

$M_{3}^{2}=left| begin{array}{rrr}{1} & {-1} & {-2} \ {2} & {3} & {0} \ {-1} & {6} & {6}end{array}right|$

преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

$M_{3}^{2}=left| begin{array}{rrr}{0} & {5} & {4} \ {0} & {15} & {12} \ {-1} & {6} & {6}end{array}right|=0$

И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$
равен двум: $operatorname{rang} A=2$

Ответ. $operatorname{rang} A=2$

Читать первую тему – основные определения и понятия матриц,
раздела матрицы.

Примеры решения матриц с ответами

Простое объяснение принципов решения матриц и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Помощь в написании работы

Алгоритм решения матриц

Матрица – это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими буквами.

Есть два отличия между матрицами:

  1. Комплексные матрицы.  Это когда хотя бы одно число равно  комплексному.
  2. Действительные матрицы. Это когда в матрице содержаться действительные числа.

С матрицей можно выполнять самые наипростейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформация.

Сложение и вычитание

Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга.

Задание

Даны две матрицы, найдите их  сумму.

    [A=begin{pmatrix} 4 & 2\ 9 & 0 end{pmatrix}]

    [B=begin{pmatrix} 3 & 1\ -3 & 4 end{pmatrix}]

Решение

Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.

    [C=A+B=begin{pmatrix} 4 & 2\ 9 & 0 end{pmatrix}&+begin{pmatrix} 3 & 1\ -3 & 4 end{pmatrix}&=begin{pmatrix} 4+3 & 2+1\ 0+(-3) & 0+4 end{pmatrix}begin{pmatrix} 7 & 3\ 6 & 4 end{pmatrix}]

Задание

Даны две матрицы, найдите их разность.

    [A=begin{pmatrix} 4 & 2\ 9 & 0 end{pmatrix}&;B=begin{pmatrix} 3 & 1\ -3 & 4 end{pmatrix}]

Решение

    [C=A-Bbegin{pmatrix} 4 & 2\ 9 &0 \ end{pmatrix}-]

    [-begin{pmatrix} 3 & 1\ -3 &4\ end{pmatrix}&=begin{pmatrix} 4-3 & 2-1\ 9-(-3)&0-4\ end{pmatrix}=]

    [=begin{pmatrix} 1 & 1\ 12 &-4\ end{pmatrix}]

Задание

Найдите C=2A +3B, если :

    [A=begin{pmatrix} 4 & 2\ 9 &0 \ 4 & -6 end{pmatrix}]

    [B=begin{pmatrix} 3 &1 \ -3 & 4\ 9 & 1 end{pmatrix}]

Решение

    [C=2A+3B=2begin{pmatrix} 4 & 2\ 9 & 0\ 4 & -6 end{pmatrix}&-3begin{pmatrix} 3 & 1\ -3 & 4\ 9 & 1 \ end{pmatrix}&=]

    [&= begin{pmatrix} 2*4+3*3 & 2*2-3*1\ 2*9+3*(-3) & 2*0-3*4\ 2*4+3*9 & 2*(-6)-3*1 end{pmatrix}&=begin{pmatrix} 17 & 7\ 9& 12\ 35 & -9 end{pmatrix}]

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Умножение

В математике умножать таблицу с числами можно абсолютно любую. В таком случае число умножается с показателем. Умножаем первое число на первой строке с числом второго столбца и так далее.

Задание

Даны две матрицы. Умножьте их друг на друга.

    [A=begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\ 2 & 1 & 5\ 3 &2  &1 end{pmatrix}]

    [B=begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\ 4 & 3 & 2\ 2 & 1 & 6 end{pmatrix}]

Решение

    [A*B=begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\ 2 & 1 & 5\ 3 &2  &1 end{pmatrix}&*begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\ 4 & 3 & 2\ 2 & 1 & 6 end{pmatrix}]

=

    [=begin{pmatrix} 1*5+4*4+3*2 & 1*2+4*3+3*1 & 1*1+4*2+3*5\ 2*5+1*4+5*2 & 2*2+1*3+5*1 & 2*1+1*2+5*5\ 3*5+2*4+1*2 & 2*3+2*3+1*1 & 3*1+2*2+1*5 end{pmatrix}=]

    [=begin{pmatrix} 27 & 17 & 24\ 24 & 12 & 29\ 25& 13 & 12 end{pmatrix}]

    [B*A=begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\ 4 & 3 & 2\ 2 & 1 & 6 end{pmatrix}&*begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\ 2 & 1 & 5\ 3 &2  &1 end{pmatrix}=]

    [=begin{pmatrix} 5*1+2*2+1*2 & 5*4+3*1+1*2 & 5*3+2*5+1*1\ 4*1+3*2+2*3 & 4*4+2*1+2*2 & 4*3+3*5+2*1\ 2*1+1*2+5*3 & 2*4+1*1+5*2 & 2*3+1*5+5*1 end{pmatrix}=]

    [=begin{pmatrix} 11 & 24 & 26\ 16 & 23 & 29\ 19 & 19 & 16 end{pmatrix}]

Матрицы можно перемножать друг на друга, только если количество столбцов в первой матрице, равно количеству строк второй. Элемент матрицы будет равняться сумме произведений (Aji), где i – строки в таблице; j – строки чисел второй таблицы.

Возведение матрицы в степень

Данную формулу используют лишь в случаях, если матрица стоит в квадратном выражении. Важно  знать, что степень должна быть у таких выражений натуральной!

    [A^{n}=nleft {A*A*A...*A}]

Если число не будет натуральным, то это усложняет возведение матрицы в степень, так как степень n придётся умножить саму на себя n количество раз. Но если у Вас такой случай, то используется следующая формула.

    [A^{n+m}=A^{n}*A^{m}]

Задание

Найдите

    [A^{4}]

матрицы.

    [A=begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\ 4 & -2 & 3\ 0 & 1 & -1 end{pmatrix}]

Решение

В первую очередь найдём, для этого нужно будет просто умножить её саму на себя.

    [A^{2}=A*A=begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\ 4 &-2  &2 \ 0 &1  &-1 end{pmatrix}&*begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\ 4 & -2 & 3\ 0 & 1 & -1 end{pmatrix}=]

    [=begin{pmatrix} 1*1+0*4+2*0 & 1*0+0*(-2)+2*1\ 4*1+(-2)*4+3*0 & 4*0+(-2)*(-2)+3*1\ 0*1+1*4+(-1)*0& 0*0+1*(-2)+(-1)*1 end{pmatrix}=]

    [=begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\ -4 &7  & -1\ 4 &-3  & 4 end{pmatrix}]

После по формуле подставляем числовые значения.

    [A^{4}=begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\ -4 &7  & -1\ 4 &-3  & 4 end{pmatrix}&*begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\ -4 & 7 & -1\ 4 & -3 & 4 end{pmatrix}&=begin{pmatrix} -7 & 16 & -2\ -36 & 44 & -11\ 32 & -25 & 19 end{pmatrix}]

Расчёт определителя

В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы.

А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях.

Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные.

Дано

    [A=begin{pmatrix} 2 &0 &1 \ 1 & -1 &0 \ 0 & 3 & 1 end{pmatrix}]

Решение

Пользуемся свойствам степеней – A^{3}=A^{2}*A

Возведём А в A^{2}

    [A^{2}=begin{pmatrix} 2 &0 &1 \ 1 & -1 &0 \ 0 & 3 & 1 end{pmatrix}*begin{pmatrix} 2 &0 &1 \ 1 & -1 &0 \ 0 & 3 & 1 end{pmatrix}=]

    [=begin{pmatrix} 4 & 3 & 3\ 1 & 1 &1 \ 3 & 0 & 1 end{pmatrix}]

Далее используем свойство степеней

    [A^{3}=A^{2}*A=begin{pmatrix} 4 & 3 & 3\ 1 & 1 &1 \ 3 & 0 & 1 end{pmatrix}*begin{pmatrix} 2 &0 &1 \ 1 & -1 &0 \ 0 & 3 & 1 end{pmatrix}=]

    [=begin{pmatrix} 8+3+0 & 0-3+9 & 4+0+3\ 2+1+0 & 0-1+3 & 1+0+1\ 6+0+0 & 0+0+3 & 3+0+1 end{pmatrix}=]

    [=begin{pmatrix} 11 & 6 & 7\ 3 & 2 & 2\ 6 & 3 & 4 end{pmatrix}]

Ответ

    [A^{3}=begin{pmatrix} 11 & 6 & 7\ 3 & 2 & 2\ 6 & 3 & 4 end{pmatrix}]

Задание

Найдите определитель матрицы А.

    [A=begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 1\ 0 & 2 & 0 & 0\ 2 & 1 & 1 &3 \ 4 & 0 & 2 & 3 end{pmatrix}]

Решение

    [(det)A=begin{vmatrix} 2 &  4& 1 &1 \ 0 & 2 &0  & 0\ 2 & 1 & 1 &3 \ 4 &  0& 2 &3 end{vmatrix}=]

    [=-0*begin{vmatrix} 4 &1  &1 \ 1 &1  &3 \ 0& 2 & 3 end{vmatrix}&+2*begin{vmatrix} 2 & 1 &1 \ 2 & 1 & 3\ 4 & 2 &3 end{vmatrix}&-0*begin{vmatrix} 2 &4  &1 \ 2 &  1&3 \ 4& 0 & 3 end{vmatrix}&+0*begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\ 2 & 1 &1 \ 4 &0  &2 end{vmatrix}=]

    [=2(2*1*3*4+1*2*2-1/1/4-2**3*2-1*2*3)=2*(6+12+4-4-12-6)2*0=0]

Обратная матрица

Перед тем, как речь непосредственно пойдёт о самой обратной связи матрицы, давайте разберём алгоритм трансформирования матрицы. Во время трансформации столбцы и строки меняются местами.

Задание

Найти обратную матрицу А.

    [A=begin{pmatrix} 2 & 4 &1 \ 0 & 2 & 1\ 2 & 1 & 1 end{pmatrix}]

Решение

Приписываем к матрице А матрицу третьего ряда.

