Как найти сумму ряда по графику - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

ЗАМЕЧАНИЕ.
Для -периодической функции коэффициенты Фурье находятся по формулам
(13.30), (13.34) и (13.35). Но из свойств определенного интеграла от
периодической функции (см.п.8.5) следует, что отрезок интегрирования при
вычислении коэффициентов ряда можно произвольно сдвигать, если это удобно, не
изменяя его длины:

13.2.7. РЯД ФУРЬЕ
ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ

Пусть – -периодическая
функция, удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке . По определению периода . Введем новую переменную по формуле и
покажем, что относительно рассматриваемая функция
будет -периодической.

Действительно, .

Следовательно, можно разложить в ряд Фурье на отрезке :

, (13.36)

где .

Возвратимся
теперь к старой переменной :

Тогда имеем:

, (13.37)

.
(13.38)

Равенство
(13.36) можно переписать:

, (13.39)

где коэффициенты
вычисляются по формулам (13.37), (13.38).

Это и есть ряд
Фурье для -периодической функции.

ПРИМЕР.
Разложить в ряд Фурье функцию . Найти
сумму ряда в точках .

График этой
функции представлен на рис.10. Ее период .

Чтобы найти
сумму ряда в указанных точках, воспользуемся теоремой Дирихле. Заметим, что
сделать это можно, не вычисляя коэффициентов ряда и, соответственно, не зная
его общего члена.

Точки и являются
точками непрерывности заданной периодической функции (рис.10), поэтому

; .

Точка является
точкой разрыва (рис.10), поэтому по теореме Дирихле

Найдем
теперь коэффициенты Фурье данной функции.

При вычислении применим формулу интегрирования по частям
(см.п.7.4):

;

Таким
образом, разложение заданной функции в ряд Фурье имеет вид:

13.2.8. РЯД
ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть
– четная -периодическая
функция, удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке .
Тогда – четная, а –
нечетная функции. Поэтому в соответствии со свойствами определенного интеграла
по симметричному отрезку (см.п.8.5) имеем:

. (13.40)

Таким образом,
четная функция представляется рядом Фурье вида

, коэффициенты
которого вычисляются по формулам (13.40).

Аналогично, если
– нечетная -периодическая
функция, то – нечетная, а – четная функции. Отсюда , а

, (13.41)

и ряд Фурье
такой функции содержит только нечетные синусы:

Коэффициенты
этого ряда находятся по формуле (13.41).

13.2.9.
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ

НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

При
решении различных прикладных задач возникает необходимость разложения
в ряд Фурье непериодических функций.

Пусть функция определенная лишь для всех , удовлетворяет условиям
Дирихле на этом отрезке. Чтобы разложить ее в ряд Фурье, построим периодическое
продолжение на всю числовую прямую, то есть
найдем функцию , удовлетворяющую таким условиям:

1. = ,

2. ,

3. удовлетворяет условиям Дирихле на любом
отрезке оси .

Понятно,
что таких функций существует бесконечно много: при их построении
может меняться и величина периода , и способ определения
функции в пределах одного периода (рис.11).

Продолжив таким образом разложим периодическую функцию в ряд Фурье. Так как реально
заданной является лишь часть этой функции при , то
полученное разложение будем рассматривать только в точках этого отрезка. При
этом во всех точках , где непрерывна,
согласно теореме Дирихле сумма ряда . В точках разрыва
первого рода функции , принадлежащих ,

Значения и будут
зависеть от способа продолжения функции за пределы
отрезка .

Предположим
теперь, что функция задана на отрезке . Чтобы разложить ее в ряд Фурье на этом
отрезке, продолжим эту функцию сначала на отрезок , а затем построим периодическое
продолжение с периодом .
Очевидно, получившийся ряд для будет зависеть от того,
как именно доопределена на промежутке . Сделать это можно различными способами.
Рассмотрим два из них.

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание – внизу страницы.

Источник

Суммирование расходящихся рядов методами Абеля, Бореля, Чезаро и Дирихле

Время на прочтение
7 мин

Количество просмотров 48K

Перевод поста Давендра Кападия (Devendra Kapadia) “The ABCD of Divergent Series.”
Выражаю благодарность за помощь в переводе Андрею Дудину.

