Как найти сумму ребер четырехугольной пирамиды - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Когда человек слышит слово “пирамида”, то сразу вспоминает величественные египетские сооружения. Тем не менее древние каменные гиганты являются лишь одним из представителей класса пирамид. В данной статье рассмотрим с геометрической точки зрения свойства правильной четырехугольной пирамиды .

Что такое пирамида в общем случае?

В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

Вам будет интересно:Литовские статуты: даты и история изданий, регламент, хронология принятия статутов

Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая – четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.

Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

в основании должен находиться правильный многоугольник;
боковая поверхность фигуры должна состоять из равных равнобедренных треугольников.

Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

Правильная четырехугольная пирамида

Теперь перейдем к теме статьи и рассмотрим, какие свойства правильной четырехугольной пирамиды характеризуют ее. Сначала покажем на рисунке, как выглядит эта фигура.

Ее основание является квадратом. Боковые стороны представляют 4 одинаковых равнобедренных треугольника (они также могут быть равносторонними при определенном соотношении длины стороны квадрата и высоты фигуры). Опущенная из вершины пирамиды высота пересечет квадрат в его центре (точка пересечения диагоналей).

Эта пирамида имеет 5 граней (квадрат и четыре треугольника), 5 вершин (четыре из них принадлежат основанию) и 8 ребер. Ось симметрии четвертого порядка, проходящая через высоту пирамиды, переводит ее в саму себя путем поворота на 90o.

Египетские пирамиды в Гизе являются правильными четырехугольными.

Далее приведем формулы, позволяющие определить все характеристики этой фигуры.

Четыре основных линейных параметра

Начнем рассмотрение математических свойств правильной четырехугольной пирамиды с формул высоты, длины стороны основания, бокового ребра и апофемы. Сразу скажем, что все эти величины связаны друг с другом, поэтому достаточно знать только две из них, чтобы однозначно вычислить оставшиеся две.

Предположим, что известна высота h пирамиды и длина a стороны квадратного основания, тогда боковое ребро b будет равно:

b = √(a2 / 2 + h2)

Теперь приведем формулу для длины ab апофемы (высота треугольника, опущенная на сторону основания):

ab = √(a2 / 4 + h2)

Очевидно, что боковое ребро b всегда больше апофемы ab.

Оба выражения можно применять для определения всех четырех линейных характеристик, если известны другие два параметра, например ab и h.

Площадь и объем фигуры

Это еще два важных свойства правильной четырехугольной пирамиды . Основание фигуры имеет следующую площадь:

So = a2

Эту формулу знает каждый школьник. Площадь боковой поверхности, которая образована четырьмя одинаковыми треугольниками, можно определить через апофему ab пирамиды так:

Sb = 2 × a × ab

Если ab является неизвестной, то можно ее определить по формулам из предыдущего пункта через высоту h или ребро b.

Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры складывается из площадей So и Sb:

S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)

Рассчитанная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.

Описание свойств правильной четырехугольной пирамиды не будет полным, если не рассмотреть формулу для определения ее объема. Эта величина для рассматриваемой пирамиды вычисляется следующим образом:

V = 1/3 × h × a2

То есть V равен третьей части произведения высоты фигуры на площадь ее основания.

Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды

Получить эту фигуру можно из исходной пирамиды. Для этого необходимо срезать верхнюю часть пирамиды плоскостью. Оставшаяся под плоскостью среза фигура будет называться пирамидой усеченной.

Удобнее всего изучать характеристики усеченной пирамиды, если ее основания параллельны друг другу. В этом случае нижнее и верхнее основания будут подобными многоугольниками. Поскольку в четырехугольной правильной пирамиде основание – это квадрат, то образованное при срезе сечение тоже будет представлять квадрат, но уже меньшего размера.

Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.

Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:

V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √(So1 × So2))

Здесь h – расстояние между основаниями фигуры, So1, So2 – площади нижнего и верхнего оснований.

Источник

Как найти сумму рёбер пирамиды если сторона 1 ребра 10 см?