    [A|E=begin{pmatrix} 2 & 4 &1 && 1& 0&0\ 0 & 2 & 1&& 0& 1 &0\ 2 & 1 & 1&&0 &0 &1 end{pmatrix}]

Переводим всё в единичную матрицу.

    [begin{pmatrix} 2 &4  & 1&& 1&0 &0\ 0 & 2 & 1&& 0&1 &0\ 2-2 & 1-4 & 1-1&& 0-1& 0-0&1-0 end{pmatrix}]

    [begin{pmatrix} 2 & 4 &1&& 1&0 & 0\ 0 & 2 &1&&0 &1 &0  \ 0 &-3  &0 &&-1 & 0&1 end{pmatrix}]

    [begin{pmatrix} 2 & 4 & 1&& 1& 0&0\ 0& 2 &1 && frac{1}{3}&0 &-frac{1}{3}\ 0& 1 & 0&& 0&1 &0 end{pmatrix}]

    [begin{pmatrix} 2-4*0& 4-4*1 & 1-4*0 && 1-4*(frac{1}{3}) & 0-4*0 &0-4*(-frac{1}{3}) \ 0 & 1 & 0 && frac{1}{3} & 0 &-frac{1}{3} \ 0-3*0 & 2-2*1 & 2-2*1 && 0-2*frac{1}{3} & 1-2*0 & 0-2*(-frac{1}{3}) end{pmatrix}]

    [begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 && -frac{1}{3} & 0 & frac{4}{3}\ 0 & 1 &0  && frac{1}{3} & 0 & -frac{1}{3}\ 0 & 0 & 1 && -frac{2}{3} & 1 & frac{2}{3} end{pmatrix}]

    [begin{pmatrix} 2-0 & 0-0 & 1-1 && -frac{1}{3} -(-frac{2}{3})& 0-1 &frac{4}{3}-frac{2}{3} \ 0 & 1 & 0 && frac{1}{3} & 0 &-frac{1}{3} \ 0& 0 & 1 && -frac{2}{3} & 1 & frac{2}{3} end{pmatrix}]

    [begin{pmatrix} 2& 0 & 0 &&frac{1}{3}  & -1 & frac{2}{3}\ 0& 1 & 0 && frac{1}{3} &0  & -frac{1}{3}\ 0& 0 &1  && -frac{2}{3} & 1 & frac{2}{3} end{pmatrix}]

    [begin{bmatrix} 1 &0  & 0 && frac{1}{6} & -frac{1}{2} &frac{1}{3} \ 0 & 1 & 0 && frac{1}{3} & 0 &-frac{1}{3} \ 0& 0 & 1 &&-frac{2}{3}  &  1& frac{2}{3} end{bmatrix}]

Ответ

    [A^{1}=begin{bmatrix} 1 &0  & 0 && frac{1}{6} & -frac{1}{2} &frac{1}{3} \ 0 & 1 & 0 && frac{1}{3} & 0 &-frac{1}{3} \ 0& 0 & 1 &&-frac{2}{3}  &  1& frac{2}{3} end{bmatrix}]

    [A=begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\ 0 & 2 & 1\ 2 & 1 & 1 end{pmatrix}]

Обратная матрица

Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений.

Задание

В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:

    [A^{-1}=frac{1}{|A|}*A^{T}]

, где

    [A^{T} , A^{-1}]

-транспортированные матрицы;|А| – определитель.

Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы  2*2.

Найти обратную матрицу

    [A=begin{pmatrix} 1 & 2\ 3 & 4 end{pmatrix}]

Решение

Для начала находим определитель матрицы.

    [|A|=begin{vmatrix} 1 & 2\ 3 & 4 end{vmatrix}&=1*4-3*2=4*6=-2]

Если ответ равен нулю, то обратной матрицы нет! Так как наш ответ равен -2, то всё в порядке. Следующим действием нам нужно будет рассчитать матрицу миронов. Таблица элементов при этом не изменяется. Где прописан нужным нам элемент, нужно вычеркнуть строчку или столбец, оставшееся число и будет являться мироном.

    [M=begin{pmatrix} * &* \ *&* end{pmatrix}]

Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.

    [A=begin{pmatrix} 1 & 2\ 3 & 4 end{pmatrix}]

Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:

    [A=begin{pmatrix} 1 & 2\ 3 & 4 end{pmatrix}]

← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть.

Как итог, у нас остаётся число 4

    [M=begin{pmatrix} * &* \ *&4 end{pmatrix}]

    [M=begin{pmatrix} 4 & 3\ 2& 1 end{pmatrix}]

Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений.

Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.

    [M=begin{pmatrix} 4 & 3\ 2& 1 end{pmatrix}]

  ← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.

    [A=begin{pmatrix} 4 & -3\ -2& 1 end{pmatrix}]

, вот что у нас получилось.

И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.

    [A^{T}=begin{pmatrix} 4 & -3\ -2& 1 end{pmatrix}]

, вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения

    [A^{-1} = frac{1}{|A|}*A^{T}]

    [A^{-1}=-frac{1}{2}begin{pmatrix} 4 & -3\ -2 & 1 end{pmatrix}]

В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный.

Задание

Найдите матрицу А.

    [A=begin{pmatrix} 2& 4 & 1\ 0 & 2& 1\ 2 &2  &1 end{pmatrix}]

Решение

Начинаем с определения матрицы.

    [det(A)=begin{vmatrix} 2 & 4 &1 \ 0 & 2 & 1\ 2 & 1 & 1 end{vmatrix}=2*2*1+4*1*2+1*0*1-1*2*2-2*2*2-4*0*1=]

    [=4+8+0-4-2-0=6]

Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А:

    [A_{11}=(-1)^{1+1}*begin{vmatrix} 2 &1 \ 1&1 end{vmatrix}=2*1-1*1=1]

    [A_{12}=(-1)^{1+2}*begin{vmatrix} 0 &1 \ 2&1 end{vmatrix}=(0*1-1*2)=2]

    [A_{13}=(-1)^{1+3}*begin{vmatrix} 0 &12 \ 2&1 end{vmatrix}=0*1-2*2=-4]

    [A_{21}=(-1)^{2+1}*begin{vmatrix} 4 &1 \ 1&1 end{vmatrix}=-(4*1-1*1)=-3]

    [A_{22}=(-1)^{2+2}*begin{vmatrix} 2 &1 \ 2&1 end{vmatrix}=2*1-1*2=0]

    [A_{23}=(-1)^{2+3}*begin{vmatrix} 2 &4 \ 2&1 end{vmatrix}=-(2*1-4*2)=6]

    [A_{31}=(-1)^{3+1}*begin{vmatrix} 4 &1 \ 2&1 end{vmatrix}=4*1-1*2=2]

    [A_{32}=(-1)^{3+2}*begin{vmatrix} 2 &1 \ 0&1 end{vmatrix}=-(2*1-1*0)=-2]

    [A_{33}=(-1)^{3+3}*begin{vmatrix} 2 &4 \ 0&2 end{vmatrix}=2*2-4*0=4]

Не забываем записать союзную матрицу:

    [A=begin{pmatrix} 1 & 2 &-4 \ -3 & 0 &6 \ 2 & -2 & 4 end{pmatrix}]

И уже из неё находим обратную матрицу:

    [A^{-1}-frac{-1}{det(A)}A^{T}=frac{1}{6}=begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\ 2 &0  &-2 \ -4 & 6 & 4 end{pmatrix}]

    [begin{pmatrix} frac{1}{6} & -frac{1}{2} & frac{1}{3}\ frac{1}{3} & 0 & -frac{1}{3}\ frac{2}{3}& 1 & frac{2}{3} end{pmatrix}]

Получаем ответ

    [A^{-1}=}begin{pmatrix} frac{1}{6} & -frac{1}{2} & frac{1}{3}\ frac{1}{3} & 0 & -frac{1}{3}\ frac{2}{3}& 1 & frac{2}{3} end{pmatrix}]

Калькулятор матриц – действия с матрицами онлайн

С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.

Матричный калькулятор

Матрица A
Матрица B

Показатель степени:

Число:

Метод поиска обратной матрицы
Метод Гауса-Жордана
Метод союзной матрицы

Метод решения СЛАУ AX=B
Метод Гауса
Матричный метод
Метод Крамера

Элементарное преобразование

и

Выводить числа в виде

с знаками после запятой

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji

Выполнено действий:

Также может быть интересно:

  • Калькулятор таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина
  • Калькулятор комплексных чисел

Как пользоваться калькулятором матриц

  1. Выберите матрицу (или матрицы) с помощью переключателей ()
  2. Укажите размер с помощью выпадающих списков под матрицей ( × )
  3. Заполните элементы (нулевые элементы можно не заполнять.)
  4. Выберите в выпадающем списке требуемую функцию и, если требуется, введите дополнительные параметры.
  5. Нажмите кнопку .
  6. Если вывод чисел не устраивает, просто поменяйте его — доступны три варианта представления: правильные дроби (2), неправильные дроби () и десятичные дроби (2.4) с указанием числа знаков после запятой.

Ввод данных и функционал

  • В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (1/2, 29/7, -1/125), десятичные дроби (12, -0.01, 3.14), а также числа в экспоненциальной форме (2.5e3, 1e-2).
  • Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
  • Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
  • Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок “Вставить в A” и “Вставить в B”.
  • Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
  • Используйте стрелки (, , , ) для перемещения по элементам

Что умеет наш калькулятор матриц?

С одной матрицей (только Матрица A или Матрица B)

  • Транспонировать;
  • Вычислять определитель;
  • Находить ранг и след;
  • Возводить в степень;
  • Умножать на число;
  • Вычислять обратную матрицу;
  • Приводить к треугольному и ступенчатому вид;
  • Находить LU-разложение;
  • Выполнять элементарные преобразования;
  • Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы.

С двумя матрицами (Матрица A и Матрица B)

  • Складывать;
  • Вычитать;
  • Умножать;
  • Решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида AX=B;
  • Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы.

Вычисление выражений с матрицами

Вы можете вычислять различные арифметические выражения с матрицами, а также с результатами некоторых преобразований этих матриц.

Из чего могут состоять выражения?