Какова сумма всех натуральных чисел? Интуиция подсказывает, что ответ — бесконечность. В математическом анализе сумма натуральных чисел является простым примером расходящегося ряда. Тем не менее, математики и физики сочли полезным придать дробные, отрицательные и даже нулевые значения суммам таких рядов. Цель моей статьи — желание отодвинуть завесу тайны, окружающую результаты суммирования расходящихся рядов. В частности, я буду использовать функцию Sum (функция поиска частичных сумм, рядов и т. п. в Mathematica), а так же другие функции в Wolfram Language для того, чтобы объяснить в каком смысле стоит рассматривать следующие утверждения:

Важность обозначений формул буквами A, B, C, и D вскоре станет вам понятна.

Начнем с того, что напомним понятие сходящегося ряда, используя следующую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Общий член ряда, начиная с n = 0, определяется по формуле:

In[1]:=

Теперь зададим сумму членов ряда от i = 0 до некоторого конечного значения i = n.

In[2]:=

Эта конечная сумма называется частичной суммой ряда.

График значений таких частичных сумм показывает, что их значения приближаются к числу 2 с ростом n:

In[3]:=

Out[3]=

Применяя функцию Limit (поиск предела последовательности или функции в точке) найдем предел значения частичных сумм этого ряда при стремлении n к бесконечности, что подтвердит наши наблюдения.

In[4]:=

Out[4]=

Функция Sum даёт такой же результат, когда мы производим суммирование членов ряда в пределах от 0 до бесконечности.

In[5]:=

Out[5]=

Мы говорим, что данный ряд (сумма данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии) сходится и что его сумма равна 2.

Вообще, бесконечный ряд сходится, если последовательность его частичных сумм стремится к некоторому значению при неограниченном увеличении номера частичной суммы. В этом случае, предельное значение частичных сумм называется суммой ряда.

Бесконечный ряд который не сходится называется расходящимся. По определению, сумма расходящегося ряда не может быть найдена с помощью рассмотренного выше метода частичных сумм. Тем не менее, математики разработали различные способы присваивания конечных числовых значений суммам этих рядов. Такая сумма называется регуляризованной суммой расходящегося ряда. Процесс вычисления регуляризованных сумм называется регуляризацией.

Теперь мы рассмотрим пример A из вступления.

“A” обозначает Абеля, знаменитого норвежского математика, который предложил одну из техник регуляризации расходящихся рядов. В ходе своей короткой жизни, он умер всего в 26 лет, Абель достиг впечатляющих результатов в решении одних из самых трудных математических задач. В частности, он показал, что решение алгебраического уравнения пятой степени не может быть найдено в радикалах, поставив тем самым точку в проблеме, которая оставалась нерешенной на протяжении 250 лет до него.

Для того чтобы применить метод Абеля, заметим, что общий член данного ряда имеет вид:

In[6]:=

Это можно легко проверить, найдя несколько первых значений a[n].

In[7]:=

Out[7]=

Как можно увидеть на графике ниже, частичные суммы ряда принимают значения, равные 1 или 0 в зависимости от того, четное n или нечетное.

In[8]:=

Out[8]=

Естественно, что функция Sum выдает сообщение, о том что ряд расходится.

In[9]:=

Out[9]=

Регуляризация Абеля может быть применена к этому ряду в два шага. Сначала мы строим соответствующий степенной ряд.

In[10]:=

Out[10]=

Затем мы берем предел этой суммы при x стремящемся к 1, заметим при этом, что соответствующий ряд сходится для значений x меньших, но не равных 1.

In[11]:=

Out[11]=

Эти два шага можно объединить, сформировав, по сути, определение суммы расходящегося ряда по Абелю.

In[12]:=

Out[12]=

Мы можем получить тот же ответ используя опцию Regularization для функции Sum следующим образом.

