Как найти сумму ребер прямоугольного параллелепипеда формула

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$ – длина;

$b$ – ширина;

$с$ – высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$ – периметр основания;

$S_{осн}$ – площадь основания;

$S_{бок}$ – площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ – площадь полной поверхности;

$V$ – объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac).$

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

Куб

$а$ – длина стороны.

$V=a^3;$

$S_{бок}=4а^2;$

$S_{п.п}=6а^2;$

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

Площадь треугольника.

• $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$.
• $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ – соседние стороны, $α$ – угол между этими соседними сторонами.
• Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ – это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
• $S=p·r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.
• $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ – радиус описанной окружности.
• Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника.
• Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ – длина стороны. 

В основании лежит четырехугольник.

1. Прямоугольник.
   $S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.
2. Ромб.
   $S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба.
   $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ – длина стороны ромба, а $α$ – угол между соседними сторонами.
3. Трапеция.
   $S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота трапеции.
4. Квадрат.
   $S=a^2$, где $а$ – сторона квадрата.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 мая 2022 года; проверки требуют 4 правки.

Параллелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον^[1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.

Типы параллелепипеда[править | править код]

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Наклонный — боковые грани не перпендикулярны основанию.
• Прямой — боковые грани перпендикулярны основанию.
• Прямоугольный — все грани являются прямоугольниками.
• Ромбоэдр — все грани являются равными ромбами.
• Куб — все грани являются квадратами.

Основные элементы[править | править код]

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства[править | править код]

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы[править | править код]

Прямой параллелепипед[править | править код]

Площадь боковой поверхности
S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности
S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания

Объём
V=S_о*h

Прямоугольный параллелепипед[править | править код]

Площадь боковой поверхности
S_б=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности
S_п=2(ab+bc+ac)

Объём
V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб[править | править код]

Площадь поверхности:

Объём: , где  — ребро куба.

Произвольный параллелепипед[править | править код]

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения^[2]:215.

В математическом анализе[править | править код]

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида

Сечение параллелепипеда плоскостью[править | править код]

В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Прямоугольный параллелепипед Архивная копия от 21 февраля 2020 на Wayback Machine

По условию задачи дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с измерениями a; b и c:

a = 0,24 м;

b = 0,4 м;

с = 1,5 м;

В задаче требуется найти объем, площадь поверхности и сумму длин всех ребер этого параллелепипеда.

Формула для площади поверхности

У параллелепипеда шесть граней:

• нижнее основание ABCD;
• верхнее основание A₁B₁C₁D₁;
• четыре боковые грани AA₁B₁B; BB₁C₁C; CC₁D₁D; DD₁A₁A.

В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а ребра равны:

|AB| = |CD| = |A₁B₁| = |C₁D₁| = а;

|BC| = |AD| = |B₁C₁| = |A₁D₁| = b;

|AA₁| = |BB₁| = |CC₁| = |DD₁| = c.

Сумма L длин всех 12 ребер равна:

L = 4 * a + 4 * b + 4 * c = 4 * (a + b + c);

Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех шести граней. Площади оснований одинаковы:

S1 = |AB| * |BC| = |A₁B₁| * |B₁C₁| = a * b;

Площади боковых граней AA₁B₁B и CC₁D₁D одинаковы и равны:

S2 = |AB| * |AA₁| = |CD| * |CC₁| = a * c;

Равны и площади оставшихся двух граней BB₁C₁C и DD₁A₁A:

S3 = |BC| * |BB₁| = |AD| * |AA₁| = b * c;

Площадь поверхности равна:

S = 2 * S1 + 2 * S2 + 2 * S3 = 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c = 2 * (a * b + a * c + b * c);

Объем прямоугольного параллелепипеда равен проведению трех его измерений:

V = S1 * |AA₁| = a * b * c;

Вычисление требуемых параметров

Подставляя исходные данные, получаем:

L = 4 * (0,24 + 0,4 + 1,5) = 8,56 (м);

S = 2 * (0,24 * 0,4 + 0,24 * 1,5 + 0,4 * 1,5) = 2,112 (м^2);

V = 0,24 * 0,4 * 1,5 = 0,144 (м^3);

Ответ: L = 8,56 (м); S = 2,112 (м^2); V = 0,144 (м^3);