  • Целые и дробные числа
  • Матрицы A, B
  • Знаки арифметических действий: + - * /
  • Круглые скобки для изменения приоритета операций: ( )
  • Транспонирование: ^T
  • Возведение в целую степень: ^

Примеры корректных выражений

  • Cложение двух матриц: A+B, (A)+(B), ((A) + B)
  • Возведение линейной комбинации матриц в степень: (3A - 0.5B)^5
  • Произведение транспонированной матрицы на исходную: A^TA
  • Обратная матрица в квадрате для B: B^-2

Что такое матрица?

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An×m.

Примеры матриц

Элементы матрицы

Элементы A обозначаются aij, где i – номер строки, в которой находится элемент, j – номер столбца.

Некоторые теоретические сведения

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji

Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — aii

Единичная матрица En×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.

Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)

След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)

Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: An

Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A-1×A = A×A-1 = E

Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.

LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U

Сложение матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij

Разность матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij-bij

Умножение матриц An×k и Bk×m — матрица Cn×m, у которой элемент (cij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: cij = ai1·b1j + ai2·b2j + ... + aik·bkj

Содержание:

  1. Матрицы – основные определения
  2. Действия над матрицами
  3. Транспонирование матриц
  4. Матрица и её определение
  5. Обратная матрица
  6. Ранг матрицы
  7. Матрицы и общие сведения о матрицах
  8. Перемножение матриц и его свойства
  9. Матрицы, действия над матрицами
  10. Определители
  11. Ранг матрицы и способы его вычисления 
  12. Обратная матрица
  13. Линейная алгебра
  14. Числовые матрицы и действия над ними
  15. Определение матриц и некоторые их разновидности
  16. Действия над матрицами
  17. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения

Матрицы – основные определения

Понятие матрицы впервые появилось в середине прошлого столетия в работах английских математиков У. Гамильтона (1805-1865) и А. Келли (1821-1895). В современной прикладной математике матрицы и связанные с ними понятия используются очень широко при решении самых разнообразных задач. В частности, использование матриц значительно упрощает решение сложных систем уравнений.

Матрицей называют прямоугольную таблицу с m строчек и n столбцов, составленную из чисел или любых объектов.

Ограничимся рассмотрением только действительных матриц, то есть матриц составленных из действительных чисел:

Матрицы

Числа Матрицы называют элементами матрицы. Первый индекс i означает номер строчки, второй j – номер столбца. Количество строчек и столбцов важно для матрицы, поэтому часто говорят, что матрица имеет тип Матрицы или что матрица имеет размер Матрицы. Строчки и столбцы ещё называют рядами матрицы.

Матрицы обозначают:

– круглыми скобками или двойными вертикальными черточками:

Матрицы

– большими буквами А, В, С:

Матрицы

– через сокращённую запись:

Матрицы

В зависимости от чисел Матрицы вида и расположения элементов выделяют следующие типы матриц:

– если Матрицы то матрицу называют квадратной;

– если Матрицы то матрицу называют прямоугольной;

– если Матрицы (матрица типа Матрицы), то её называют строчечной или вектором-строчки;

– если n=1 (матрица типа Матрицы), то её называют столбцовой, или вектором-столбца;

– матрица типа Матрицы скаляр (число);

(если рассмотреть следующие матрицы 

Матрицы

то видим, что матрица А – квадратная, матрицы В, С – прямоугольные, матрица D – вектор-строчки, матрица М – вектор-столбец, матрица К – скаляр);

– если все элементы квадратной матрицы, кроме Матрицы при Матрицы равны 0, то матрицу называют диагональной

Матрицы

– если все ненулевые элементы диагональной матрицы равны 1, то её          называют единичной матрицей и обозначают Е:

Матрицы

(если ввести символ Кронекера

Матрицы

тогда единичную матрицу можно записать в сокращённом виде Матрицы);

– если все элементы матрицы – нули, то её называют нулевой матрицей 

Матрицы

– матрицы вида:

Матрицы

называют треугольными (нижняя треугольная и верхняя треугольная).

Действия над матрицами

Над матрицами можно выполнять определённые действия, которые, по аналогии с числами, называют сложением, вычитанием, умножением. Также существуют действия, которые определены только для матриц. Введём правила действий над матрицами.

1. Матрицы считают равными, если они одного и того же типа, то есть имеют одинаковое количество строчек и столбцов, и соответствующие элементы равны, то есть матрицы Матрицы равны Матрицы, если Матрицы.

2. Суммой двух матриц Матрицы и Матрицы одинакового типа называют матрицей Матрицы того же типа, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, то есть  Матрицы

Свойства действий сложения матриц:

Матрицы

Пример.

а) Найти сумму матриц А и В.

Пусть

Матрицы

Тогда

Матрицы

б) Записать матрицу А как сумму матриц:

Матрицы

3. Аналогично вычисляют разность матриц:

Матрицы

4. Произведением матрицы Матрицы (или произведением числа на матрицу) называют матрицу, элементы которой получены умножением элементов матрицы А на число k:

 Матрицы

Свойства действий умножения матрицы на число:

Матрицы

4. Матрица (-1)А=-А называется противоположной для А.

(Если матрицы отрицаются только знаками своих элементов, то их называют противоположными).

Пример.

Матрицы

5. Умножение матриц.

Если количество столбцов матрицы Матрицы равно числу строк матрицы Матрицы, то для них определена матрица Матрицы, которую называют их произведением.

Элементы матрицы С находят по следующим правилам:

элемент Матрицы равный сумме попарных произведений элементов i-ой строчке матрицы А и j-ого столбца матрицы B.

Пример. Найти произведение матриц А и В, если 

Матрицы

Решения. Согласно приведённого правила, что бы найти Матрицы элементы первого ряда матрицы А почленно умножаем на элементы первого столбца матрицы В; с12 — элементы первого ряда матрицы А на элементы второго столбца матрицы В; с21 — элементы второго ряда матрицы А на элементы первого столбца матрицы В; с22— элементы второго ряда  матрицы А на элементы второго столбца матрицы В. Получим:

Матрицы

Свойства действий умножения матриц:

Матрицы

Внимание! Матрицы

Если АВ=ВА, то матрицы называют коммутативными. Единичная матрица Е коммутативная с любой другой, то есть  АЕ=ЕА=А и играет роль единицы при умножении.

Пример.

а) Найти произведение матриц АВ и ВА если:

Матрицы

Матрицы

Как видим, Матрицы

б) Проверить существуют ли произведения АВ и ВА, если

Матрицы

Решение. Количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строчек матрицы В, следовательно можно найти произведение матриц АВ:

Матрицы

Найти произведение матриц ВА невозможно, поскольку количество столбцов матрицы В не совпадает с количеством строчек матрицы А.

Транспонирование матриц

Если в матрице Матрицы типа Матрицы заменить строчки столбцами, то получим так называемую транспонированную матрицу Матрицы типа Матрицы.

Пример.

Матрицы

Свойства действий транспонирования матриц:

– дважды транспонированная матрица равна начальной

Матрицы

– транспонированная матрица суммы равна сумме транспонированных матриц слагаемых

Матрицы

– транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке

Матрицы

7. Матрица называется симметричной, если она совпадает со своей транспонированной матрицей, то есть если Матрицы

Очевидно, что

– симметричная матрица обязательно квадратная;

– элементы, симметричные относительно основной диагонали равны;

– произведение Матрицы является симметричной матрицей.

Пример.

Матрицы

8. Две матрицы называют эквивалентными, если одна получена из другой с помощью элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матриц называют следующие операции:

а) перестановка двух строк или столбцов матрицы;

б) умножение всех элементов любой строки (столбца) на одно и тоже число, отличное от нуля;

в) прибавление к элементам любой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умножение на одно и тоже число.

Пример. Рассмотрим матрицы:

Матрицы

Матрицы А, В, С, D эквивалентны, поскольку: матрица В получена из матрицы А перестановкой первой и второй строки; матрица С получена из матрицы А через умножение всех элементов второй строки на число 5; матрица D получена из матрицы А с помощью замены третьей строки суммой удвоенных элементов первой строки с элементами третьей.

Матрица и её определение

Матрицей называется прямоугольная таблица из m × n чисел, содержащая m строк и n столбцов, взятая в квадратные или круглые скобки.Матрицы                           (1.2)

Или коротко [ аij ]  (i = 1, 2, …, m;   j = 1, 2, …, n).
В этом случае считают, что матрица имеет размерность m × n. Матрицы обозначают большими латинскими буквами А, В, С, Е, … 

Числа aij называются элементами матрицы, где первый индекс i означает номер строки, а второй j — номер столбца. Если количество строк не равно количеству столбцов, то есть mn, то матрица называется прямоугольной, размерности m × n, а если m = nквадратной. В этом случае число m = n называется порядком матрицы. Элементы квадратной матрицы, в которых i = j , образуют главную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то есть

АМатрицы
Здесь отдельные элементы главной диагонали могут быть нулевыми.

Если в диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны единице, то ее называют единичной матрицей. Она обозначается буквой Е  и имеет вид:

ЕМатрицы

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют равное количество строк и столбцов и соответствующие элементы которых совпадают.

Матрица, в которой все элементы равны нулю, называется нуль-матрицей или нулевой. Ее обозначают буквой О.

Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Если в матрице А поменять строки на столбцы, а столбцы — на соответствующие строки, то полученную матрицу называют транспонированной и обозначают АT.

Если определитель квадратной матрицы равен нулю Матрицы, то матрица А называется вырожденной (или особенной) и при Матрицы  — невырожденной (или неособенной).
матрица вида
АМатрицы
а матрица
АМатрицы

Матрицу
AМатрицы

называют матрицей трапецеидального вида, если одновременно a11, a22, …, ajj отличные от нуля.

Пример 1. Заданs матрицы:
1) Матрицы   2) Матрицы  3) Матрицы
4)  Матрицы   5)  Матрицы    6)  Матрицы
Здесь:
1) A — прямоугольная матрица размерности 2 × 3,
2) AT — транспонированная матрица к матрице A;
3) B — матрица-столбец;
4) C — матрица-строка;
5) D — диагональная матрица четвертого порядка;
6) О — нулевая матрица второго порядка.