In[13]:=

Out[13]=

Значение 1/2 представляется разумным, так как оно является средней величиной из двух значений, 1 и 0, принимаемых частичной суммой данного ряда. Кроме того, используемый в данном методе предельный переход интуитивно понятен, т. к. при x = 1 степенной ряд совпадает с нашим расходящимся рядом. Однако, Абель был сильно обеспокоен отсутствием строгости, которое было присуще математическому анализу того времени, и выражал свою обеспокоенность об этом:

«Расходящиеся ряды — изобретение дьявола, и это стыдно на них ссылаться при каких бы то ни было доказательствах. С их помощью, можно сделать любой вывод, какой ему будет угоден, и именно поэтому эти ряды производят столько ошибок и столько парадоксов.» (Н. Х. Абель в письме к своему бывшему учителю Берндту Хольмбою, Январь 1826)

Обратимся теперь к примеру B, в котором утверждается, что:

“B” обозначает Бореля, французского математика, который работал в таких областях как теория меры и теория вероятностей. В частности, Борель связан с так называемой “теоремой о бесконечных обезьянах”, которая утверждает, что если абстрактная обезьяна будет случайным образом ударять по клавиатуре пишущей машинки на протяжении бесконечного количества времени, то вероятность того, что она напечатает некоторый конкретный текст, например, полное собрание сочинений Уильяма Шекспира, отлична от нуля.

Для того чтобы применить метод Бореля заметим, что общий член данного ряда имеет вид:

In[14]:=

Регуляризация Бореля может быть применена к быстро расходящимся рядам в два шага. На первом шаге мы вычисляем экспоненциальную производящую функцию для последовательности членов данного ряда. Стоящий в знаменателе факториал обеспечивает сходимость данного ряд при всех значениях параметра t.

In[15]:=

Out[15]=

Затем мы производим преобразование Лапласа нашей экспоненциальной производящей функции и ищем его значение в точке s=1.

In[16]:=

Out[16]=

Out[17]=

Эти шаги можно объединить, в итоге мы получим, по сути, определение суммы расходящегося ряда по Борелю.

In[18]:=

Out[18]=

Также мы можем использовать специализированные функции Wolfram Language для поиска экспоненциальной производящей функции и преобразования Лапласа:

In[19]:=

Out[19]=

При этом, ответ можно получить непосредственно с помощью Sum следующим образом.

In[20]:=

Out[20]=

Определение суммы по Борелю разумно, т. к. оно даёт тот же самый результат, что и обычный метод частичных сумм, если его применить к сходящемуся ряду. В этом случае можно поменять местами суммирование и интегрирование, и затем определить Гамма-функцию, при этом мы получим, что соответствующий интеграл будет равен 1 и останется просто, по сути, исходная сумма ряда:

In[21]:=

Out[21]=

Однако в случае с расходящимися рядами поменять местами знаки суммы и интеграла нельзя, что приводит к интересным результатам, которые даёт данный метод регуляризации.

Суммирование по Борелю представляет собой универсальный метод суммирования расходящихся рядов, который применяется, скажем, в квантовой теории поля. О применении суммирования по Борелю существует огромная коллекция литературы.

Пример C утверждает что:

“C” обозначает Чезаро (на англ. языке его фамилия пишется как Cesaro), итальянского математика, который внес значительный вклад в дифференциальную геометрию, теорию чисел и математическую физику. Чезаро был очень продуктивным математиком и написал около 80 работ в период с 1884 по 1886 г., до того, как получил степень PhD в 1887!

Для начала заметим, что общий член ряда, начиная с n = 0, имеет вид:

In[22]:=

График показывает сильную осцилляцию частичных сумм данного ряда.

In[23]:=

Out[23]=

Метод Чезаро использует последовательность средних арифметических значений частичных сумм ряда для того, чтобы подавить осцилляции, что демонстрирует следующий график.

In[24]:=

Out[24]=

Формально говоря, суммирование по Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических значений частичных сумм ряда. Вычисляя данный предел для ряда из примера C, мы получим ожидаемый нами результат -1/2 (см. график выше).

In[25]:=

Out[25]=

Сумма по Чезаро может быть получена непосредственно, если мы в функции Sum используем данный тип регуляризации, указав соответствующее значение опции Regularization.