На этой странице находится вопрос Как найти сумму рёбер пирамиды если сторона 1 ребра 10 см?. Здесь же – ответы на него,
и похожие вопросы в категории Математика, которые можно найти с помощью
простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса
соответствует уровню подготовки учащихся 5 – 9 классов. В комментариях,
оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С
ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из
предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой
строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.

Источник

Материал урока.

С пирамидой мы с
вами знакомились в курсе геометрии базовой школы. Давайте вспомним, какой
многогранник мы назвали пирамидой и основные элементы пирамиды.

Итак, рассмотрим
многоугольник A₁A₂…A_n и точку P, не лежащую в
плоскости этого многоугольника. Соединим точку ПЭ отрезками с вершинами
многоугольника. В итоге получим n треугольников:
PA₁A₂, PA₂A₃, …, PA_nA₁. Многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂…A_n и этих n треугольников, называется пирамидой.

Многоугольник A₁A₂…A_n называется основанием пирамиды.
Треугольники PA₁A₂,
PA₂A₃, …,
PA_nA₁называются боковыми
гранями пирамиды. Точка P – вершиной пирамиды,
а отрезки PA₁, PA₂,…,
PA_n – ее боковыми
ребрами.

Пирамиду с вершиной
P и основанием A₁A₂…A_n называют n-угольной пирамидой и обозначают так: PA₁A₂…A_n.

Отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к
этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Объединение боковых граней называется боковой
поверхностью пирамиды, а объединение всех граней называется полной
поверхностью пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности пирамиды
называется сумма площадей ее боковых граней. А площадью полной поверхности
пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Пирамида в зависимости от того какой многоугольник
лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то
пирамида называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной
пирамидой. А если n-угольник, то n-угольной
пирамидой.

Решим задачу.

Задача. Основанием
пирамиды является ромб, сторона которого равна , а одна из
диагоналей равна . Найти длину
боковых ребер пирамиды, если высота пирамиды проходит через точку пересечения
диагоналей основания и равна .

Решение.

Ответ. , см.

Давайте дадим определение
правильной пирамиды.

Пирамида
называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а
отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется
апофемой.

На сегодняшнем
уроке мы подробно рассмотрим правильные пирамиды.

Сейчас давайте
попробуем доказать одно из свойств правильной пирамиды. А именно
докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани
являются равными равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим
правильную пирамиду PA₁A₂…A_n. Сначала докажем, что все боковые ребра этой
пирамиды равны. Проведем высоту пирамиды.

Поскольку
основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник, значит,
вокруг основания правильной пирамиды можно описать окружность. Тогда каждое
боковое ребро пирамиды есть ничто иное, как гипотенуза прямоугольного
треугольника, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания
окружности. Например, если рассмотреть треугольник OPA₁,
то OP равно h, OA₁ равно R.

Таким образом, мы
доказали, что боковые ребра правильной пирамиды равны. А значит, боковые грани
правильной пирамиды – это равнобедренные треугольники. Поскольку в основании
лежит правильный многоугольник, значит, основания боковых граней равны между
собой. То есть боковые грани равны между собой по трем сторонам.

Что и
требовалось доказать.

Теперь давайте
сформулируем и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной
пирамиды.

Площадь боковой
поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания
на апофему.

Доказательство.

Запишем формулу для
вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Мы уже доказали,
что боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.
Высоты этих треугольников равны апофеме пирамиды. Тогда площадь боковой грани
находится по формуле .

Подставим эти
площади в формулу площади боковой поверхности. Вынесем половину апофемы за
скобки, тогда в скобках получим периметр основания.

Что и
требовалось доказать.

Решим несколько
задач.

Задача. Радиус
окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен , высота
пирамиды равна . Найти
площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Ответ. 60 м²

Решим еще одну
задачу.

Задача. Радиус
окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен . . Найти длину
апофемы.

Решение.

Ответ. 4 м

Подведем итоги
урока.

Сегодня на уроке мы
вспомнили, какая фигура называется пирамидой. Какие пирамиды называются
правильными. Познакомились со свойствами правильных пирамид. Решили несколько
задач.