Пример 2. Для изготовления пяти видов елочных украшений на фабрике тратится определенное количество материала. Конкретные цифровые данные указаны в таблице:
МатрицыОхарактеризовать содержание строк и столбцов этой таблицы.

Решение. Указанные 15 чисел можно записать в виде прямоугольной матрицы размерности 3 × 5.
Матрицы
Каждые строка и столбец этой матрицы имеют определенный экономический смысл. Так, элементы первой строки указывают количество израсходованного стекла (в кг) на изготовление каждого из пяти видов елочных украшений. Числа второй строки указывают на потребности в количестве железных прищепок, необходимых для изготовления этих изделий. Элементы третьей строки характеризуют потребности в краске (в кг), которая используется при изготовлении соответствующего вида продукции.

Столбцы матрицы указывают на конкретное количество стекла, железных прищепок и краски, которые нужны на изготовление каждого из пяти видов елочных украшений. Так, например, элементы третьего столбца означают, что на изготовления украшений третьего вида нужно 2,8 кг стекла, 185 шт. железных прищепок и 1,4 кг краски.

Пример 3. Цены на некоторые виды товара характеризуются в гривнах, долларах США (USD), евро (EUR), английских фунтах (GBR) и рублях России (RUR).
Матрицы
Охарактеризовать содержание отдельных элементов таблицы.
Решение. Числовые данные этой таблицы можно записать в виде прямоугольной матрицы:
Матрицы
Каждый элемент имеет определенный экономический смысл. Например, элемент a21 значит, что женская кофта стоит 120 гр., элемент a32 означает, что спортивный костюм стоит 60,4 долларов США, а элемент a44  указывает на цену сапог в 52,4 английских фунтов. Элементы, например, первой строки определяют цены мужской куртки в различных денежных единицах: 1230 грн.; 232,1 долларов США; 238,8 евро; 155,3 английских фунтов; 7318,5 российских рублей.

Действия над матрицами

Пусть заданы две матрицы одной размерности m × n:

Матрицы

Определение. Суммой (разностью) двух матриц А и В называется такая матрица С размерности m × n, элементы которой сij  равны алгебраической сумме (разности) соответствующих элементов aij и  bij матриц А и В, то есть:

Матрицы

Из этого определения вытекают свойства:
1. A + B = B + A (коммутативность)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (ассоциативность)
3. A ± 0 = 0 ± A = A (нейтральность)
4. (A ± B) T = AT ± BT (транспонированность).

Пример 1. Найти сумму и разность матриц.
Матрицы

Решение.

Матрицы

Пример 2. Три магазина “Продтовары” продают продукты в течение рабочего дня. Данные о торговле двух смен характеризуются таблицами:
I смена:
Матрицы
II смена
Матрицы
Найти данные о совокупной однодневной продаже товара каждым магазином.

Решение. Содержание этих таблиц можно записать в виде двух прямоугольных таблиц:
Матрицы
Сумма этих двух матриц характеризует данные о совокупную однодневную продажу каждого из видов продукции:
Матрицы

Определение. Произведением матрицы A на число k (или числa k на матрицу A) называется матрица, элементами которой являются произведения элементов матрицы A на число k:

A ⋅ k = k ⋅ A = k ⋅Матрицы
Из определения произведения матрицы на число (или числа на матрицу) вытекает, что
1. k (mA) = (km) A;
2. (k + m) A = A (k + m) = kA + mA = Ak + Am;
3. λ (A + B) = λA + λB;
4. λA = 0, если λ = 0;
5. λA = 0, если A = 0.

Пример 3. Найти матрицу 4A, если матрица
AМатрицы
Решение. Согласно определению, получим:
4AМатрицы

Пример 4. Вычислить матрицу C = 2A – 4B, если
Матрицы
Решение. Использовав формулу умножения матрицы на число и формулу вычитания матриц, получим:
Матрицы

Матрицы

Пример 5. Предприятие производит три вида продукции А, В, С. Нормы затрат ресурсов на единицу продукции заданы в таблице:
Матрицы
Найти затраты ресурсов на изготовление 6 комплектов продукции.

Решение. Затраты ресурсов на производство единицы продукции можно представить в виде матрицы:

A = Матрицы

Каждый элемент матрицы имеет определенный экономический смысл. Например, a21 = 2 означает, что на изготовление единицы вида продукции A расходуется 2 кг сырья Y;  элемент a12  = 4 означает, что для изготовления единицы вида продукции B нужно потратить 4 шт. единиц сырья X.
Очевидно, что для нахождения затрат на изготовление 6 комплектов продукции, нужно вычислить матрицу 6 A, то есть
6A = 6 Матрицы
Замечание. Умножение матрицы на число отличается от умножения определителя на число. Матрицу умножают на число k, умножив все ее элементы на это число. Если определитель умножается на число k, то умножают на него все элементы одной какой-нибудь строки (или столбца).

Пусть матрица A содержит m строк и p столбцов, а матрица имеет p строк и n столбцов.

Определение. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы сij которой равны сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, то есть cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aip bpj (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Произведение матрицы A на матрицу B обозначают АВ (A × B). Умножение матрицы A на матрицу B выполняется по следующей схеме:
Матрицы
Здесь элемент cij находят как скалярное произведение элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Произведение матриц характеризуется свойствами:
1. AE = EA = A;
2. A⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0;
3. AB ≠ BA (некоммутативность)
4. (AB) C = A (BC) (ассоциативность)
5.  C (A+B) = CA + CB   (A+B) C= AC + BC   (дистрибутивность)
6. (A ⋅ B)T = BT ⋅ AT.
Это свойство имеет место для произвольного числа множителей
Матрицы
7. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Пример 6. Найти произведения AB и BA, если
Матрицы
и убедиться, что AB ≠ BA.

Решение.
AB = Матрицы
аналогично
BA = Матрицы
Отсюда следует, что AB ≠ BA.

Пример 7. Найти произведение AB, если
Матрицы
Решение.
AB = МатрицыМатрицы
(Здесь произведение BA неопределенный, так как количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы).

Пример 8. Найти произведение AE, если
A = Матрицы

Решение. 
AE = Матрицы
Матрицы
Матрицы
(Легко убедиться, что имеет место и равенство EA = A).

Пример 9. Найти произведение AB, если
Матрицы
Решение. Произведение этих матриц возможен, поскольку количество столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Получим
AB = Матрицы
Пример 10. Дана матрица:
A = Матрицы   Найти А2.
Решение. 
А2 = A ⋅ A = Матрицы

Матрицы

Замечание 1. Произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и тогда, когда каждая из матриц сомножителей не является нулевой.

Пример 11. Найти произведение матриц:
A ⋅ B = Матрицы

= МатрицыМатрицы

Замечание 2. Произведением двух диагональных матриц одного и того же порядка является диагональная матрица того же порядка.

Пример 12. Найти произведение диагональных матриц:
Матрицы
Тогда 
A⋅ B = Матрицы

Для таких двух матриц произведение коммутативно:
A⋅ B = B⋅ A.

Пример 13. Торгово-строительная компания заключила договор на строительство 6 жилых домов, 3 офисных зданий и 4 домов отдыха. Цены на отдельные виды материалов следующие: кирпич — 32 у.е./тыс. шт., цемент — 300 у.е./т., лес круглый — 44 у.е./м3, оцинкованное железо — 6 у.е./м2, стекло — 5 у.е./м2.

Информация о количестве материалов на каждый вид строительства представлена ​​в таблице:
Матрицы

Необходимо найти:
1) общее количество материалов;
2) цену материалов для каждого вида строения;
3) общую стоимость материалов.

Решение. 1) Запишем в виде матрицы А данные, которые характеризуют количество материалов на каждый вид строения, а данные об их ценах — в виде матрицы-столбца С.
Матрицы
Обозначим данные о договоре, заключенном на строительство сооружений через Матрицы
Чтобы найти общее количество материалов для строительства, нужно перемножить матрицы В и А и найти произведение BA, то есть

Матрицы

Таким образом, для выполнения договора на строительство 6 жилых, 3 офисных и 4 домов отдыха компания должна приобрести 960 тыс. шт. кирпича; 116 т цемента; 506 м3 круглого леса; 2580 м2 оцинкованного железа и 1780 м2 стекла.
2) Чтобы найти общую стоимость материалов для каждого вида строительства, нужно перемножить матрицу А на матрицу-столбец С, составленную из чисел, характеризующих цены на соответствующие материалы:

МатрицыМатрицы

Стоимость материалов для строительства жилого дома составляет 8860 у.е., для строительства офиса — 9348 у.е. и для строительства дома отдыха — 7740 у.е.

3) Для того, чтобы найти общую стоимость строительства согласно договора 6 жилых, 3 офисных и 4 домов отдыха нужно найти произведение матриц
Матрицы
Это же число можно получить еще так:
Матрицы
Таким образом, общая стоимость всего здания составляет 112 164 у.е.

Обратная матрица

Определение 1. Квадратная матрица А n-го порядка называется невырожденной (или неособенной), если ее определитель Матрицы не равен нулю.

Определение 2. Квадратная матрица А n-го порядка называется вырожденной (или особенной), если ее определитель Матрицы равен нулю.

Определение 3. Матрица А-1 называется обратной матрицей для квадратной невырожденной матрицы А, если выполняются равенства AA-1 = A-1A = E.

ТЕОРЕМА. Если матрица А n-го порядка невырожденная, то для нее существует обратная матрица А-1.

Доказательство. Пусть задана квадратная невырожденная матрица А, то есть ее определитель Матрицы ≠ 0.
A = Матрицы
Рассмотрим другую матрицу
В = Матрицы
где Aij — алгебраические дополнения элементов aij матрицы A.
Найдем произведение АВ:
АВ = Матрицы = C .

Каждый элемент cij  матрицы С равен
cij = ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + … + ain Ajn.

Если i ≠ j, то есть выражение, которое является суммой произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения элементов другой строки определителя матрицы А. По теореме аннулирования эта сумма равна нулю.

Если i = j, то выражение cii = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin представляет собой сумму произведений элементов произвольной строки на соответствующие алгебраические дополнения этой строки определителя матрицы А. По теореме Лапласа такая величина равна определителю матрицы Матрицы.