In[26]:=

Out[26]=

Метод суммирования по Чезаро играет важную роль в теории рядов Фурье, в которых ряды на основе тригонометрических функций используются для представления периодических функций. Ряд Фурье для непрерывной функции может и не сходится, но соответствующая сумма по Чезаро (или чезаровское среднее, как её обычно называют) всегда будет сходиться к функции. Этот красивый результат называется теоремой Фейера.

Наш последний пример утверждает, что сумма натурального ряда равна -1/12.

“D” означает Дирихле, немецкого математика, который совершил огромный вклад в теорию чисел и ряд других областей математики. О широте вкладов Дирихле можно судить, просто введя в Mathematica 10 следующий код.

In[27]:=

Out[27]//TableForm=

Регуляризация по Дирихле получила свое название от понятия “ряд Дирихле”, который определяется следующим образом:

Специальным случаем данного ряда является дзета-функция Римана, которую можно определить так:

In[28]:=

In[29]:=

Out[29]=

Функция SumConvergence говорит нам, что этот ряд сходится в том случае, если действительная часть параметра s будет больше 1.

In[30]:=

Out[30]=

Однако, сама по себе дзета-функция Римана может быть определена и для других значений параметра s с помощью процесса аналитического продолжения, известного из теории функций комплексного переменного. Например, при s = -1, мы получим:

In[31]:=

Out[31]=

Но при s = -1, ряд, задающий дзета-функцию Римана и есть натуральный ряд. Отсюда мы и получаем, что:

In[32]:=

Out[32]=

Еще один способ осознания этого результата заключается в том, чтобы ввести бесконечно малый параметр ε в выражение члена нашего расходящегося ряда, а затем найти разложение полученной функции в ряд Маклорена с помощью функции Series, как показано ниже.

In[33]:=

Out[33]=

Первое слагаемое в разложении выше стремится к бесконечности при приближении параметра ε к нулю, в то же время третий член и все следующие члены стремятся к нулю. Если отбросить все члены, зависящие от ε, то оставшееся число -1/12 как раз и будет суммой по Дирихле натурального ряда. Таким образом, сумма по Дирихле получается путем отбрасывания бесконечно малых и бесконечно больших членов разложения ряда, построенного описанным нами способом. Это находится в противоречии с тем, что принято отбрасывать лишь бесконечно малые величины в обычном математическом анализе, поэтому результат суммирования расходящихся рядов по Дирихле не столь интуитивно понятен.

Аналогично можно получить безумно странное значение 0 для расходящейся суммы квадратов натуральных чисел.

In[34]:=

Out[34]=

В этом случае в соответствующем разложении отсутствуют члены, не зависящие от параметра ε, в результате мы получаем 0.

In[35]:=

Out[35]=

Регуляризация Дирихле тесно связана с процессом дзета регуляризации, который используется в современной теоретической физике. В своей знаменитой работе, выдающийся британский физик Стивен Хокинг применил данный метод к задаче вычисления Фейнмановых интегралов в искривленном пространстве-времени. Статья Хокинга описывает процесс дзета-регуляризации очень системно и она приобрела большую популярность после публикации.

Наши знания о расходящихся рядах основаны на глубочайших теориях, разработанных одними из лучших мыслителей последних нескольких столетий. Тем не менее, я соглашусь со многими читателям, которые как и я, чувствуют некоторое непонимание, когда они видят их в современных физических теориях. Великий Абель, вероятно, был прав, когда назвал данные ряды “изобретением дьявола”. Не исключено, что какой-то будущий Эйнштейн, обладающий умом, свободным от всяческих устоев и авторитетов, отбросит преобладающие научные убеждения и переформулирует фундаментальную физику так, что в ней не не будет места для расходящихся рядов. Но даже если такая теория станет реальностью, расходящиеся ряды все равно будут давать нам богатый источник математических идей, освещая дорогу к более глубокому пониманию нашей Вселенной.

Источник

Приветствую вас на канале, друзья! Сейчас будет краткая математическая заметка, написанная на коленке 🙂 Что-то мне совсем не хватает времени на написание больших статей. Дзен не слишком мотивирует, т.к. не приносит ни денег, ни клиентов, а время на написание статей уходит много 🙁 Но ладно, может быть проблема в контенте.. Буду работать над улучшениями.