Источник

Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды. Усеченная пирамида

Что такое пирамида в общем случае?

Вам будет интересно: Литовские статуты: даты и история изданий, регламент, хронология принятия статутов

в основании должен находиться правильный многоугольник;
боковая поверхность фигуры должна состоять из равных равнобедренных треугольников.

Правильная четырехугольная пирамида

Египетские пирамиды в Гизе являются правильными четырехугольными.

Далее приведем формулы, позволяющие определить все характеристики этой фигуры.

Четыре основных линейных параметра

Теперь приведем формулу для длины ab апофемы (высота треугольника, опущенная на сторону основания):

Очевидно, что боковое ребро b всегда больше апофемы ab.

Площадь и объем фигуры

Это еще два важных свойства правильной четырехугольной пирамиды . Основание фигуры имеет следующую площадь:

Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры складывается из площадей So и Sb:

S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)

Рассчитанная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.

То есть V равен третьей части произведения высоты фигуры на площадь ее основания.

Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды

Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.

Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:

V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √(So1 × So2))

Здесь h – расстояние между основаниями фигуры, So1, So2 – площади нижнего и верхнего оснований.

Что такое правильная пирамида: определение, виды, свойства

В данной публикации мы рассмотрим определение, виды (треугольная, четырехугольная, шестиугольная) и основные свойства правильной пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение правильной пирамиды

Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.

Самые распространенные разновидности правильных пирамид: треугольная, четырехугольная и шестиугольная. Рассмотрим их подробнее.

Виды правильной пирамиды

Правильная треугольная пирамида

Основание – правильный/равносторонний треугольник ABC.
Боковые грани – одинаковые равнобедренные треугольники: ADC, BDC и ADB.

Примечание: если у правильной треугольной пирамиды все ребра равны, она также называется правильным тетраэдром.

Правильная четырехугольная пирамида

Основание – правильный четырехугольник ABCD, другими словами, квадрат.
Боковые грани – равные равнобедренные треугольники: AEB, BEC, CED и AED.
Проекция вершины E на основание – точка O, является точкой пересечения диагоналей квадрата ABCD.
EO – высота фигуры.
EN и EM – апофемы (всего их 4, на рисунке в качестве примера изображено только два).

Правильная шестиугольная пирамида

Основание – правильный шестиугольник ABCDEF.
Боковые грани – равные равнобедренные треугольники: AGB, BGC, CGD, DGE, EGF и FGA.
Проекция вершины G на основание – точка O, является точкой пересечения диагоналей/биссектрис шестиугольника ABCDEF.
GO – высота пирамиды.
GN – апофема (всего их должно быть шесть).

Свойства правильной пирамиды

Все боковые ребра фигуры равны. Другими словами вершина пирамиды находится на одинаковом расстоянии от всех углов ее основания.
Угол между всеми боковыми ребрами и основанием одинаковый.
Все грани наклонены к основанию под одним и тем же углом.
Площади всех боковых граней равны.
Все апофемы равны.
Вокруг пирамиды можно описать сферу, центром которой будет точка пересечения перпендикуляров, проведенных к серединам боковых ребер.

Примечание: Формулы для нахождения площади поверхности, а также объема пирамиды представлены в отдельных публикациях.

Правильная четырехугольная пирамида

В основании пирамиды правильный четырехугольник – квадрат (все стороны которого равны, углы между сторонами основания составляют 90 градусов).

Популярное

Какое из известных нам геометрических тел обладает наибольшей прочностью? Наиболее устойчиво к внешним деформациям?

Сделать новогодний праздник красивым и необычным, чтобы дети видели в нём сказку, а гости восхищались, можно только своими руками. Бумажные многогранники –.

В этой статье мы познакомим вас с технологиями изготовления геометрических тел из металла, которые применяет мастер Иван Кочкин.

Знакомые каждому с детства коробочки для Биг-Мака и картошки, стаканчик для Кока-Колы так же делают из бумажных разверток.