То есть матрица С имеет вид

С = Матрицы

Если каждый элемент этой матрицы С разделить на Матрицы (т.е. умножить ее на Матрицы), то получим единичную матрицу Е, то есть
Матрицы

Это доказывает теорему.

Итак, обратная матрица имеет вид:
Матрицы
Дадим схему нахождения обратной матрицы для заданной квадратной невырожденной матрицы.
1. Вычислим определитель матрицы Матрицы.
2. Транспонирует матрицу A, то есть получаем матрицу:
Матрицы

3. Находим алгебраические дополнения каждого элемента транспонированной матрицы АТ и запишем их в виде матрицы АП:
Матрицы
4. Делим каждый элемент матрицы АП на определитель матрицы A, то есть умножим число
Матрицы на матрицу АП. Полученная матрица будет обратной:
Матрицы

Матрица АП, которая составлена ​​из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, называется присоединенной (или союзной) к матрице A.

Замечание 1. Присоединенная матрица будет иметь такой же вид AП, если транспонировать матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы A.

Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы
A = Матрицы
и показать, что AA-1 = A-1A = E.

Решение. Определитель этой матрицы
Матрицы
Транспонированная матрица AТ имеет вид
Матрицы
Найдем алгебраические дополнения каждого элемента этой матрицы
Матрицы

Матрицы
Присоединена матрица будет такой:
Матрицы
Обратная матрица А-1 для заданной матрицы А имеет вид
Матрицы
Легко проверить, что
Матрицы

Пример 2. Найти обратную матрицу для матрицы
A = Матрицы

Решение. Вычислим определитель этой матрицы:
Матрицы
Поскольку Матрицы, то есть матрица A вырождена, то обратной для нее не существует.
Замечание 2. Квадратная невырожденная матрица второго порядка  Матрицы имеет обратную A-1 , и она находится по формуле: Матрицы

Пример 3. Найти обратную матрицу к матрице
A = Матрицы
Решение. Заданная квадратная матрица второго порядка невырожденная, поскольку ее определитель
Матрицы
поэтому обратная к матрице A существует, и ее можно найти по предыдущей формуле:
Матрицы

Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размерности m × n                              (1.2).

Определение. Рангом матрицы называется самый высокий порядок отличных от нуля миноров. Его обозначают через r (или rang (A)).

Из определения вытекают следующие свойства ранга матрицы.

1. Ранг матрицы равен нулю только тогда, когда матрица нулевая. В других случаях ранг матрицы равен некоторому положительному числу.

2. Ранг прямоугольной матрицы не превышает меньшего из двух чисел m и n, то есть 0 ≤ r ≤ min (m, n).

3. Для квадратной матрицы n-го порядка r = n только тогда, когда матрица невырожденная.

4. Если r <n то определитель матрицы равен нулю.

Рассмотрим два метода нахождения ранга матрицы.
Первый метод — метод окантовки — заключается в следующем. Если все миноры 1-го порядка, то есть элементы матрицы, равны нулю, то r = 0.

Если хотя бы один из миноров 1-го порядка не равен нулю, а все миноры 2-го порядка равны нулю, то r = 1. Аналогично, если минор 2-го порядка отличен от нуля, то исследуем миноры 3-го порядка. Таким способом находят минор k-го порядка и проверяют, не равны ли нулю миноры (k + 1)-го порядка. Если все миноры (k + 1)-го порядка равны нулю, то ранг матрицы A равен числу k. Такие миноры (k + 1)-го порядка, как правило, находят путем “окантовки” минора k-го порядка.

Пример 1. Найти ранг матрицы:
A = Матрицы.

Решение. Все миноры 2-го порядка
Матрицы
равны нулю. Значит, ранг матрицы A равен единице: r (A) = 1.

Пример 2. Найти ранг матрицы:
A = Матрицы.
Решение. Поскольку в матрице A есть миноры 1-го порядка, отличные от нуля, то ее ранг может быть равен единице. Минор 2-го порядка
Матрицы
но, например, минор
Матрицы
отличен от нуля. Окантовывая минор М2 , получим минор 3-го порядка (в матрице A показано пунктиром)
Матрицы
Рассмотрим миноры 4-го порядка, которые окантовывают данный минор М3
Матрицы
Все они равны нулю, потому, что первая и четвертая строки пропорциональны. Значит ранг матрицы A равен 3 (r = 3).

Рассмотрен способ нахождения ранга матрицы не всегда удобный, поскольку нужно вычислять большое количество миноров.

Второй метод определения ранга матрицы заключается в применении элементарных преобразований матрицы при сведении ее в диагональному виду.

Элементарными преобразованиями матрицы называются такие операции:
1) перестановка местами любых двух строк (или столбцов);
2) умножение каждого элемента произвольной строки (или столбца) на отличное от нуля число;
3) вычеркивания строки (или столбца), которая содержит все нулевые элементы;
4) прибавление к элементам произвольной строки (или столбца) соответствующих элементов другой строки (или столбца), умноженных на одно и тоже отличное от нуля число.

При таких элементарных преобразованиях ранг матрица не изменяется.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из второй с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы не равны между собой, зато они имеют одинаковые ранги.

Если матрицы A и B эквивалентны, то это записывают так: .

С помощью элементарных преобразований матрицу можно свести к диагональному виду. Ранг такой матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов.

Пример 3. Найти ранг матрицы
A = Матрицы

Решение.
1-й шаг. В заданной матрице переставим первую и вторую строки. На месте элемента а11 имеем элемент, равный 1.
2-й шаг. Добавим к элементам второй и третьей строк соответствующие элементы первой строки, умноженные на “–3”, а к элементам четвертой строки — соответствующие элементы первой, помноженные на “–5”.
3-й шаг. В первой строке можно автоматически записать все нули, кроме первого элемента “1”. Этого можно добиться, если к элементам 2-го, 3-го, 4-го и 5-го столбцов прибавить соответствующие элементы первого столбца, умноженные соответственно на числа: “–3”, “–3”, “–2”, “–5”.
4-й шаг. Добавим к элементам третьей и четвертой строк соответствующие элементы второй строки, умноженные на число “–2”.
5-й шаг. Во второй строке на месте элементов “–7”, “–3”, “–11” запишем нули (аналогично как на третьем шаге).
Рассмотренные шаги приведения матрицы A к диагональному виду покажем схематически так:

Матрицы

В последний матрице вычеркнем третью строчку и третий и четвертый столбцы, которые содержат все нулевые элементы:
Матрицы
Ранг этой матрицы равен трем, а значит и ранг матрицы A тоже равен 3, то есть r = 3.

Пример 4. Найти ранг матрицы:
A = Матрицы
Решение.
1-й шаг. Из элементов второй строки вычтем соответствующие элементы первой и поменяем их местами.
2-й шаг. К элементам второй и третьей строк добавим соответствующие элементы первой, умноженные соответственно на “–3” и “–5”.
3-й шаг. Запишем в первой строке все нули, кроме первого элемента “1”.
4-й шаг. Вычтем соответствующие элементы второй и третьей строк.
5-й шаг. Подобно тому, как на 3-м шаге, получим во второй строке нули на месте элементов “9” и “–7”. Покажем рассмотрены шаги схематично.

Матрицы

Ранг последней матрицы равен двум, а значит и ранг матрицы A равен 2, то есть r = 2.

Матрицы и общие сведения о матрицах

Многие экономические задачи связаны с обработкой информации, которая представлена таблицами данных. Поэтому исключительно важную роль играет понятие матрицы.

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Размерностью (или размером) матрицы называется пара чисел Матрицы, где Матрицы – число строк, Матрицы – число столбцов в таблице.

Матрицы обозначают обычно большими латинскими буквами и записывают следующим образом:

Матрицы

Здесь Матрицы– произвольный элемент матрицы, стоящий в i-й строке и j -м столбце. Кроме круглых скобок для обозначения матриц используют и квадратные.

Пример №22

Три завода выпускают пять различных видов продукции. Отчет о производстве за год в тыс. ед. представлен матрицей:

Матрицы

Где, например, Матрицы = 4 (тыс. ед.) – количество продукции 3-го вида, выпущенное 2-м заводом в течение этого года. Размерность этой матрицы 3×5.

Если число строк в матрице равно числу столбцов, т.е. размерность матрицы Матрицы, то матрица называется квадратной порядка Матрицы. Элементы Матрицы образуют главную диагональ квадратной матрицы. Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца) называется вектор-строкой (Матрицы). Действительно, вектор-строка размерности Матрицы – это фактически вектор из Матрицы, а вектор-столбец размерности Матрицы – вектор из Матрицы. Например,

Матрицы.

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Две матрицы одинаковой размерности равны, если равны их соответствующие элементы. Транспонированной матрицей к матрице А называют матрицу Матрицы, которая получается, если в матрице А меняют местами соответствующие строки и столбцы. Для матрицы (1) получим

Матрицы

Размерность этой матрицы 5 x 3.

Над матрицами можно производить ряд операций. Матрицы одинаковой размерности можно складывать. Сложить две матрицы означает сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрицы можно умножать на число. Это означает, что все элементы матрицы надо умножить на данное число.

Пример №23

Если ассортимент продукции заводов из примера 1 не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы:

Матрицы

Если же в течение третьего года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20% по сравнению со вторым годом, то отчет за третий год будет таким:

Матрицы

Отчет же за три года будет выглядеть следующим образом:

Матрицы

Перемножение матриц и его свойства

Важнейшей операцией линейной алгебры является операция умножения матриц.

Пусть даны две матрицы: А – размерности Матрицы и В – размерности Матрицы. Т.к. количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы, то можно умножить матрицу А на матрицу В. Результатом умножения будет матрица С – размерности Матрицы (правило для запоминания: Матрицы). Элемент полученной матрицы Матрицы равен скалярному произведение двух векторов: i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т.е.

Матрицы

Пример №24

Даны матрицы:

Матрицы Произведение матрицы А на матрицу В равно

Матрицы

Произведение АВ оказалось возможным, т.к. число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй и равно 3. В то же время, произведение ВА невозможно, т.к. теперь число столбцов первой матрицы равно 3, а число строк второй – 2 .