Сегодня в беседе в VK от паблика Physics.Math.Code один участник задал вопрос, связанный с нахождением суммы ряда, составленного из показательных функций. Разумеется, речь идет об аналитическом решении. Численно любой [кто немного научился тыкать циклы на любом языке программирования] сможет решить задачу. Только вот я не устану повторять одну вещь. Численно решаются те задачи, которые нельзя (или слишком тяжело) решить аналитически. В противном случае, вы просто зря нагружаете ваш код, делая его более медленным, если речь идет и каком-то большом проекте, а суммы рядов входят туда в качестве маленькой подзадачи…

Итак, задача: найти сумму ряда Σ 4ⁿ⁺¹ / (3ⁿ⁻³ ∙ 5ⁿ)

Задача: как найти сумму ряда из показательных функций ?

Решение:

Основная фишка в оценке суммы таких рядов заключается в том, чтобы помнить теорию про убывающие геометрические прогрессии. Поэтому я её накидал вместе с выводом всех необходимых формул:

Геометрическая прогрессия: всё что нужно знать

Если мы вспомнили теории геометрической прогрессии, то давайте подведем наше решение к этому…

Вот и всё решение 🙂 А теперь можете проверить с помощью численных методов, накидав код на вашем любимом Python. Хотя, настоящие инженеры пишут на чистом C, а Python – для ньюфагов. Ну а использовать готовые математические пакеты, не попробовав решить аналитически – это вообще стыдно 😏 А как Вы считаете? Напишите в комментариях.

Понравилась заметка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно 🙂

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram

Источник

Содержание:

Примеры с решением

Разложения функции в ряд Фурье

Существует несколько теорем, содержанием которых является перечень достаточных условий разложения функции в ряд Фурье.

В вузовском курсе математики чаше других используется теорема Дирихле.

Теорема Дирихле. Пусть периодическая с периодом функция удовлетворяет на промежутке условиям:

Тогда ряд Фурье функции сходится на всей числовой оси. При этом сумма ряда Фурье равна:

1) значению в точках непрерывности функции

2) если в точке функция терпит разрыв;

Заметим, что требование кусочной монотонности на промежутке означает, что эта функция может иметь на промежутке лишь конечное число точек экстремума.

Очевидно, периодическая с периодом функция.

Из теоремы Дирихле следует, что класс функций, которые разлагаются в ряд Фурье, довольно широк.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию, значения которой на промежутке совпадают со значениями функции

Решение:

Применяя метод интегрирования по частям, получим:

По теореме Дирихле в точках непрерывной функции , в частности, на интервале будем иметь

В точках сумма ряда будет равна:

Это же значение будет принимать функция во всех других точках разрыва функции, которая является периодическим продолжением функции на всю числовую ось. График функции изображен на рис. 1.

Рисунок иллюстрирует, что функция имеет только точки разрыва 1-го рода и кусочно-монотонна, это означает, что применение теоремы Дирихле было возможно.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В частном случае при будем иметь

Так как получим

Заметим, что ряды Фурье часто используются при суммировании числовых рядов. И еще одно замечание. В данном примере функция была задана на с помощью двух аналитических выражений. В математике и се приложениях таким образом заданные функции встречаются довольно часто. Разложение их в ряд Фурье является универсальным средством представления таких функций единым аналитическим выражением.

Можно ли пользоваться теоремой Дирихле, если функция удовлетворяет условиям теоремы на промежутке и является периодическои? Как в этом случае вычисляются коэффициенты ряда Фурье?

Так как интеграл от периодической функции по любому промежутку, длина которого равна периоду, всегда имеет одно и то же значение (это очевидно даже из геометрических соображений), это означает, что периодическую с периодом функцию можно разлагать в ряд Фурье но любому промежутку длины если на этом промежутке выполнены условия теоремы Дирихле. В случае промежутка вычислительные формулы для коэффициентов Фурье будут иметь вид:

Какой особенностью обладают ряды Фурье для четных и нечетных функции?

