Как найти сумму первых 100 натуральных чисел

Тема 11.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Сегодня мы выведем 2 формулы для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Давным-давно сказал один мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел:

1+2+3+…+98+99+100.

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдёшь к решению ключи.

С этой задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе.

Когда учитель предложил ученикам сложить натуральные числа от 1 до 100, то маленький Карл моментально пришел с ответом. Вероятно, он заметил, что сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050.

1+2+3+4+…..+97+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

1+2+3+4+…+97+98+99+100=101∙50=5050

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии:

Обозначим сумму первых n-членов арифметической прогрессии S_n и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором в порядке убывания:

Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом равна a₁ + a_n, число таких пар равно n, поэтому сложив почленно равенства (1) и (2), получим:

2Sn=a1+an∙n

Разделим обе части этого равенства на 2 и получим формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии:

Sn=(a1+an)2∙n

Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии. Но можно вывести еще одну формулу, для этого вместо a_n подставим формулу n-го члена, которую мы узнали на прошлом занятии. Получим:

Sn=(a1+an)2∙n=a1+a1+dn-12∙n=2a1+dn-12∙n

Для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии, используя эту формулу, достаточно знать первый член и разность арифметической прогрессии.

Разберем несколько примеров:

Найдем сумму первых 10-ти членов арифметической прогрессии, первый член которой равен минус 23, а десятый член равен 4. Воспользуемся формулой:Sn=(a1+an)2∙n, получим

S10=(-23+4)2∙10=-192∙10=-19∙5=-95

Рассмотрим еще один пример:

Вычислим сумму первых двадцати двух членов арифметической прогрессии:

-15; -11; -7; -3; ….

Итак, a1=-15,d=4, значит, можно воспользоваться второй формулой: Sn=2a1+dn-12∙n, получим:

S22=2∙-15+4∙(22-1)2∙22=-30+842∙22=54∙11=594.

А теперь давай найдем сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.

Как найти сумму с 15-го по 30-й член включительно, давай подумаем: S30=a1+a2+…+a14+a15+…+a30, если мы найдем сумму тридцати членов и вычтем из нее сумму первых 14-ти членов, то мы получим необходимую сумму с 15-го по 30-й члены.

Итак, S30=2∙10+3∙292∙30=1072∙30=107∙15=1605

S14=2∙10+3∙132∙14=592∙14=59∙7=413

S15-30=S30-S14=1605-413=1192

Ответ: 1192.

Эту же сумму мы могли найти и другим, способом, если бы ввели новую арифметическую последовательность, первый член которой был бы равен пятнадцатому члену нашей прогрессии.

А теперь давай решим уравнение:

x+1+x+5+x+9+…+x+69=684

Можно, конечно, расписать все слагаемые, привести подобные и решить это линейное уравнение, но это займет очень много времени. А если внимательно посмотреть на это уравнение, то можно заметить, что каждое следующее слагаемое отличается от предыдущего на 4. То, есть последовательность:

x + 1; x + 5; x + 9; … ; x + 69 является арифметической, сумма членов которой равна 684.

Итак, имеем: a1=x+1,a2=x+5,an=x+69, Sn=684.

Найдем разность арифметической прогрессии:

d=a2-a1=x+5-x+1=4

Найдем номер последнего члена, для этого воспользуемся формулой n-го члена: a_n = a₁ + d(n – 1)

x + 69 = x + 1 + 4(n – 1)

x + 69 = x + 1 + 4n – 4

4n = 72, n = 18

Подставим все данные в формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, получим:

684=x+1+x+52∙18

684 = (2x + 70) ∙ 9, отсюда 2x + 70 = 76    2x=6,    x=3

Ответ:3

Первые ознакомительные занятия на эту тему проводятся ещё в начальной школе (чаще всего в 4 классе).

Ученики младших классов уже изучили тему “натуральные числа” (используемые для счёта предметов), и, в основном, легко усваивают эту информацию.

Им рассказывают о великом немецком математике Карле Гауссе и поверхностно знакомят с быстрым и лёгким способом решения таких заданий (придуманным Гауссом ещё в детстве).

---

Как правило, чтобы дети не запутались, объяснение начинают с самого простого:

Например, найдём сумму натуральных чисел от 1 до 10:

1) По методу Гаусса, сумму чисел 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 группируем следующим образом:

первое слагаемое с последним,

второе с предпоследним, и так далее,

1 + 10 = 11,

2 + 9 = 11,

3 + 8 = 11,

4 + 7 = 11,

5 + 6 = 11,

Во всех сгруппированных парах сумма одинаковая и равна одиннадцати.

2) Далее находим количество получившихся сгруппированных пар чисел, для этого последнее слагаемое (у нас – число 10) делим на 2:

10 / 2 = 5 (пар натуральных чисел получилось после их группировки).

3) Последний этап – находим сумму всех десяти чисел (пять раз по 11):

11 * 5 = 55

Итак – сумма первых десяти чисел натурального ряда равна 55.

*В четвёртом классе дети уже знают, что сумма первых девяти чисел натурального ряда равна сорока пяти, поэтому они легко могут сами проверить правильность решения, прибавив к 45 ещё 10:

45 + 10 = 55.

---

После усвоения этой темы, детям предлагается проверить данный метод складывания натурального последовательного ряда чисел на примере суммы чисел от 1 до 100:

1) Группируем числа:

1 + 100 = 101,

2 + 99 = 101,

3 + 98 = 101,

.,

26 + 75 = 101,

.,

48 + 53 = 101,

49 + 52 = 101,

50 + 51 = 101,

2) Находим количество сгруппированных пар чисел:

100 / 2 = 50

3) Вычисляем сумму всех натуральных чисел из данного ряда (50 раз по 101):

101 * 50 = 5050

---

Хотелось бы ещё добавить, что при закреплении этой темы в средней школе, дополнительно “вводится” формула, которая применяется для вычисления суммы всех чисел от 1 до n, где n – произвольное натуральное число последовательного числового ряда.

Формула:

Пусть нужно найти сумму чисел натурального ряда чисел от 1 до n,

1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n

(n + 1) * n / 2, где n – произвольное натуральное число (последнее в данном ряду натуральных чисел).

Эту формулу можно встретить и в таком виде:

n * (n + 1) / 2

Проверим формулу.

Подставим числа из первого примера:

(10 + 1) * (10 / 2) = 11 * 5 = 55

Попробуем подставить числа из второго примера:

(100 + 1) * (100 / 2) = 101 * 50 = 5050

Данная формула используется для нахождения суммы любого количества чисел натурального ряда от 1 до n.