Приведем основные свойства умножения матриц.

1. Как известно, для любых чисел а и b выполняется свойство: ab = ba. Для матриц, в общем случае, АВ Матрицы ВА. Например,

Матрицы 2. Единичной матрицей Е называется квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а остальные нули. Особенности умножения на эту матрицу такие: АЕ = ЕА = А.

3. Произведение матриц подчиняется сочетательному закону: (АВ)С = А(ВС).

4. При перемножении матриц и транспонировании имеет место свойство: Матрицы.

Пример №25

Предприятие выпускает три вида продукции Матрицы, используя два вида сырья Матрицы. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей Матрицы

Например, Матрицы = 3 означает, что на выпуск единицы продукции Матрицы расходуется 3 единицы сырья Матрицы.

1) Требуется определить затраты сырья, необходимые для выполнения плана выпуска продукции: Матрицы – 100 ед., Матрицы – 50 ед., Матрицы – 80 ед. 2) Стоимость единицы сырья составляет: Матрицы – 15 грн., Матрицы – 22 грн. Рассчитать общие расходы на приобретение сырья, необходимые для выполнения плана 1).

Решение:

1) Введем вектор-столбец плана выпуска продукции:

Матрицы

Рассчитаем затраты сырья, необходимые для выполнения этого плана:

Матрицы 2) Введем вектор-строку стоимостей единиц сырья: Матрицы = (15 22).

Общие расходы на приобретения сырья, необходимые для выполнения плана:

Матрицы

Решая подобные задачи в дальнейшем, можно без рассуждений использовать формулу: Матрицы.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Матрицы, действия над матрицами

Матрицей Матрицы  размера Матрицы называется таблица, что складывается из Матрицы рядов и Матрицы столбцов. 

Матрицы

Иногда матрица Матрицы обозначается не круглыми скобками, а двойными вертикальными отрезками: Матрицы или квадратными скобками:Матрицы 

Матрица размерности Матрицы называется квадратной матрицей Матрицы – ого порядка. Элементы Матрицы в этом случае образуют главную диагональ матрицы.  

Определитель, сложенный из элементов квадратной матрицы, называется определителем (детерминантом) матрицы и обозначают так: 

Матрицы

Квадратная матрица, в которой на главной диагонали стоят единицы, а другие элементы равны нулю, называется единичной и обозначается Матрицы

Матрицы

Если все элементы матрицы равны нулю, то такую матрицу называют нулевой и обозначают Матрицы

Две матрицы Матрицы  и Матрицы называют равными , если они одинакового размера и равны их элементы, что стоят на одинаковых местах. 

Произведением числа Матрицы на матрицу Матрицы  по определениям является матрица 

Матрицы 

Таким образом, чтобы умножить матрицу Матрицы на число Матрицы, нужно каждый элемент матрицы умножить на это число. 

Суммой матриц Матрицы и Матрицы одинакового размера Матрицы называется матрица Матрицы размера Матрицы, элементы которой находят так: 

Матрицы для всех Матрицы и Матрицы

Следует, складывание матриц приводится к складыванию соответственных элементов этих матриц. 

Отнимание матриц обозначаются через действия, которые уже рассматривали: 

Матрицы

то есть отнимание двух матриц приводится к отниманию их соответственных элементов. Очевидно, что отнимать можно только матрицы одинакового размера. 

Произведением матрицы Матрицы и Матрицы называется матрица Матрицы элемент Матрицы которой равен сумме произведений Матрицы– го ряда матрицы Матрицы на соответственные элементы Матрицы – ного столбца матрицы Матрицы то есть 

Матрицы

Для произведения матриц в общем случае справедливы соотношения:

Матрицы

(если же, обычно, существует каждый из слагаемых). 

Операции складывания матриц имеют свойства: 

Матрицы

4. Если Матрицы тогда Матрицы – противоположная к Матрицы матрица. 

Операции умножения матриц имеют такие свойства: 

Матрицы

Квадратная матрица Матрицы результат умножения этой матрицы на саму себя. Аналогично вводится понятие Матрицы – нной степени матрицы Матрицы, то есть 

Матрицы

Если в матрице Матрицы  поменять местами ряды и столбцы, то получим матрицу Матрицы  которую называют транспонированной к матрице  Матрицы

Решение примеров и задач:

Пример 1.1.

Для матриц: 

Матрицы

найти матрицы Матрицы

Решение.

Матрицы

Матрицы

Матрицы

Отметим, что Матрицы

Матрицы дают возможность укоротить записи и использовать одинаковые соображения для разных объектов. 

Задача 1.2 

Предприятие выпускает продукцию двух видов, используя при этом сырье трех типов. Затраты сырья на производстве продукции задаются матрицей Матрицы где  Матрицы – количество единиц сырья Матрицы – ого типа, что используется для производства единицы продукции Матрицы – ого вида. План ежедневного выпуска продукции превышает 90 единиц продукции первого вида и 120 единиц продукции второго вида. Стоимость единицы каждого типа сырья соответственно равны 8, 5 и 10 рублей. Обозначить общие затраты сырья Матрицы необходимой для ежедневного выпуска продукции, а также общую стоимость Матрицы этого сырья.

 Решение . Запишем план выпуска продукции в виде матрицы Матрицы Тогда общие затраты сырья планового выпуска продукции можно найти как произведение матрицы Матрицы и  Матрицы то есть 

Матрицы

Следует, для ежедневного выпуска продукции используется 930, 390 и 540 единиц сырья первого, второго и третьего типов соответственно. 

Зададим стоимость единицы каждого типа сырья матрицы Матрицы Тогда общая стоимость сырья: 

Матрицы

Заметим, что использование матриц а этой задаче привело к наглядности, упрощения и компактности вычислений. 

Определители

Число Матрицы называется определителем (детерминантом) второго порядка и обозначается так: 

Матрицы

Числа Матрицы – элементы определителя, причем первая цифра индекса в записи числа указывает на номер порядка, в котором стоит этот элемент, а вторая цифра интекса – на номер столбца. Диагональ, на которой размещены элементы Матрицы и Матрицы называется главной диагональю, а диагональ, на которой находится Матрицы и Матрицы называется побочной. Следует, определитель второго порядка равен разнице произведений элементов главной и побочной диагоналей. 

Аналогично, определителем третьего порядка называется число, что образуется из девяти чисел по такому правилу: 

Матрицы

Эта сумма складывается из шести произведений. В каждое произведение входит по одному числу из каждого порядка и в то же время до одного элемента из каждого столбца. Знаки произведений легко запомнить воспользовавшись схемами: 

Матрицы

Напомним основные свойства определителей третьего порядка

  1. Величина определителя не изменяется, если его ряды заменить столбцами, причем каждый ряд заменяют столбиком с тем же самым номером.
  2. Если в определителе поменять местами только два ряда (или два столбика), то определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютное значение. 
  3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или два одинаковых ряда. то он равен нулю.
  4. Если определитель содержит два пропорциональных ряда (столбца), то значение его равно нулю. Если элементы некоторого ряда (столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
  5. Если все элементы некоторого ряда (столбца) умножить на одно и то же число, то значение определителя так же умножиться на то же число. Это подразумевает, что общий множитель всех элементов ряда (столбца) можно вынести за знак определителя. 
  6. Если каждый элемент некоторого ряда (столбца) является сумма двух слагаемых, то определитель можно предоставить в виде суммы двух определителей: в первом из них на месте каждой суммы остается только первое слагаемое, а во втором – только второе слагаемое (другие элементы определителя сохраняются). 
  7. Значение определителя не изменяется, если к элементами некоторого ряда (столбца) прибавить соответственные элементы другого параллельного ряда (столбца), умножив их поочередно на одно и то же число. 

Если в определителе Матрицы вычеркнуть  Матрицы – нный порядок и Матрицы – нный столбец, на пересечении которых размещен элемент  Матрицы то получим определитель второго порядка, который называется минором Матрицы элемента Матрицы Алгебраическими дополнениями Матрицы элемента Матрицы определителя Матрицы называется соответственный ему минор со знаком, который вычисляется по такому правилу: 

Матрицы

Еще одно свойство определителя. 

8. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда (столбца) на соответственные их алгебраические дополнения. 

Если по этому правилу раскрыть определитель Матрицы по первому порядку, то получим: 

Матрицы

Решение примеров:

Пример 1.11.

Вычислить определитель 

Матрицы

Решение. Сделаем этого двумя способами: 

а) Вычислим определитель раскладывая его по элементам третьего порядка (используем свойство 8). 

Матрицы

б) В этом случае, образуем нули во втором порядке (или в нем есть единица или же выбирается тот ряд ( или столбец), в котором пропорциональные элементы). Для этого к элементам второго столбца прибавим элементы первого, предварительно умножив их в уме на 2, потом к элементам третьего столбца прибавим элементы первого столбца, умноженные перед этим на – 3. Значение определителя при этом, согласно со свойствами 7, не измениться. 

Матрицы

Пример 1.12

Вычислить определитель третьего порядка

Матрицы

Решение. Преобразуем определитель таким образом, чтобы ниже главной диагонали все элементы его  стали нулями.  Тогда из определитель равен произведению диагональных элементов. 

Найдем разницу первого и второго рядов, а потом умножим первый порядок на 2 и отнимем от третьего порядка. Получим определитель 

Матрицы

Отняв второй порядок от третьего, получим: 

Матрицы

Матрицы

Пример 1.13

Вычислить определитель четвертого порядка

Матрицы

Решение. Сложим первый ряд к второму и четвертому, получим определитель

Матрицы

Переставим первый и третий столбцы: 

Матрицы

Сложим второй порядок к третьему и четвертому ряду и вынесем общий множитель элементов третьего и четвертого ряда: 

Матрицы

Отняв третий ряд от четвертого, получим: 

Матрицы

Ранг матрицы и способы его вычисления 

Матрица имеет ранг Матрицы если среди ее миноров существует хотя бы один минор порядка Матрицы отличный от нуля, а все миноры порядка Матрицы  и высшего равен нулю, или не существуют. 