Напомним, что если четная функция, то

если функция нечетная. тогда

Если функция четная, тогда четная функция, а функция нечетная. Если же нечетная функция, тогда нечетная, четная функция. Отсюда следует:

1. Коэффициенты ряда Фурье четной функции будут вычисляться по формулам

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы и имеет вид:

2. Если же функция нечетная,

Следовательно, ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы, т. е. только нечетные функции.

Можно ли разложить в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке

Можно. С этой целью заданную функцию произвольным образом доопределяют на промежутке таким образом, чтобы для этой функции были выполнены условия теоремы Дирихле. Далее разлагают в ряд функцию, которая является периодическим продолжением на всю числовую ось функции

В частных случаях, если доопределить функцию так, чтобы оказалась четной функцией (рис. 2), получим ряд, содержащий только косинусы, если продолжить функцию на промежуток нечетным образом (рис. 3), получим ряд Фурье, содержащий только синусы.

Очевидно, существует бесконечно много способов доопределения функции . Соответственно будем получать ряды, которые на промежутке будут вести себя по-разному, но при этом в любой точке из интервала значение суммы ряда будет одним и тем же при любой функции Очевидно, это значение будет определяться только поведением функции на интервале

Пример 2.

Периодическую с периодом функцию, значения которой на вычисляются по формуле разложить в ряд Фурье на промежутке доопределив функцию на отрезке двумя способами (рис. 4, рис. 5):

Во втором случае функция доопределена нечетным образом.

Решение:

Разложение в ряд функции было получено при решении примера 1. Следовательно, разложение в ряд функции на будет иметь вид:

Получим разложение в ряд функции Так как функция нечетная,

(интегрировали методом по частям).

Разложение на будет иметь вид:

В первом случае (см. пример 1), во втором случае

Полученные для одной и той же функции разложения в ряд на различны. Посмотрим, как ведут себя полученные разложения, например, в точке Так как все слагаемые разложения функции содержащие косинусы. при равны нулю, будем иметь

Так как получим

Во втором случае

Так как

будем иметь

Таким образом, используя два различных разложения в ряд Фурье функции па промежутке полагая в них . мы получили один и тот же результат.

Напомним, что в теории степенных рядов было получено разложение в ряд Тейлора функции

Так как будем иметь тог же результат, который мы получили, используя разложение совсем другой функции в ряд Фурье:

Можно ли разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом (отличным от )?

Да, можно. Пусть функция задана на промежутке Введем переменную по формуле Тогда функция будет периодической функцией аргумента с периодом Если эта функция разлагается в ряд Фурье на промежутке то этот ряд будет иметь вид:

где

Возвращаясь к прежней переменной полагая

будем иметь

И тогда ряд Фурье функции с периодом 21 будет иметь вид:

Заметим, что вся изложенная выше теория рядов Фурье для периодических функций с периодом имеет место и для периодических функций с периодом

Пример 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом совпадающую на интервале с функцией

и равную 0 в точках разрыва (рис. 6).

Решение:

Заданная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, следовательно, разлагается в ряд Фурье, который сходится на всей числовой оси. Функция нечетная, поэтому

Сумма ряда Фурье будет иметь вид:

Значения будут совпадать со значениями периодической функции, изображенной на рис. 6 во всех точках числовой оси.

На рис. 7 показано, как частичные суммы ряда с увеличением все точнее и точнее представляют функцию

Пример 4.

Функцию разложить в ряд Фурье на интервале (0,2п). Пользуясь полученным разложением, найти суммы рядов

Решение:

Функция не является периодической. Введем вспомогательную функцию с периодом которая на интервале будет совпадать с а на остальной части оси будет ее периодическим продолжением. В точках разрыва функцию примем равной полусумме ее односторонних пределов, т. е. График схематично изображен на рис. 8.

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле. Найдем ее разложение в ряд Фурье

Дважды используя метод интегрирования по частям, получим:

Аналогично, дважды интегрируя по частям, найдем

Таким образом,

Полагая в первом разложении и получим соответственно

Заметим, что так как можно было подставить и в разложение функции Складывая почленно два полученных сходящихся ряда, получим еще один интересный результат:

Пример 5.