Древнегреческому ученому Архимеду принадлежит открытие 13 многогранников – “архимедовых тел”. Которые так же именуют полуправильными многогранниками. .

Обработка металла это очень сложный технологический процесс. Но существуют мастера, кто умеет вытачивать многогранники из металла внутри другого.

Хотите изготовить достаточно сложное геометрическое тело – тор за 10 минут?

[spoiler title=”источники:”]

Что такое правильная пирамида: определение, виды, свойства

http://mnogogranniki.ru/pravilnaya-chetyrekhugolnaya-piramida.html

[/spoiler]

Источник

Полная площадь боковой поверхности пирамиды состоит из суммы площадей его боковых граней.

В четырехугольной пирамиде различается два вида граней – четырехугольник в основании и треугольники с общей вершиной, которой образуют боковую поверхность.
Для начала потребуется рассчитать площадь боковых граней. Для этого можно использовать формулы площади треугольника, а можно также воспользоваться формулой площади поверхности четырехугольной пирамиды (только в случае, если многогранник правильный). Если пирамида правильная и в ней известна длина ребра a основания и проведенной к нему апофемы h, то:

$S_bok={1/2}ah$

Если по условиям даны длина ребра c правильной пирамиды и длина стороны основания a, то можно найти значение по следующей формуле:
$S_bok={1/2}a sqrt{c^2-{{a^2}/4}}$
Если же дана длина ребра в основании и противолежащий ей острый угол у вершины, то можно рассчитать площадь боковой поверхности по соотношению квадрата стороны a к удвоенному косинусу половины угла α:
$S_bok={a^2}/{2*cos{{alpha}/2}}$
Рассмотрим пример расчета площади поверхности четырехугольной пирамиды через боковое ребро и сторону основания.

Задача: пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Длина ребра b = 7 см, длина стороны основания a = 4 см. Подставим заданные значения в формулу:
$S_bok={1/2}*4*sqrt{7^2-{{4^2}/4}}={1/2}*4*sqrt{49-4}=13,4{cm}^2$

Мы показали расчеты площади одной боковой грани для правильной пирамиды. Соответственно. Чтобы найти площадь всей поверхности необходимо умножить результат на количество граней, то есть на 4. Если пирамида произвольная и ее грани не равны между собой, то рассчитать площадь необходимо для каждой отдельной стороны. Если в основании лежит прямоугольник или параллелограмм, то стоит вспомнить их свойства. Стороны у этих фигур попарно параллельны, а соответственно грани пирамиды будут также попарно одинаковы.
Формула площади основания четырехугольной пирамиды напрямую зависит от того, какой четырехугольник лежит в основании. Если пирамида правильная, то площадь основания рассчитывается по формуле площади квадрата, если в основании лежит ромб, то потребуется вспомнить, как находится площадь ромба. Ели же в основании лежит прямоугольник, то найти его площадь будет довольно просто. Достаточно знать длины сторон основания. Рассмотрим пример расчета площади основания четырехугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана пирамида, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами a = 3 см, b = 5 см. К каждой из сторон из вершины пирамиды опущена апофема. h-a=4 см,h-b=6 см. Вершина пирамиды лежит на одной линии с точкой пересечения диагоналей. Найдите полную площадь пирамиды.
Формула площади четырехугольной пирамиды состоит из суммы площадей всех граней и площади основания. Для начала найдем площадь основания:

$S_osn=3*5=15{cm}^2$
Теперь рассмотрим грани пирамиды. Они попарно одинаковы, потому что высота пирамиды пересекает точку пересечения диагоналей. То есть, в нашей пирамиде есть два треугольника с основанием a и высотой h-a, а также два треугольника с основанием b и высотой h-b. Теперь найдем площадь треугольника по известной формуле:
$S_a={1/2}*3*4=6{cm}^2$
$S_b={1/2}*5*6=15{cm}^2$
Теперь выполним пример расчета площади четырехугольной пирамиды. В нашей пирамиде с прямоугольником в основании, формула будет выглядеть так:

$S_poln=15+2*6+2*15=15+12+30=57{cm}^2$