Пример 1.29 

Найти ранг матрицы Матрицы

Решение. Эта матрица третьего порядка, следует, ее ранг не может быть больше трех. Определитель третьего порядка равен нулю: 

Матрицы

но существует минор второго порядка Матрицы Ранг матрицы Матрицы равен двум, Матрицы

Пример 1.30  

Найти ранг матрицы Матрицы

Решение. Эта матрица имеет размер Матрицы потому ее ранг не больше 3. Существует определитель третьего порядка Матрицы Следует, Матрицы

Элементарными преобразованиями матрицы называют такие ее преобразования: 

  1. Транспортировка, то есть замена каждого ряда столбцом с тем же номером и наоборот. 
  2. Перестановка двух рядов или двух столбиков.
  3. Умножение всех элементов ряда или столбца на любое число не равное нулю. 
  4. Складывание всех элементов ряда или столбца соответственных элементов параллельного ряда, умножено на одно и то же число. 

Матрицы полученные одна из другой элементарными преобразованиями, называются эквивалентными. Эквиваленты матрицы не равны одна другой, но при элементарных преобразований матриц ее ранг не изменяется. 

Пример 1.31. 

Найти ранг матрицы Матрицы

Решение. Разделим элементы первого ряда на 2, получим эквивалентную матрицу ( ранг этой матрицы равен рангу исходной):

Матрицы

Отнимем от третьего ряда второй, умноженный на 3.

Матрицы

При нахождении ранга матрицы, как правило, нужно вычислить большое количество определителей. Чтобы облегчить этот процесс, используют специальные способы. Ранг можно вычислить, например, так: над матрицей последовательно выполняют элементарные преобразования до тех пор, пока в каждом ряде и каждом столбце стоит не более одного ненулевого элемента. Тогда ранг матрицы будет равен числу этих ненулевых элементов. 

Пример 1.32  

Найти ранг матрицы Матрицы

Решение. Преобразуем в нули все элементы первого ряда, кроме первого элемента, для чего первый и второй столбец оставим без изменения, вместо третьего столбца запишем разницу между первым и третьим столбцом, а вместо четвертого – сумму четвертого и первого, умноженного на (-2).

  Матрицы

Далее без изменения оставим первый и третий столбцы, вместо второго запишем разницу между третьим и вторым столбцами, а вместо четвертого – сумму четвертого столбца и третьего, умноженного на -4. 

Матрицы

И наконец, остаточный столбик преобразуем на нули. Вместо него запишем разницу между вторым и четвертым столбцами. 

Матрицы

Полученная матрица содержит три ненулевых элемента, то есть Матрицы

Обратная матрица

Матрица Матрицы называется обратной к матрице Матрицы если 

Матрицы

Отсюда вытекает. что обратную матрицу могут иметь только квадратные матрицы. 

Матрицы

То есть обратная матрица складывается из алгебраических дополнений к элементам рядов, которые записываются в столбцы с соответственными номерами, а потом каждое алгебраическое дополнение делится на детерминант матрицы. 

Обратную матрицу можно использовать при решение системы линейных алгебраических уравнений матричным способом: матрицу – столбец Матрицы находят как произведение матрицы Матрицы обратной к матрице системы, и матрице – столбца свободных членов Матрицы то есть 

Матрицы

Решение примеров:

Пример 1.45 

Найти матрицу Матрицы обратную к матрице 

Матрицы

Решение. Вычислим определитель матрицы Матрицы и алгебраические дополнения всех элементов

Матрицы

Обратная матрица имеет  вид: 

Матрицы

Матрица Матрицы  найдена правильно, потому что: 

Матрицы

Матрицы

Пример 1.46 

Найти матрицу Матрицы обратную к матрице 

Матрицы

Решение. Поскольку определитель матрицы 

Матрицы

то для матрицы Матрицы существует обратная матрица Матрицы Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы Матрицы

Матрицы

тогда 

Матрицы

Легко можно определить, что Матрицы то есть 

Матрицы

 Задача 1.47 

В цеху предприятия изготовляют две модели женской одежды. На изготовление первой модели тратят 2 м ткани, для изготовления второй – 3 м. При этом на изготовление этих моделей тратится 4 и 5 часов соответственно. Известно, что месячный запас ткани 100 м, а рабочее время ограниченно – 190 часов. Сложить такой план месячного изготовления этих моделей одежды, при котором полностью используются ресурсы (ткань и время).

Решение. Обозначим через Матрицы и Матрицы количество единиц месячного выпуска первой и второй моделей соответственно. По условию задачи сложим систему линейных уравнений: 

Матрицы

Решим эту систему матричным способом. Запишем ее в матричном виде: Матрицы

где Матрицы

Для матрицы Матрицы найдем обратную матрицу Матрицы Поскольку: 

Матрицы

Тогда 

Матрицы

Решением системы является 

Матрицы

Следует, для использования ресурсов еженедельно нужно изготовить 25 единиц первой и 10 единиц второй модели одежды.

 Заметим, что при решении экономических задач удобно использовать матричный способ. Вычислив один раз обратную матрицу и изменив ограничения на ресурсы (ежедневные, ежемесячные, ежегодные и так далее), получим план для выпуска продукции. 

Линейная алгебра

Линейная алгебра как самостоятельная математическая дисциплина начала формироваться в XVIII веке, когда в работах немецкого математика Г.Ф.Лейбница и швейцарского математика Г. Крамера впервые было введено понятие определителя (детерминанта) и приведены общие формулы для определения решений систем линейных уравнений. Позже английскими математиками А. Келли и Дж. Сильвестром было введено понятие матрицы и заложены основы матричного исчисления, что является аппаратом для компактной записи и анализа систем уравнений. Именно эти понятия линейной алгебры широко используются в прикладных задачах экономики. Так, для характеристики параметров производственных или бизнес-процессов выходные данные предоставляются в виде матрицы размером Матрицы

Методы линейной алгебры также применяются для обоснования управленческих решений, при обработке результатов наблюдений и тому подобное. Например, решение задач оптимизации планов работы предприятия, изучение спроса, планирование транспортных артерий можно свести к решению систем Матрицы линейных уравнений с Матрицы неизвестными.

После изучения данной темы вы сможете:

• использовать числовые матрицы для формирования и анализа таблиц исходных данных в экономике;
• использование систем линейных уравнений при разработке линейных экономико-математических моделей;
• применять понятие линейных векторных пространств с целью геометрической интерпретации экономических задач;
• иметь представление о собственных числа и собственные векторы квадратных матриц в аналитических задачах экономики;
• использовать собственные числа и собственные векторы квадратных матриц при разработке экономико-математических моделей;
• применять модель межотраслевого баланса (многоотраслевой экономики) для решения реальных задач экономики;
• строить линейную модель обмена (модель международной торговли) при решении конкретных задач.

Числовые матрицы и действия над ними

Для чего нужны матрицы? Например для решения задачи об использовании сырья:

Рассмотрим реальную задачу планирования выпуска промышленной продукции на примере отдельного предприятия, производящего электродвигатели как общего, так и специального назначения. Кроме электродвигателей, завод производит сложные изделия бытового и сельскохозяйственного назначения. Сформулируем задачу о распределении материальных ресурсов при изготовлении четырех основных видов продукции электродвигателей AИP 80, AИP 90, АИР 100 и электрических насосов БЦ 1,1-20.

Основными факторами производства являются сырье, полуфабрикаты, которые доставляются на предприятие, топливо и транспорт. Однако их объемы имеют определенные ограничения. Удельные затраты (затраты на изготовление единицы изделия каждого вида) и общие объемы имеющихся ресурсов (в соответствующих единицах) приведены в таблице 1.1.                                                                                     

Удельные затраты материальных ресурсов и объемы их имеющихся запасов     Таблица 1.1

Матрицы

 Задача состоит в построении такого плана производства основных видов продукции, который бы обеспечил полное использование материальных ресурсов, которые имеет в наличии предприятие.                                                                                                                         Составим математическую модель задачи, то есть опишем поставленную задачу с помощью математической символики. Введем обозначения величин, которые являются числовыми характеристиками плана производства. Пусть, Матрицы – количество двигателей AИP 80, которое соответствует полному использованию имеющихся ресурсов; Матрицы– количество двигателей AИP 90; Матрицы– количество двигателей AИP 100; Матрицы– количество электрических насосов БЦ 1,1-20.  Согласно условию задачи и с данными табл. 1.1 должны выполняться следующие равенства:

Матрицы       

Мы получили систему линейных уравнений – уравнений первой степени относительно неизвестных, – которая и является математической моделью задачи о полном использовании материальных ресурсов. Такие системы известны со школьного курса математики, но методы иx решения и, тем более, исследования для произвольного конечного числа уравнений и неизвестных в школьном курсе не изучаются (методы решения этой системы будут приведены позднее).

В общем случае задача о полном использовании ресурсов формулируется так: пусть предприятие выпускает продукцию Матрицы наименований, для производства которой используются Матрицы видов ресурсов. Потребности в ресурсах определенного вида для изготовления единицы продукции каждого типа, общее количество ресурсов каждого вида представлены в виде таблицы 1.2.

Задача о полном использовании ресурсов                                                                  Таблица 1.2

Матрицы

Необходимо определить количество продукции каждого из наименований, которое надо выработать предприятию, чтобы имеющиеся ресурсы были полностью использованы.

Составим математическую модель задачи. Пусть Матрицы – количества продукции соответствующего наименования, которую производит предприятие. Тогда по данным таблицы 1.2 должны выполняться равенства: 

Матрицы

Таким образом, нахождение решения задачи о полном использовании сырья сведено к решению системы Матрицы линейных уравнений с Матрицы неизвестными. Для исследования и решения таких систем применяются понятия матриц и определителей, которые являются основным математическим аппаратом для изучения систем линейных уравнений.

Определение матриц и некоторые их разновидности

Числовой матрицей размером Матрицы на Матрицы называется прямоугольная таблица чисел, которая имеет Матрицы строк и Матрицы столбцов. Числа, которые составляют матрицу, называют ее элементами.