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию, совпадающую на промежутке с функцией

Решение:

В данной задаче функция имеет период где Очевидно, что данная функция нечетная, так как

Функция удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, разлагается в сходящийся на всей оси ряд Фурье. В данном случае коэффициенты Фурье будут вычисляться по формулам

При будем иметь:

Интегрируя два раза по частям, получим:

Так как окончательно будем иметь

Тогда

для В точках , согласно теореме Дирихле будем иметь

Это же значение сумма (рис. 9) полученного ряда будет принимать во всех остальных точках разрыва заданной периодической функции.

Лекции:

Построение графиков функции с помощью производной
Формулы двойного угла
Сумма ряда
Метод Якоби
Метод интегрирования
Иррациональные неравенства
Решение систем линейных уравнений
Теорема Гаусса
Область сходимости ряда
Метод Ритца

Источник

Начнем
с простого замечания: если заданная на
отрезке

интегрируемая функция

является нечетной, то есть для всех

выполняется
равенство
,
то

.

Для
четной функции

справедливо

.

Напомним
некоторые свойства четных и нечетных
функций на

Произведение
двух четных или двух нечетных функций
есть функция четная;
Произведение
четной и нечетной функций есть нечетная
функция.

Утверждение.
Пусть

определена и интегрируема на

,
а

-ее
коэффициенты Фурье. Тогда

если

-нечетная,
то

,
а ряд Фурье имеет вид

.

если

–
четная, то

,
а
ряд Фурье имеет вид
.

Допустим,
что функция

задана
на отрезке

.
Если
мы хотим найти разложение

на
этом отрезке в ряд Фурье, то сначала
продолжим

на
симметричный промежуток

произвольным образом, а потом воспользуемся
формулами для коэффициентов Фурье.

Если
продолжить функцию четным образом, то
получим разложение только по косинусам,
а если продолжить нечетным образом, то
– только по синусам. При этом в первом
случае продолженная функция

будет
иметь вид

а
во втором случае

4.6. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке

Пусть

задана
на отрезке

,
и
на этом отрезке она кусочно-гладкая.
Рассмотрим периодическую кусочно-гладкую
функцию

с
периодом

которая
совпадает с

на

,
а

-произвольная
кусочно-гладкая функция.

Таким
образом,

была продолжена на симметричный отрезок.
Теперь для

существует разложение в ряд Фурье. Сумма
этого ряда совпадает с

во
всех точках непрерывности отрезка

,
то
есть функция

разложена
в ряд Фурье на

Алгоритм
разложения функции
в
тригонометрический ряд Фурье:

выяснить
формально ряд Фурье по заданию функции;
найти
коэффициенты ряда Фурье;
используя
теорему о достаточном условии сходимости
ряда Фурье, найти сумму ряда, построить
график

и

.
Выяснить, в каких точках

совпадает
с

.

4.7. Контрольные вопросы и задания.

Какая
функция называется периодической?
Является ли функция Дирихле

периодической?
Чему равен период? Имеет ли эта функция
основной период?

Что
такое тригонометрический ряд?
Какой
тригонометрический ряд называется
рядом Фурье?

Являются
ли тригонометрические ряды

и

рядами Фурье?

Сформулировать
достаточные условия поточечной
сходимости ряда Фурье.
Записать
равенство Парсеваля и неравенство
Бесселя для тригонометрического ряда
Фурье.
Какой
вид имеет ряд Фурье для нечетной
интегрируемой функции?
Какой
вид имеет ряд Фурье для

-периодической
функции?

4.8. Образцы решения типовых задач

При
нахождении коэффициентов Фурье полезно
помнить:

Пример
1.
Разложить функцию

в ряд
Фурье
на интервале

.
Построить
график суммы ряда Фурье. Вычислить суммы
получающихся рядов, полагая

.

Построим
график данной функции:

Продолжим
данную функцию периодически с периодом

на
всю прямую.

Построим
график суммы ряда Фурье

Найдём
коэффициенты ряда
Фурье.
Так как

нечётная на

Итак,

.

Используя
полученное разложение с учётом вида
графика суммы
ряда
Фурье,
из которого видно, к чему сходится ряд
в точках разрыва, найдём суммы некоторых
числовых рядов.

При

получим

.