Матрицы обозначают большими буквами латинского алфавита Матрицы и другими, а иx элементы – соответствующими строчными буквами с двойными индексами Матрицы где индекс и соответствует номеру строки матрицы Матрицы а Матрицы – номеру ее столбца Матрицы. К примеру, 

Матрицы

Каждый элемент Матрицы матрицы Матрицы находится на пересечении Матрицы-й строки и Матрицы-гo столбца. При изображении матриц множество элементов берут в круглые (или в квадратные) скобки.

В общем случае элементами матрицы могут быть другие объекты: векторы, функции, иx производные и т. д.

В теоретических исследованиях при ссылке на матрицу определенного размера обычно применяют обозначения Матрицы

Матрица Матрицы в которой количество строк равно числу столбцов Матрицы и равно Матрицы, называется квадратной матрицей порядка Матрицы (или Матрицы-го порядка) в противном случае Матрицы матрицу называют прямоугольной.

Матрицей-строкой называется матрица размера Матрицы, то есть состоящая из одной строки.

Матрицей-столбцом называется матрица размера Матрицы, которая имеет один столбец.

Если рассматривается матрица-строка (или матрица-столбец), то для ее элементов номер строки (или, соответственно, номер столбца) указывать не надо.

Матрица может состоять даже из одного элемента.

Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю. Она обозначается буквой Матрицы.

Главной диагональю квадратной матрицы Матрицы называется совокупность ее элементов, имеющих одинаковые индексы Матрицы, то есть это элементы Матрицы а совокупность элементов Матрицы называют побочной диагональю квадратной матрицы.

Симметричной называется квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, есть попарно равными между собой. То есть для произвольных ее элементов при Матрицы выполняется соотношение: Матрицы

Если элементы каждой строки матрицы Матрицы записать в столбец, не нарушая порядка их расположения, то получим матрицу Матрицы, которая называется транспонированной к матрице Матрицы:

Матрицы

а сама операция перехода от матрицы Матрицы к матрице Матрицыназывается транспонирование матрицы. Понятно, что дважды транспонированная матрица дает исходную матрицу: Матрицы, а симметричная матрица совпадает со своей транспонированной.

Верхней (нижней) треугольной матрицей называется ненулевая квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, в которой все элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю. Такую матрицу целесообразно задавать перечнем ее диагональных элементов, указывая только один индекс: Матрицы

Единичной матрицей называется диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице:

Матрицы

Обозначения единичной матрицы удобно сопровождать индексом, который указывает на ее порядок, следовательно, единичная матрица размера Матрицы обозначается Матрицы.

Символические определения основных типов матриц и их примеры приведены в таблице 1.3.

Основные разновидности матриц                                                                          Таблица 1.3

Матрицы

Действия над матрицами

Элементы двух матриц одинакового размера, которые стоят на пересечении одних и тех же (по номеру) строк и столбцов называются соответствующими.

Матрицы Матрицы и Матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны между собой:

Матрицы

Над матрицами определены следующие действия (операции): умножение матрицы на скаляр, добавление матриц, умножение матриц. Рассмотрим определение и свойства этих операций.

1. Произведением матрицы Матрицы со скаляром Матрицы называется матрица Матрицы соответствующие элементы которой являются произведением элементов матрицы Матрицы с постоянным множителем Матрицы:

Матрицы

Если Матрицы, то получаем матрицу, которая называется противоположною (к) матрице МатрицыМатрицы

2. Суммой матриц Матрицы и Матрицы одинакового размера называют матрицу Матрицы того же размера, каждый элемент Матрицы которой является суммой соответствующих элементов исходных матриц:

Матрицы

Согласно с определением нулевой матрицы имеем: Матрицы

Последствие: разницу двух матриц Матрицы можно рассматривать как сумму матриц, если к матрице Матрицы добавить матрицу, которая противоположна матрице Матрицы:

Матрицы

Найдем матрицу Матрицы, если

Матрицы

Поскольку заданные матрицы имеют одинаковый размер, то указанные действия можно выполнить. Следовательно, 

МатрицыМатрицы

Операции сложения матриц и умножения матрицы на скаляр называются линейными операциями над матрицами. Эти операции сводятся к соответствующим арифметических действий над числами и имеют те же свойства, что и операции над числами. Приведем эти свойства: 

Матрицыкоммутативность (переставной закон);

Матрицы – ассоциативность (соединительный закон);

Матрицы – дистрибутивность (распределительный закон).

Произведением матрицы Матрицы размера Матрицы на матрицу Матрицы размера Матрицы называется матрица Матрицы размера Матрицы, элементы которой вычисляются по формуле: Матрицы· Соответственно:

Матрицы

С (1.5) следует правило, называют правилом Матрицыстрока на столбецМатрицы:

чтобы вычислить элемент Матрицы произведения матриц Матрицы, надо элементы Матрицый строки матрицы Матрицы умножить на соответствующие по номеру элементы Матрицы столбца матрицы Матрицы и найти сумму полученных произведений.

Найдем за этим правилом произведение Матрицы, где 

Матрицы

Количество столбцов матрицы Матрицы равно числу строк матрицы Матрицы (Матрицы), следовательно, матрицу Матрицы можно умножить на матрицу Матрицы. Поскольку матрица Матрицы имеет две строки, а матрица Матрицы – один столбец, то их произведением будет матрица-столбец с двумя строками:

Матрицы

Понятно, что для приведенных матриц не существует произведение матрицы Матрицы на матрицу Матрицы, поскольку матрица Матрицы имеет один столбец, а матрица Матрицы – две строки.

Из определения произведения матриц вытекают следующие свойства операций умножения матриц.

1. Для того, чтобы две матрицы Матрицы и Матрицы можно было умножить, необходимо и достаточно, чтобы количество столбцов Матрицы первой матрицы (множимого Матрицы) равно количеству строк Матрицы второй матрицы (множителя Матрицы); соответственно, произведением матрицы размера Матрицы на матрицу размера Матрицы будет матрица размера Матрицы.
2. Если матрицы Матрицы и Матрицы являются квадратными матрицами одинакового размера, то существуют и произведение Матрицы, и произведение Матрицы, но может быть, что Матрицы, то есть для произведения матриц в общем случае не выполняется переставной закон. Однако произведения единичной матрицы Матрицы с матрицей Матрицы (того же размера) слева и справа равны между собой и равны матрицы Матрицы
3. Для произведения матриц выполняется ассоциативный закон, а именно:

Матрицы

Приведем свойства, присущие действиям над матрицами, в виде таблицы:

Свойства операций над матрицами                                                                         Таблица 1.4

Матрицы

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения

Построение математических моделей процессов и явлений во всех сферах деятельности человека требует разработок соответствующего математичноrо аппарата, и системы линейных алгебраических уравнений является его важной составляющей. Эти уравнения играют важную роль и при построении математических моделей экономических процессов.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется совокупность Матрицы уравнений первой степени, то есть линейных уравнений, относительно Матрицы неизвестных Матрицы, которые в каждом уравнении являются числовыми характеристиками одного и того же процесса. Ее можно предоставить в развернутом виде :

Матрицы

где Матрицы – неизвестные характеристики, в отношении которых построена математическая модель задачи;

Матрицы – коэффициенты при неизвестных (параметры модели), где индексы Матрицы и Матрицы указывают, соответственно, на номера уравнения и неизвестного;

Матрицы – свободные члены (правые части уравнений), которые тоже являются параметрами математической модели.

Краткая запись системы уравнений (1.6) можно получить с помощью символа Матрицы, который означает почленное суммирование: 

Матрицы

Вернемся. к примеру, в котором рассматривалась математическая модель задачи об использовании. ресурсов. Если записать удельные затраты ресурсов как матрицу Матрицы, запасы ресурсов – как матрицу-столбец Матрицы, и неизвестные компоненты плана производства представить также как матрицу-столбец Матрицы то по определению произведения матриц систему линейных алгебраических уравнений (1.6) можно представить в виде матричного уравнения (матричная форма системы)

Матрицы

Приведем еще один способ представления системы уравнений с помощью матриц. Пусть матрица-столбец Матрицы описывает расходы производства на изготовление. единицы Матрицый продукции по всем Матрицы видам ресурсов. Каждая из этих матриц состоит из элементов соответствующего столбца. матрицы Матрицы. Итак, все матрицы Матрицы имеют одинаковый размер Матрицы.

Расходы ресурсов на изготовление Матрицый продукции в объеме Матрицы определяются как произведение матрицы Матрицы со скаляром Матрицы. Тогда общие затраты ресурсов на изготовление всех видов продукции равны их общим запасам, которые описываются матрицей-столбцом Матрицы, если производство является сбалансированным, то есть запасы ресурсов в полном объеме расходуются на изготовление продукции. Следовательно, имеем еще одну форму представления СЛАУ:

Матрицы

Матрицу Матрицы, которая составлена из коэффициентов при неизвестных системы уравнений (1.6), называют основной матрицей системы. Присоединяя справа (через вертикальную черту) к матрице Матрицы матрицу-столбец свободных членов Матрицы получаем матрицу Матрицы, которую называют расширенной матрицей системы:

Матрицы

Понятно, что операции над строками расширенно и матрицы являются операциями над соответствующими уравнениями системы.

Решением системы уравнений называется такой набор чисел МатрицыМатрицы, который при его подстановке вместо неизвестных МатрицыМатрицы в каждое уравнение системы превращает эти уравнения в числовые тождества.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет по крайней мере одно решение, и несовместимой, если она не имеет никакого решения. Совместимую систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если количество решений более одного.

Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один элемент матрицы-столбца свободных членов отличается от нуля. Если все элементы Матрицы равны нулю, то такая система линейных уравнений называется однородной. Однородная система уравнений имеет вид:

Матрицы

где Матрицы основная матрица системы;

Матрицы матрица-столбец неизвестных;

Матрицы матрица-столбец свободных членов, которая содержит только нули.

Лекции:

  • Расстояние между скрещивающимися прямыми
  • Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
  • Изменить порядок интегрирования
  • Производная функции заданной неявно
  • Методы определенного интегрирования
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения
  • Частные производные. Частные дифференциалы
  • Теорема об остатке
  • Найти частные производные
  • Уравнения с двумя переменными

Добавить комментарий